Interaction Quark-Antiquark - Exercice corrigé

Contexte : L'univers subatomique et le Modèle StandardLa théorie qui décrit les particules élémentaires (quarks, leptons, bosons) et leurs interactions fondamentales (forte, faible, électromagnétique)..

Au cœur de la physique des particules, l'interaction entre la matière et l'antimatière est un phénomène fondamental. Lorsqu'une particule rencontre son antiparticule, elles peuvent s'annihiler, convertissant leur masse en énergie pure, souvent sous forme de photons. Cet exercice se concentre sur un cas spécifique : l'annihilation d'une paire quark-antiquark, les constituants élémentaires des protons et des neutrons. Nous étudierons la cinématique de cette réaction pour comprendre comment les lois de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement s'appliquent à l'échelle la plus fondamentale.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de manipuler concrètement le principe d'équivalence masse-énergie d'Einstein (\(E=mc^2\)) et les lois de conservation dans le cadre de la relativité restreinte, des concepts clés pour comprendre les interactions dans les accélérateurs de particules comme ceux du CERN.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la conservation de l'énergie-moment dans une réaction d'annihilation.
Calculer l'énergie et la longueur d'onde des photons produits.
Comprendre l'influence de l'énergie cinétique initiale des particules sur les produits de la réaction.
Se familiariser avec les unités utilisées en physique des particules (MeV, MeV/c²).

Données de l'étude

On considère un quark 'up' (\(u\)) et son antiparticule, un antiquark 'up' (\(\bar{u}\)), qui entrent en collision. On supposera pour la première partie de l'exercice que leur vitesse initiale est négligeable.

Fiche Technique du Quark 'Up'

Caractéristique	Valeur
Masse au repos (\(m_u\))	\(2.2 \text{ MeV/c}^2\)
Charge électrique	\(+2/3 e\)
Spin	\(1/2\)

Schéma de l'Annihilation \(u\bar{u} \rightarrow \gamma\gamma\)

Questions à traiter

Calculer l'énergie totale disponible dans le système avant l'annihilation, en considérant les particules au repos. Exprimez le résultat en MeV.
En appliquant le principe de conservation de l'énergie, déterminer l'énergie de chaque photon produit, en supposant qu'ils sont émis avec des énergies égales.
Calculer la longueur d'onde de chaque photon émis. On donne la constante de Planck-Einstein \(hc \approx 1240 \text{ MeV} \cdot \text{fm}\).
Supposons maintenant que le quark et l'antiquark se déplacent l'un vers l'autre, chacun avec une énergie cinétique de 1.1 MeV. Quelle est la nouvelle énergie totale disponible pour l'annihilation ?
En utilisant l'énergie calculée à la question 4, quelle est la nouvelle énergie de chaque photon produit, en supposant une répartition égale ?

Les bases sur l'Annihilation Matière-Antimatière

Ce phénomène est une conséquence directe de la relativité restreinte et de la mécanique quantique. Il illustre de manière spectaculaire l'équivalence entre la masse et l'énergie.

1. Équivalence Masse-Énergie
La célèbre équation d'Einstein, \(E=mc^2\), nous dit que la masse est une forme d'énergie. L'énergie totale d'une particule est la somme de son énergie de masse au repos et de son énergie cinétique. \[ E_{\text{totale}} = E_{\text{repos}} + E_{\text{cinétique}} = m_0 c^2 + (\gamma - 1)m_0 c^2 = \gamma m_0 c^2 \] Pour une particule au repos (\(\gamma=1\)), son énergie est simplement son énergie de masse : \(E = m_0 c^2\).

2. Conservation de l'Énergie-Moment
Dans toute interaction, l'énergie totale et la quantité de mouvement totale du système sont conservées. Avant l'annihilation, l'énergie totale est la somme des énergies des deux particules. Après, c'est la somme des énergies des photons. Si les particules sont initialement au repos, la quantité de mouvement totale est nulle. Pour la conserver, les photons doivent être émis dans des directions opposées avec des moments égaux en magnitude.

3. Énergie d'un Photon
Un photon est un quantum d'énergie électromagnétique. Son énergie \(E_\gamma\) est liée à sa fréquence \(\nu\) et à sa longueur d'onde \(\lambda\) par la relation de Planck-Einstein : \[ E_\gamma = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \] où \(h\) est la constante de Planck et \(c\) la vitesse de la lumière.

Correction : Interaction Quark-Antiquark : Annihilation en Photons

Question 1 : Calculer l'énergie totale disponible dans le système au repos.

Principe

Le concept physique clé est l'équivalence masse-énergie d'Einstein. L'énergie totale d'un système de particules au repos est la somme de leurs énergies de masse individuelles.

Mini-Cours

Toute particule massive possède une "énergie de masse au repos" intrinsèque, \(E_0 = m_0c^2\). C'est l'énergie minimale que la particule possède. En physique des particules, il est courant d'exprimer les masses en unités d'énergie (comme le MeV) en sous-entendant la division par \(c^2\). Ainsi, une masse de \(2.2 \text{ MeV/c}^2\) correspond à une énergie de masse au repos de \(2.2 \text{ MeV}\).

Remarque Pédagogique

Pensez à l'annihilation comme à un bilan énergétique. La première étape est toujours de faire l'inventaire de toute l'énergie présente "avant" l'événement. Ici, comme il n'y a pas de mouvement, l'inventaire se limite à la masse des participants.

Normes

La conservation de l'énergie est un principe fondamental (une loi de la nature) et non une norme réglementaire. C'est le pilier de toute analyse en physique des particules, dicté par le Modèle Standard.

Formule(s)

Énergie de masse au repos

\[ E_0 = m_0 c^2 \]

Énergie totale du système

E_{\text{totale}} = E_{u} + E_{\bar{u}}

Hypothèses

Nous posons l'hypothèse que les particules sont initialement au repos, ce qui signifie que leur énergie cinétique est nulle (\(K=0\)).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Masse au repos (quark et antiquark)	\(m_u = m_{\bar{u}}\)	\(2.2 \text{ MeV/c}^2\)

Astuces

Puisque la particule et l'antiparticule ont la même masse par symétrie, il suffit de calculer l'énergie d'une seule et de multiplier le résultat par deux. C'est un raccourci simple et efficace.

Schéma (Avant les calculs)

État initial : Particules au repos

Calcul(s)

Énergie de masse d'une particule

E_u = m_u c^2 = (2.2 \text{ MeV/c}^2) \times c^2 = 2.2 \text{ MeV}

Énergie totale du système

\begin{aligned} E_{\text{totale}} &= E_u + E_{\bar{u}} \\ &= 2.2 \text{ MeV} + 2.2 \text{ MeV} \\ &= 4.4 \text{ MeV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

État final : Émission de photons

Réflexions

Le résultat de 4.4 MeV représente le "capital" énergétique total qui sera libéré lors de l'annihilation. C'est cette quantité qui sera convertie en une autre forme, ici en énergie électromagnétique (photons).

Points de vigilance

L'erreur la plus courante est d'oublier qu'il y a deux particules dans le système initial. Il faut bien sommer les contributions du quark ET de l'antiquark.

Points à retenir

L'énergie d'une particule au repos est son énergie de masse \(E_0=m_0c^2\).
Une particule et son antiparticule ont la même masse.
L'énergie totale d'un système est la somme des énergies de ses constituants.

Le saviez-vous ?

Le concept d'antimatière a été prédit théoriquement par le physicien Paul Dirac en 1928, quatre ans avant que le positron (l'anti-électron) ne soit observé expérimentalement par Carl Anderson. La théorie a précédé la découverte !

FAQ

Résultat Final

L'énergie totale disponible avant l'annihilation est de \(4.4 \text{ MeV}\).

A vous de jouer

Si on réalisait la même expérience avec un quark 'down' et son antiquark (masse \(\approx 4.7 \text{ MeV/c}^2\)), quelle serait l'énergie totale ?

Question 2 : Déterminer l'énergie de chaque photon produit.

Principe

Le principe de conservation de l'énergie impose que l'énergie totale avant la réaction (l'énergie de masse des particules) soit égale à l'énergie totale après (l'énergie des photons). De plus, la conservation de la quantité de mouvement impose que cette énergie soit répartie équitablement si le système initial était au repos.

Mini-Cours

Pourquoi deux photons ? L'annihilation d'une paire particule-antiparticule au repos ne peut pas produire un seul photon. En effet, dans le référentiel où la paire est immobile, la quantité de mouvement totale est nulle. Un seul photon aurait une quantité de mouvement non nulle (\(p=E/c\)), ce qui violerait la conservation. La production d'au moins deux photons partant dans des directions opposées permet de conserver une quantité de mouvement totale nulle.

Remarque Pédagogique

Voyez la conservation comme une règle de comptabilité stricte : rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme. L'énergie de masse que vous aviez "en stock" est maintenant "dépensée" pour créer les photons. Le bilan doit être exact.

Normes

Les lois de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement sont des principes premiers en physique. Elles découlent d'une symétrie fondamentale de l'univers (respectivement, l'invariance par translation dans le temps et dans l'espace) via le théorème de Noether.

Formule(s)

Conservation de l'énergie

E_{\text{totale, avant}} = E_{\text{totale, après}}

Énergie après annihilation

E_{\text{totale, après}} = E_{\gamma_1} + E_{\gamma_2}

Hypothèses

On suppose que l'énergie se répartit de manière égale entre les deux photons, soit \(E_{\gamma_1} = E_{\gamma_2}\). C'est une conséquence directe de l'hypothèse que la quantité de mouvement initiale est nulle.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Énergie totale avant annihilation	\(E_{\text{totale, avant}}\)	\(4.4 \text{ MeV}\)

Schéma (Avant les calculs)

Bilan Énergétique

Calcul(s)

Application de la conservation

E_{\text{totale, avant}} = E_{\gamma_1} + E_{\gamma_2} = 2 E_{\gamma}

Calcul de l'énergie d'un photon

\begin{aligned} E_{\gamma} &= \frac{E_{\text{totale, avant}}}{2} \\ &= \frac{4.4 \text{ MeV}}{2} \\ &= 2.2 \text{ MeV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Bilan Énergétique Résolu

Réflexions

Le résultat est très parlant : chaque photon emporte avec lui l'équivalent de l'énergie de masse d'une des particules initiales. La conversion de la masse en énergie est ici parfaitement illustrée et quantifiée.

Points de vigilance

Ne pas supposer instinctivement que l'énergie d'un photon est égale à l'énergie d'une particule sans justifier par la conservation de l'énergie et la répartition égale. Le raisonnement est aussi important que le résultat.

Points à retenir

La conservation de l'énergie est la clé pour relier l'état initial et final.
La conservation de la quantité de mouvement impose une répartition symétrique de l'énergie.
L'annihilation au repos \(X\bar{X} \to \gamma\gamma\) donne deux photons d'énergie \(E_\gamma = m_X c^2\).

Le saviez-vous ?

La Tomographie par Émission de Positrons (TEP), une technique d'imagerie médicale, est basée sur ce principe ! On injecte un traceur qui émet des positrons. Ces derniers s'annihilent avec les électrons du corps, produisant deux photons de 511 keV (l'énergie de masse de l'électron) qui sont détectés pour former une image.

FAQ

Résultat Final

Chaque photon produit a une énergie de \(2.2 \text{ MeV}\).

A vous de jouer

Dans l'annihilation d'un proton et d'un antiproton (masse \(\approx 938 \text{ MeV/c}^2\)), quelle serait l'énergie de chaque photon ?

Question 3 : Calculer la longueur d'onde de chaque photon émis.

Principe

Ce calcul repose sur la dualité onde-corpuscule de la lumière. Le photon, bien qu'étant une particule, possède des propriétés ondulatoires, notamment une longueur d'onde (\(\lambda\)) qui est inversement proportionnelle à son énergie.

Mini-Cours

La relation de Planck-Einstein \(E = hc/\lambda\) est fondamentale en mécanique quantique. Elle lie le monde des particules (énergie \(E\)) au monde des ondes (longueur d'onde \(\lambda\)). La constante \(hc\) est une constante de conversion universelle entre ces deux mondes. Plus une particule est énergétique, plus sa longueur d'onde associée est courte, et donc plus son comportement "ondulatoire" est difficile à observer.

Remarque Pédagogique

Faites toujours attention aux unités. La physique est pleine de constantes fondamentales. Les utiliser dans des systèmes d'unités adaptés (comme MeV et fm ici) plutôt que de tout convertir en unités SI (Joules, mètres) vous sauvera de nombreuses erreurs de calcul et d'ordres de grandeur.

Normes

La relation \(E=hc/\lambda\) est un postulat de base de la mécanique quantique, validé par d'innombrables expériences depuis le début du 20ème siècle.

Formule(s)

Relation Énergie-Longueur d'onde

\lambda = \frac{hc}{E_{\gamma}}

Hypothèses

Nous utilisons la valeur de l'énergie du photon calculée à la question précédente et la valeur fournie pour la constante \(hc\).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Énergie du photon	\(E_\gamma\)	\(2.2 \text{ MeV}\)
Constante de Planck-Einstein	\(hc\)	\(1240 \text{ MeV} \cdot \text{fm}\)

Astuces

Quand vous voyez une énergie en MeV et qu'on vous demande une longueur, ayez le réflexe de penser à la constante \(hc \approx 1240 \text{ MeV} \cdot \text{fm}\). C'est un outil de conversion direct et très pratique.

Schéma (Avant les calculs)

Photon avant calcul de longueur d'onde

Calcul(s)

Calcul de la longueur d'onde

\begin{aligned} \lambda &= \frac{1240 \text{ MeV} \cdot \text{fm}}{2.2 \text{ MeV}} \\ &\approx 563.64 \text{ fm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Photon avec longueur d'onde calculée

Réflexions

Une longueur d'onde de \(\approx 564\) fm (\(5.64 \times 10^{-13}\) m) est extrêmement courte. À titre de comparaison, le diamètre d'un proton est d'environ 1.7 fm. Cela confirme que les photons produits sont des rayons gamma de très haute énergie, capables de sonder la structure subatomique.

Points de vigilance

L'erreur classique ici serait d'utiliser des unités incohérentes. Si l'énergie était en Joules, il faudrait utiliser \(h\) et \(c\) en unités SI. L'utilisation de la constante \(hc\) "composite" nous évite cette peine.

Points à retenir

L'énergie d'un photon est inversement proportionnelle à sa longueur d'onde.
La constante \(hc \approx 1240 \text{ MeV} \cdot \text{fm}\) est un outil de conversion essentiel.
Haute énergie \(\iff\) Courte longueur d'onde.

Le saviez-vous ?

Les rayons gamma produits par l'annihilation matière-antimatière dans les régions centrales des galaxies sont une cible de choix pour les télescopes gamma comme le télescope spatial Fermi. Leur détection nous renseigne sur la distribution de la matière noire et d'autres phénomènes astrophysiques extrêmes.

FAQ

Résultat Final

La longueur d'onde de chaque photon est d'environ \(563.6 \text{ fm}\).

A vous de jouer

Quelle serait la longueur d'onde des photons issus de l'annihilation électron-positron (énergie par photon = 0.511 MeV) ?

Question 4 : Calculer la nouvelle énergie totale avec une énergie cinétique de 1.1 MeV pour chaque particule.

Principe

L'énergie totale d'une particule en mouvement est la somme de son énergie de masse au repos et de son énergie cinétique. L'énergie cinétique est une énergie "supplémentaire" qui s'ajoute au capital énergétique total du système.

Mini-Cours

En physique classique, l'énergie cinétique est \(K = \frac{1}{2}mv^2\). En relativité restreinte, la formule est plus complexe : \(K = (\gamma - 1)m_0c^2\). Heureusement, dans cet exercice, la valeur de \(K\) est directement fournie, nous n'avons donc pas besoin de calculer le facteur de Lorentz \(\gamma\). L'important est de comprendre que l'énergie totale \(E = \gamma m_0c^2\) se décompose en \(E = m_0c^2 + K\).

Remarque Pédagogique

C'est exactement pour cela que l'on construit des accélérateurs de particules ! En donnant une grande énergie cinétique aux particules, on augmente l'énergie totale disponible lors de la collision. Cela permet de produire de nouvelles particules beaucoup plus massives que les particules initiales.

Normes

Ce calcul est une application directe du principe de conservation de l'énergie dans le cadre de la relativité restreinte d'Einstein, qui unifie énergie de masse et énergie de mouvement.

Formule(s)

Énergie totale d'une particule

E_{\text{particule}} = E_{\text{repos}} + E_{\text{cinétique}} = m_0c^2 + K

Énergie totale du système

E_{\text{totale, système}} = E_{\text{quark}} + E_{\text{antiquark}}

Hypothèses

Nous supposons que les énergies cinétiques données sont mesurées dans le référentiel du laboratoire (qui est aussi le référentiel du centre de masse ici, puisque les particules ont des moments opposés).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Énergie de repos (chaque)	\(m_0c^2\)	\(2.2 \text{ MeV}\)
Énergie cinétique (chaque)	\(K\)	\(1.1 \text{ MeV}\)

Schéma (Avant les calculs)

État initial : Particules en mouvement

Calcul(s)

Énergie totale d'une particule

\begin{aligned} E_{u} &= m_u c^2 + K_u \\ &= 2.2 \text{ MeV} + 1.1 \text{ MeV} \\ &= 3.3 \text{ MeV} \end{aligned}

Énergie totale du système

\begin{aligned} E_{\text{totale}} &= E_{u} + E_{\bar{u}} \\ &= 3.3 \text{ MeV} + 3.3 \text{ MeV} \\ &= 6.6 \text{ MeV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Composition de l'Énergie Totale

Réflexions

En ajoutant "seulement" 1.1 MeV d'énergie cinétique à chaque particule, nous avons augmenté l'énergie totale de l'événement de 50% (passant de 4.4 MeV à 6.6 MeV). Cela montre l'impact significatif de l'énergie cinétique dans les collisions à haute énergie.

Points de vigilance

Ne pas oublier d'inclure à la fois l'énergie de repos et l'énergie cinétique pour les deux particules. Une erreur fréquente serait d'oublier l'énergie de repos ou de n'ajouter l'énergie cinétique qu'une seule fois.

Points à retenir

L'énergie totale d'une particule est la somme de son énergie de masse et de son énergie cinétique.
L'énergie cinétique est une contribution additive à l'énergie totale d'un système.

Le saviez-vous ?

Au Grand collisionneur de hadrons (LHC), les protons sont accélérés à des énergies cinétiques de plusieurs TeV (téraélectronvolts), soit des millions de fois leur énergie de masse au repos (qui est d'environ 1 GeV). Leur énergie est donc presque entièrement cinétique !

FAQ

Résultat Final

L'énergie totale disponible pour l'annihilation est de \(6.6 \text{ MeV}\).

A vous de jouer

Si le quark a une énergie cinétique de 5 MeV et l'antiquark est au repos, quelle est l'énergie totale du système ?

Question 5 : Calculer la nouvelle énergie de chaque photon produit.

Principe

Comme pour la question 2, on applique rigoureusement la conservation de l'énergie. L'énergie totale du système avant la collision (qui inclut maintenant l'énergie cinétique) est intégralement reportée sur l'énergie des deux photons produits.

Mini-Cours

Lorsque deux particules de même masse se heurtent avec des vitesses égales et opposées, le référentiel du laboratoire est aussi le "référentiel du centre de masse". Dans ce cas particulier, la physique est symétrique et les produits de la réaction (les photons) doivent aussi être émis symétriquement pour conserver une quantité de mouvement totale nulle. C'est pourquoi ils se partagent l'énergie équitablement.

Remarque Pédagogique

Comparez ce résultat (3.3 MeV) à celui de la question 2 (2.2 MeV). Vous visualisez directement l'effet d'une collision plus "violente" : elle produit des particules plus énergétiques. C'est le but recherché dans les expériences de physique des particules.

Normes

Ce calcul est une application directe du premier principe de la thermodynamique appliqué à un système isolé : l'énergie totale se conserve.

Formule(s)

Énergie par photon

E_{\gamma} = \frac{E_{\text{totale}}}{N_{\text{photons}}} = \frac{E_{\text{totale}}}{2}

Hypothèses

On maintient l'hypothèse que deux photons sont produits et que l'énergie est répartie équitablement, car la quantité de mouvement totale du système initial est toujours nulle.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Énergie totale du système	\(E_{\text{totale}}\)	\(6.6 \text{ MeV}\)

Schéma (Avant les calculs)

Bilan Énergétique (avec énergie cinétique)

Calcul(s)

Calcul de l'énergie d'un photon

\begin{aligned} E_{\gamma} &= \frac{6.6 \text{ MeV}}{2} \\ &= 3.3 \text{ MeV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

État final : Émission de photons plus énergétiques

Réflexions

L'énergie cinétique a été "matérialisée" au même titre que l'énergie de masse. Il n'y a pas de différence de nature entre les deux : toute forme d'énergie contribue au pool total qui peut être transformé. Les photons sont 50% plus énergétiques que dans le cas au repos.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser l'énergie totale calculée à la question 4 (6.6 MeV) et non celle de la question 1 (4.4 MeV). C'est une erreur fréquente dans les exercices à étapes.

Points à retenir

L'énergie cinétique initiale est convertie en énergie des particules finales.
Des collisions plus énergétiques produisent des particules plus énergétiques.

Le saviez-vous ?

Dans les premiers instants de l'Univers, la température était si élevée que des paires de particules et d'antiparticules étaient constamment créées à partir de photons très énergétiques (le processus inverse de l'annihilation) et s'annihilaient aussitôt, dans un équilibre dynamique.

FAQ

Résultat Final

Chaque photon produit a une énergie de \(3.3 \text{ MeV}\).

A vous de jouer

Si l'énergie totale d'une collision était de 10 MeV, quelle serait l'énergie de chaque photon ?

Outil Interactif : Simulateur d'Annihilation

Explorez comment l'énergie cinétique initiale d'un quark 'up' influence l'énergie des photons produits lors de son annihilation avec un antiquark 'up' au repos.

Paramètres d'Entrée

Énergie cinétique du Quark (MeV) 0 MeV

Résultats Clés

Énergie totale du système (MeV) -

Énergie par photon (MeV) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si un quark et un antiquark s'annihilent au repos, que peut-on dire de la quantité de mouvement totale des photons produits ?

Elle est égale à la masse des quarks.
Elle est nulle.
Elle dépend de l'énergie des photons.

2. L'annihilation d'une paire électron-positron (chacun de masse \(0.511 \text{ MeV/c}^2\)) au repos produira des photons :

Moins énergétiques que ceux de l'annihilation quark-antiquark 'up'.
Plus énergétiques que ceux de l'annihilation quark-antiquark 'up'.
D'énergie identique.

3. Que représente l'unité "MeV/c²" ?

Une unité d'énergie.
Une unité de vitesse.
Une unité de masse.

Modèle Standard: La théorie qui décrit les particules élémentaires (quarks, leptons, bosons) et leurs interactions fondamentales (forte, faible, électromagnétique).
Antimatière: Type de matière composée d'antiparticules, qui ont la même masse que les particules correspondantes mais des charges opposées (et d'autres nombres quantiques inversés).
Photon (\(\gamma\)): La particule élémentaire (quantum) de l'interaction électromagnétique, responsable des phénomènes lumineux. Il a une masse nulle.
Femtomètre (fm): Une unité de longueur valant \(10^{-15}\) mètres, typiquement utilisée pour décrire les dimensions des noyaux atomiques et des particules.