Précession de Larmor d'un Spin

Contexte : Le magnétisme quantique, au cœur de l'IRM et de l'informatique quantique.

En mécanique quantique, le spinPropriété intrinsèque des particules, analogue à un moment cinétique. Pour un électron (spin 1/2), il ne peut prendre que deux orientations par rapport à un axe : "up" ou "down". est une propriété fondamentale des particules. Lorsqu'une particule dotée d'un spin, comme un électron, est placée dans un champ magnétique, son moment magnétique interagit avec le champ. Contrairement à une boussole classique qui s'aligne, le vecteur de spin se met à tourner ou "précesser" autour de la direction du champ. Ce phénomène, appelé précession de Larmor, est au cœur de technologies révolutionnaires comme l'Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) et la manipulation de qubits dans les ordinateurs quantiques. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse complète de cette dynamique fascinante.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un des concepts les plus fondamentaux de la dynamique quantique : l'évolution temporelle d'un état qui n'est pas un état propre du Hamiltonien. Nous allons construire le Hamiltonien, appliquer l'équation de Schrödinger pour voir l'état évoluer, et calculer des grandeurs observables (les composantes du spin) pour visualiser la précession. C'est le pont parfait entre la formalismes abstrait (kets, opérateurs) et un phénomène physique très concret.

Objectifs Pédagogiques

Écrire le Hamiltonien d'interaction d'un spin avec un champ magnétique.
Calculer la fréquence de Larmor, qui caractérise la vitesse de précession.
Déterminer l'évolution temporelle d'un état de spin à l'aide de l'opérateur d'évolution temporelle.
Calculer la valeur moyenne des observables (composantes du spin) en fonction du temps.
Calculer les probabilités de mesure dans une base différente de la base propre du Hamiltonien.

Données de l'étude

Un électron est plongé dans un champ magnétique uniforme et statique \(\vec{B} = B_0 \vec{u}_z\), dirigé selon l'axe z. À l'instant \(t=0\), le spin de l'électron est dans un état \(|\psi(0)\rangle\), qui est l'état propre de l'observable \(\sigma_n\) avec la valeur propre +1, où \(\vec{n}\) est un vecteur unitaire dans le plan (x,z) faisant un angle \(\theta\) avec l'axe z.

Configuration initiale du spin dans le champ magnétique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Champ magnétique	\(B_0\)	1.0	\(\text{T}\)
Angle initial	\(\theta\)	60	\(\text{degrés}\)
Rapport gyromagnétique (électron)	\(\gamma_e\)	-1.76 × 10¹¹	\(\text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{T}^{-1}\)
Constante de Planck réduite	\(\hbar\)	1.054 × 10⁻³⁴	\(\text{J} \cdot \text{s}\)

Questions à traiter

Écrire l'opérateur Hamiltonien \(\hat{H}\) du système. L'exprimer sous forme matricielle dans la base des états propres de \(S_z\).
Calculer la fréquence angulaire de Larmor \(\omega_L\).
Déterminer le vecteur d'état \(|\psi(t)\rangle\) pour tout instant \(t > 0\).
Calculer les valeurs moyennes \(\langle S_x \rangle(t)\), \(\langle S_y \rangle(t)\) et \(\langle S_z \rangle(t)\) et interpréter le résultat.

Les bases de la dynamique du spin

Avant la correction, revoyons les outils essentiels pour décrire un spin dans un champ magnétique.

1. L'Hamiltonien d'interaction magnétique :
L'énergie d'interaction d'un moment magnétique \(\vec{\mu}\) avec un champ magnétique \(\vec{B}\) est \(E = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}\). En mécanique quantique, on passe aux opérateurs. Le moment magnétique de spin est proportionnel à l'opérateur de spin \(\hat{\vec{S}}\) : \(\hat{\vec{\mu}} = \gamma \hat{\vec{S}}\), où \(\gamma\) est le rapport gyromagnétique. Le Hamiltonien est donc : \[ \hat{H} = -\gamma \hat{\vec{S}} \cdot \vec{B} \]

2. Opérateurs de spin et matrices de Pauli :
Pour une particule de spin 1/2, les composantes de l'opérateur de spin sont liées aux matrices de Pauli \(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\) par \(\hat{S}_i = \frac{\hbar}{2}\sigma_i\). Dans la base \( \{ |+\rangle, |-\rangle \} \) (états propres de \(S_z\)), ces matrices sont : \[ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

3. Évolution temporelle d'un état quantique :
Si un système est dans l'état \(|\psi(0)\rangle\) à \(t=0\), son état à un instant \(t\) est donné par l'équation de Schrödinger. Si le Hamiltonien \(\hat{H}\) ne dépend pas du temps, la solution est : \[ |\psi(t)\rangle = e^{-i\hat{H}t/\hbar} |\psi(0)\rangle \] Où \(e^{-i\hat{H}t/\hbar}\) est l'opérateur d'évolution temporelle.

Correction : Précession de Larmor d'un Spin

Question 1 : Écrire l'opérateur Hamiltonien

Principe (le concept physique)

L'Hamiltonien représente l'énergie totale du système. Ici, c'est uniquement l'énergie potentielle du moment magnétique de l'électron interagissant avec le champ magnétique externe. Le signe négatif dans la formule \(E = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}\) indique que le système a une énergie plus faible lorsque le moment magnétique s'aligne avec le champ.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le couplage entre le spin et le champ magnétique est connu sous le nom d'effet Zeeman. Il lève la dégénérescence des niveaux d'énergie du spin. En l'absence de champ, les états "up" et "down" ont la même énergie. Le champ magnétique sépare ces deux niveaux, créant une différence d'énergie proportionnelle à l'intensité du champ.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez l'Hamiltonien comme le "moteur" qui dicte comment le système va évoluer dans le temps. Comprendre sa structure est la première et la plus cruciale des étapes. Ici, sa simplicité (il ne dépend que de \(\hat{S}_z\)) va grandement faciliter tous les calculs suivants.

Normes (la référence réglementaire)

En physique quantique, il n'y a pas de "normes" au sens de l'ingénierie, mais des postulats fondamentaux. Le calcul de l'Hamiltonien se base sur le principe de correspondance, qui consiste à remplacer les grandeurs classiques (ici, \(\vec{\mu}\) et \(\vec{B}\)) par leurs opérateurs quantiques correspondants.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'Hamiltonien d'interaction est \(\hat{H} = -\hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B}\). Avec \(\hat{\vec{\mu}} = \gamma_e \hat{\vec{S}}\) et \(\vec{B} = B_0 \vec{u}_z\), on obtient :

\hat{H} = -\gamma_e (\hat{S}_x \cdot 0 + \hat{S}_y \cdot 0 + \hat{S}_z \cdot B_0) = -\gamma_e B_0 \hat{S}_z

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le champ magnétique est la seule influence sur le spin (on néglige les interactions avec d'autres particules ou d'autres champs). Le champ est parfaitement uniforme et constant dans le temps.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Opérateur de spin z : \(\hat{S}_z = \frac{\hbar}{2}\sigma_z\)
Champ magnétique : \(\vec{B} = B_0 \vec{u}_z\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Lorsque le champ \(\vec{B}\) est dirigé selon un seul axe (ici, z), le produit scalaire \(\hat{\vec{S}} \cdot \vec{B}\) se simplifie énormément et ne fait intervenir que la composante de \(\hat{\vec{S}}\) le long de cet axe. C'est le cas le plus simple à analyser.

Schéma (Avant les calculs)

Interaction Spin-Champ

Calcul(s) (l'application numérique)

On remplace \(\hat{S}_z\) par sa forme matricielle \(\frac{\hbar}{2}\sigma_z\) dans l'expression de \(\hat{H}\) et on introduit \(\omega_L = -\gamma_e B_0\).

\begin{aligned} \hat{H} &= -\gamma_e B_0 \hat{S}_z \\ &= -\gamma_e B_0 \left( \frac{\hbar}{2} \sigma_z \right) \\ &= \frac{\hbar(-\gamma_e B_0)}{2} \sigma_z \\ &= \frac{\hbar \omega_L}{2} \sigma_z \\ &= \frac{\hbar \omega_L}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Niveaux d'Énergie Zeeman

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'Hamiltonien est diagonal dans la base des états propres de \(S_z\). Cela signifie que les états "spin up" \(|+\rangle\) et "spin down" \(|-\rangle\) sont des états stationnaires (ou états propres) du système. Leurs énergies respectives sont \(E_+ = +\hbar\omega_L/2\) et \(E_- = -\hbar\omega_L/2\). Si le spin était initialement dans l'un de ces états, il y resterait indéfiniment.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes ! Le rapport gyromagnétique de l'électron \(\gamma_e\) est négatif. Cela inverse la relation intuitive : l'état "spin up" (moment cinétique vers le haut) a un moment magnétique vers le bas, et a donc une énergie PLUS ÉLEVÉE dans un champ dirigé vers le haut.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'Hamiltonien d'interaction magnétique est \(\hat{H} = -\gamma \hat{\vec{S}} \cdot \vec{B}\).
Si \(\vec{B}\) est selon z, \(\hat{H}\) est proportionnel à \(\hat{S}_z\).
Les états propres de \(\hat{S}_z\) sont les états d'énergie stationnaires du système.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si on ajoutait un petit champ magnétique oscillant dans le plan (x,y), l'Hamiltonien ne serait plus diagonal ni constant. Cela pourrait induire des transitions entre les états \(|+\rangle\) et \(|-\rangle\), un phénomène appelé résonance de Rabi, qui est la base de la manipulation des qubits de spin.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'Hamiltonien du système sous forme matricielle est \(\hat{H} = \frac{\hbar \omega_L}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le Hamiltonien (en fonction de \(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\)) si le champ était \(\vec{B} = B_0 \vec{u}_x\)?

Question 2 : Calculer la fréquence angulaire de Larmor

Principe (le concept physique)

La fréquence de Larmor est la fréquence angulaire naturelle à laquelle le vecteur de spin précesse autour du champ magnétique. Elle est directement proportionnelle à la force du champ magnétique et au rapport gyromagnétique de la particule. C'est la "vitesse de rotation" de la toupie quantique.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Classiquement, un moment magnétique \(\vec{\mu}\) dans un champ \(\vec{B}\) subit un couple \(\vec{\Gamma} = \vec{\mu} \times \vec{B}\). Puisque \(\vec{\Gamma} = d\vec{L}/dt\) (où L est le moment cinétique) et \(\vec{\mu} = \gamma\vec{L}\), on obtient l'équation \(d\vec{L}/dt = \gamma\vec{L} \times \vec{B}\). Cette équation décrit précisément un mouvement de précession du vecteur \(\vec{L}\) autour de \(\vec{B}\) à la fréquence angulaire \(\omega_L = |\gamma B|\). Le résultat quantique correspond parfaitement à cette vision classique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette fréquence est LA fréquence caractéristique du système. Elle relie la différence d'énergie entre les deux états de spin (\(\Delta E\)) à la période de l'oscillation (\(T_L\)) via les relations fondamentales de Planck et de De Broglie : \(\Delta E = h f_L = \hbar \omega_L\). Un photon d'énergie exactement \(\hbar \omega_L\) peut être absorbé pour faire "basculer" le spin.

Normes (la référence réglementaire)

Les valeurs des constantes physiques fondamentales comme le rapport gyromagnétique de l'électron sont déterminées expérimentalement avec une très grande précision et maintenues à jour par des comités internationaux comme le CODATA (Committee on Data for Science and Technology).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La fréquence angulaire de Larmor est définie par la relation entre les niveaux d'énergie : \( \Delta E = E_+ - E_- = \hbar \omega_L \). À partir de l'Hamiltonien, on peut aussi l'identifier directement :

\omega_L = |\gamma_e B_0|

On utilise la valeur absolue car une fréquence est par convention positive. Le signe de \(\gamma_e\) détermine le sens de rotation.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le calcul suppose que le rapport gyromagnétique \(\gamma_e\) est constant, ce qui est vrai pour une particule dans le vide. Dans un matériau, des effets peuvent légèrement modifier la valeur effective.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Rapport gyromagnétique, \(\gamma_e = -1.76 \times 10^{11} \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{T}^{-1}\)
Champ magnétique, \(B_0 = 1.0 \, \text{T}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour avoir un ordre de grandeur rapide, retenez que pour un électron, la fréquence de Larmor est d'environ 28 GHz par Tesla. C'est un chiffre très utile en physique atomique et en résonance magnétique électronique.

Schéma (Avant les calculs)

Relation entre B et ω

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule en prenant la valeur absolue.

\begin{aligned} \omega_L &= |(-1.76 \times 10^{11} \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{T}^{-1}) \cdot (1.0 \, \text{T})| \\ &= 1.76 \times 10^{11} \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \end{aligned}

C'est une fréquence extrêmement élevée, de l'ordre de 28 GHz (\(f = \omega / 2\pi\)), ce qui correspond au domaine des micro-ondes.

Schéma (Après les calculs)

Fréquence Calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette fréquence est une caractéristique fondamentale de l'interaction. En IRM, on applique une onde électromagnétique précisément à cette fréquence pour exciter les spins des noyaux atomiques (qui ont un \(\gamma\) différent) et créer un signal. Connaître \(\omega_L\) est donc crucial pour toute application de la résonance magnétique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la fréquence angulaire \(\omega\) (en rad/s) et la fréquence \(f\) (en Hz). Elles sont liées par \(\omega = 2\pi f\). Les formules de la mécanique quantique utilisent presque toujours \(\omega\) car cela simplifie les équations avec \(\hbar\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La fréquence de Larmor est la fréquence de précession du spin.
Elle est directement proportionnelle à l'intensité du champ magnétique \(B_0\).
Elle dépend de la nature de la particule via son rapport gyromagnétique \(\gamma\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En Imagerie par Résonance Magnétique (IRM), on utilise un champ magnétique non-uniforme. La fréquence de Larmor dépend alors de la position. En mesurant la fréquence du signal émis par les protons du corps, on peut reconstruire une image tridimensionnelle des tissus.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La fréquence de Larmor est \(\omega_L = 1.76 \times 10^{11}\) rad/s.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le champ magnétique était de 2.0 T, quelle serait la fréquence de Larmor en rad/s (en notation scientifique, ex: 1.23e11) ?

Question 3 : Déterminer le vecteur d'état \(|\psi(t)\rangle\)

Principe (le concept physique)

Le vecteur d'état contient toute l'information sur le système quantique. Son évolution est déterministe et gouvernée par l'équation de Schrödinger. Comme notre état initial n'est pas un état propre de l'énergie, il doit nécessairement évoluer dans le temps. On va calculer cette évolution en appliquant l'opérateur d'évolution temporelle sur l'état initial.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'état propre de \(\sigma_n\) pour la valeur +1, avec \(\vec{n} = (\sin\theta, 0, \cos\theta)\), est donné par :

|\psi(0)\rangle = \cos(\theta/2)|+\rangle + \sin(\theta/2)|-\rangle

L'opérateur d'évolution temporelle est \( \hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar} \). Comme \(\hat{H}\) est diagonal, son exponentielle est simple à calculer :

e^{-i\hat{H}t/\hbar} = \begin{pmatrix} e^{-iE_+t/\hbar} & 0 \\ 0 & e^{-iE_-t/\hbar} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-i\omega_L t/2} & 0 \\ 0 & e^{+i\omega_L t/2} \end{pmatrix}

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul de l'évolution temporelle peut sembler abstrait, mais il faut le voir comme une simple "rotation" dans un espace complexe. Chaque composante de l'état sur la base d'énergie tourne dans le plan complexe à une vitesse proportionnelle à son énergie. C'est la différence de vitesse entre ces rotations qui crée la dynamique observable.

Normes (la référence réglementaire)

Cette approche correspond à la "représentation de Schrödinger" de la mécanique quantique, où les opérateurs sont fixes et les vecteurs d'état évoluent dans le temps. Il existe une autre vision équivalente, la "représentation de Heisenberg", où les états sont fixes et les opérateurs évoluent.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'évolution d'un état quantique est donnée par :

|\psi(t)\rangle = \hat{U}(t) |\psi(0)\rangle = e^{-i\hat{H}t/\hbar} |\psi(0)\rangle

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le système est isolé et non perturbé entre l'instant initial et l'instant t. Le Hamiltonien est supposé constant sur cet intervalle.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Angle initial, \(\theta = 60^\circ\)
État initial, \(|\psi(0)\rangle = \cos(30^\circ)|+\rangle + \sin(30^\circ)|-\rangle = \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle + \frac{1}{2}|-\rangle\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Quand l'Hamiltonien est diagonal avec des énergies \(E_n\), l'évolution d'un état \(\sum c_n |n\rangle\) est simplement \(\sum c_n e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle\). Il suffit de multiplier chaque composante dans la base d'énergie par une phase correspondante. Pas besoin de calcul matriciel complexe.

Schéma (Avant les calculs)

État initial sur la sphère de Bloch

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique l'opérateur d'évolution \( \hat{U}(t) \) à l'état initial \( |\psi(0)\rangle \).

\begin{aligned} |\psi(t)\rangle &= \hat{U}(t) |\psi(0)\rangle \\ &= \begin{pmatrix} e^{-i\omega_L t/2} & 0 \\ 0 & e^{i\omega_L t/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) \end{pmatrix} \\ &= e^{-i\omega_L t/2}\cos(\theta/2)|+\rangle + e^{i\omega_L t/2}\sin(\theta/2)|-\rangle \end{aligned}

Avec \(\theta=60^\circ\):

|\psi(t)\rangle = \frac{\sqrt{3}}{2} e^{-i\omega_L t/2} |+\rangle + \frac{1}{2} e^{i\omega_L t/2} |-\rangle

Schéma (Après les calculs)

Évolution de l'état (rotation de phase)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le vecteur d'état est une superposition des états propres de l'énergie. Les coefficients de cette superposition ne changent pas en module (\(|\sqrt{3}/2|^2 + |1/2|^2 = 1\)), mais leur phase relative évolue dans le temps. C'est cette évolution de la phase relative qui est à l'origine de tous les phénomènes dynamiques, y compris la précession des valeurs moyennes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de se tromper dans les signes des exposants. L'état de plus haute énergie \(E_+\) acquiert une phase \(e^{-iE_+ t/\hbar}\) et celui de plus basse énergie \(E_-\) acquiert une phase \(e^{-iE_- t/\hbar}\). Assurez-vous d'attribuer la bonne énergie à chaque état de base.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'évolution temporelle d'un état quantique est unitaire (la norme est conservée).
Dans la base d'énergie, l'évolution ne change que les phases des composantes.
La phase de chaque composante tourne à une vitesse proportionnelle à son énergie.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'interférométrie atomique utilise ce principe. On place un atome dans une superposition d'états, on laisse les phases évoluer différemment (par exemple en appliquant un champ sur un seul chemin), puis on recombine les états. L'interférence qui en résulte est extrêmement sensible aux variations de phase et permet de construire des capteurs de gravité ou des horloges atomiques d'une précision inouïe.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le vecteur d'état à l'instant t est \(|\psi(t)\rangle = \frac{\sqrt{3}}{2} e^{-i\omega_L t/2} |+\rangle + \frac{1}{2} e^{i\omega_L t/2} |-\rangle\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Après un temps \(t = \pi / \omega_L\), quel est le vecteur d'état \(|\psi(t)\rangle\) ? (ex: (a)|+>+(b)|-> )

Question 4 : Calculer les valeurs moyennes des composantes du spin

Principe (le concept physique)

En mécanique quantique, on ne peut pas connaître simultanément toutes les composantes du spin. On peut cependant calculer leur valeur moyenne (ou espérance mathématique) si le système était préparé un grand nombre de fois dans le même état \(|\psi(t)\rangle\). Le calcul de ces valeurs moyennes \(\langle \hat{S}_i \rangle = \langle\psi(t)| \hat{S}_i |\psi(t)\rangle\) nous donnera un vecteur classique \(\langle \hat{\vec{S}} \rangle\) dont le comportement dynamique correspond à notre intuition de la précession.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La valeur moyenne d'une observable \(\hat{A}\) est le pont entre le formalisme abstrait et l'expérience. Elle représente la moyenne des résultats que l'on obtiendrait en mesurant \(\hat{A}\) sur un ensemble de systèmes tous préparés dans le même état \(|\psi\rangle\). Le théorème d'Ehrenfest montre que l'évolution temporelle de ces valeurs moyennes ressemble souvent aux équations du mouvement de la mécanique classique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici que la "magie" opère : l'évolution des phases complexes dans le vecteur d'état se traduit par une oscillation bien réelle des grandeurs mesurables. C'est le cœur de la dynamique quantique. Observez comment les termes en \(e^{i\omega t}\) se combinent pour donner des cosinus et des sinus, passant du monde complexe au monde réel.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la valeur moyenne \(\langle \hat{A} \rangle = \langle\psi| \hat{A} |\psi\rangle\) est une application directe du 4ème postulat de la mécanique quantique, qui définit comment extraire des prédictions numériques (les résultats de mesure) à partir du vecteur d'état.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise la formule \(\langle \hat{A} \rangle = \langle\psi| \hat{A} |\psi\rangle\). On aura besoin des représentations matricielles des opérateurs de spin et du vecteur d'état \(|\psi(t)\rangle\).

\hat{S}_x = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{S}_y = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{S}_z = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

|\psi(t)\rangle \Rightarrow \begin{pmatrix} c_+(t) \\ c_-(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} e^{-i\omega_L t/2} \\ \frac{1}{2} e^{i\omega_L t/2} \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \langle\psi(t)| \Rightarrow \begin{pmatrix} c_+^*(t) & c_-^*(t) \end{pmatrix}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les opérateurs de spin obéissent aux relations de commutation standards (\([\hat{S}_x, \hat{S}_y] = i\hbar \hat{S}_z\) et permutations cycliques), ce qui est implicite dans l'utilisation des matrices de Pauli.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Vecteur d'état \(|\psi(t)\rangle\) de la question 3
Opérateurs de spin \(\hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour calculer \(\langle S_x \rangle\), on a besoin de \(c_+^*c_- + c_-^*c_+\), ce qui est égal à \(2 \text{Re}(c_+^*c_-)\). Pour \(\langle S_y \rangle\), on a besoin de \(-ic_+^*c_- + ic_-^*c_+\), ce qui est égal à \(2 \text{Im}(c_+^*c_-)\). Il suffit donc de calculer une seule fois le produit \(c_+^*c_-\) pour obtenir les deux résultats.

Schéma (Avant les calculs)

Projection sur les Axes

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de \(\langle S_z \rangle(t)\):

\begin{aligned} \langle S_z \rangle(t) &= \langle\psi(t)| \hat{S}_z |\psi(t)\rangle \\ &= \frac{\hbar}{2} \left( |c_+(t)|^2 - |c_-(t)|^2 \right) \\ &= \frac{\hbar}{2} \left( \left|\frac{\sqrt{3}}{2}\right|^2 - \left|\frac{1}{2}\right|^2 \right) \\ &= \frac{\hbar}{2} \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) \\ &= \frac{\hbar}{4} \end{aligned}

Calcul de \(\langle S_x \rangle(t)\):

\begin{aligned} \langle S_x \rangle(t) &= \langle\psi(t)| \hat{S}_x |\psi(t)\rangle \\ &= \frac{\hbar}{2} (c_+^*(t) c_-(t) + c_-^*(t) c_+(t)) \\ &= \frac{\hbar}{2} \left( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}e^{i\omega_L t/2}\right) \left(\frac{1}{2}e^{i\omega_L t/2}\right) + \left(\frac{1}{2}e^{-i\omega_L t/2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\omega_L t/2}\right) \right) \\ &= \frac{\hbar\sqrt{3}}{8} (e^{i\omega_L t} + e^{-i\omega_L t}) \\ &= \frac{\hbar\sqrt{3}}{4}\cos(\omega_L t) \end{aligned}

Calcul de \(\langle S_y \rangle(t)\):

\begin{aligned} \langle S_y \rangle(t) &= \langle\psi(t)| \hat{S}_y |\psi(t)\rangle \\ &= \frac{\hbar}{2} (-i c_+^*(t) c_-(t) + i c_-^*(t) c_+(t)) \\ &= \frac{i\hbar}{2} (c_-^*(t) c_+(t) - c_+^*(t) c_-(t)) \\ &= \frac{i\hbar\sqrt{3}}{8} (e^{-i\omega_L t} - e^{i\omega_L t}) \\ &= \frac{i\hbar\sqrt{3}}{8}(-2i\sin(\omega_L t)) \\ &= \frac{\hbar\sqrt{3}}{4}\sin(\omega_L t) \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Précession du vecteur de spin moyen

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La composante \(\langle S_z \rangle\) est constante, tandis que les composantes \(\langle S_x \rangle\) et \(\langle S_y \rangle\) oscillent avec la fréquence de Larmor \(\omega_L\). Le vecteur \(\langle\vec{S}\rangle(t)\) a une composante z fixe et sa projection dans le plan (x,y) tourne à la vitesse angulaire \(\omega_L\). C'est exactement le mouvement de précession d'un vecteur autour de l'axe z.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre le vecteur d'état \(|\psi(t)\rangle\) (un objet mathématique abstrait dans un espace de Hilbert) et le vecteur des valeurs moyennes \(\langle\vec{S}\rangle(t)\) (un vrai vecteur dans l'espace 3D). Le premier vit dans un espace à 2 dimensions complexes, le second dans notre espace physique à 3 dimensions réelles.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La valeur moyenne d'un opérateur est un nombre réel qui représente le résultat moyen d'une mesure.
L'évolution de la phase relative dans \(|\psi(t)\rangle\) se traduit par une précession des valeurs moyennes \(\langle S_x \rangle\) et \(\langle S_y \rangle\).
La composante du spin parallèle au champ est conservée (\(\langle S_z \rangle\) = constante).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La technique du "spin echo" en IRM est une astuce brillante qui manipule cette précession. Après un certain temps, les spins se déphasent à cause des inhomogénéités du champ. On applique alors une impulsion radiofréquence qui "inverse" leur précession. Les spins qui étaient en retard se retrouvent en avance, et vice-versa. Ils se rephasent alors tous au même moment, produisant un signal (un "écho") très fort et net.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les valeurs moyennes sont : \(\langle S_x \rangle(t) = \frac{\hbar\sqrt{3}}{4}\cos(\omega_L t)\), \(\langle S_y \rangle(t) = \frac{\hbar\sqrt{3}}{4}\sin(\omega_L t)\), et \(\langle S_z \rangle(t) = \frac{\hbar}{4}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

À quel instant \(t > 0\) la valeur moyenne \(\langle S_y \rangle\) est-elle maximale pour la première fois ? (Réponse en fonction de \(\omega_L\))

Outil Interactif : Dynamique de la Précession

Modifiez le champ magnétique et l'angle initial pour voir leur influence sur la précession.

Paramètres d'Entrée

Champ Magnétique B₀ (T) 1.0 T

Angle Initial θ (degrés) 60 °

Résultats Clés

Fréquence de Larmor (GHz) -

Amplitude de précession \(\langle S_x \rangle_{\text{max}}\) -

Composante Z du spin \(\langle S_z \rangle\) -

Le Saviez-Vous ?

La précession de Larmor a été nommée d'après le physicien irlandais Joseph Larmor (1857-1942). Il a été le premier à la décrire en 1897 dans le cadre de l'électromagnétisme classique, pour expliquer le dédoublement des raies spectrales dans un champ magnétique (effet Zeeman). La mécanique quantique a ensuite montré que ce phénomène s'appliquait au spin, une propriété purement quantique.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le spin tourne-t-il "vraiment" comme une toupie ?

Pas exactement. L'analogie avec la toupie est utile mais limitée. Le spin est une propriété quantique sans équivalent classique. On ne peut pas "voir" le vecteur de spin tourner. Ce qui tourne, c'est la valeur moyenne, ou l'espérance mathématique, de ses composantes. La précession de Larmor décrit l'évolution de la probabilité de mesurer le spin dans une certaine direction.

Que se passerait-il si l'état initial était "spin up" selon z ?

Si l'état initial était \(|\psi(0)\rangle = |+\rangle\), il s'agirait d'un état propre de l'Hamiltonien. Son évolution temporelle ne serait qu'une phase globale : \(|\psi(t)\rangle = e^{-i\omega_L t/2}|+\rangle\). Cette phase n'est pas observable, et les valeurs moyennes \(\langle S_x \rangle\), \(\langle S_y \rangle\) et \(\langle S_z \rangle\) seraient constantes. Il n'y aurait pas de précession observable.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double l'intensité du champ magnétique \(B_0\), la fréquence de Larmor...

est divisée par deux.
reste inchangée.
double.

2. Un état de spin est préparé avec son orientation le long de l'axe x. Immédiatement après, on mesure la composante \(S_z\). Quelle est la probabilité de trouver \(+\hbar/2\)?

50%
100%
0%

Spin: Moment cinétique intrinsèque d'une particule. C'est une propriété quantique sans analogue classique direct, qui donne à la particule un moment magnétique.
Hamiltonien: Opérateur correspondant à l'énergie totale d'un système quantique. Ses valeurs propres sont les niveaux d'énergie possibles du système.
Précession de Larmor: Précession (rotation conique) du moment magnétique d'un objet autour d'un champ magnétique externe. La fréquence angulaire de cette précession est la fréquence de Larmor.

Précession de Larmor d’un Spin

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Configuration initiale du spin dans le champ magnétique

Questions à traiter

Les bases de la dynamique du spin

Correction : Précession de Larmor d'un Spin

Question 1 : Écrire l'opérateur Hamiltonien

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces(Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Interaction Spin-Champ

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Niveaux d'Énergie Zeeman

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Question 2 : Calculer la fréquence angulaire de Larmor

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces(Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Relation entre B et ω

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Fréquence Calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Question 3 : Déterminer le vecteur d'état \(|\psi(t)\rangle\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces(Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

État initial sur la sphère de Bloch

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Évolution de l'état (rotation de phase)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Question 4 : Calculer les valeurs moyennes des composantes du spin

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces(Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)