Réflexion dans un Système Optique Composé

Exercice: Système Optique à Deux Miroirs

Réflexion dans un Système Optique Composé

Contexte : Le Télescope de CassegrainUn type de télescope réflecteur qui utilise un miroir primaire concave parabolique et un miroir secondaire convexe hyperbolique..

Cet exercice explore la formation d'images dans un système optique composé de deux miroirs sphériques, similaire à la configuration d'un télescope de Cassegrain. Nous allons déterminer la position, la nature et la taille de l'image finale formée par ce système. Nous étudierons comment l'image formée par le premier miroir (le miroir objectif) sert d'objet pour le second miroir (le miroir secondaire). La maîtrise de ce "chaînage" d'images est fondamentale en optique instrumentale.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la formule de conjugaisonAussi appelée relation de Descartes, elle relie la position de l'objet (p), la position de l'image (q) et la distance focale (f) d'un système optique centré : 1/p + 1/q = 1/f. et la formule du grandissementLe rapport (M) de la taille de l'image (A'B') à la taille de l'objet (AB). M = A'B' / AB = -q / p. de manière séquentielle pour résoudre un problème à plusieurs composants.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la formule de conjugaison de Descartes pour un miroir concave et convexe.
Calculer le grandissement transversal pour chaque miroir.
Comprendre et utiliser le concept d'objet virtuelUne image formée par un système optique précédent qui se situe *derrière* le composant optique suivant. Sa position algébrique 'p' est négative..
Déterminer le grandissement total d'un système optique composé.
Caractériser une image finale (réelle/virtuelle, droite/inversée, agrandie/réduite).

Données de l'étude

Un objet (O) est placé devant un système de deux miroirs coaxiaux (partageant le même axe optique). Le premier miroir (M1), à gauche, est concave. Le second miroir (M2), à droite, est convexe.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Distance focale de M1 (concave)	$f_1 = +20 \text{ cm}$
Distance focale de M2 (convexe)	$f_2 = -10 \text{ cm}$
Position de l'objet O (par rapport à M1)	$p_1 = +30 \text{ cm}$
Distance entre M1 et M2	$d = 15 \text{ cm}$

Schéma du Système Optique

Questions à traiter

Déterminer la position $q_1$ de l'image I1 formée par le premier miroir (M1).
Calculer le grandissement $M_1$ et déterminer la nature de l'image I1 (réelle/virtuelle, droite/inversée, agrandie/réduite).
Déterminer la position $q_2$ de l'image finale I2 formée par le second miroir (M2).
Calculer le grandissement transversal $M_2$ introduit par le miroir M2.
Calculer le grandissement total $M_{\text{tot}}$ du système et décrire la nature complète de l'image finale I2.

Les bases sur l'Optique Géométrique

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux formules fondamentales pour les miroirs sphériques, dans l'approximation de Gauss.

1. Formule de Conjugaison de Descartes
Cette formule relie la position algébrique de l'objet ($p$), la position algébrique de l'image ($q$) et la distance focale algébrique ($f$) du miroir. Les positions sont mesurées depuis le sommet (S) du miroir. \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f} \] Conventions de signe :

$p > 0$ pour un objet réel (devant le miroir).
$p < 0$ pour un objet virtuel (derrière le miroir).
$q > 0$ pour une image réelle (devant le miroir).
$q < 0$ pour une image virtuelle (derrière le miroir).
$f > 0$ pour un miroir concave ($f = R/2$, avec $R > 0$).
$f < 0$ pour un miroir convexe ($f = R/2$, avec $R < 0$).

2. Formule du Grandissement Transversal (M)
Le grandissement est le rapport de la taille de l'image sur la taille de l'objet. Il est aussi lié aux positions. \[ M = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = -\frac{q}{p} \] Interprétation :

Si $M < 0$, l'image est inversée (renversée).
Si $M > 0$, l'image est droite (non-inversée).
Si $|M| > 1$, l'image est agrandie.
Si $|M| < 1$, l'image est réduite.

Correction : Réflexion dans un Système Optique Composé

Question 1 : Déterminer la position $q_1$ de l'image I1 (par M1)

Principe

Nous isolons le premier miroir (M1) et l'objet (O). Nous appliquons simplement la formule de conjugaison de Descartes pour trouver la position de la première image, I1.

Mini-Cours

La formule de conjugaison $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$ est l'outil principal. Nous devons l'réarranger pour isoler le terme que nous cherchons, ici $\frac{1}{q_1}$.

Remarque Pédagogique

La première étape dans un système composé est toujours de traiter le premier élément optique comme s'il était seul au monde. Ne vous préoccupez pas de M2 pour l'instant.

Normes

Nous utilisons la convention de signe algébrique (convention de Descartes) : l'axe optique est orienté. Les distances sont mesurées algébriquement depuis le sommet du miroir. $f > 0$ pour un miroir concave.

Formule(s)

Formule de conjugaison réarrangée

\frac{1}{q_1} = \frac{1}{f_1} - \frac{1}{p_1}

Hypothèses

Nous sommes dans les conditions de l'approximation de Gauss : les rayons lumineux sont paraxiaux (proches de l'axe et peu inclinés).
L'objet O est réel, donc $p_1 = +30 \text{ cm} > 0$.
Le miroir M1 est concave, donc $f_1 = +20 \text{ cm} > 0$.

Donnée(s)

D'après l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Position de l'Objet	$p_1$	+30	cm
Distance Focale de M1	$f_1$	+20	cm

Astuces

Avant de calculer, estimez le résultat. L'objet est à $p_1=30 \text{ cm}$. Le foyer est à $f_1=20 \text{ cm}$ et le centre de courbure à $C_1=2f_1=40 \text{ cm}$. L'objet est entre C et F. L'image I1 devrait être réelle ($q_1 > 0$), inversée et au-delà de C ($q_1 > 40 \text{ cm}$).

Schéma (Avant les calculs)

Construction géométrique de l'image I1. On trace deux rayons : 1. Le rayon parallèle à l'axe, qui repart en passant par le foyer F1. 2. Le rayon passant par le foyer F1, qui repart parallèle à l'axe. L'intersection donne I1.

Construction de l'image I1 par M1

Calcul(s)

Nous commençons par appliquer la formule de conjugaison pour le miroir M1, que nous avons réarrangée pour isoler $\frac{1}{q_1}$.

Étape 1 : Calcul de $\frac{1}{q_1}$

\begin{aligned} \frac{1}{q_1} &= \frac{1}{20} - \frac{1}{30} \end{aligned}

On met au même dénominateur (60) :

\begin{aligned} \frac{1}{q_1} &= \frac{3}{60} - \frac{2}{60} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{1}{q_1} &= \frac{1}{60} \end{aligned}

Maintenant que nous avons la valeur de $\frac{1}{q_1}$, il faut inverser la fraction pour trouver $q_1$. C'est une étape simple mais qu'il ne faut pas oublier.

Étape 2 : Inversion pour trouver $q_1$

\text{Si } \frac{1}{q_1} = \frac{1}{60}, \text{ alors } q_1 = \frac{60}{1} = 60 \text{ cm}

Le calcul nous donne $q_1 = +60 \text{ cm}$. Le signe positif confirme que l'image est réelle.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme la construction géométrique. L'image I1 est réelle et se forme à 60 cm du miroir M1.

Position de l'Image I1

Réflexions

Le résultat $q_1 = +60 \text{ cm}$ est positif. Cela signifie que l'image I1 est réelle. Elle se forme "devant" le miroir M1 (du même côté que la lumière réfléchie), à 60 cm de son sommet. Notre estimation (q1 > 40 cm) était correcte.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une faute de signe dans le calcul $\frac{1}{20} - \frac{1}{30}$. Assurez-vous de trouver un dénominateur commun (60) et de ne pas inverser les termes. Une autre erreur est d'oublier d'inverser le résultat final (trouver $\frac{1}{60}$ et dire que $q_1 = 1/60$).

Points à retenir

Formule de Descartes : $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$
Signes : $p_1 > 0$ (réel), $f_1 > 0$ (concave) $\Rightarrow$ $q_1 > 0$ (image réelle).

Le saviez-vous ?

Les objets astronomiques (étoiles, galaxies) sont si éloignés qu'on les considère "à l'infini" ($p_1 \approx \infty$). Pour eux, $\frac{1}{\infty} = 0$, donc $\frac{1}{q_1} = \frac{1}{f_1}$, et $q_1 = f_1$. L'image se forme directement au plan focal.

FAQ

Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

La position de l'image I1 est $q_1 = +60 \text{ cm}$ (réelle).

A vous de jouer

Si l'objet était placé au centre de courbure C1 ($p_1 = 2f_1 = 40 \text{ cm}$), où se formerait l'image I1 ? (en cm)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept : Conjugaison miroir concave.
Formule : $\frac{1}{q_1} = \frac{1}{f_1} - \frac{1}{p_1}$
Résultat : $q_1 = +60 \text{ cm}$ (Image réelle).

Question 2 : Calculer le grandissement $M_1$ et la nature de I1

Principe

Le grandissement transversal $M_1$ nous renseigne sur la taille et l'orientation de l'image I1 par rapport à l'objet O. On utilise la formule du grandissement.

Mini-Cours

Le grandissement $M$ est un nombre sans dimension. Sa valeur absolue $|M|$ indique le rapport de taille (si $|M| > 1$, l'image est agrandie). Son signe indique l'orientation : si $M < 0$, l'image est inversée par rapport à l'objet ; si $M > 0$, elle est droite.

Remarque Pédagogique

Pour un miroir concave, si l'objet est réel et placé avant le centre de courbure C, l'image est réelle, inversée et réduite. Si l'objet est entre C et F (notre cas, $20 < 30 < 40$), l'image est réelle, inversée et agrandie. On s'attend à $M_1 < -1$.

Normes

La formule $M = -q/p$ est une convention standard en optique géométrique (convention de Descartes). Le signe "moins" est essentiel.

Formule(s)

Formule du grandissement :

M_1 = -\frac{q_1}{p_1}

Hypothèses

La formule du grandissement est également dérivée de l'approximation de Gauss (rayons paraxiaux).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Position de l'Objet	$p_1$	+30	cm
Position de l'Image I1	$q_1$	+60	cm

Astuces

Vérifiez la cohérence. Nous avons trouvé $q_1 = +60 \text{ cm}$ (image réelle). Une image réelle formée par un miroir concave à partir d'un objet réel est (presque) toujours inversée. Nous nous attendons donc à un $M_1$ négatif.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de la Q1 (après calcul) montrait bien une image I1 plus grande que O et pointant vers le bas.

Comparaison Objet O et Image I1

Calcul(s)

Nous appliquons directement la formule du grandissement en utilisant les valeurs de $q_1$ (calculée à la Q1) et $p_1$ (donnée).

Calcul de $M_1$

\begin{aligned} M_1 &= -\frac{q_1}{p_1} \\ M_1 &= -\frac{60 \text{ cm}}{30 \text{ cm}} \\ M_1 &= -2 \end{aligned}

Le résultat est un nombre sans dimension, $M_1 = -2$. Ce résultat va nous permettre de décrire l'image.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme l'observation du schéma : l'image est 2 fois plus grande que l'objet et sa flèche pointe dans la direction opposée.

Confirmation du Grandissement M1

Réflexions

Nous analysons le signe et la valeur de $M_1$:

$M_1 = -2$ : Le signe est négatif ($-$), donc l'image I1 est inversée (ou "renversée") par rapport à l'objet O.
$|M_1| = 2$ : La valeur absolue est supérieure à 1, donc l'image est agrandie (deux fois plus grande que l'objet).

En combinant avec Q1 ($q_1 > 0$), I1 est une image réelle, inversée et agrandie. Notre estimation ($M_1 < -1$) était correcte.

Points de vigilance

N'oubliez jamais le signe "moins" ($-$) dans la formule du grandissement $M = -q/p$. C'est une source d'erreur fréquente qui inverse la nature (droite/inversée) de l'image.

Points à retenir

La formule du grandissement est $M = -q/p$.
Un signe $M < 0$ signifie que l'image est inversée.

Le saviez-vous ?

Dans les télescopes astronomiques, l'image intermédiaire (au foyer) est presque toujours inversée. Cela n'a aucune importance pour l'observation d'étoiles (points) ou de galaxies (symétriques), mais pour une lunette terrestre, on doit ajouter un système redresseur (prismes ou lentilles) pour remettre l'image à l'endroit !

FAQ

Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

Le grandissement est $M_1 = -2$. L'image I1 est réelle, inversée et agrandie.

A vous de jouer

Pour le cas de la question précédente ($p_1 = 40 \text{ cm}$ et $q_1 = 40 \text{ cm}$), quel serait le grandissement $M_1$ ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept : Grandissement miroir concave.
Formule : $M_1 = -q_1/p_1$.
Résultat : $M_1 = -2$ (Image inversée et agrandie).

Question 3 : Déterminer la position $q_2$ de l'image finale I2 (par M2)

Principe

L'image I1, formée par M1, devient l'objet pour le miroir M2. Nous devons d'abord trouver la position de cet objet (I1) par rapport à M2, ce sera $p_2$. Ensuite, nous appliquons à nouveau la formule de Descartes, mais pour M2.

Mini-Cours

C'est le principe du "chaînage" en optique. L'image formée par un composant sert d'objet pour le composant suivant. La principale difficulté est de calculer la position de cet objet intermédiaire ($p_2$) par rapport au nouveau composant (M2).

Remarque Pédagogique

Point Clé : C'est l'étape la plus importante. La distance $p_2$ n'est PAS $q_1$. C'est la distance entre I1 et M2. Il faut utiliser la distance $d$ entre les miroirs.

Normes

La convention de signe pour la position $p_2$ est cruciale. Si M1 est à l'origine (x=0), M2 est à $x=d$. I1 est à la position $x=q_1$. La distance de M2 à I1 est $p_2 = d - q_1$. C'est la distance algébrique de l'objet I1 par rapport au sommet de M2.

Formule(s)

Formules nécessaires :

Position de l'objet pour M2

\[ p_2 = d - q_1 \]

Formule de conjugaison pour M2

\frac{1}{q_2} = \frac{1}{f_2} - \frac{1}{p_2}

Hypothèses

L'image I1 est considérée comme un objet pour M2. Le miroir M2 est dans les conditions de Gauss. Le miroir M2 est convexe, donc sa distance focale est négative, $f_2 = -10 \text{ cm} < 0$.

Donnée(s)

De l'énoncé et des questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance M1-M2	$d$	15	cm
Position de I1 (depuis M1)	$q_1$	+60	cm
Distance Focale de M2	$f_2$	-10	cm

Astuces

Faites un schéma sur l'axe optique pour visualiser les positions. M1 est à la position 0. M2 est à $d=15$. I1 est à $q_1=60$. La distance de I1 à M2 est bien $15 - 60$.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des positions relatives de M1, M2 et I1 sur l'axe. I1 est loin derrière M2, c'est donc un objet virtuel pour M2.

Position de I1 (Objet pour M2)

Calcul(s)

Le calcul se fait en deux temps : trouver la position de l'objet I1 par rapport à M2 ($p_2$), puis utiliser ce $p_2$ pour trouver l'image finale $q_2$.

Étape 1 : Calcul de $p_2$

\begin{aligned} p_2 &= d - q_1 \\ p_2 &= 15 \text{ cm} - 60 \text{ cm} \\ p_2 &= -45 \text{ cm} \end{aligned}

Le signe négatif ($p_2 = -45 \text{ cm}$) est crucial. Il indique que I1 est un objet virtuel pour M2, car il se trouve à 45 cm *derrière* M2.

Étape 2 : Calcul de $q_2$

\begin{aligned} \frac{1}{q_2} &= \frac{1}{-10} - \frac{1}{-45} \\ \text{Attention aux signes (moins par moins = plus) :} \\ \frac{1}{q_2} &= -\frac{1}{10} + \frac{1}{45} \end{aligned}

On met au même dénominateur (90) :

\begin{aligned} \frac{1}{q_2} &= -\frac{9}{90} + \frac{2}{90} \\ \frac{1}{q_2} &= -\frac{7}{90} \end{aligned}

Encore une fois, nous devons inverser la fraction pour obtenir le résultat final pour $q_2$.

Étape 3 : Inversion pour $q_2$

\text{Si } \frac{1}{q_2} = -\frac{7}{90}, \text{ alors } q_2 = -\frac{90}{7} \approx -12.86 \text{ cm}

Le résultat $q_2$ est négatif, ce qui signifie que l'image finale I2 est virtuelle.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat $q_2 \approx -12.86 \text{ cm}$ signifie que l'image I2 se forme 12.86 cm "derrière" M2 (c'est-à-dire à gauche de M2, entre M1 et M2).

Position de l'Image Finale I2

Réflexions

Le signe de $p_2$ est négatif ($p_2 = -45 \text{ cm}$). Cela signifie que I1 est un objet virtuel pour M2. Il est situé "derrière" M2 du point de vue de la lumière incidente sur M2.

Le signe de $q_2$ est négatif ($q_2 \approx -12.86 \text{ cm}$). Cela signifie que l'image finale I2 est virtuelle. Elle se forme à 12.86 cm "derrière" M2 (donc à gauche de M2).

Points de vigilance

L'erreur la plus grave est d'oublier de calculer $p_2$ et de prendre $p_2 = q_1$. Le calcul des positions relatives est crucial.

Attention aux signes dans le calcul final : $\frac{1}{-10} - \frac{1}{-45}$ devient bien $-\frac{1}{10} + \frac{1}{45}$.

Points à retenir

Le concept d'objet virtuel ($p_2 < 0$) est essentiel pour les systèmes composés.
La position d'un objet pour l'élément N se calcule par rapport à la position de l'élément N.

Le saviez-vous ?

Le miroir secondaire convexe du télescope Cassegrain intercepte les rayons *avant* qu'ils ne convergent au foyer de M1 (f1). L'objet I1 est donc virtuel. Cela permet de "replier" le chemin optique et de raccourcir la longueur physique du télescope tout en conservant une longue distance focale.

FAQ

Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

La position de l'image finale I2 est $q_2 = -90/7 \text{ cm} \approx -12.86 \text{ cm}$ (virtuelle).

A vous de jouer

Si la séparation était $d = 10 \text{ cm}$ (au lieu de 15), on aurait $p_2 = d - q_1 = 10 - 60 = -50 \text{ cm}$. Quelle serait la nouvelle position $q_2$ ? (en cm)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept : Objet Virtuel ($p_2 = d - q_1$).
Formule : $\frac{1}{q_2} = \frac{1}{f_2} - \frac{1}{p_2}$
Résultat : $q_2 = -90/7 \text{ cm}$ (Image virtuelle).

Question 4 : Calculer le grandissement transversal $M_2$

Principe

Comme pour la question 2, nous appliquons la formule du grandissement, mais cette fois pour le miroir M2, en utilisant les positions $p_2$ et $q_2$ que nous venons de calculer.

Mini-Cours

La formule du grandissement $M = -q/p$ reste valide que les objets ou les images soient réels ou virtuels. Il suffit d'appliquer rigoureusement les valeurs algébriques (avec leurs signes) de $p$ et $q$.

Remarque Pédagogique

Un miroir convexe ($f_2 < 0$) donne toujours une image droite, virtuelle et réduite *d'un objet réel*. Ici, l'objet est *virtuel* ($p_2 < 0$), le résultat est donc différent : l'image est inversée par rapport à cet objet virtuel.

Normes

La convention de signe $M = -q/p$ est universelle pour les miroirs dans l'approximation de Gauss.

Formule(s)

Formule du grandissement pour M2 :

M_2 = -\frac{q_2}{p_2}

Hypothèses

Nous restons dans l'approximation paraxiale.

Donnée(s)

Des calculs de la Question 3 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Position Objet pour M2	$p_2$	-45	cm
Position Image I2	$q_2$	-90/7	cm

Astuces

Il est préférable de garder les fractions ($-90/7$) pour le calcul afin d'éviter les erreurs d'arrondi. Le calcul devient beaucoup plus simple.

Schéma (Avant les calculs)

L'objet I1 est virtuel (situé à x=60) et inversé (M1=-2). L'image I2 est virtuelle (située à x $\approx$ 2.14). On s'attend à ce qu'elle soit inversée par rapport à I1 (M2 < 0).

Comparaison Objet I1 et Image I2

Calcul(s)

Nous appliquons la formule du grandissement pour M2. Il faut être très attentif aux signes de $q_2$ et $p_2$, qui sont tous les deux négatifs.

Calcul de $M_2$

\begin{aligned} \\ M_2 &= - \frac{(-90/7)}{(-45)} \end{aligned}

Les trois signes 'moins' donnent un 'moins' :

\begin{aligned} M_2 &= - \left( \frac{90/7}{45} \right) \end{aligned}

On simplifie (diviser par 45 revient à multiplier par 1/45) :

\begin{aligned} M_2 &= - \left( \frac{90}{7} \times \frac{1}{45} \right) \end{aligned}

On réordonne pour simplifier 90/45 :

\begin{aligned} M_2 &= - \left( \frac{90}{45} \times \frac{1}{7} \right) \\ M_2 &= - \left( 2 \times \frac{1}{7} \right) \\ M_2 &= -\frac{2}{7} \approx -0.286 \end{aligned}

Le grandissement $M_2$ est donc négatif et vaut -2/7.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme l'analyse. L'objet I1, qui était inversé (flèche vers le bas), est transformé en une image I2 inversée *par rapport à I1* (donc flèche vers le haut). L'image I2 est également réduite par rapport à I1.

Confirmation du Grandissement M2

Réflexions

Le grandissement $M_2 = -2/7$ est négatif. Cela signifie que l'image I2 est inversée par rapport à l'objet I1.

Points de vigilance

La gestion des signes est primordiale. Nous avons trois signes "moins" dans le calcul : $M_2 = - \frac{q_2}{p_2} = - \frac{(-90/7)}{(-45)}$. Le résultat final est bien négatif.

Points à retenir

La formule $M = -q/p$ s'applique aussi aux objets et images virtuels.

Le saviez-vous ?

Les miroirs convexes sont utilisés dans les rétroviseurs côté passager des voitures. Ils offrent un champ de vision plus large, mais les images sont réduites ($|M| < 1$) et virtuelles. C'est pourquoi il est écrit "Objects in mirror are closer than they appear".

FAQ

Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

Le grandissement du miroir M2 est $M_2 = -2/7 \approx -0.286$.

A vous de jouer

Pour le cas $d = 10 \text{ cm}$, on avait $p_2 = 10-60 = -50 \text{ cm}$ et $q_2 = -12.5 \text{ cm}$. Calculez $M_2$.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept : Grandissement avec objet virtuel.
Formule : $M_2 = -q_2/p_2$.
Résultat : $M_2 = -2/7$ (Image I2 inversée par rapport à I1).

Question 5 : Calculer le grandissement total $M_{\text{tot}}$ et la nature de I2

Principe

Le grandissement total d'un système optique composé est simplement le produit des grandissements de chaque élément qui le compose.

Mini-Cours

Si l'image I1 est $M_1$ fois plus grande que O, et que l'image I2 est $M_2$ fois plus grande que I1, alors I2 est logiquement $M_1 \times M_2$ fois plus grande que O. Les grandissements se multiplient.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape de synthèse. Nous combinons tous nos résultats ($q_2$ de Q3 et $M_{\text{tot}}$ de Q5) pour décrire l'image finale : 1. Position (Réelle/Virtuelle) 2. Orientation (Droite/Inversée) 3. Taille (Agrandie/Réduite).

Normes

La multiplication des grandissements ($M_{\text{tot}} = M_1 \times M_2 \times ... \times M_n$) est une propriété fondamentale des systèmes optiques centrés (coaxiaux).

Formule(s)

Formule du grandissement total :

M_{\text{tot}} = M_1 \times M_2

Hypothèses

Le système est centré (les deux miroirs partagent le même axe optique).

Donnée(s)

Des calculs des Questions 2 et 4 :

Paramètre	Symbole	Valeur
Grandissement M1	$M_1$	-2
Grandissement M2	$M_2$	-2/7

Astuces

Vérifiez les signes : un nombre négatif ($M_1 = -2$) multiplié par un nombre négatif ($M_2 = -2/7$) donne un résultat positif. C'est un excellent moyen de vérifier la cohérence de l'orientation finale.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation globale du trajet O $\rightarrow$ I1 $\rightarrow$ I2.

Chaînage des Grandissements

Calcul(s)

Nous multiplions simplement les deux grandissements partiels que nous avons trouvés.

Calcul de $M_{\text{tot}}$

\begin{aligned} \\ M_{\text{tot}} &= (-2) \times \left(-\frac{2}{7}\right) \end{aligned}

Moins par moins donne plus :

\begin{aligned} M_{\text{tot}} &= +\frac{4}{7} \approx +0.571 \end{aligned}

Le grandissement total du système est positif et vaut +4/7.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme l'analyse des signes : l'image finale est droite par rapport à l'objet.

Image Finale I2 vs Objet O

Réflexions

Analysons le résultat final du système complet :

Nature (Position) : En Q3, nous avons trouvé $q_2 < 0$. L'image finale I2 est virtuelle.
Nature (Orientation) : $M_{\text{tot}} = +4/7$. Le signe est positif ($+$). L'image finale I2 est droite (ou non-inversée) par rapport à l'objet initial O. (Logique : M1 inverse l'image, M2 l'inverse à nouveau. Inversé + Inversé = Droit).
Nature (Taille) : $|M_{\text{tot}}| = 4/7 \approx 0.571$. La valeur absolue est inférieure à 1. L'image finale I2 est réduite par rapport à l'objet O.

Conclusion : Le système forme une image finale virtuelle, droite et réduite.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'additionner les grandissements ($M_1 + M_2$). C'est incorrect. Les grandissements transversaux se Multiplient !

Points à retenir

Le grandissement total est le produit des grandissements individuels : $M_{\text{tot}} = M_1 \times M_2$.
La nature finale de l'image dépend de $q_2$ (réelle/virtuelle) et $M_{\text{tot}}$ (droite/inversée, agrandie/réduite).

Le saviez-vous ?

Pour les instruments visuels (télescopes, loupes, microscopes), le paramètre le plus important n'est pas le grandissement transversal ($M$), mais le grossissement (ou puissance), qui compare l'angle sous lequel on voit l'image à l'angle sous lequel on verrait l'objet à l'œil nu.

FAQ

Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

Le grandissement total est $M_{\text{tot}} = +4/7 \approx +0.571$. L'image finale est virtuelle, droite et réduite.

A vous de jouer

Si M1 avait un grandissement de $M_1 = -1.5$ et M2 un grandissement de $M_2 = +0.5$, quel serait $M_{\text{tot}}$ ? (L'image finale serait-elle droite ou inversée ?)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept : Grandissement total d'un système.
Formule : $M_{\text{tot}} = M_1 \times M_2$.
Résultat : $M_{\text{tot}} = +4/7$ (Image finale droite et réduite).

Outil Interactif : Simulateur d'Image Finale

Explorez comment la position de l'objet initial ($p_1$) et la séparation des miroirs ($d$) influencent la position finale de l'image ($q_2$) et le grandissement total ($M_{\text{tot}}$).

Paramètres d'Entrée

Position Objet $p_1$ (cm) 30 cm (F1=20, C1=40)

Séparation $d$ (cm) 15 cm

Résultats Clés (f1=20, f2=-10)

Position Image I1 ($q_1$) -

Position Objet I1 pour M2 ($p_2$) -

Position Image Finale ($q_2$) -

Grandissement Total ($M_{\text{tot}}$) -

Glossaire

Axe Optique: L'axe de symétrie principal d'un système optique centré. Dans notre cas, la ligne passant par les centres des deux miroirs.
Formule de Conjugaison: Aussi appelée relation de Descartes, elle relie la position de l'objet (p), la position de l'image (q) et la distance focale (f) : $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$.
Foyer (F): Point de l'axe optique où convergent les rayons lumineux venant de l'infini (pour un miroir concave) ou d'où ils semblent diverger (pour un miroir convexe).
Grandissement (M): Rapport de la taille de l'image à la taille de l'objet ($M = -q/p$). Il indique si l'image est droite ($M > 0$) ou inversée ($M < 0$), agrandie ($|M| > 1$) ou réduite ($|M| < 1$).
Image Réelle ($q > 0$): Image formée par la convergence réelle des rayons lumineux. Elle peut être projetée sur un écran. Pour un miroir, elle se forme "devant" (côté objet).
Image Virtuelle ($q < 0$): Image formée là où les rayons semblent diverger. Elle ne peut pas être projetée sur un écran. Pour un miroir, elle se forme "derrière" la surface.
Miroir Concave ($f > 0$): Miroir "creusé". Il fait converger les rayons lumineux parallèles.
Miroir Convexe ($f < 0$): Miroir "bombé". Il fait diverger les rayons lumineux parallèles.
Objet Réel ($p > 0$): Objet physique placé devant le système optique, d'où partent les rayons lumineux.
Objet Virtuel ($p < 0$): Situation où les rayons lumineux *convergent* vers un point *derrière* un composant optique, avant d'être interceptés par ce dernier. C'est l'image réelle d'un système précédent.

D’autres exercices d’optique et photonique:

Réflexion dans un Système Optique Composé

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma du Système Optique

Questions à traiter

Les bases sur l'Optique Géométrique

Correction : Réflexion dans un Système Optique Composé

Question 1 : Déterminer la position \(q_1\) de l'image I1 (par M1)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Construction de l'image I1 par M1

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Position de l'Image I1

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer le grandissement \(M_1\) et la nature de I1

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison Objet O et Image I1

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Confirmation du Grandissement M1

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Déterminer la position \(q_2\) de l'image finale I2 (par M2)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Position de I1 (Objet pour M2)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Position de l'Image Finale I2

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer le grandissement transversal \(M_2\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)