ÉTUDE DE PHYSIQUE

Réflexion dans un Système Optique Composé

Réflexion dans un Système Optique Composé en Optique et Photonique

Réflexion dans un Système Optique Composé

Comprendre les Systèmes Optiques Composés

En optique et photonique, de nombreux instruments (télescopes, microscopes, périscopes) utilisent des combinaisons de plusieurs éléments optiques tels que des lentilles et des miroirs pour former des images. L'analyse de tels systèmes se fait séquentiellement : l'image formée par le premier élément optique sert d'objet pour le second, et ainsi de suite. Les lois de la réflexion (pour les miroirs) et de la réfraction (pour les lentilles), ainsi que les formules de conjugaison et de grandissement, sont appliquées à chaque élément pour déterminer les caractéristiques de l'image finale. Cet exercice se concentre sur un système simple composé de deux miroirs.

Données du Problème

Un objet lumineux ponctuel O est placé sur l'axe optique principal d'un système de deux miroirs.

  • L'objet O est situé à \(d_{o1} = 20.0 \, \text{cm}\) devant un miroir plan M₁.
  • Un miroir sphérique concave M₂ est placé à une distance \(D = 50.0 \, \text{cm}\) du miroir plan M₁, de telle sorte que M₁ se trouve entre O et M₂. La face réfléchissante du miroir concave M₂ est tournée vers le miroir plan M₁.
  • La distance focale du miroir concave M₂ est \(f_2 = 15.0 \, \text{cm}\).

On considère les miroirs comme étant alignés sur le même axe optique. On utilise la convention de signe où les distances objet sont positives si l'objet est réel (devant le miroir) et les distances image sont positives si l'image est réelle (devant le miroir). Pour un miroir concave, la distance focale \(f\) est positive.

Schéma : Système Optique à Deux Miroirs
Axe Optique O M₁ O₁ M₂ F₂ O₂? do1=20cm D=50cm

Système optique composé d'un miroir plan M₁ et d'un miroir concave M₂.

Questions à traiter

  1. Déterminer la position (\(d_{i1}\)) de l'image O₁ formée par le miroir plan M₁, par rapport à M₁. Quelle est la nature de cette image (réelle ou virtuelle) ?
  2. L'image O₁ sert d'objet pour le miroir concave M₂. Calculer la distance objet (\(d_{o2}\)) de O₁ par rapport au miroir M₂. (Attention au sens et à la position relative des miroirs).
  3. En utilisant la formule de conjugaison des miroirs sphériques (\(1/f = 1/d_o + 1/d_i\)), calculer la position (\(d_{i2}\)) de l'image finale O₂ formée par le miroir concave M₂, par rapport à M₂.
  4. Calculer le grandissement transversal (\(m_1\)) dû au miroir plan M₁.
  5. Calculer le grandissement transversal (\(m_2\)) dû au miroir concave M₂.
  6. Calculer le grandissement transversal total (\(m_{\text{total}}\)) du système optique.
  7. Décrire la nature (réelle/virtuelle), l'orientation (droite/inversée par rapport à l'objet initial O) et la taille relative (agrandie/réduite/même taille par rapport à l'objet initial O) de l'image finale O₂.

Correction : Réflexion dans un Système Optique Composé

Question 1 : Image O₁ formée par le miroir plan M₁

Principe :

Un miroir plan forme une image virtuelle, droite (non inversée), de même taille que l'objet, et située symétriquement à l'objet par rapport au plan du miroir. La distance image (\(d_i\)) est égale en magnitude à la distance objet (\(d_o\)), mais avec un signe opposé selon la convention de signe (image virtuelle derrière le miroir).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ d_{i1} = -d_{o1} \]

(Avec la convention que les distances positives sont du côté où la lumière se propage réellement après réflexion/réfraction ; pour une image virtuelle derrière un miroir, \(d_i\) est négatif).

Données spécifiques :
  • \(d_{o1} = +20.0 \, \text{cm}\) (objet réel devant M₁)
Calcul :
\[ d_{i1} = -20.0 \, \text{cm} \]

L'image O₁ est située à \(20.0 \, \text{cm}\) derrière le miroir plan M₁. Puisque \(d_{i1}\) est négative, l'image O₁ est virtuelle.

Résultat Question 1 : L'image O₁ est située à \(d_{i1} = -20.0 \, \text{cm}\) par rapport à M₁ (donc \(20.0 \, \text{cm}\) derrière M₁). Elle est virtuelle.

Question 2 : Distance objet (\(d_{o2}\)) de O₁ par rapport à M₂

Principe :

L'image O₁ formée par M₁ sert d'objet pour M₂. Il faut calculer la distance entre O₁ et M₂.

O est à \(20 \, \text{cm}\) devant M₁. M₁ est à \(50 \, \text{cm}\) devant M₂. O₁ est à \(20 \, \text{cm}\) derrière M₁.

Donc, la distance de O₁ à M₂ est la distance de M₁ à M₂ PLUS la distance de O₁ à M₁ (puisque O₁ est du côté opposé à M₂ par rapport à M₁).

Calcul :

Distance de O₁ à M₂ : \(D + |d_{i1}|\) (ou \(D - d_{i1}\) si on respecte le signe de \(d_{i1}\) et que D est la distance entre les surfaces réfléchissantes dans la direction de la lumière, mais ici il est plus simple de raisonner sur les positions absolues).

O₁ est à \(20 \, \text{cm}\) derrière M₁. M₂ est à \(50 \, \text{cm}\) de M₁ (et O₁ est du côté de M₂ par rapport à M₁ si l'on considère la "ligne" des miroirs). Non, M₁ est entre O et M₂. O est à gauche de M₁. O₁ est à droite de M₁. M₂ est à droite de M₁.

Position de O : \(x_O = -20 \, \text{cm}\) (si M₁ est en \(x=0\))

Position de M₁ : \(x_{M1} = 0 \, \text{cm}\)

Position de O₁ : \(x_{O1} = +20 \, \text{cm}\) (derrière M₁)

Position de M₂ : \(x_{M2} = +50 \, \text{cm}\) (par rapport à M₁)

L'objet O₁ est donc situé à une distance \(d_{o2}\) de M₂. Les rayons provenant de O₁ (qui sont en fait les rayons réfléchis par M₁) se dirigent vers M₂. O₁ est un objet pour M₂.

Distance \(d_{o2} = x_{M2} - x_{O1}\) si O₁ est à gauche de M₂. Si O₁ est à droite de M₂ (objet virtuel pour M₂), la distance sera négative.

Ici, O₁ est en \(x_{O1} = +20 \, \text{cm}\) et M₂ est en \(x_{M2} = +50 \, \text{cm}\) (en prenant M₁ comme origine et l'axe positif vers M₂). O₁ est donc devant M₂.

\[ d_{o2} = D - |d_{i1}| \quad \text{ou plus rigoureusement, distance entre position de M₂ et position de O₁}\]

Distance de M₁ à M₂ = \(D = 50 \, \text{cm}\).

O₁ est à \(20 \, \text{cm}\) derrière M₁ (côté opposé à O). Donc, O₁ est à \(50 \, \text{cm} - 20 \, \text{cm} = 30 \, \text{cm}\) devant la face réfléchissante de M₂.

\[ d_{o2} = D - |d_{i1}| = 50.0 \, \text{cm} - 20.0 \, \text{cm} = 30.0 \, \text{cm} \]

Puisque O₁ est un objet réel pour M₂ (les rayons réfléchis par M₁ convergent vers M₂ comme s'ils provenaient de O₁), \(d_{o2}\) est positif.

Résultat Question 2 : La distance objet de O₁ par rapport à M₂ est \(d_{o2} = +30.0 \, \text{cm}\).

Question 3 : Position (\(d_{i2}\)) de l'image finale O₂

Principe :

On utilise la formule de conjugaison des miroirs sphériques : \(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{1}{f_2} = \frac{1}{d_{o2}} + \frac{1}{d_{i2}} \Rightarrow \frac{1}{d_{i2}} = \frac{1}{f_2} - \frac{1}{d_{o2}} \]
Données spécifiques :
  • \(f_2 = +15.0 \, \text{cm}\) (miroir concave)
  • \(d_{o2} = +30.0 \, \text{cm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{1}{d_{i2}} &= \frac{1}{15.0 \, \text{cm}} - \frac{1}{30.0 \, \text{cm}} \\ &= \frac{2}{30.0 \, \text{cm}} - \frac{1}{30.0 \, \text{cm}} \\ &= \frac{1}{30.0 \, \text{cm}} \end{aligned} \]
\[ d_{i2} = 30.0 \, \text{cm} \]

Puisque \(d_{i2}\) est positif, l'image O₂ est réelle et se forme à \(30.0 \, \text{cm}\) devant le miroir concave M₂.

Résultat Question 3 : La position de l'image finale O₂ est \(d_{i2} = +30.0 \, \text{cm}\) par rapport à M₂.

Question 4 : Grandissement transversal (\(m_1\)) dû à M₁

Principe :

Pour un miroir plan, le grandissement transversal est toujours de +1 (image droite et de même taille que l'objet).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ m_1 = -\frac{d_{i1}}{d_{o1}} \]
Données spécifiques :
  • \(d_{i1} = -20.0 \, \text{cm}\)
  • \(d_{o1} = +20.0 \, \text{cm}\)
Calcul :
\[ m_1 = -\frac{-20.0 \, \text{cm}}{20.0 \, \text{cm}} = -(-1) = +1 \]
Résultat Question 4 : Le grandissement transversal dû au miroir plan M₁ est \(m_1 = +1\).

Question 5 : Grandissement transversal (\(m_2\)) dû à M₂

Principe :

Pour un miroir sphérique, le grandissement transversal est donné par \(m = -d_i / d_o\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ m_2 = -\frac{d_{i2}}{d_{o2}} \]
Données spécifiques :
  • \(d_{i2} = +30.0 \, \text{cm}\)
  • \(d_{o2} = +30.0 \, \text{cm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} m_2 &= -\frac{30.0 \, \text{cm}}{30.0 \, \text{cm}} \\ &= -1 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le grandissement transversal dû au miroir concave M₂ est \(m_2 = -1\).

Question 6 : Grandissement transversal total (\(m_{\text{total}}\))

Principe :

Le grandissement total d'un système optique composé est le produit des grandissements de chaque élément.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ m_{\text{total}} = m_1 \times m_2 \]
Données spécifiques :
  • \(m_1 = +1\)
  • \(m_2 = -1\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} m_{\text{total}} &= (+1) \times (-1) \\ &= -1 \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le grandissement transversal total du système est \(m_{\text{total}} = -1\).

Question 7 : Nature, orientation et taille de l'image finale O₂

Principe :

La nature de l'image est déterminée par le signe de \(d_{i2}\). L'orientation et la taille relative sont déterminées par le grandissement total \(m_{\text{total}}\).

Analyse :
  • Nature : Puisque \(d_{i2} = +30.0 \, \text{cm}\) (positif), l'image finale O₂ est réelle. Elle se forme du côté où la lumière se réfléchit réellement.
  • Orientation : Puisque \(m_{\text{total}} = -1\) (négatif), l'image finale O₂ est inversée par rapport à l'objet initial O.
  • Taille relative : Puisque \(|m_{\text{total}}| = |-1| = 1\), l'image finale O₂ est de même taille que l'objet initial O.
Résultat Question 7 : L'image finale O₂ est réelle, inversée, et de même taille que l'objet initial O.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'image formée par un miroir plan est toujours :

2. Pour un miroir concave, si l'objet est placé au-delà du centre de courbure (C), l'image est :

3. La formule de conjugaison pour un miroir sphérique est :

4. Un grandissement transversal négatif (\(m < 0\)) signifie que l'image est :

Glossaire

Miroir Plan
Surface réfléchissante plane. Forme des images virtuelles, droites, de même taille que l'objet et symétriques par rapport au plan du miroir.
Miroir Sphérique
Miroir dont la surface réfléchissante est une portion de sphère. Peut être concave (creux) ou convexe (bombé).
Miroir Concave
Miroir sphérique dont la surface réfléchissante est creuse. Il est convergent pour les rayons lumineux.
Distance Focale (\(f\))
Distance entre le sommet du miroir (ou le centre optique d'une lentille) et son foyer principal. Pour un miroir sphérique, \(f = R/2\), où \(R\) est le rayon de courbure.
Formule de Conjugaison des Miroirs
Relation entre la distance objet (\(d_o\)), la distance image (\(d_i\)), et la distance focale (\(f\)) d'un miroir : \(1/f = 1/d_o + 1/d_i\).
Grandissement Transversal (\(m\))
Rapport de la taille de l'image à la taille de l'objet. Pour un miroir, \(m = -d_i / d_o\). Si \(m > 0\), l'image est droite ; si \(m < 0\), l'image est inversée. Si \(|m| > 1\), l'image est agrandie ; si \(|m| < 1\), l'image est réduite.
Image Réelle
Image formée par la convergence réelle des rayons lumineux. Elle peut être recueillie sur un écran. Pour un miroir, \(d_i > 0\).
Image Virtuelle
Image formée par le prolongement des rayons lumineux, qui ne convergent pas réellement. Elle ne peut pas être recueillie sur un écran. Pour un miroir, \(d_i < 0\).
Axe Optique Principal
Droite passant par le centre de courbure et le sommet d'un miroir sphérique (ou les centres de courbure d'une lentille).
Système Optique Composé
Système formé de plusieurs éléments optiques (lentilles, miroirs) successifs.
Réflexion dans un Système Optique Composé - Exercice d'Application

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