Trajectoire dans un Champ de Force Central

Principe :

Dans un mouvement à force centrale, la conservation du moment cinétique \(L\) permet de réduire le problème à un mouvement unidimensionnel en \(r\). On introduit un potentiel effectif qui inclut l'énergie potentielle réelle \(U(r)\) et un terme d'énergie cinétique de rotation, appelé barrière centrifuge.

Formule(s) utilisée(s) :

Expression :

En remplaçant \(U(r)\) par son expression :

On peut regrouper les termes en \(1/r^2\) :

Principe :

La formule de Binet relie la forme de la trajectoire \(r(\theta)\) à l'expression de la force centrale \(F(r)\). Elle s'exprime plus simplement avec la variable \(u = 1/r\). La force dérive du potentiel : \(F(r) = - \frac{dU}{dr}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Formule de Binet :

Calcul de la force :

Établissement de l'équation :

On remplace \(r\) par \(1/u\) dans l'expression de la force : \(F(1/u) = -ku^2 + 2\beta u^3\). On injecte ceci dans la formule de Binet :

En réarrangeant les termes, on obtient :

Ceci est bien l'équation d'un oscillateur harmonique (\(\ddot{x} + \omega^2 x = C\)) où la variable est \(u\) et la "dérivation temporelle" est une dérivation par rapport à \(\theta\).

Principe :

L'équation est de la forme \(\ddot{x} + \omega^2 x = C\). La solution générale est la somme d'une solution de l'équation homogène (\(A\cos(\omega t + \phi)\)) et d'une solution particulière (la constante \(C/\omega^2\)).

Résolution :

Posons \(\gamma^2 = 1 + \frac{2m\beta}{L^2}\) et \(C = \frac{mk}{L^2}\). L'équation devient : \(\frac{d^2u}{d\theta^2} + \gamma^2 u = C\).

• Solution particulière : \(u_p = C/\gamma^2\).
• Solution de l'équation homogène : \(u_h(\theta) = A \cos(\gamma\theta + \phi_0)\), où A et \(\phi_0\) sont des constantes d'intégration.

La solution générale est donc :

En choisissant l'axe des \(x\) pour qu'il coïncide avec le périapside (point le plus proche, \(u\) maximal), on peut poser \(\phi_0 = 0\). La solution s'écrit alors :

Principe :

Une orbite est fermée (comme une ellipse de Kepler) si la particule revient à sa position radiale initiale après une révolution angulaire de \(2\pi\). Pour notre solution \(u(\theta)\), cela nécessite que la période du cosinus soit un multiple rationnel de \(2\pi\). Ici, le terme \(\cos(\gamma\theta)\) est crucial.

Analyse :

La solution peut se réécrire sous la forme \(u(\theta) = u_0(1 + e \cos(\gamma\theta))\), qui est la forme d'une conique, mais avec un angle "compressé" ou "étiré" par le facteur \(\gamma = \sqrt{1 + 2m\beta/L^2}\).

• Cas Képlérien : Si \(\beta = 0\), alors \(\gamma = 1\). La solution est \(u(\theta) = A \cos(\theta) + \text{constante}\). La trajectoire est une ellipse simple qui se ferme sur elle-même. La période radiale correspond à une révolution de \(\theta\) de \(2\pi\).
• Notre cas : Puisque \(\beta > 0\), on a \(\gamma > 1\). La trajectoire n'est plus périodique en \(2\pi\). Le rayon \(r\) ne reprend pas la même valeur lorsque \(\theta\) augmente de \(2\pi\). La condition de périapside (\(u\) maximal, \(\cos(\gamma\theta)=1\)) n'est plus atteinte pour \(\theta = 2k\pi\), mais pour \(\gamma\theta = 2k\pi\), soit \(\theta = \frac{2k\pi}{\gamma}\). L'orbite ne se ferme pas et l'axe principal de l'ellipse tourne à chaque révolution : c'est la précession du périapside.

Principe :

L'angle de précession par révolution est la différence entre l'angle nécessaire pour effectuer une oscillation radiale complète (revenir au périapside) et une révolution complète de \(2\pi\).

Calcul :

Un passage au périapside (distance minimale, \(u\) maximal) a lieu lorsque l'argument du cosinus est un multiple de \(2\pi\).
Le premier périapside est à \(\gamma\theta_1 = 0 \Rightarrow \theta_1=0\).
Le périapside suivant est à \(\gamma\theta_2 = 2\pi \Rightarrow \theta_2 = \frac{2\pi}{\gamma}\).
L'angle entre deux périapsides consécutifs est donc \(\theta_2 - \theta_1 = \frac{2\pi}{\gamma}\).

L'angle de précession \(\Delta\theta\) est la différence entre cet angle et une révolution complète :

En remplaçant \(\gamma\) :

Puisque \(\gamma > 1\), l'angle \(\Delta\theta\) est négatif, ce qui correspond à une précession "en avance" (l'ellipse tourne dans le même sens que le mouvement de la particule).