Travail Moteur dans le Cycle de Carnot

Contexte : Le Cycle de CarnotUn cycle thermodynamique théorique, réversible, composé de quatre transformations : deux isothermes et deux adiabatiques. Il représente le cycle le plus efficace possible pour un moteur thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur..

Le cycle de Carnot est une pierre angulaire de la thermodynamique. Il décrit le fonctionnement d'un moteur thermique théorique qui aurait le meilleur rendement possible. Comprendre ce cycle permet de fixer la limite supérieure de l'efficacité énergétique pour toutes les machines thermiques réelles, comme les moteurs de voiture ou les centrales électriques. Cet exercice vous guidera à travers le calcul du travail produit par un gaz parfait suivant ce cycle.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un cycle thermodynamique complexe en transformations simples, à appliquer les lois fondamentales pour chaque étape (premier principe, loi des gaz parfaits, loi de Laplace) et à calculer les grandeurs énergétiques clés : le travail et la chaleur.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et visualiser les quatre transformations d'un cycle de Carnot.
Calculer le travail et la chaleur échangés lors des transformations isothermes et adiabatiques.
Déterminer le travail total (moteur) produit par le cycle complet.
Calculer le rendement thermodynamique du moteur et le comparer à la formule théorique de Carnot.

Données de l'étude

On considère un moteur thermique dont le fluide est une mole (\(n = 1 \text{ mol}\)) de gaz parfait monoatomique. Ce gaz décrit un cycle de Carnot réversible entre une source chaude à température constante \(T_H = 600 \text{ K}\) et une source froide à \(T_C = 300 \text{ K}\).

États du Cycle

Le cycle est composé de quatre points (A, B, C, D) :

A → B : Expansion isotherme à \(T_H\). Le volume passe de \(V_A = 10 \text{ L}\) à \(V_B = 20 \text{ L}\).
B → C : Expansion adiabatique.
C → D : Compression isotherme à \(T_C\).
D → A : Compression adiabatique.

Diagramme Pression-Volume (P-V) du Cycle de Carnot

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre de moles	\(n\)	1	mol
Température source chaude	\(T_H\)	600	K
Température source froide	\(T_C\)	300	K
Volume au point A	\(V_A\)	10	L
Volume au point B	\(V_B\)	20	L
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8.314	\(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Indice adiabatique (gaz monoatomique)	\(\gamma\)	5/3	-

Questions à traiter

Calculer les volumes aux points C et D (\(V_C\) et \(V_D\)).
Calculer le travail (\(W_{AB}\)) et la quantité de chaleur (\(Q_{AB}\)) échangés lors de l'expansion isotherme A → B.
Calculer le travail (\(W_{BC}\)) échangé lors de l'expansion adiabatique B → C.
Calculer le travail total (\(W_{\text{cycle}}\)) produit par le cycle.
Calculer le rendement (\(\eta\)) du moteur et le comparer au rendement théorique de Carnot.

Les bases de la Thermodynamique du Cycle de Carnot

Pour résoudre cet exercice, plusieurs concepts et formules clés sont nécessaires.

1. Premier principe de la thermodynamique
La variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) d'un système est égale à la somme du travail (\(W\)) et de la chaleur (\(Q\)) échangés avec l'extérieur : \[ \Delta U = W + Q \] Pour un gaz parfait, \(\Delta U = n C_v \Delta T\). Durant une transformation isotherme, \(\Delta T = 0\), donc \(\Delta U = 0\) et \(Q = -W\).

2. Transformation Adiabatique Réversible (Loi de Laplace)
Durant une transformation adiabatique, il n'y a pas d'échange de chaleur (\(Q=0\)). Les variables d'état sont liées par les relations de Laplace : \[ P V^\gamma = \text{cste} \quad \text{et} \quad T V^{\gamma-1} = \text{cste} \]

3. Travail des forces de pression
Le travail reçu par un gaz lors d'une transformation est donné par \(W = -\int_{V_i}^{V_f} P \,dV\).

Pour une transfo. isotherme : \( W = -nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \)
Pour une transfo. adiabatique : \( W = \Delta U = n C_v (T_f - T_i) \)

Correction : Calcul du Travail Moteur dans un Cycle de Carnot

Question 1 : Calculer les volumes aux points C et D (\(V_C\) et \(V_D\))

Principe

Pour trouver les volumes \(V_C\) et \(V_D\), nous devons utiliser les relations qui lient les états aux extrémités des transformations adiabatiques (B → C et D → A). La loi de Laplace pour une transformation adiabatique réversible, \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\), est l'outil parfait pour cela, car elle relie directement la température et le volume entre deux points d'une même adiabatique.

Mini-Cours

La loi de Laplace est une conséquence du premier principe de la thermodynamique appliqué à une transformation adiabatique (\(Q=0\)) et réversible pour un gaz parfait. Puisque \(dU = \delta W\), on a \(nC_v dT = -P dV\). En utilisant la loi des gaz parfaits \(P=nRT/V\), on obtient une équation différentielle qui, une fois intégrée, donne la relation \(T V^{\gamma-1} = \text{cste}\), où \(\gamma = C_p/C_v\).

Remarque Pédagogique

L'astuce ici est de bien identifier les transformations et les états qu'elles relient. On a deux adiabatiques : B→C et D→A. Il faut donc appliquer la loi de Laplace une fois entre B et C, et une autre fois entre D et A, en utilisant les températures et volumes connus pour trouver les inconnus.

Normes

Il n'y a pas de "norme" réglementaire ici. Le cadre est celui de la thermodynamique classique théorique, basée sur des principes fondamentaux comme la conservation de l'énergie et les lois des gaz parfaits. Ces lois sont universelles dans ce cadre.

Formule(s)

Loi de Laplace pour l'adiabatique B→C

T_B V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1} \quad \Rightarrow \quad T_H V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1}

Loi de Laplace pour l'adiabatique D→A

T_D V_D^{\gamma-1} = T_A V_A^{\gamma-1} \quad \Rightarrow \quad T_C V_D^{\gamma-1} = T_H V_A^{\gamma-1}

Hypothèses

Le fluide est un gaz parfait.
Toutes les transformations du cycle sont réversibles (quasi-statiques et sans frottements).
Le gaz est monoatomique, ce qui fixe son indice adiabatique à \(\gamma = 5/3\).

Donnée(s)

Les données pour ce calcul sont issues directement de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Température source chaude	\(T_H\)	600	\(\text{K}\)
Température source froide	\(T_C\)	300	\(\text{K}\)
Volume au point A	\(V_A\)	10	\(\text{L}\)
Volume au point B	\(V_B\)	20	\(\text{L}\)
Indice adiabatique	\(\gamma\)	5/3	-

Astuces

Pour simplifier les calculs, remarquez que le rapport \((T_H/T_C)\) est le même dans les deux équations. Calculez une fois le facteur multiplicatif \((T_H/T_C)^{1/(\gamma-1)}\) et appliquez-le ensuite à \(V_A\) et \(V_B\).

Schéma (Avant les calculs)

Identification des transformations adiabatiques

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de l'exposant

Nous calculons d'abord la valeur de l'exposant \(\frac{1}{\gamma-1}\) qui apparaîtra dans les calculs. On commence par \(\gamma-1\).

\begin{aligned} \gamma - 1 &= \frac{5}{3} - 1 \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}

Puis on calcule son inverse.

\begin{aligned} \frac{1}{\gamma-1} &= \frac{1}{2/3} \\ &= \frac{3}{2} \\ &= 1.5 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(V_C\)

On isole \(V_C\) à partir de la première relation de Laplace.

\begin{aligned} V_C &= V_B \left(\frac{T_H}{T_C}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}} \\ &= 20 \times \left(\frac{600}{300}\right)^{1.5} \\ &= 20 \times 2^{1.5} \\ &= 20 \times 2\sqrt{2} \\ &\approx 56.57 \text{ L} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de \(V_D\)

On isole \(V_D\) à partir de la seconde relation de Laplace.

\begin{aligned} V_D &= V_A \left(\frac{T_H}{T_C}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}} \\ &= 10 \times \left(\frac{600}{300}\right)^{1.5} \\ &= 10 \times 2^{1.5} \\ &= 10 \times 2\sqrt{2} \\ &\approx 28.28 \text{ L} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Cycle de Carnot avec volumes calculés

Réflexions

Les résultats montrent que les deux expansions (A→B et B→C) augmentent le volume, passant de 10L à 56.57L. Inversement, les deux compressions (C→D et D→A) le réduisent pour revenir à l'état initial. On note également que le rapport de volume pendant l'expansion isotherme (\(V_B/V_A = 2\)) est le même que pendant la compression isotherme (\(V_C/V_D \approx 56.57/28.28 \approx 2\)). C'est une propriété fondamentale du cycle de Carnot.

Points de vigilance

Unités : Assurez-vous que les températures sont bien en Kelvin. Une erreur fréquente est d'utiliser des degrés Celsius. De plus, bien que les volumes soient en Litres, le rapport \(V_f/V_i\) est sans dimension, donc il n'est pas nécessaire de les convertir en m³ pour cette question spécifique.

Points à retenir

La loi de Laplace \(TV^{\gamma-1} = \text{cste}\) est l'outil essentiel pour relier les états d'une transformation adiabatique.
Dans un cycle de Carnot, les rapports de volume des transformations isothermes sont égaux : \(V_B/V_A = V_C/V_D\).

Le saviez-vous ?

Pierre-Simon de Laplace a initialement développé ces lois pour corriger la valeur de la vitesse du son dans l'air calculée par Newton. Newton avait supposé que les compressions-dilatations de l'onde sonore étaient isothermes, alors que Laplace a montré qu'elles sont si rapides qu'elles sont en réalité adiabatiques.

FAQ

Résultat Final

Les volumes aux points C et D sont : \(V_C \approx 56.57 \text{ L}\) et \(V_D \approx 28.28 \text{ L}\).

A vous de jouer

Si la source chaude était à \(T_H = 900 \text{ K}\) (et \(T_C\) toujours à 300K), que deviendrait le volume \(V_C\)?

Question 2 : Calculer \(W_{AB}\) et \(Q_{AB}\) (Expansion Isotherme A → B)

Principe

La transformation A → B est une expansion isotherme réversible. La température étant constante, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz parfait est nulle. Le premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = W + Q\)) se simplifie alors en \(Q = -W\). La chaleur fournie par la source chaude est entièrement convertie en travail par le système.

Mini-Cours

L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. Pour une transformation isotherme, \(T=\text{cste}\), donc \(\Delta T=0\), et ainsi \(\Delta U = 0\). Le premier principe \(\Delta U=Q+W\) implique directement que \(Q=-W\). Physiquement, cela signifie que toute l'énergie thermique que le gaz absorbe de la source chaude est immédiatement utilisée pour produire du travail mécanique en repoussant le piston.

Remarque Pédagogique

Rappelez-vous de la convention de signe : si le système se détend (\(V_f > V_i\)), il fournit du travail, donc \(W\) doit être négatif. Inversement, si on le comprime, on lui fournit du travail et \(W\) est positif. Le signe de votre résultat a une signification physique directe !

Normes

Ce calcul est une application directe du premier principe de la thermodynamique, une loi de conservation de l'énergie qui est l'un des piliers de la physique.

Formule(s)

Formule du travail isotherme

W_{AB} = -nRT_H \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)

Relation chaleur-travail

Q_{AB} = -W_{AB}

Hypothèses

La transformation A→B est isotherme (\(T=T_H=\text{cste}\)).
La transformation est réversible, ce qui permet d'utiliser l'intégrale \(-\int P dV\) avec \(P=nRT/V\).

Donnée(s)

Les données utilisées ci-dessous proviennent de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre de moles	\(n\)	1	\(\text{mol}\)
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8.314	\(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Température source chaude	\(T_H\)	600	\(\text{K}\)
Volume initial	\(V_A\)	10	\(\text{L}\)
Volume final	\(V_B\)	20	\(\text{L}\)

Astuces

Le logarithme népérien \(\ln(x)\) est positif si \(x>1\) (détente) et négatif si \(x<1\) (compression). Cela vous permet de vérifier rapidement le signe de votre travail sans même faire le calcul complet.

Schéma (Avant les calculs)

Aire sous la courbe isotherme A→B

Calcul(s)

Calcul du travail \(W_{AB}\)

\begin{aligned} W_{AB} &= -1 \text{ mol} \times 8.314 \text{ J/mol·K} \times 600 \text{ K} \times \ln\left(\frac{20 \text{ L}}{10 \text{ L}}\right) \\ &= -4988.4 \times \ln(2) \\ &\approx -4988.4 \times 0.6931 \\ &\approx -3457.5 \text{ J} \end{aligned}

Calcul de la chaleur \(Q_{AB}\)

Q_{AB} = -W_{AB} \approx 3457.5 \text{ J}

Schéma (Après les calculs)

Flux d'énergie pour l'isotherme A→B

Réflexions

Le travail \(W_{AB}\) est négatif, ce qui signifie que le système (le gaz) fournit du travail au milieu extérieur (il pousse sur le piston). La chaleur \(Q_{AB}\) est positive, ce qui signifie que le système reçoit de la chaleur de la source chaude. C'est la phase "moteur" du cycle, où l'énergie thermique est absorbée pour produire du travail.

Points de vigilance

Ne pas oublier le signe "moins" dans la formule du travail. Une erreur de signe ici se répercuterait sur tout le reste de l'exercice. De plus, assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode logarithme népérien (ln) et non en logarithme décimal (log).

Points à retenir

Pour une transformation isotherme réversible d'un gaz parfait, la variation d'énergie interne est nulle : \(\Delta U = 0\).
Le travail et la chaleur sont opposés : \(W = -Q\).
La formule du travail est \(W = -nRT \ln(V_f/V_i)\).

Le saviez-vous ?

Le concept de travail thermodynamique a été formalisé en grande partie par Sadi Carnot lui-même dans son ouvrage de 1824 "Réflexions sur la puissance motrice du feu", où il a jeté les bases du second principe de la thermodynamique bien avant qu'il ne soit formulé mathématiquement.

FAQ

Résultat Final

Durant l'expansion isotherme, le travail reçu par le gaz est \(W_{AB} \approx -3458 \text{ J}\) et la chaleur absorbée est \(Q_{AB} \approx 3458 \text{ J}\).

A vous de jouer

Quel serait le travail \(W_{AB}\) si le volume \(V_B\) était de 30 L au lieu de 20 L ?

Question 3 : Calculer \(W_{BC}\) (Expansion Adiabatique B → C)

Principe

La transformation B → C est une expansion adiabatique. Par définition, il n'y a aucun échange de chaleur avec l'extérieur (\(Q_{BC} = 0\)). D'après le premier principe, le travail échangé est donc égal à la variation de l'énergie interne du gaz : \(W_{BC} = \Delta U_{BC}\).

Mini-Cours

Dans une transformation adiabatique, le système est thermiquement isolé. Si le gaz se détend, il doit fournir du travail. Comme il ne peut pas puiser d'énergie sous forme de chaleur à l'extérieur, il la puise dans sa propre énergie interne. L'énergie interne d'un gaz parfait étant proportionnelle à sa température, une baisse d'énergie interne se traduit par une baisse de température.

Remarque Pédagogique

C'est la méthode la plus directe. On pourrait aussi calculer le travail avec l'intégrale de \(-P dV\), en utilisant \(P = \text{cste}/V^\gamma\), mais cela mène à un calcul plus complexe. Utiliser \(W = \Delta U\) est beaucoup plus rapide et élégant, car on connaît les températures de début et de fin.

Normes

Ce calcul est une application directe du premier principe de la thermodynamique dans le cas particulier d'une transformation adiabatique.

Formule(s)

Relation travail-énergie interne

W_{BC} = \Delta U_{BC} = n C_v (T_C - T_B) = n C_v (T_C - T_H)

Capacité thermique

C_v = \frac{3}{2}R

Hypothèses

La transformation B→C est adiabatique (\(Q=0\)).
Le gaz est parfait et monoatomique, ce qui fixe la valeur de \(C_v\).

Donnée(s)

Les données proviennent de l'énoncé (températures) et de la théorie des gaz parfaits (valeur de R).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre de moles	\(n\)	1	\(\text{mol}\)
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8.314	\(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Température initiale	\(T_H\)	600	\(\text{K}\)
Température finale	\(T_C\)	300	\(\text{K}\)

Astuces

Le travail d'une détente adiabatique est toujours négatif (le gaz fournit du travail), et la température baisse. Le travail d'une compression adiabatique est toujours positif (on fournit du travail au gaz), et la température augmente. Cela permet de vérifier la cohérence de vos signes.

Schéma (Avant les calculs)

Transformation adiabatique B→C

Calcul(s)

Calcul de \(C_v\)

\begin{aligned} C_v &= \frac{3}{2} R \\ &= \frac{3}{2} \times 8.314 \\ &\approx 12.471 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned}

Calcul de \(W_{BC}\)

\begin{aligned} W_{BC} &= 1 \text{ mol} \times 12.471 \text{ J/mol·K} \times (300 \text{ K} - 600 \text{ K}) \\ &= 12.471 \times (-300) \\ &\approx -3741.3 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Flux d'énergie pour l'adiabatique B→C

Réflexions

Le travail \(W_{BC}\) est également négatif, le gaz continue de fournir du travail en se détendant. Comme il n'y a pas d'apport de chaleur, cette énergie est "puisée" dans son énergie interne, ce qui explique pourquoi sa température chute de \(T_H\) à \(T_C\).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de confondre \(C_v\) (capacité thermique à volume constant) et \(C_p\) (capacité thermique à pression constante). C'est bien \(C_v\) qui doit être utilisé pour calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\).

Points à retenir

Pour une transformation adiabatique, \(Q=0\).
Le premier principe se simplifie en \(W = \Delta U\).
La variation d'énergie interne d'un gaz parfait est toujours \(\Delta U = n C_v \Delta T\), quelle que soit la transformation.

Le saviez-vous ?

Le principe de la détente adiabatique est utilisé dans les réfrigérateurs. Un fluide est compressé (il chauffe), puis refroidi à température ambiante, et enfin détendu brutalement. Cette détente adiabatique le refroidit considérablement, et c'est ce fluide froid qui absorbe la chaleur à l'intérieur du réfrigérateur.

FAQ

Résultat Final

Le travail reçu par le gaz durant l'expansion adiabatique est \(W_{BC} \approx -3741 \text{ J}\).

A vous de jouer

Quel serait le travail si le gaz était diatomique (\(C_v = \frac{5}{2}R\)) ?

Question 4 : Calculer le travail total (\(W_{\text{cycle}}\))

Principe

Le travail total sur un cycle est la somme algébrique des travaux échangés lors de chaque transformation. L'énergie interne étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle fermé (où l'état final est identique à l'état initial) est toujours nulle. Le premier principe appliqué au cycle entier donne donc \(\Delta U_{\text{cycle}} = W_{\text{cycle}} + Q_{\text{cycle}} = 0\), soit \(W_{\text{cycle}} = -Q_{\text{cycle}}\).

Mini-Cours

Un cycle moteur est un cycle qui, parcouru dans un diagramme P-V, tourne dans le sens des aiguilles d'une montre. L'aire géométrique enclose par la courbe représente la valeur absolue du travail total. Comme le cycle est moteur, le travail total fourni par le système est positif, et le travail total reçu par le système, \(W_{\text{cycle}}\), est négatif.

Remarque Pédagogique

Pour gagner du temps, on peut utiliser les symétries du cycle de Carnot. La transformation D→A est une compression adiabatique entre les mêmes températures (mais inversées) que l'expansion adiabatique B→C. Le travail sera donc simplement l'opposé : \(W_{DA} = -W_{BC}\). Cela évite de refaire le calcul.

Normes

Application du premier principe de la thermodynamique à un processus cyclique.

Formule(s)

Somme des travaux

W_{\text{cycle}} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}

Hypothèses

Le cycle est fermé, l'état final (après D→A) est identique à l'état initial (A).

Donnée(s)

Les données ci-dessous sont issues des résultats des questions 1, 2 et 3, ainsi que de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Travail (A→B)	\(W_{AB}\)	-3457.5	\(\text{J}\)
Travail (B→C)	\(W_{BC}\)	-3741.3	\(\text{J}\)
Température (C→D)	\(T_C\)	300	\(\text{K}\)
Volumes (C,D)	\(V_C, V_D\)	56.57, 28.28	\(\text{L}\)
Températures (D→A)	\(T_C, T_H\)	300, 600	\(\text{K}\)

Astuces

Puisque \(W_{DA} = -W_{BC}\), ces deux termes s'annulent dans la somme. Le travail total du cycle est donc simplement la somme des travaux des deux transformations isothermes : \(W_{\text{cycle}} = W_{AB} + W_{CD}\).

Schéma (Avant les calculs)

Aire du cycle représentant le travail total

Calcul(s)

Calcul de \(W_{CD}\) (Compression isotherme)

\begin{aligned} W_{CD} &= -nRT_C \ln\left(\frac{V_D}{V_C}\right) \\ &= -1 \times 8.314 \times 300 \times \ln\left(\frac{28.28}{56.57}\right) \\ &= -2494.2 \times \ln(0.5) \\ &= -2494.2 \times (-\ln(2)) \\ &\approx 1728.8 \text{ J} \end{aligned}

Calcul de \(W_{DA}\) (Compression adiabatique)

\begin{aligned} W_{DA} &= n C_v (T_A - T_D) \\ &= n C_v (T_H - T_C) \\ &= 1 \times 12.471 \times (600 - 300) \\ &\approx 3741.3 \text{ J} \end{aligned}

Somme des travaux

\begin{aligned} W_{\text{cycle}} &= W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} \\ &\approx -3457.5 - 3741.3 + 1728.8 + 3741.3 \\ &\approx -1728.7 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Bilan des travaux du cycle

Réflexions

Le signe du travail total est négatif, ce qui confirme que le cycle est bien un cycle moteur : sur un tour complet, le système a fourni de l'énergie mécanique à l'extérieur. Le travail fourni par les détentes (\(W_{AB} + W_{BC} \approx -7199 \text{ J}\)) est supérieur en valeur absolue au travail reçu pendant les compressions (\(W_{CD} + W_{DA} \approx 5470 \text{ J}\)).

Points de vigilance

La principale source d'erreur est l'addition algébrique : il faut être très rigoureux avec les signes de chaque travail. Un travail moteur (fourni par le gaz) est négatif, un travail résistant (reçu par le gaz) est positif.

Points à retenir

Pour tout cycle, la variation d'énergie interne est nulle : \(\Delta U_{\text{cycle}} = 0\).
Le travail total est la somme algébrique des travaux de chaque étape : \(W_{\text{cycle}} = \sum W_i\).
Pour un cycle moteur, le travail total \(W_{\text{cycle}}\) est négatif.

Le saviez-vous ?

Les moteurs à combustion interne (moteurs de voiture) suivent des cycles thermodynamiques bien plus complexes que le cycle de Carnot (cycle de Beau de Rochas ou Otto pour l'essence, cycle Diesel). Cependant, le cycle de Carnot sert toujours de référence ultime pour évaluer leur rendement maximal théorique.

FAQ

Résultat Final

Le travail total produit par le moteur sur un cycle est \(W_{\text{cycle}} \approx -1729 \text{ J}\).

A vous de jouer

Si ce cycle était parcouru en sens inverse (A→D→C→B→A), quel serait le travail total du cycle ?

Question 5 : Calculer le rendement (\(\eta\)) du moteur

Principe

Le rendement (ou efficacité) d'un moteur thermique est le rapport entre ce qu'il fournit (le travail utile) et ce qu'il coûte (l'énergie thermique puisée à la source chaude). L'énergie utile est la valeur absolue du travail total du cycle, \(|W_{\text{cycle}}|\). L'énergie coûteuse est la chaleur absorbée pendant le cycle, qui correspond ici à \(Q_{AB}\).

Mini-Cours

Le second principe de la thermodynamique (postulat de Kelvin) stipule qu'il est impossible de créer un moteur monotherme, c'est-à-dire un moteur qui transformerait intégralement en travail la chaleur puisée à une seule source. Il est obligatoire de rejeter une partie de la chaleur (\(Q_C\)) à une source froide. C'est pourquoi le rendement est toujours strictement inférieur à 100%. Carnot a démontré que le rendement maximal ne dépend que des températures des sources.

Remarque Pédagogique

C'est une excellente question pour vérifier la cohérence de tous vos calculs. Vous allez calculer le rendement de deux manières différentes : une fois avec les énergies (travail et chaleur) que vous avez mis du temps à calculer, et une autre fois avec la formule simple de Carnot utilisant les températures. Si vous obtenez le même résultat, bravo, votre exercice est probablement juste !

Normes

Le rendement de Carnot \( \eta = 1 - T_C/T_H \) n'est pas une norme mais un théorème fondamental. Il représente une limite physique infranchissable pour le rendement de n'importe quel moteur thermique fonctionnant entre ces deux températures, qu'il soit réel ou théorique.

Formule(s)

Définition générale du rendement

\eta = \frac{\text{Énergie utile}}{\text{Énergie coûteuse}} = \frac{|W_{\text{cycle}}|}{Q_{\text{chaud}}} = \frac{|W_{\text{cycle}}|}{Q_{AB}}

Rendement théorique de Carnot

\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H}

Hypothèses

Le moteur fonctionne selon un cycle de Carnot réversible.
Les températures \(T_H\) et \(T_C\) sont les températures absolues (en Kelvin).

Donnée(s)

Les données proviennent des résultats des questions précédentes (W_cycle, Q_AB) et de l'énoncé (températures).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Travail du cycle	\(W_{\text{cycle}}\)	-1728.7	\(\text{J}\)
Chaleur absorbée	\(Q_{AB}\)	3457.5	\(\text{J}\)
Température source chaude	\(T_H\)	600	\(\text{K}\)
Température source froide	\(T_C\)	300	\(\text{K}\)

Astuces

Le rendement de Carnot est une fonction croissante de \(T_H\) et décroissante de \(T_C\). Pour avoir un bon rendement, il faut donc une source la plus chaude possible et une source la plus froide possible. C'est pourquoi les centrales thermiques sont souvent installées près des fleuves ou de la mer (source froide efficace).

Schéma (Avant les calculs)

Représentation énergétique d'un moteur thermique

Calcul(s)

Calcul du rendement à partir des énergies

\begin{aligned} \eta &= \frac{|W_{\text{cycle}}|}{Q_{AB}} \\ &= \frac{|-1728.7 \text{ J}|}{3457.5 \text{ J}} \\ &\approx 0.4999 \\ &\approx 0.5 \end{aligned}

Calcul du rendement théorique de Carnot

\begin{aligned} \eta_{\text{Carnot}} &= 1 - \frac{T_C}{T_H} \\ &= 1 - \frac{300 \text{ K}}{600 \text{ K}} \\ &= 1 - 0.5 \\ &= 0.5 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Bilan énergétique du cycle

Réflexions

Nos calculs détaillés sur les énergies aboutissent au même résultat que la formule théorique de Carnot. Cela confirme la cohérence de nos calculs et illustre que le rendement de Carnot est bien le rendement de ce cycle particulier. Le rendement de 50% signifie que 50% de la chaleur puisée à la source chaude est convertie en travail utile, les 50% restants étant obligatoirement rejetés à la source froide.

Points de vigilance

Le rendement est un nombre sans dimension, compris entre 0 et 1. Si vous obtenez une valeur négative ou supérieure à 1, il y a une erreur dans votre calcul (probablement un signe ou une confusion entre \(Q_{\text{chaud}}\) et \(Q_{\text{froid}}\)). N'oubliez pas la valeur absolue pour le travail !

Points à retenir

Le rendement d'un moteur est \(\eta = |W_{\text{cycle}}| / Q_{\text{chaud}}\).
Le rendement maximal théorique est celui de Carnot : \(\eta_{\text{Carnot}} = 1 - T_C/T_H\).
Le rendement est TOUJOURS inférieur à 1.

Le saviez-vous ?

Le rendement des moteurs de voiture à essence est d'environ 25-30%, celui des moteurs diesel atteint 40%, et les moteurs les plus efficaces au monde (grosses turbines à gaz de centrales électriques en cycle combiné) plafonnent autour de 60-62%. Ils sont tous limités par le rendement de Carnot correspondant à leurs températures de fonctionnement.

FAQ

Résultat Final

Le rendement du moteur est \(\eta = 0.5\), soit 50%, ce qui correspond parfaitement au rendement théorique de Carnot.

A vous de jouer

Si la température de la source froide était de 15°C (une température ambiante typique), quel serait le rendement de Carnot de ce moteur ? Attention aux unités !

Outil Interactif : Simulateur de Rendement de Carnot

Utilisez les curseurs pour faire varier les températures de la source chaude et de la source froide. Observez l'impact direct sur le rendement maximal théorique du moteur de Carnot. Le graphique montre l'évolution du rendement en fonction de la température de la source chaude pour une température de source froide fixée.

Paramètres du Moteur

Température Source Chaude (\(T_H\)) 600 K

Température Source Froide (\(T_C\)) 300 K

Performances Théoriques

Rendement de Carnot (\(\eta\)) -

Travail pour 1000 J de chaleur absorbée - J

Glossaire

Cycle de Carnot: Un cycle thermodynamique théorique, réversible, composé de deux transformations isothermes et deux transformations adiabatiques. Il représente le cycle avec le meilleur rendement possible pour un moteur fonctionnant entre deux températures données.
Transformation Isotherme: Une transformation au cours de laquelle la température du système reste constante. L'énergie interne d'un gaz parfait ne varie pas.
Transformation Adiabatique: Une transformation au cours de laquelle il n'y a aucun échange de chaleur entre le système et son environnement (\(Q=0\)).
Rendement Thermodynamique (\(\eta\)): Pour un moteur, c'est le rapport entre le travail mécanique fourni par le cycle et l'énergie thermique qu'il a puisée à la source chaude. Il mesure l'efficacité de la conversion de chaleur en travail.