ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait

Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait en Thermodynamique

Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait

Comprendre l'Énergie Interne d'un Gaz Parfait

L'énergie interne (\(U\)) d'un système thermodynamique est la somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles de ses particules constituantes (molécules, atomes, électrons). Pour un gaz parfait, les interactions intermoléculaires sont négligées, donc l'énergie potentielle intermoléculaire est nulle. L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend alors que de son énergie cinétique de translation, de rotation et de vibration (pour les molécules polyatomiques), qui est directement proportionnelle à sa température absolue. La variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) est une fonction d'état, ce qui signifie qu'elle ne dépend que des états initial et final du système, et non du chemin suivi lors de la transformation. Le premier principe de la thermodynamique relie la variation d'énergie interne à la chaleur (\(Q\)) échangée et au travail (\(W\)) effectué : \(\Delta U = Q + W\).

Données du Problème

On considère \(2.50 \, \text{moles}\) d'hélium (He), un gaz parfait monoatomique, qui subit une transformation.

  • Nombre de moles (\(n\)) : \(2.50 \, \text{mol}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(300 \, \text{K}\)
  • Température finale (\(T_2\)) : \(450 \, \text{K}\)

Constantes utiles pour un gaz parfait monoatomique :

  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{v,m}\)) pour un gaz parfait monoatomique : \(\frac{3}{2}R\)
Schéma : Énergie Interne et Température d'un Gaz Parfait
Gaz Parfait Monoatomique (He) État 1: T₁ (Basse Énergie Interne) État 2: T₂ (Haute Énergie Interne) Q W

L'énergie interne d'un gaz parfait est liée à l'agitation thermique de ses particules. Elle peut varier par échange de chaleur (Q) ou de travail (W).

Questions à traiter

  1. Rappeler la formule de l'énergie interne (\(U\)) d'un gaz parfait en fonction de sa température (\(T\)), du nombre de moles (\(n\)), et de sa capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{v,m}\)). (On prendra comme référence \(U=0\) à \(T=0 \, \text{K}\)).
  2. Calculer la capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{v,m}\)) pour l'hélium (gaz parfait monoatomique).
  3. Calculer l'énergie interne initiale (\(U_1\)) de l'hélium à \(T_1 = 300 \, \text{K}\).
  4. Calculer l'énergie interne finale (\(U_2\)) de l'hélium à \(T_2 = 450 \, \text{K}\).
  5. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz lors de cette transformation.
  6. Si cette transformation s'effectue à volume constant (isochore), quelle est la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée par le système ? Le système a-t-il absorbé ou cédé de la chaleur ?
  7. Si, au lieu d'une transformation isochore, le gaz subissait une transformation adiabatique pour atteindre la même température finale \(T_2\), quel serait le travail (\(W\)) effectué ?

Correction : Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait

Question 1 : Formule de l'énergie interne (\(U\))

Principe :

Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température. Si l'on prend comme référence \(U=0\) à \(T=0 \, \text{K}\), l'énergie interne à une température \(T\) est donnée par le produit du nombre de moles, de la capacité thermique molaire à volume constant, et de la température absolue.

Formule :
\[ U = n C_{v,m} T \]

Où :

  • \(U\) est l'énergie interne (en Joules)
  • \(n\) est le nombre de moles (en mol)
  • \(C_{v,m}\) est la capacité thermique molaire à volume constant (en \(\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\))
  • \(T\) est la température absolue (en Kelvins)
Résultat Question 1 : La formule de l'énergie interne (avec \(U(0K)=0\)) est \(U = n C_{v,m} T\).

Question 2 : Capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{v,m}\))

Principe :

Pour un gaz parfait monoatomique (comme l'hélium), l'énergie interne est uniquement due à l'énergie cinétique de translation, qui a 3 degrés de liberté. Selon le théorème d'équipartition de l'énergie, chaque degré de liberté contribue pour \(\frac{1}{2}kT\) à l'énergie moyenne par molécule, ou \(\frac{1}{2}RT\) par mole. Donc, \(U = \frac{3}{2}nRT\). Puisque \(U = nC_{v,m}T\), on a \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C_{v,m} = \frac{3}{2}R \]
Données spécifiques :
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_{v,m} &= \frac{3}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \\ &= 1.5 \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \\ &= 12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La capacité thermique molaire à volume constant pour l'hélium est \(C_{v,m} = 12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\).

Question 3 : Énergie interne initiale (\(U_1\))

Principe :

Application de la formule \(U = n C_{v,m} T\) pour l'état initial.

Données spécifiques :
  • \(n = 2.50 \, \text{mol}\)
  • \(C_{v,m} = 12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} U_1 &= (2.50 \, \text{mol}) \times (12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}) \times (300 \, \text{K}) \\ &= 31.1775 \, \text{J/K} \times 300 \, \text{K} \\ &= 9353.25 \, \text{J} \end{aligned} \]

En arrondissant à trois chiffres significatifs (basé sur \(n\) et \(T_1\)) : \(U_1 \approx 9350 \, \text{J}\) ou \(9.35 \, \text{kJ}\).

Résultat Question 3 : L'énergie interne initiale est \(U_1 \approx 9350 \, \text{J}\).

Question 4 : Énergie interne finale (\(U_2\))

Principe :

Application de la formule \(U = n C_{v,m} T\) pour l'état final.

Données spécifiques :
  • \(n = 2.50 \, \text{mol}\)
  • \(C_{v,m} = 12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_2 = 450 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} U_2 &= (2.50 \, \text{mol}) \times (12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}) \times (450 \, \text{K}) \\ &= 31.1775 \, \text{J/K} \times 450 \, \text{K} \\ &= 14029.875 \, \text{J} \end{aligned} \]

En arrondissant à trois chiffres significatifs : \(U_2 \approx 14000 \, \text{J}\) ou \(14.0 \, \text{kJ}\).

Pour plus de précision dans la question suivante, nous utiliserons la valeur non arrondie.

Résultat Question 4 : L'énergie interne finale est \(U_2 \approx 14030 \, \text{J}\).

Question 5 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

La variation d'énergie interne est la différence entre l'énergie interne finale et l'énergie interne initiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = U_2 - U_1 = n C_{v,m} (T_2 - T_1) \]
Données spécifiques :
  • \(U_1 \approx 9353.25 \, \text{J}\)
  • \(U_2 \approx 14029.875 \, \text{J}\)
  • Ou : \(n = 2.50 \, \text{mol}\), \(C_{v,m} = 12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\), \(T_1 = 300 \, \text{K}\), \(T_2 = 450 \, \text{K}\)
  • \(\Delta T = T_2 - T_1 = 450 \, \text{K} - 300 \, \text{K} = 150 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &\approx 14029.875 \, \text{J} - 9353.25 \, \text{J} \\ &= 4676.625 \, \text{J} \end{aligned} \]

Ou en utilisant \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\) :

\[ \begin{aligned} \Delta U &= (2.50 \, \text{mol}) \times (12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}) \times (150 \, \text{K}) \\ &= 31.1775 \, \text{J/K} \times 150 \, \text{K} \\ &= 4676.625 \, \text{J} \end{aligned} \]

En arrondissant à trois chiffres significatifs : \(\Delta U \approx 4680 \, \text{J}\) ou \(4.68 \, \text{kJ}\).

Résultat Question 5 : La variation d'énergie interne est \(\Delta U \approx 4680 \, \text{J}\).

Question 6 : Chaleur échangée (\(Q\)) lors d'une transformation isochore

Principe :

Pour une transformation à volume constant (isochore), le travail des forces de pression est nul (\(W=0\)). D'après le premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = Q + W\)), on a alors \(\Delta U = Q_v\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_v = \Delta U \quad (\text{pour } W=0) \]
Données spécifiques :
  • \(\Delta U \approx 4676.625 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ Q_v \approx 4676.625 \, \text{J} \]

Puisque \(Q_v > 0\), le système a absorbé de la chaleur.

Résultat Question 6 : La quantité de chaleur échangée est \(Q_v \approx 4680 \, \text{J}\). Le système a absorbé cette chaleur.

Question 7 : Travail (\(W\)) lors d'une détente adiabatique

Principe :

Lors d'une transformation adiabatique, il n'y a pas d'échange de chaleur (\(Q=0\)). Le premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = Q + W\)) se simplifie en \(\Delta U = W\). Si le gaz effectue un travail de \(1000 \, \text{J}\) sur l'extérieur, alors \(W = -1000 \, \text{J}\) (par convention, travail reçu par le système).

Données spécifiques :
  • Travail effectué par le gaz sur l'extérieur = \(1000 \, \text{J}\). Donc, travail reçu par le gaz \(W = -1000 \, \text{J}\).
  • \(Q = 0\) (adiabatique)
  • \(n = 2.50 \, \text{mol}\)
  • \(C_{v,m} = 12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
Calcul de \(\Delta U\) :
\[ \Delta U = W = -1000 \, \text{J} \]
Calcul de la température finale (\(T'_2\)) :

On sait que \(\Delta U = n C_{v,m} (T'_2 - T_1)\). Donc :

\[ \begin{aligned} T'_2 - T_1 &= \frac{\Delta U}{n C_{v,m}} \\ T'_2 &= T_1 + \frac{\Delta U}{n C_{v,m}} \\ T'_2 &= 300 \, \text{K} + \frac{-1000 \, \text{J}}{(2.50 \, \text{mol}) \times (12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)})} \\ T'_2 &= 300 \, \text{K} + \frac{-1000 \, \text{J}}{31.1775 \, \text{J/K}} \\ T'_2 &\approx 300 \, \text{K} - 32.075 \, \text{K} \\ T'_2 &\approx 267.925 \, \text{K} \end{aligned} \]

En arrondissant : \(T'_2 \approx 268 \, \text{K}\).

Résultat Question 7 : La variation d'énergie interne est \(\Delta U = -1000 \, \text{J}\). La température finale serait d'environ \(T'_2 \approx 268 \, \text{K}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour un gaz parfait, l'énergie interne dépend uniquement de :

2. La capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{v,m}\)) pour un gaz parfait monoatomique est :

3. Selon le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = \) :

(Avec \(W\) étant le travail reçu par le système)

4. Lors d'une transformation isochore (volume constant) d'un gaz parfait :

Glossaire

Énergie Interne (\(U\))
Somme de toutes les formes d'énergie microscopique (cinétique et potentielle) d'un système thermodynamique. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.
Gaz Parfait
Modèle théorique d'un gaz où les particules sont supposées ponctuelles et n'interagissent pas entre elles, sauf lors de collisions élastiques.
Température Absolue (\(T\))
Mesure de l'agitation thermique moyenne des particules d'un système. Unité SI : Kelvin (K).
Capacité Thermique Molaire à Volume Constant (\(C_{v,m}\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une mole d'une substance de un Kelvin, à volume constant.
Premier Principe de la Thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie pour les systèmes thermodynamiques : la variation d'énergie interne d'un système (\(\Delta U\)) est égale à la somme de la chaleur (\(Q\)) échangée avec le milieu extérieur et du travail (\(W\)) effectué par ou sur le système (\(\Delta U = Q + W\)).
Transformation Isochore
Processus thermodynamique qui se déroule à volume constant (\(\Delta V = 0\)).
Transformation Adiabatique
Processus thermodynamique au cours duquel aucun échange de chaleur n'a lieu entre le système et son milieu extérieur (\(Q=0\)).
Travail (\(W\))
Transfert d'énergie résultant d'une force agissant sur une distance. En thermodynamique, le travail des forces de pression est \(W = -\int P_{\text{ext}} dV\).
Chaleur (\(Q\))
Transfert d'énergie thermique entre des systèmes en raison d'une différence de température.
Joule (J)
Unité SI de l'énergie et du travail.
Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait - Exercice d'Application

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