ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de l’Efficacité d’un Cycle de Carnot

Calcul de l’Efficacité d’un Cycle de Carnot

Calcul de l’Efficacité d’un Cycle de Carnot

Comprendre le Cycle de Carnot et son Efficacité

Le cycle de Carnot est un cycle thermodynamique théorique idéal, composé de quatre transformations réversibles (deux isothermes et deux adiabatiques), fonctionnant entre deux sources de chaleur à températures constantes. Son importance réside dans le fait qu'il représente le cycle ayant le rendement maximal possible pour un moteur thermique fonctionnant entre deux températures données (Théorème de Carnot). L'efficacité (ou rendement) d'un cycle de Carnot ne dépend que des températures des sources chaude et froide.

Données de l'étude

Un moteur thermique idéal fonctionne selon un cycle de Carnot entre une source chaude et une source froide.

Températures des sources :

  • Température de la source chaude (\(T_H\)) : \(727^\circ\text{C}\)
  • Température de la source froide (\(T_C\)) : \(127^\circ\text{C}\)

Échanges de chaleur :

  • Quantité de chaleur fournie par la source chaude au système par cycle (\(Q_H\)) : \(2000 \, \text{J}\)
Schéma : Cycle de Carnot dans un Diagramme T-S (Température-Entropie)
S (Entropie) T (K) T_H (Q_H absorbée) T_C (Q_C rejetée) 1 2 3 4

Le cycle de Carnot est représenté par un rectangle dans le diagramme T-S.

Questions à traiter

  1. Convertir les températures des sources chaude (\(T_H\)) et froide (\(T_C\)) en Kelvin (K).
  2. Calculer l'efficacité (ou rendement) thermique (\(\eta_{Carnot}\)) du cycle de Carnot.
  3. Calculer le travail net (\(W_{net}\)) fourni par le moteur pendant un cycle.
  4. Calculer la quantité de chaleur (\(Q_C\)) rejetée à la source froide pendant un cycle.
  5. Si la température de la source froide était abaissée à \(27^\circ\text{C}\), quelle serait la nouvelle efficacité du cycle ? Commenter.

Correction : Calcul de l’Efficacité d’un Cycle de Carnot

Question 1 : Conversion des Températures en Kelvin

Principe :

En thermodynamique, et particulièrement pour le cycle de Carnot, les températures doivent impérativement être exprimées en Kelvin (K), l'échelle de température absolue. La conversion de degrés Celsius (°C) en Kelvin se fait en ajoutant 273.15 (souvent simplifié à 273 pour les calculs courants si la précision ne l'exige pas).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15\]
Données spécifiques :
  • \(T_H(^\circ\text{C}) = 727^\circ\text{C}\)
  • \(T_C(^\circ\text{C}) = 127^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_H(\text{K}) &= 727 + 273.15 \\ &= 1000.15 \, \text{K} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} T_C(\text{K}) &= 127 + 273.15 \\ &= 400.15 \, \text{K} \end{aligned} \]

Pour simplifier les calculs suivants, nous pouvons utiliser les valeurs arrondies \(T_H = 1000 \, \text{K}\) et \(T_C = 400 \, \text{K}\) si l'énoncé le permettait, ou garder la précision. Utilisons ici les valeurs avec .15.

Résultat Question 1 : \(T_H = 1000.15 \, \text{K}\) et \(T_C = 400.15 \, \text{K}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Pourquoi est-il crucial d'utiliser les températures en Kelvin pour le calcul du rendement de Carnot ?

Question 2 : Efficacité (Rendement) Thermique (\(\eta_{Carnot}\))

Principe :

L'efficacité (ou rendement) thermique d'un cycle de Carnot, notée \(\eta_{Carnot}\), est le rapport entre le travail utile fourni par le cycle et la quantité de chaleur absorbée de la source chaude. Elle peut être calculée uniquement à partir des températures absolues (en Kelvin) de la source chaude (\(T_H\)) et de la source froide (\(T_C\)). C'est le rendement maximal théoriquement atteignable par un moteur thermique fonctionnant entre ces deux températures.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_C}{T_H}\]

Ou, de manière équivalente :

\[\eta_{Carnot} = \frac{T_H - T_C}{T_H}\]
Données spécifiques :
  • \(T_H = 1000.15 \, \text{K}\)
  • \(T_C = 400.15 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \eta_{Carnot} &= 1 - \frac{400.15 \, \text{K}}{1000.15 \, \text{K}} \\ &= 1 - 0.400089... \\ &\approx 0.59991 \end{aligned} \]

Exprimé en pourcentage : \(\eta_{Carnot} \approx 0.600 \times 100\% = 60.0\%\) (en arrondissant).

Avec la deuxième formule :

\[ \begin{aligned} \eta_{Carnot} &= \frac{1000.15 \, \text{K} - 400.15 \, \text{K}}{1000.15 \, \text{K}} \\ &= \frac{600.00 \, \text{K}}{1000.15 \, \text{K}} \\ &\approx 0.59991 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'efficacité du cycle de Carnot est \(\eta_{Carnot} \approx 0.600\) (ou \(60.0\%\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la température de la source chaude (\(T_H\)) augmente, et que \(T_C\) reste constante, le rendement de Carnot :

Question 3 : Travail Net (\(W_{net}\)) Fourni par le Moteur

Principe :

Le travail net (\(W_{net}\)) fourni par un moteur thermique pendant un cycle est la part de l'énergie thermique absorbée de la source chaude (\(Q_H\)) qui est convertie en travail utile. L'efficacité du cycle est définie comme \(\eta = W_{net} / Q_H\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{net} = \eta_{Carnot} \times Q_H\]
Données spécifiques :
  • \(\eta_{Carnot} \approx 0.59991\) (calculée)
  • \(Q_H = 2000 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{net} &\approx 0.59991 \times 2000 \, \text{J} \\ &\approx 1199.82 \, \text{J} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(W_{net} \approx 1200 \, \text{J}\) ou \(1.20 \, \text{kJ}\).

Résultat Question 3 : Le travail net fourni par le moteur pendant un cycle est \(W_{net} \approx 1199.82 \, \text{J}\).

Question 4 : Chaleur Rejetée à la Source Froide (\(Q_C\))

Principe :

Selon le premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie) pour un cycle, le travail net fourni est égal à la différence entre la chaleur absorbée de la source chaude et la chaleur rejetée à la source froide : \(W_{net} = Q_H - Q_C\). On peut donc calculer \(Q_C\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_C = Q_H - W_{net}\]

Alternativement, on sait que \(\eta_{Carnot} = 1 - Q_C/Q_H\), donc \(Q_C = Q_H (1 - \eta_{Carnot})\).

Données spécifiques :
  • \(Q_H = 2000 \, \text{J}\)
  • \(W_{net} \approx 1199.82 \, \text{J}\) (calculé)
  • \(\eta_{Carnot} \approx 0.59991\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_C &\approx 2000 \, \text{J} - 1199.82 \, \text{J} \\ &\approx 800.18 \, \text{J} \end{aligned} \]

Avec la formule alternative :

\[ \begin{aligned} Q_C &\approx 2000 \, \text{J} \times (1 - 0.59991) \\ &= 2000 \, \text{J} \times 0.40009 \\ &\approx 800.18 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La quantité de chaleur rejetée à la source froide est \(Q_C \approx 800.18 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Pour un moteur de Carnot, si \(Q_H\) est la chaleur absorbée et \(Q_C\) la chaleur rejetée, le travail net \(W_{net}\) est :

Question 5 : Nouvelle Efficacité avec \(T_C\) Abaissée

Principe :

On recalcule l'efficacité du cycle de Carnot avec la nouvelle température de la source froide, en s'assurant qu'elle est d'abord convertie en Kelvin. On compare ensuite cette nouvelle efficacité à la précédente pour observer l'impact du changement de \(T_C\).

Données spécifiques pour cette question :
  • Nouvelle \(T_C(^\circ\text{C}) = 27^\circ\text{C}\)
  • \(T_H = 1000.15 \, \text{K}\) (inchangée)
Calcul :

Conversion de la nouvelle \(T_C\) en Kelvin :

\[ \begin{aligned} T_{C,nouvelle}(\text{K}) &= 27 + 273.15 \\ &= 300.15 \, \text{K} \end{aligned} \]

Calcul de la nouvelle efficacité (\(\eta'_{Carnot}\)) :

\[ \begin{aligned} \eta'_{Carnot} &= 1 - \frac{T_{C,nouvelle}}{T_H} \\ &= 1 - \frac{300.15 \, \text{K}}{1000.15 \, \text{K}} \\ &= 1 - 0.30010... \\ &\approx 0.69990 \end{aligned} \]

Exprimé en pourcentage : \(\eta'_{Carnot} \approx 0.700 \times 100\% = 70.0\%\).

Commentaire :

L'efficacité initiale était d'environ \(60.0\%\). En abaissant la température de la source froide de \(127^\circ\text{C}\) (\(400.15 \, \text{K}\)) à \(27^\circ\text{C}\) (\(300.15 \, \text{K}\)), tout en maintenant la température de la source chaude constante, l'efficacité du cycle de Carnot augmente à environ \(70.0\%\). Cela démontre que pour améliorer le rendement d'un moteur thermique idéal, il est plus efficace de diminuer la température de la source froide ou d'augmenter la température de la source chaude. Plus l'écart de température entre les deux sources est grand, plus le rendement théorique maximal est élevé.

Résultat Question 5 : La nouvelle efficacité avec \(T_C = 27^\circ\text{C}\) est \(\eta'_{Carnot} \approx 0.700\) (ou \(70.0\%\)). Abaisser la température de la source froide augmente significativement l'efficacité du cycle.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Le cycle de Carnot est composé de :

2. L'efficacité d'un moteur de Carnot fonctionnant entre \(T_H\) et \(T_C\) (températures absolues) :

3. Pour un cycle moteur, la chaleur \(Q_H\) est ____ par le système et la chaleur \(Q_C\) est ____ par le système.

Glossaire

Cycle de Carnot
Cycle thermodynamique théorique réversible composé de deux transformations isothermes et de deux transformations adiabatiques, fonctionnant entre une source chaude et une source froide.
Efficacité (Rendement) Thermique (\(\eta\))
Pour un moteur thermique, rapport entre le travail net fourni par le cycle et la quantité de chaleur absorbée de la source chaude (\(\eta = W_{net} / Q_H\)).
Source Chaude (\(T_H\))
Réservoir de chaleur à haute température d'où le système moteur absorbe de la chaleur (\(Q_H\)).
Source Froide (\(T_C\))
Réservoir de chaleur à basse température vers lequel le système moteur rejette de la chaleur (\(Q_C\)).
Transformation Isotherme
Transformation thermodynamique qui se produit à température constante.
Transformation Adiabatique Réversible (Isentropique)
Transformation thermodynamique qui se produit sans échange de chaleur avec l'extérieur et sans création d'entropie (réversible).
Travail Net (\(W_{net}\))
Travail total utile produit par un cycle thermodynamique. Pour un moteur, \(W_{net} = Q_H - Q_C\).
Kelvin (K)
Unité de température du Système International, basée sur l'échelle de température absolue où 0 K correspond au zéro absolu.
Réaction Exothermique
Processus qui libère de l'énergie sous forme de chaleur (\(\Delta E < 0\)).
Réaction Endothermique
Processus qui absorbe de l'énergie sous forme de chaleur (\(\Delta E > 0\)).
Calcul de l’Efficacité d’un Cycle de Carnot – Exercice d'Application

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