Calcul de l’Efficacité d’un Cycle de Carnot
Contexte : La thermodynamique et le Cycle de CarnotUn cycle thermodynamique théorique idéal et réversible, composé de quatre transformations : deux isothermes et deux adiabatiques..
Le cycle de Carnot, conçu par Sadi Carnot en 1824, représente le cycle le plus efficace possible pour un moteur thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur à températures constantes. Bien qu'il s'agisse d'un cycle idéal impossible à réaliser parfaitement en pratique, il constitue une référence fondamentale pour évaluer et comparer l'efficacité des moteurs réels. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul de l'efficacité thermiqueLe rapport entre le travail net fourni par un moteur et la chaleur absorbée de la source chaude. Elle mesure la performance d'un moteur thermique. de ce cycle pour un gaz parfait.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de manipuler les concepts clés du premier et du second principe de la thermodynamique. Il est essentiel pour comprendre la limite théorique de conversion de la chaleur en travail.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre les quatre transformations (deux isothermes, deux adiabatiques) d'un cycle de Carnot.
- Calculer la chaleur et le travail échangés au cours de chaque étape du cycle pour un gaz parfait.
- Établir l'expression de l'efficacité thermique d'un moteur de Carnot.
- Appliquer la formule de Carnot reliant l'efficacité aux températures des sources chaude et froide.
Données de l'étude
Diagramme de Clapeyron (P-V) du Cycle de Carnot
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température de la source chaude | \(T_{\text{chaud}}\) | 600 | K |
| Température de la source froide | \(T_{\text{froid}}\) | 300 | K |
| Quantité de matière du gaz parfait | \(n\) | 1 | \(\text{mol}\) |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | \(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) |
| Indice adiabatique | \(\gamma\) | 1.4 | (sans unité) |
Questions à traiter
- Exprimer la quantité de chaleur \(Q_{\text{AB}}\) reçue par le gaz de la part de la source chaude lors de l'expansion isotherme réversible A → B en fonction de \(n\), \(R\), \(T_{\text{chaud}}\) et des volumes \(V_{\text{A}}\) et \(V_{\text{B}}\).
- Exprimer la quantité de chaleur \(Q_{\text{CD}}\) cédée par le gaz à la source froide lors de la compression isotherme réversible C → D en fonction de \(n\), \(R\), \(T_{\text{froid}}\) et des volumes \(V_{\text{C}}\) et \(V_{\text{D}}\).
- En appliquant la loi de Laplace (\(TV^{\gamma-1} = \text{constante}\)) aux transformations adiabatiques réversibles B → C et D → A, trouver une relation entre les rapports de volume \(\frac{V_{\text{B}}}{V_{\text{A}}}\) et \(\frac{V_{\text{C}}}{V_{\text{D}}}\).
- À l'aide des résultats précédents, exprimer l'efficacité thermique \(\eta = 1 + \frac{Q_{\text{CD}}}{Q_{\text{AB}}}\) en fonction uniquement des températures \(T_{\text{chaud}}\) et \(T_{\text{froid}}\).
- Calculer la valeur numérique de l'efficacité de ce cycle de Carnot.
Les bases sur la Thermodynamique
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques concepts et formules fondamentaux de la thermodynamique des gaz parfaits.
1. Premier principe de la thermodynamique
La variation de l'énergie interne \(\Delta U\) d'un système est égale à la somme du travail \(W\) et de la chaleur \(Q\) échangés avec l'extérieur :
\[ \Delta U = W + Q \]
Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température. Pour une transformation isotherme, \(\Delta U = 0\) et donc \(Q = -W\).
2. Travail et Chaleur (Isotherme)
Pour une transformation isotherme réversible d'un gaz parfait, le travail des forces de pression est :
\[ W = -nRT \ln\left(\frac{V_{\text{final}}}{V_{\text{initial}}}\right) \]
Et la chaleur échangée est \(Q = -W\).
3. Transformation Adiabatique Réversible
Une transformation adiabatiqueTransformation thermodynamique réalisée sans aucun échange de chaleur avec le milieu extérieur (Q=0). est un processus sans échange de chaleur (\(Q=0\)). Pour un processus réversible, elle suit les lois de Laplace, notamment :
\[ TV^{\gamma-1} = \text{Constante} \]
Correction : Calcul de l’Efficacité d’un Cycle de Carnot
Question 1 : Calcul de la chaleur \(Q_{\text{AB}}\)
Principe
La première étape du cycle est une expansion isotherme. Le gaz se détend tout en restant à une température constante \(T_{\text{chaud}}\). Pour ce faire, il doit absorber de la chaleur de la source chaude afin de compenser le travail qu'il fournit à l'extérieur.
Mini-Cours
Le premier principe de la thermodynamique stipule \(\Delta U = W + Q\). Pour un gaz parfait, l'énergie interne \(U\) ne dépend que de la température. Puisque la transformation A→B est isotherme (\(T=T_{\text{chaud}}=\text{constante}\)), la variation d'énergie interne \(\Delta U_{\text{AB}}\) est nulle. Le principe se simplifie donc en \(Q_{\text{AB}} = -W_{\text{AB}}\).
Remarque Pédagogique
Le premier réflexe doit être d'identifier la nature de la transformation. Ici, "isotherme" implique immédiatement \(\Delta U = 0\) pour un gaz parfait, ce qui est la clé pour relier directement la chaleur au travail.
Formule(s)
Travail de l'expansion isotherme
Chaleur échangée
Hypothèses
- Le fluide est un gaz parfait.
- La transformation est réversible (quasi-statique).
- La température \(T_{\text{chaud}}\) est constante.
Donnée(s)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(n, R\) | Quantité de matière et constante des gaz parfaits |
| \(T_{\text{chaud}}\) | Température constante de la transformation |
| \(V_{\text{A}}, V_{\text{B}}\) | Volumes initial et final |
Astuces
Lors d'une expansion (\(V_{\text{B}} > V_{\text{A}}\)), le système fournit du travail (\(W < 0\)). Pour rester à température constante, il doit recevoir de la chaleur (\(Q > 0\)). Vérifiez toujours que le signe de votre résultat correspond à la physique du processus.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
L'expression montre que la chaleur absorbée est proportionnelle à la température de la source chaude et au logarithme du rapport de détente. Plus le gaz se détend, plus il absorbe de chaleur.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser les volumes dans le logarithme. \(\ln(V_{\text{B}}/V_{\text{A}})\) est correct pour A→B. Une inversion changerait le signe de la chaleur.
Points à retenir
Pour une détente isotherme réversible d'un gaz parfait : \(\Delta U = 0\) et \(Q = -W = nRT \ln(V_{\text{final}}/V_{\text{initial}})\).
Le saviez-vous ?
Le concept d'isotherme a été étudié par Robert Boyle au 17ème siècle, bien avant Carnot. La loi de Boyle-Mariotte (\(PV=\text{constante}\) à T constante) est le fondement du calcul du travail isotherme.
Résultat Final
Question 2 : Calcul de la chaleur \(Q_{\text{CD}}\)
Principe
La troisième étape du cycle est une compression isotherme. Le gaz est comprimé tout en restant à une température constante \(T_{\text{froid}}\). Pour que sa température ne monte pas sous l'effet de la compression, le gaz doit évacuer de la chaleur vers la source froide.
Mini-Cours
Comme pour la première question, la transformation est isotherme, donc \(\Delta U_{\text{CD}} = 0\). Le premier principe de la thermodynamique s'applique de la même manière : \(Q_{\text{CD}} = -W_{\text{CD}}\). La seule différence est que la température est maintenant \(T_{\text{froid}}\).
Remarque Pédagogique
La démarche est un miroir de la question 1. Comprendre la première étape permet de résoudre celle-ci par simple analogie, en adaptant les variables (température et volumes).
Formule(s)
Travail de la compression isotherme
Chaleur échangée
Hypothèses
- Le fluide est un gaz parfait.
- La transformation est réversible.
- La température \(T_{\text{froid}}\) est constante.
Donnée(s)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(n, R\) | Quantité de matière et constante des gaz parfaits |
| \(T_{\text{froid}}\) | Température constante de la transformation |
| \(V_{\text{C}}, V_{\text{D}}\) | Volumes initial et final |
Astuces
Pendant une compression (\(V_{\text{D}} < V_{\text{C}}\)), le rapport \(V_{\text{D}}/V_{\text{C}}\) est inférieur à 1, donc son logarithme est négatif. Cela garantit que \(Q_{\text{CD}}\) est négatif, ce qui signifie que la chaleur est bien cédée par le système.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La chaleur cédée est proportionnelle à la température de la source froide. Le fait que \(Q_{\text{CD}}\) soit négatif est crucial pour la suite du calcul de l'efficacité, car c'est la part "perdue" du cycle.
Points de vigilance
Veillez à utiliser \(T_{\text{froid}}\) et non \(T_{\text{chaud}}\). Une erreur fréquente est de mélanger les températures des deux transformations isothermes.
Points à retenir
Pour une compression isotherme réversible d'un gaz parfait, la chaleur est cédée et sa formule est \(Q = nRT \ln(V_{\text{final}}/V_{\text{initial}})\), ce qui donne un résultat négatif.
Le saviez-vous ?
Le concept de "source froide" est essentiel. Sans elle, un moteur ne peut pas fonctionner en cycle. C'est pourquoi les centrales thermiques sont souvent construites près de rivières ou de la mer : pour évacuer la chaleur perdue.
Résultat Final
Question 3 : Relation entre les volumes
Principe
Les étapes B→C (expansion adiabatique) et D→A (compression adiabatique) se font sans échange de chaleur. Comme le gaz est parfait et que les transformations sont réversibles, elles suivent les lois de Laplace. Ces lois vont nous permettre de relier les quatre états (A, B, C, D) du cycle et de trouver une relation entre les rapports de volume des deux isothermes.
Mini-Cours
Une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait est aussi appelée isentropique (l'entropie reste constante). Les lois de Laplace, qui décrivent ces processus, peuvent s'écrire sous trois formes équivalentes : \(PV^\gamma = \text{Cte}\), \(TV^{\gamma-1} = \text{Cte}\), et \(T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{Cte}\). Pour ce problème, la relation entre Température et Volume est la plus directe à utiliser.
Remarque Pédagogique
L'objectif ici est de trouver un lien entre les deux transformations où il y a un échange de chaleur (isothermes) en utilisant les transformations de "liaison" (adiabatiques) où il n'y en a pas. C'est une étape de pure manipulation mathématique pour préparer le calcul de l'efficacité.
Normes
Les lois de Laplace sont des conséquences directes des principes de la thermodynamique appliqués à un modèle de gaz parfait. Elles n'ont pas de caractère normatif mais descriptif.
Formule(s)
Loi de Laplace (forme T-V)
Hypothèses
- Les transformations B→C et D→A sont adiabatiques (\(Q=0\)).
- Elles sont également réversibles.
- Le gaz est parfait avec un indice adiabatique \(\gamma\) constant.
Donnée(s)
| Point | Température |
|---|---|
| A, B | \(T_{\text{chaud}}\) |
| C, D | \(T_{\text{froid}}\) |
Astuces
Le but final est d'éliminer les volumes de l'expression de l'efficacité. Cherchez donc une relation entre \(\frac{V_{\text{B}}}{V_{\text{A}}}\) et \(\frac{V_{\text{D}}}{V_{\text{C}}}\) (ou son inverse) pour pouvoir simplifier les termes logarithmiques plus tard.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
On applique la loi de Laplace à la première transformation adiabatique, l'expansion B → C.
Application de la loi pour B → C
On remplace les températures par celles des sources correspondantes.
Substitution des températures (B→C)
On applique ensuite la même loi à la deuxième transformation adiabatique, la compression D → A.
Application de la loi pour D → A
On substitue à nouveau les températures des sources.
Substitution des températures (D→A)
Maintenant, on réarrange les deux équations obtenues pour isoler le rapport des températures.
Isolation du rapport de température (Eq. 1)
Isolation du rapport de température (Eq. 2)
Les deux membres de droite étant égaux au même rapport de températures, ils sont égaux entre eux. On peut alors simplifier pour trouver la relation entre les volumes.
Comparaison et simplification
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Cette égalité \(\frac{V_{\text{B}}}{V_{\text{A}}} = \frac{V_{\text{C}}}{V_{\text{D}}}\) signifie que le rapport de détente durant l'expansion isotherme est exactement égal au rapport de compression durant la compression isotherme. C'est une propriété géométrique fondamentale du cycle de Carnot pour un gaz parfait.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser les états initial et final. Appliquez toujours la loi de Laplace de manière systématique : \(T_{\text{initial}}V_{\text{initial}}^{\gamma-1} = T_{\text{final}}V_{\text{final}}^{\gamma-1}\).
Points à retenir
La clé du cycle de Carnot réside dans la symétrie des rapports de volume entre les transformations isothermes, une conséquence directe des lois de Laplace appliquées aux transformations adiabatiques.
Le saviez-vous ?
L'indice adiabatique \(\gamma\) est le rapport des capacités thermiques à pression et volume constants (\(\gamma = C_p/C_v\)). Pour l'air, un gaz diatomique, sa valeur théorique est \(7/5 = 1.4\), ce qui correspond bien à la valeur utilisée dans l'exercice.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le volume triple lors de la détente isotherme (\(V_{\text{B}} = 3V_{\text{A}}\)), par combien le volume doit-il être divisé lors de la compression isotherme (\(V_{\text{D}} = V_{\text{C}} / x\)) ?
Question 4 : Expression de l'efficacité \(\eta\)
Principe
L'efficacité (ou rendement) thermique \(\eta\) d'un moteur est le rapport entre ce que l'on gagne (le travail net fourni, \(|W_{\text{cycle}}|\)) et ce que l'on paie (la chaleur fournie par la source chaude, \(Q_{\text{chaud}}\)). Pour un cycle, le travail net est égal à la chaleur nette échangée. Nous allons utiliser cette définition et les résultats précédents pour trouver une expression de \(\eta\) qui ne dépend que des températures.
Mini-Cours
Pour tout moteur fonctionnant en cycle, le premier principe s'écrit \(\Delta U_{\text{cycle}} = W_{\text{cycle}} + Q_{\text{cycle}} = 0\). Donc, \(W_{\text{cycle}} = -Q_{\text{cycle}} = -(Q_{\text{chaud}} + Q_{\text{froid}})\). L'efficacité est :\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{|W_{\text{cycle}}|}{Q_{\text{chaud}}} \\ &= \frac{Q_{\text{chaud}} + Q_{\text{froid}}}{Q_{\text{chaud}}} \\ &= 1 + \frac{Q_{\text{froid}}}{Q_{\text{chaud}}} \end{aligned} \]Notez que \(Q_{\text{froid}}\) (ici \(Q_{\text{CD}}\)) est une valeur négative.
Remarque Pédagogique
Cette étape est le point culminant de l'exercice. Elle rassemble tous les résultats précédents pour démontrer l'un des plus importants résultats de la thermodynamique : l'efficacité de Carnot ne dépend pas de la machine, mais seulement des températures entre lesquelles elle fonctionne.
Normes
Le résultat obtenu, connu sous le nom de théorème de Carnot, est une loi fondamentale de la physique, pas une norme technique.
Formule(s)
Définition de l'efficacité
Hypothèses
- Le cycle est entièrement réversible.
- Les résultats des questions 1, 2 et 3 sont corrects.
Donnée(s)
| Paramètre | Expression |
|---|---|
| \(Q_{\text{AB}}\) | \(nRT_{\text{chaud}} \ln\left(\frac{V_{\text{B}}}{V_{\text{A}}}\right)\) |
| \(Q_{\text{CD}}\) | \(nRT_{\text{froid}} \ln\left(\frac{V_{\text{D}}}{V_{\text{C}}}\right)\) |
| Relation des volumes | \(\frac{V_{\text{B}}}{V_{\text{A}}} = \frac{V_{\text{C}}}{V_{\text{D}}}\) |
Astuces
Utilisez la propriété du logarithme \(\ln(1/x) = -\ln(x)\). Puisque \(\frac{V_{\text{D}}}{V_{\text{C}}} = \left(\frac{V_{\text{C}}}{V_{\text{D}}}\right)^{-1} = \left(\frac{V_{\text{B}}}{V_{\text{A}}}\right)^{-1}\), on a \(\ln\left(\frac{V_{\text{D}}}{V_{\text{C}}}\right) = -\ln\left(\frac{V_{\text{B}}}{V_{\text{A}}}\right)\). Cela permettra la simplification.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
On part de la définition de l'efficacité et on y substitue les expressions des quantités de chaleur trouvées aux questions 1 et 2.
Substitution des expressions de chaleur
Les termes \(n\) et \(R\) se simplifient. On utilise ensuite la propriété du logarithme \(\ln(V_D/V_C) = -\ln(V_C/V_D)\) et la relation sur les volumes \((V_C/V_D = V_B/V_A)\) trouvée à la question 3.
Simplification et application de la relation des volumes
Les termes logarithmiques s'annulent, ce qui nous laisse avec l'expression finale de l'efficacité qui ne dépend que des températures.
Simplification finale
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Ce résultat est extraordinaire. Il montre que pour atteindre la meilleure efficacité possible, il ne sert à rien de construire une machine compliquée ou d'utiliser un gaz spécial. Il faut simplement avoir la source chaude la plus chaude possible et la source froide la plus froide possible.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien gérer les signes. \(Q_{\text{CD}}\) est négatif, ce qui fait apparaître le signe "moins" dans la formule finale. Une erreur de signe conduit à un rendement supérieur à 1, ce qui est physiquement impossible.
Points à retenir
L'efficacité maximale théorique d'un moteur thermique fonctionnant entre deux sources à températures \(T_{\text{froid}}\) et \(T_{\text{chaud}}\) est donnée par la formule de Carnot : \(\eta_{\text{Carnot}} = 1 - T_{\text{froid}}/T_{\text{chaud}}\).
Le saviez-vous ?
Le théorème de Carnot stipule non seulement que l'efficacité d'un cycle réversible ne dépend que des températures, mais aussi qu'aucun moteur irréversible fonctionnant entre les mêmes températures ne peut être plus efficace. C'est un pilier du second principe de la thermodynamique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un moteur a une source chaude à 400 K et une source froide à 300 K. Quelle est son efficacité de Carnot maximale (en pourcentage) ?
Question 5 : Calcul numérique de \(\eta\)
Principe
Cette dernière étape consiste simplement à appliquer numériquement la formule de l'efficacité de Carnot, démontrée à la question précédente, en utilisant les températures des sources chaude et froide données dans l'énoncé de l'exercice.
Mini-Cours
L'efficacité est une grandeur sans dimension, comprise entre 0 et 1. On la multiplie souvent par 100 pour l'exprimer en pourcentage (%). Une efficacité de 0.5 signifie que 50% de l'énergie thermique fournie par la source chaude est convertie en travail utile.
Remarque Pédagogique
Cette application numérique permet de concrétiser le résultat théorique et de bien comprendre l'ordre de grandeur des rendements des moteurs thermiques. C'est l'étape où la physique rencontre les chiffres concrets.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
Formule de l'efficacité de Carnot
Hypothèses
Les températures fournies sont les températures thermodynamiques absolues.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température source chaude | \(T_{\text{chaud}}\) | 600 | K |
| Température source froide | \(T_{\text{froid}}\) | 300 | K |
Astuces
Avant de calculer, on peut remarquer que \(T_{\text{froid}}\) est la moitié de \(T_{\text{chaud}}\). Le rapport sera donc de 0.5, ce qui rend le calcul mental très rapide.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Répartition de l'Énergie pour 100J Absorbés
Réflexions
Une efficacité de 0.5, soit 50%, est une valeur très élevée, car il s'agit d'un maximum théorique. Dans la réalité, les moteurs à combustion interne des voitures ont des rendements autour de 30-40%, et les centrales thermiques les plus performantes atteignent difficilement 60% (en cycle combiné), car ils sont limités par des contraintes technologiques et des irréversibilités.
Points de vigilance
La plus grande source d'erreur dans les calculs thermodynamiques est l'utilisation de températures en degrés Celsius (°C) au lieu de Kelvin (K). Toutes les formules de thermodynamique utilisant des rapports ou des produits de températures (comme la loi des gaz parfaits ou l'efficacité de Carnot) requièrent impérativement des températures absolues.
Points à retenir
Le cycle de Carnot fournit une borne supérieure, un objectif inatteignable mais essentiel, pour l'efficacité de tous les moteurs thermiques. Pour améliorer l'efficacité, il faut soit augmenter \(T_{\text{chaud}}\), soit diminuer \(T_{\text{froid}}\).
Le saviez-vous ?
Le record d'efficacité pour une centrale électrique à gaz en cycle combiné est d'environ 64%. Elle fonctionne avec une température de combustion d'environ 1600°C (≈1873 K) et rejette la chaleur dans l'environnement à température ambiante (≈293 K). Son efficacité de Carnot serait de \(1 - 293/1873 \approx 84\%\), ce qui montre bien la marge entre l'idéal et le réel.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si ce moteur absorbe 10 kJ de chaleur (\(Q_{\text{AB}}\)) à la source chaude, combien de travail utile (\(|W_{\text{cycle}}|\)) produit-il ?
Outil Interactif : Simulateur d'Efficacité de Carnot
Utilisez les curseurs pour faire varier les températures des sources chaude et froide et observez l'impact direct sur l'efficacité maximale théorique du cycle de Carnot.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelles sont les quatre transformations successives d'un cycle de Carnot ?
2. De quoi dépend UNIQUEMENT l'efficacité d'un moteur de Carnot idéal ?
3. Lors d'une expansion adiabatique réversible, comment varie la température du gaz ?
4. L'aire délimitée par le cycle dans un diagramme P-V représente :
5. Comment peut-on augmenter l'efficacité d'un cycle de Carnot ?
- Cycle de Carnot
- Un cycle thermodynamique théorique, réversible, composé de deux transformations isothermes et de deux transformations adiabatiques. Il représente le cycle le plus efficace pour un moteur thermique.
- Transformation Isotherme
- Une transformation qui s'effectue à température constante. Pour un gaz parfait, son énergie interne ne varie pas.
- Transformation Adiabatique
- Une transformation qui s'effectue sans aucun échange de chaleur avec le milieu extérieur (\(Q=0\)).
- Efficacité thermique (\(\eta\))
- Le rapport entre le travail net fourni par un moteur et la chaleur qu'il absorbe de la source chaude. Elle est toujours inférieure à 1.
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