Calcul de l’Efficacité d’un Cycle de Carnot

Principe :

En thermodynamique, et particulièrement pour le cycle de Carnot, les températures doivent impérativement être exprimées en Kelvin (K), l'échelle de température absolue. La conversion de degrés Celsius (°C) en Kelvin se fait en ajoutant 273.15 (souvent simplifié à 273 pour les calculs courants si la précision ne l'exige pas).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(T_H(^\circ\text{C}) = 727^\circ\text{C}\)
• \(T_C(^\circ\text{C}) = 127^\circ\text{C}\)

Calcul :

Pour simplifier les calculs suivants, nous pouvons utiliser les valeurs arrondies \(T_H = 1000 \, \text{K}\) et \(T_C = 400 \, \text{K}\) si l'énoncé le permettait, ou garder la précision. Utilisons ici les valeurs avec .15.

Principe :

L'efficacité (ou rendement) thermique d'un cycle de Carnot, notée \(\eta_{Carnot}\), est le rapport entre le travail utile fourni par le cycle et la quantité de chaleur absorbée de la source chaude. Elle peut être calculée uniquement à partir des températures absolues (en Kelvin) de la source chaude (\(T_H\)) et de la source froide (\(T_C\)). C'est le rendement maximal théoriquement atteignable par un moteur thermique fonctionnant entre ces deux températures.

Formule(s) utilisée(s) :

Ou, de manière équivalente :

Données spécifiques :

• \(T_H = 1000.15 \, \text{K}\)
• \(T_C = 400.15 \, \text{K}\)

Calcul :

Exprimé en pourcentage : \(\eta_{Carnot} \approx 0.600 \times 100\% = 60.0\%\) (en arrondissant).

Avec la deuxième formule :

Principe :

Le travail net (\(W_{net}\)) fourni par un moteur thermique pendant un cycle est la part de l'énergie thermique absorbée de la source chaude (\(Q_H\)) qui est convertie en travail utile. L'efficacité du cycle est définie comme \(\eta = W_{net} / Q_H\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(\eta_{Carnot} \approx 0.59991\) (calculée)
• \(Q_H = 2000 \, \text{J}\)

Calcul :

On peut arrondir à \(W_{net} \approx 1200 \, \text{J}\) ou \(1.20 \, \text{kJ}\).

Principe :

Selon le premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie) pour un cycle, le travail net fourni est égal à la différence entre la chaleur absorbée de la source chaude et la chaleur rejetée à la source froide : \(W_{net} = Q_H - Q_C\). On peut donc calculer \(Q_C\).

Formule(s) utilisée(s) :

Alternativement, on sait que \(\eta_{Carnot} = 1 - Q_C/Q_H\), donc \(Q_C = Q_H (1 - \eta_{Carnot})\).

Données spécifiques :

• \(Q_H = 2000 \, \text{J}\)
• \(W_{net} \approx 1199.82 \, \text{J}\) (calculé)
• \(\eta_{Carnot} \approx 0.59991\)

Calcul :

Avec la formule alternative :

Principe :

On recalcule l'efficacité du cycle de Carnot avec la nouvelle température de la source froide, en s'assurant qu'elle est d'abord convertie en Kelvin. On compare ensuite cette nouvelle efficacité à la précédente pour observer l'impact du changement de \(T_C\).

Données spécifiques pour cette question :

• Nouvelle \(T_C(^\circ\text{C}) = 27^\circ\text{C}\)
• \(T_H = 1000.15 \, \text{K}\) (inchangée)

Calcul :

Conversion de la nouvelle \(T_C\) en Kelvin :

Calcul de la nouvelle efficacité (\(\eta'_{Carnot}\)) :

Exprimé en pourcentage : \(\eta'_{Carnot} \approx 0.700 \times 100\% = 70.0\%\).

Commentaire :

L'efficacité initiale était d'environ \(60.0\%\). En abaissant la température de la source froide de \(127^\circ\text{C}\) (\(400.15 \, \text{K}\)) à \(27^\circ\text{C}\) (\(300.15 \, \text{K}\)), tout en maintenant la température de la source chaude constante, l'efficacité du cycle de Carnot augmente à environ \(70.0\%\). Cela démontre que pour améliorer le rendement d'un moteur thermique idéal, il est plus efficace de diminuer la température de la source froide ou d'augmenter la température de la source chaude. Plus l'écart de température entre les deux sources est grand, plus le rendement théorique maximal est élevé.