Transformation Isotherme d’un Gaz Idéal
Contexte : La thermodynamique des gaz parfaits.
Cet exercice explore l'un des processus fondamentaux en thermodynamique : la transformation à température constante, ou transformation isothermeProcessus thermodynamique au cours duquel la température d'un système reste constante.. Nous étudierons le comportement d'un gaz idéalUn modèle théorique de gaz dont les particules n'ont pas de volume et n'interagissent pas entre elles, obéissant à la loi PV=nRT. enfermé dans un cylindre par un piston mobile. En comprimant lentement le gaz, nous analyserons les variations de pression et de volume, ainsi que les échanges d'énergie avec l'extérieur sous forme de travail et de chaleur.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la loi des gaz parfaits et le premier principe de la thermodynamique à un processus isotherme réversible, un cas d'école essentiel pour comprendre les cycles des moteurs thermiques et des réfrigérateurs.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi des gaz parfaits (loi de Boyle-Mariotte) pour une transformation isotherme.
- Calculer le travail des forces de pression lors d'une compression isotherme.
- Utiliser le premier principe de la thermodynamique pour déterminer la chaleur échangée.
- Comprendre pourquoi la variation d'énergie interne d'un gaz parfait est nulle lors d'un processus isotherme.
Données de l'étude
Schéma du système Cylindre-Piston
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(n\) | Quantité de matière d'hélium | 2 | mol |
| \(T\) | Température du thermostat (constante) | 300 | K |
| \(V_1\) | Volume initial du gaz | 20 | L |
| \(V_2\) | Volume final du gaz | 5 | L |
| \(R\) | Constante des gaz parfaits | 8.314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
Questions à traiter
- Calculer la pression initiale \(P_1\) du gaz en Pascals (\(\text{Pa}\)).
- Calculer la pression finale \(P_2\) du gaz en Pascals (\(\text{Pa}\)).
- Déterminer le travail \(W\) (en Joules) reçu par le gaz lors de cette compression.
- Déterminer la quantité de chaleur \(Q\) (en Joules) échangée par le gaz avec le thermostat.
- Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz.
Les bases de la Thermodynamique du Gaz Parfait
Pour résoudre cet exercice, trois piliers de la thermodynamique sont essentiels : la loi des gaz parfaits, la définition du travail des forces de pression, et le premier principe de la thermodynamique.
1. Loi des Gaz Parfaits
Elle décrit la relation entre la pression (P), le volume (V), la quantité de matière (n) et la température (T) d'un gaz idéal. Pour une transformation isotherme (T=constante), on a \(P \cdot V = \text{constante}\). C'est la loi de Boyle-Mariotte.
\[ P \cdot V = n \cdot R \cdot T \]
2. Travail d'une transformation réversible
Le travail élémentaire reçu par le gaz est \( \delta W = -P_{\text{ext}} \cdot dV \). Pour une transformation réversible, la pression extérieure \(P_{\text{ext}}\) est égale à la pression du gaz \(P\) à chaque instant. Le travail total pour aller d'un état 1 à 2 est l'intégrale :
\[ W_{1\to2} = - \int_{V_1}^{V_2} P(V) \,dV \]
3. Premier Principe de la Thermodynamique
Il s'agit d'un principe de conservation de l'énergie. La variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) d'un système est égale à la somme du travail (\(W\)) et de la chaleur (\(Q\)) qu'il a reçus.
\[ \Delta U = W + Q \]
Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température.
Correction : Transformation Isotherme d’un Gaz Idéal
Question 1 : Calculer la pression initiale \(P_1\)
Principe (le concept physique)
Pour trouver la pression initiale, il suffit d'appliquer la loi des gaz parfaits à l'état initial (1). Cette loi fondamentale relie les variables d'état (pression, volume, température) et la quantité de matière d'un gaz.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La loi des gaz parfaits, \(PV=nRT\), est une équation d'état. Elle modélise le comportement d'un gaz où les interactions entre molécules sont négligées. Chaque terme a une signification physique précise : \(P\) est la force exercée par le gaz par unité de surface, \(V\) est l'espace qu'il occupe, \(n\) représente la quantité de molécules, et \(T\) est une mesure de l'agitation thermique de ces molécules.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Avant de vous lancer dans un calcul en thermodynamique, prenez toujours le temps d'identifier l'état du système que vous étudiez (ici, l'état initial 1) et de lister toutes les grandeurs connues pour cet état. Cela vous guidera naturellement vers la bonne formule à utiliser.
Normes (la référence réglementaire)
Il ne s'agit pas ici d'une norme de construction, mais d'une loi physique fondamentale de la nature. La loi des gaz parfaits est un pilier de la chimie et de la physique, universellement reconnue et utilisée.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Loi des gaz parfaits
Formule de la pression initiale
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'hypothèse fondamentale, explicitement donnée dans l'énoncé, est que l'hélium se comporte comme un gaz parfait dans les conditions de l'expérience.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous utilisons les données de l'état initial.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité de matière | \(n\) | 2 | mol |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Température | \(T\) | 300 | K |
| Volume initial | \(V_1\) | 20 | L |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour vérifier rapidement votre résultat, rappelez-vous qu'une mole de gaz parfait à température et pression ambiantes (environ 300 K et 1 bar) occupe environ 24 L. Ici, on a 2 moles dans 20 L, donc la pression doit être un peu plus du double de la pression atmosphérique, soit environ 2.5 bar, ce qui correspond bien à \(2.5 \times 10^5 \text{ Pa}\).
Schéma (Avant les calculs)
Représentation de l'état initial du système
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Conversion du volume
On convertit les litres en mètres cubes, sachant que \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}\).
Étape 2 : Application numérique
On remplace les valeurs dans la formule pour calculer la pression.
Schéma (Après les calculs)
Position de l'état 1 sur le diagramme P-V
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La pression calculée, \(249420 \text{ Pa}\) (ou \(249.42 \text{ kPa}\)), est environ 2.5 fois la pression atmosphérique normale (qui est d'environ \(101 \text{ kPa}\)). C'est une pression modérée, typique des conditions de laboratoire.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est de ne pas convertir les unités. La loi des gaz parfaits avec R en \( \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \) impose d'utiliser les unités du Système International : la pression en Pascals (\(\text{Pa}\)) et le volume en mètres cubes (\(\text{m}^3\)).
Points à retenir (pour maîtriser la question)
Pour déterminer une variable d'état inconnue (\(P, V, n\) ou \(T\)), la loi des gaz parfaits \(PV=nRT\) est l'outil de choix, à condition de connaître les trois autres. La clé du succès est la rigueur dans la conversion des unités.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La loi \(P \cdot V = \text{constante}\) à température constante fut découverte indépendamment par Robert Boyle en 1662 et Edme Mariotte en 1676. C'est pourquoi elle est souvent appelée loi de Boyle-Mariotte. Mariotte a été le premier à préciser que la loi n'est valable qu'à température constante.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour vérifier la compréhension)
Quelle serait la pression initiale (en \(\text{kPa}\)) si le système contenait 3 moles d'hélium au lieu de 2 ?
Question 2 : Calculer la pression finale \(P_2\)
Principe (le concept physique)
Comme la transformation est isotherme (température constante), le produit \(P \cdot V\) reste constant tout au long du processus. Cette relation, connue sous le nom de loi de Boyle-Mariotte, nous permet de lier l'état initial (1) à l'état final (2).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La loi de Boyle-Mariotte \(P_1V_1 = P_2V_2\) est un cas particulier de la loi des gaz parfaits. Si \(PV=nRT\) et que \(n, R, T\) sont constants, alors le produit \(PV\) est lui-même constant. Physiquement, cela signifie que si vous comprimez un gaz (diminuez son volume), la fréquence des chocs des molécules sur les parois augmente, ce qui se traduit par une augmentation proportionnelle de la pression.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour résoudre un problème avec deux états, cherchez toujours la grandeur qui est conservée ou la loi qui relie les deux états. Ici, le mot-clé est "isotherme", ce qui implique immédiatement la conservation du produit Pression × Volume.
Normes (la référence réglementaire)
Comme pour la question 1, nous nous basons sur les lois fondamentales de la physique et non sur des normes industrielles.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Loi de Boyle-Mariotte
Formule de la pression finale
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont les mêmes : le gaz est parfait et la transformation se fait à température constante.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise le résultat de la question 1 et les volumes de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression initiale | \(P_1\) | 249420 | Pa |
| Volume initial | \(V_1\) | 20 | L |
| Volume final | \(V_2\) | 5 | L |
Astuces (Pour aller plus vite)
Dans la formule \(P_2 = P_1 \cdot (V_1/V_2)\), les volumes apparaissent sous forme de ratio. Il n'est donc pas nécessaire de les convertir en \(\text{m}^3\), on peut les laisser en litres car les unités s'annulent. Cela simplifie le calcul !
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de la transition de l'État 1 à l'État 2
Calcul(s) (l'application numérique)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Trajectoire de la transformation sur le diagramme P-V
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le volume a été divisé par 4 (de \(20 \text{ L}\) à \(5 \text{ L}\)). Comme attendu pour une compression isotherme, la pression a été multipliée par 4. Le résultat est cohérent.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Faites attention à ne pas inverser le rapport des volumes. Une compression (\(V_2 < V_1\)) doit toujours mener à une augmentation de pression (\(P_2 > P_1\)). Vérifier que votre résultat va dans le bon sens est un excellent réflexe.
Points à retenir (pour maîtriser la question)
La loi de Boyle-Mariotte, \(P_1V_1 = P_2V_2\), est le raccourci essentiel pour toutes les transformations isothermes d'un gaz parfait. Elle évite d'avoir à recalculer \(nRT\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La loi de Boyle-Mariotte est utilisée dans de nombreuses applications, de la plongée sous-marine (pour calculer la variation de volume de l'air dans les poumons en fonction de la profondeur) à la conception des seringues médicales.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour vérifier la compréhension)
Quelle serait la pression finale (en \(\text{kPa}\)) si le gaz était comprimé jusqu'à un volume final de \(2 \text{ L}\) ?
Question 3 : Déterminer le travail \(W\) reçu par le gaz
Principe (le concept physique)
Le travail des forces de pression correspond à l'énergie transférée au gaz par le piston lors de son déplacement. Puisque la pression du gaz varie pendant la compression, on ne peut pas simplement multiplier la pression par la variation de volume ; il faut intégrer la pression sur le changement de volume.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Graphiquement, le travail \(W_{1\to2} = - \int_{V_1}^{V_2} P(V) \,dV\) correspond à l'opposé de l'aire sous la courbe de la transformation dans un diagramme P-V. Pour une compression, \(V_2 < V_1\), l'aire est comptée "négativement" et avec le signe moins de la formule, le travail reçu \(W\) est bien positif.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La formule du travail est l'une des plus importantes en thermodynamique. Retenez bien sa forme intégrale et la signification du signe "moins" : il assure le respect de la convention "reçu par le système > 0".
Normes (la référence réglementaire)
La définition du travail des forces de pression est un principe de base de la mécanique et de la thermodynamique, pas une norme spécifique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule du travail pour une transformation isotherme réversible
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'hypothèse cruciale ici est que la transformation est réversible (ou quasi-statique). C'est ce qui nous permet d'identifier la pression extérieure à la pression du gaz \(P = nRT/V\) à chaque instant de l'intégration.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les données de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité de matière | \(n\) | 2 | mol |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Température | \(T\) | 300 | K |
| Volume initial | \(V_1\) | 20 | L |
| Volume final | \(V_2\) | 5 | L |
Astuces (Pour aller plus vite)
Vous pouvez utiliser la propriété du logarithme \(\ln(a/b) = -\ln(b/a)\). La formule devient \(W = +nRT \ln(V_1/V_2)\). Comme \(V_1 > V_2\), le logarithme est positif et on voit directement que le travail sera positif, ce qui est logique pour une compression.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation graphique du travail comme aire sous la courbe
Calcul(s) (l'application numérique)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Bilan énergétique du travail
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le travail est positif (\(W > 0\)), ce qui confirme que le gaz a bien reçu de l'énergie de la part du milieu extérieur (le piston) pour être comprimé. Cette énergie a été transférée au gaz sous forme de travail.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention au signe ! On calcule le travail reçu par le gaz. Lors d'une compression (\(V_2 < V_1\)), le milieu extérieur fournit du travail au système, donc \(W\) doit être positif. Le logarithme de \(V_2/V_1\) sera négatif, et le signe "moins" de la formule assurera bien un résultat positif.
Points à retenir (pour maîtriser la question)
La formule \(W = -nRT \ln(V_2/V_1)\) est spécifique à la transformation isotherme et réversible d'un gaz parfait. Ne l'utilisez pas pour d'autres types de transformations (adiabatique, isobare, etc.).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de travail en thermodynamique a été formalisé au XIXe siècle, notamment par Sadi Carnot dans ses travaux sur le rendement des machines à vapeur. Il a montré que le travail maximal que l'on peut extraire d'un cycle thermique dépend uniquement des températures des sources chaude et froide.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour vérifier la compréhension)
Calculez le travail (en \(\text{J}\)) si le gaz avait été détendu de \(5 \text{ L}\) à \(20 \text{ L}\). (Indice : le résultat sera négatif).
Question 4 : Déterminer la quantité de chaleur \(Q\) échangée
Principe (le concept physique)
Pour trouver la chaleur, nous appliquons le premier principe de la thermodynamique, qui est une loi de conservation de l'énergie. Il stipule que la variation d'énergie interne d'un système est la somme de l'énergie qu'il reçoit sous forme de travail et de chaleur.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de sa température (Première loi de Joule). Comme la transformation est isotherme (\(\Delta T = 0\)), l'énergie interne du gaz ne varie pas (\(\Delta U = 0\)). Le premier principe \(\Delta U = W + Q\) se simplifie alors grandement en \(0 = W + Q\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Dans un problème de thermodynamique, si vous devez calculer la chaleur, pensez toujours au premier principe. Souvent, la chaleur est la dernière grandeur que l'on calcule, après avoir déterminé le travail et la variation d'énergie interne.
Normes (la référence réglementaire)
Le premier principe de la thermodynamique est l'une des lois les plus fondamentales de la physique, au même titre que la conservation de la masse ou de la quantité de mouvement.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Premier principe de la thermodynamique
Cas d'une transformation isotherme d'un gaz parfait
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont que le gaz est parfait et que la transformation est isotherme, ce qui nous permet d'affirmer que \(\Delta U = 0\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise le résultat de la question 3.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Variation d'énergie interne | \(\Delta U\) | 0 | J |
| Travail reçu | \(W\) | +6914 | J |
Schéma (Avant les calculs)
Schéma des flux d'énergie à déterminer
Calcul(s) (l'application numérique)
Application du premier principe
Schéma (Après les calculs)
Bilan des flux d'énergie
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le signe de \(Q\) est négatif. Cela signifie que le système (le gaz) cède de la chaleur au milieu extérieur (le thermostat). C'est logique : pour maintenir sa température constante alors que l'on fournit du travail pour le comprimer (ce qui tend à l'échauffer), le gaz doit évacuer cette énergie sous forme de chaleur.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier le signe "moins" dans la relation \(Q = -W\). Une erreur de signe changerait complètement l'interprétation physique (un gaz qui reçoit de la chaleur au lieu d'en céder).
Points à retenir (pour maîtriser la question)
Dans une transformation isotherme d'un gaz parfait, toute l'énergie fournie sous forme de travail est immédiatement et intégralement restituée à l'extérieur sous forme de chaleur, et inversement. Le gaz sert simplement d'intermédiaire pour convertir le travail en chaleur (ou la chaleur en travail).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Ce principe est fondamental dans le fonctionnement des réfrigérateurs. Un fluide frigorigène est comprimé (il reçoit du travail et dégage de la chaleur à l'arrière de l'appareil), puis il est détendu (il fournit du travail et absorbe de la chaleur à l'intérieur du réfrigérateur, le refroidissant).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour vérifier la compréhension)
Si le gaz avait subi une détente isotherme produisant un travail de \(4000 \text{ J}\) (donc \(W = -4000 \text{ J}\)), quelle quantité de chaleur \(Q\) aurait-il échangée ?
Question 5 : Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\)
Principe (le concept physique)
Cette question est une application directe de la première loi de Joule pour les gaz parfaits, qui stipule que l'énergie interne d'un tel gaz ne dépend que de sa température.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
À l'échelle microscopique, l'énergie interne \(U\) représente la somme des énergies cinétiques de toutes les molécules du gaz. L'agitation thermique (et donc l'énergie cinétique moyenne) est directement liée à la température absolue. Pour un gaz parfait, on ignore les forces d'attraction ou de répulsion, donc il n'y a pas d'énergie potentielle d'interaction. Ainsi, \(U\) ne dépend que de l'agitation, donc uniquement de \(T\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Face à une question sur \(\Delta U\) pour un gaz parfait, votre premier réflexe doit être de regarder la variation de température \(\Delta T\). Si \(\Delta T = 0\), alors \(\Delta U = 0\). C'est aussi simple que cela !
Normes (la référence réglementaire)
La première loi de Joule est une loi expérimentale fondamentale de la thermodynamique des gaz.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule générale de la variation d'énergie interne
Où \(C_v\) est la capacité thermique molaire à volume constant.
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le gaz est supposé parfait.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
La donnée clé est que la transformation est isotherme.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Variation de température | \(\Delta T\) | 0 | K |
Schéma (Avant les calculs)
Représentation de l'agitation moléculaire constante
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la variation de température
Calcul de la variation d'énergie interne
Schéma (Après les calculs)
Graphique de l'Énergie interne en fonction de la Température
Points à retenir (pour maîtriser la question)
Pour toute transformation isotherme d'un gaz parfait, la variation d'énergie interne est toujours nulle. C'est un résultat fondamental à retenir, qui simplifie grandement l'application du premier principe (\(Q = -W\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
James Prescott Joule a démontré cette loi expérimentalement vers 1845 avec sa célèbre expérience de la détente de Joule-Gay-Lussac. Il a laissé un gaz se détendre dans le vide (sans produire de travail) et a observé que la température du gaz ne changeait quasiment pas, prouvant que son énergie interne ne dépendait pas du volume.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour vérifier la compréhension)
Si la température du gaz augmentait de \(10 \text{ K}\) (\(\Delta T = +10 \text{ K}\)), la variation d'énergie interne \(\Delta U\) serait-elle positive, négative ou nulle ?
Outil Interactif : Simulateur de Compression Isotherme
Utilisez les curseurs pour modifier la quantité de gaz et le volume initial. Observez l'impact sur la pression et le travail nécessaire pour une compression qui divise le volume par deux (\(V_2 = V_1/2\)) à 300 K.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (pour V₂ = V₁/2)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Lors d'une transformation isotherme d'un gaz parfait, quelle grandeur reste constante ?
2. Si on divise le volume d'un gaz parfait par 3 lors d'une compression isotherme, que fait sa pression ?
3. Lors d'une détente isotherme (le gaz se détend), le travail \(W\) reçu par le gaz est :
4. Pour une transformation isotherme d'un gaz parfait, comment sont liés le travail W et la chaleur Q ?
Glossaire
- Gaz Idéal (ou Parfait)
- Modèle théorique d'un gaz où les particules sont considérées comme ponctuelles et sans interactions entre elles, sauf lors des collisions. Il obéit parfaitement à la loi \(PV = nRT\).
- Transformation Isotherme
- Processus thermodynamique qui se déroule à température constante (\(\Delta T = 0\)).
- Énergie Interne (\(U\))
- Somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles des particules constituant un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.
- Travail (\(W\))
- Énergie transférée entre un système et son environnement par le biais d'une force agissant sur une distance. En thermodynamique, il est souvent lié à la variation de volume (\(W > 0\) si le système reçoit du travail, comme lors d'une compression).
- Chaleur (\(Q\))
- Énergie transférée entre deux systèmes en raison d'une différence de température. (\(Q > 0\) si le système reçoit de la chaleur).
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