Transformation Isobare d'un Gaz Parfait

Contexte : La Transformation IsobareUn processus thermodynamique au cours duquel la pression du système reste constante..

En thermodynamique, l'étude des gaz parfaits est fondamentale. Une transformation isobare est un processus particulièrement courant, par exemple dans un cylindre muni d'un piston mobile laissé à l'air libre, où la pression extérieure reste constante. Cet exercice vous guidera dans le calcul des grandeurs thermodynamiques clés (travail, chaleur, énergie interne) pour de l'hélium subissant une expansion à pression constante.

Remarque Pédagogique : Cet exercice a pour but de vous faire appliquer concrètement la loi de Charles et le Premier Principe de la Thermodynamique, deux piliers de l'étude des gaz parfaits.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi de Charles (\(V/T = \text{constante}\)) pour déterminer l'état final d'un gaz.
Calculer le travail (\(W\)), la chaleur (\(Q\)) et la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)).
Utiliser le Premier Principe de la Thermodynamique pour lier ces grandeurs.

Données de l'étude

On considère un cylindre fermé par un piston mobile sans frottement, contenant de l'hélium assimilé à un gaz parfait. Le système est initialement à l'équilibre. On lui fournit de la chaleur, ce qui provoque une expansion lente (quasi-statique) à pression constante.

Schéma de l'Expansion Isobare

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression constante	\(P\)	200	kPa
Volume initial	\(V_1\)	5	L
Température initiale	\(T_1\)	27	°C
Quantité de matière (Hélium)	\(n\)	0.4	mol
Capacité thermique molaire à vol. ct.	\(C_{v,m}\)	12.47	J·mol⁻¹·K⁻¹
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8.314	J·mol⁻¹·K⁻¹

Questions à traiter

Convertir la température initiale en Kelvin.
Le système est chauffé jusqu'à une température finale de 127 °C. Calculer le volume final \(V_2\) en litres.
Calculer le travail \(W\) (en Joules) reçu par le gaz lors de cette transformation.
Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) (en Joules) du gaz.
En déduire la quantité de chaleur \(Q\) (en Joules) reçue par le gaz.

Les bases sur la Thermodynamique du Gaz Parfait

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur trois piliers : la loi des gaz parfaits, qui décrit l'état du système ; la loi de Charles, qui régit les transformations isobares ; et le Premier Principe, qui fait le bilan des échanges d'énergie.

1. Lois des Gaz Parfaits
L'état d'un gaz parfait est décrit par l'équation \(PV = nRT\). Pour une transformation à pression constante (isobare) d'une quantité de gaz donnée, cette loi se simplifie en Loi de Charles : \[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \] Où les températures \(T\) doivent impérativement être exprimées en Kelvin.

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2. Premier Principe de la Thermodynamique
Ce principe de conservation de l'énergie stipule que la variation d'énergie interne \(\Delta U\) d'un système est égale à la somme du travail \(W\) et de la chaleur \(Q\) qu'il échange avec l'extérieur : \[ \Delta U = W + Q \]

3. Calcul des Grandeurs Thermodynamiques
Pour un gaz parfait subissant une transformation isobare réversible :

Travail reçu par le gaz : \(W = - \int P \, dV = -P(V_2 - V_1)\)
Variation d'énergie interne : Ne dépend que de la température. \(\Delta U = n C_{v,m} (T_2 - T_1)\)
Chaleur échangée : \(Q = n C_{p,m} (T_2 - T_1)\), avec \(C_{p,m} = C_{v,m} + R\) (Relation de Mayer).

Correction : Transformation Isobare d’un Gaz Parfait

Question 1 : Convertir la température initiale en Kelvin.

Principe

En thermodynamique, l'échelle de température absolue (Kelvin) est l'échelle de référence car elle est directement liée à l'énergie cinétique moyenne des particules. Zéro Kelvin représente l'absence totale d'agitation thermique. Toutes les formules de gaz parfaits utilisent cette échelle.

Mini-Cours

L'échelle Kelvin, notée K, est une échelle de température thermodynamique où le zéro absolu (0 K) est le point le plus bas possible. Contrairement aux degrés Celsius ou Fahrenheit, elle n'utilise pas de "degrés". Une variation de 1 K est exactement égale à une variation de 1 °C.

Remarque Pédagogique

Prenez toujours l'habitude, avant même de lire la suite d'un énoncé de thermodynamique, de repérer toutes les températures en Celsius et de les convertir immédiatement en Kelvin. C'est un réflexe qui vous évitera 90% des erreurs d'inattention.

Normes

Le Kelvin est l'unité de température thermodynamique du Système International d'unités (SI). Son utilisation est donc la norme dans tous les calculs scientifiques et d'ingénierie rigoureux.

Formule(s)

Formule de conversion Celsius vers Kelvin

T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15

Hypothèses

Aucune hypothèse physique n'est nécessaire, il s'agit d'une simple conversion d'unité basée sur la définition des échelles de température.

Donnée(s)

On extrait la seule donnée nécessaire de l'énoncé pour cette question.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Température initiale	\(T_1\)	27	°C

Astuces

Pour des calculs rapides ou des estimations, on utilise souvent l'approximation 273 au lieu de 273.15. Dans le cadre d'un examen, utilisez toujours la valeur la plus précise fournie.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison des Échelles de Température

Calcul(s)

Application de la formule de conversion

\begin{aligned} T_1 &= 27 + 273.15 \\ &= 300.15 \text{ K} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Correspondance des Températures

Réflexions

La température de 300.15 K (proche de 300 K) est une température ambiante courante et sert souvent de point de départ dans les exercices de thermodynamique. C'est un ordre de grandeur à retenir.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune en thermodynamique est d'oublier de convertir les températures Celsius en Kelvin. Cette erreur fausse tous les calculs qui suivent, notamment ceux basés sur les rapports de température comme la loi de Charles.

Points à retenir

Toute la thermodynamique des gaz se fait en Kelvin.
La conversion est une addition : \(T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15\).

Le saviez-vous ?

L'échelle Kelvin a été nommée en l'honneur de l'ingénieur et physicien William Thomson, 1er Baron Kelvin, qui a reconnu la nécessité d'une échelle de température thermodynamique partant du zéro absolu.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La température initiale du gaz est de 300.15 K.

A vous de jouer

Quelle serait la température en Kelvin si le gaz était refroidi à -73.15 °C ?

Question 2 : Calculer le volume final \(V_2\) en litres.

Principe

Comme la pression est constante, le volume du gaz est directement proportionnel à sa température absolue (loi de Charles). Si on chauffe le gaz, les particules s'agitent davantage et repoussent le piston pour occuper un volume plus grand, jusqu'à ce que la pression interne égale à nouveau la pression externe.

Mini-Cours

La loi de Charles, formulée par Jacques Charles vers 1787, est un cas particulier de la loi des gaz parfaits. Elle montre que pour une transformation isobare, le graphique du volume \(V\) en fonction de la température \(T\) (en Kelvin) est une droite passant par l'origine. Cela signifie que si on double la température absolue, on double le volume.

Remarque Pédagogique

Visualisez l'expérience : vous chauffez le cylindre. Le gaz à l'intérieur se dilate et pousse le piston vers le haut. Le volume augmente. La loi de Charles vous permet de quantifier précisément cette augmentation de volume.

Normes

La loi de Charles n'est pas une norme mais une loi fondamentale de la physique, applicable au modèle du gaz parfait.

Formule(s)

Loi de Charles

\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}

Formule pour calculer le volume final

V_2 = V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}

Hypothèses

Pour appliquer cette loi, on doit supposer que :

Le gaz se comporte comme un gaz parfait.
La transformation est isobare (pression constante).
La quantité de matière \(n\) ne change pas (système fermé).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la question précédente.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Volume initial	\(V_1\)	5	L
Température initiale	\(T_1\)	300.15	K
Température finale	\(T_2\)	127	°C

Schéma (Avant les calculs)

État Initial du Système

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la température finale en Kelvin

\begin{aligned} T_2 &= 127 + 273.15 \\ &= 400.15 \text{ K} \end{aligned}

Étape 2 : Application de la loi de Charles

On peut laisser les volumes en litres car c'est un rapport. L'unité de \(V_2\) sera la même que celle de \(V_1\).

\begin{aligned} V_2 &= 5 \text{ L} \times \frac{400.15 \text{ K}}{300.15 \text{ K}} \\ &\approx 6.666 \text{ L} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

État Final du Système

Réflexions

La température absolue a augmenté d'un facteur \(400.15 / 300.15 \approx 1.33\). Le volume a donc aussi augmenté d'un facteur 1.33 (\(5 \times 1.333 \approx 6.67\)). Le résultat est cohérent.

Points de vigilance

Attention à ne jamais utiliser les températures en Celsius dans la formule de la loi de Charles. Le calcul \(5 \times (127/27)\) donnerait un résultat complètement faux.

Points à retenir

À pression constante, le volume est proportionnel à la température absolue : \(V \propto T\).
La formule clé est \(V_2 = V_1 \cdot (T_2 / T_1)\).

Le saviez-vous ?

Bien que la loi soit attribuée à Jacques Charles, c'est Joseph Louis Gay-Lussac qui l'a publiée pour la première fois en 1802, en créditant Charles pour son travail non publié des années 1780.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le volume final du gaz est d'environ 6.67 L.

A vous de jouer

Si on avait refroidi le gaz jusqu'à -73.15 °C, quel aurait été son volume final en L ?

Question 3 : Calculer le travail \(W\) reçu par le gaz.

Principe

Le gaz se détend et pousse le piston. Il exerce une force sur une certaine distance. Il fournit donc du travail au milieu extérieur (l'atmosphère). Par convention thermodynamique, le travail reçu par le système est donc négatif.

Mini-Cours

Le travail des forces de pression est calculé par l'intégrale \(W = - \int_{V_1}^{V_2} P_{\text{ext}} \, dV\). Pour une transformation isobare réversible (quasi-statique), la pression du système \(P\) est à tout instant égale à la pression extérieure \(P_{\text{ext}}\), qui est constante. L'intégrale se simplifie donc grandement.

Remarque Pédagogique

Imaginez le travail comme une "perte" d'énergie pour le gaz, qui la "dépense" pour pousser le piston. C'est pourquoi le travail reçu est négatif lors d'une détente (expansion) et positif lors d'une compression.

Normes

Le Joule (J) est l'unité d'énergie et de travail du Système International (SI).

Formule(s)

Formule du travail pour une transformation isobare

W = -P \cdot (V_2 - V_1)

Hypothèses

La transformation est supposée réversible (ou quasi-statique), ce qui permet d'utiliser la pression \(P\) du système dans le calcul du travail.

Donnée(s)

Les données proviennent de l'énoncé et du calcul du volume final à la question 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression constante	\(P\)	200	kPa
Volume initial	\(V_1\)	5	L
Volume final	\(V_2\)	6.666	L

Astuces

On peut utiliser l'équation des gaz parfaits pour réécrire la formule du travail : \(P(V_2 - V_1) = PV_2 - PV_1 = nRT_2 - nRT_1 = nR(T_2 - T_1)\). On a donc aussi \(W = -nR(T_2-T_1)\). C'est parfois plus rapide si on n'a pas calculé les volumes.

Schéma (Avant les calculs)

Le diagramme de Clapeyron (P en ordonnée, V en abscisse) représente la transformation par un segment horizontal. Le travail que l'on cherche à calculer correspond à l'opposé de l'aire sous ce segment.

Diagramme P-V de la transformation

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion des unités en SI

Conversion de la pression

\begin{aligned} P &= 200 \text{ kPa} \\ &= 200 \times 10^3 \text{ Pa} \end{aligned}

Conversion du volume initial

\begin{aligned} V_1 &= 5 \text{ L} \\ &= 5 \times 10^{-3} \text{ m}^3 \end{aligned}

Conversion du volume final

\begin{aligned} V_2 &= 6.666 \text{ L} \\ &= 6.666 \times 10^{-3} \text{ m}^3 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du travail

\begin{aligned} W &= - P \cdot (V_2 - V_1) \\ &= - (200 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (6.666 \times 10^{-3} \text{ m}^3 - 5 \times 10^{-3} \text{ m}^3) \\ &= - (200 \times 10^3) \times (1.666 \times 10^{-3}) \text{ J} \\ &\approx -333.2 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La valeur calculée de -333.2 J correspond à l'opposé de l'aire de la zone hachurée sur le diagramme P-V.

Interprétation Graphique du Travail

Réflexions

Le signe négatif confirme que le système a fourni du travail à l'extérieur (c'est une détente), donc il en a "reçu" une quantité négative.

Points de vigilance

Deux erreurs classiques : oublier le signe "moins" dans la formule du travail reçu, et ne pas convertir les unités en SI (mélanger des kPa et des Litres donne des kPa·L, pas des Joules !).

Points à retenir

Le travail reçu par un gaz qui se détend est négatif.
La formule pour une transformation isobare est \(W = -P \Delta V\).
Les unités SI (Pa, m³, J) sont impératives pour le calcul.

Le saviez-vous ?

Le concept de "travail" a été formalisé en physique au 19ème siècle, en grande partie grâce aux travaux de l'ingénieur français Sadi Carnot sur l'efficacité des machines à vapeur, qui sont des exemples concrets de systèmes thermodynamiques échangeant travail et chaleur.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le travail reçu par le gaz est d'environ -333.2 J.

A vous de jouer

Si la pression avait été de 100 kPa, quel aurait été le travail reçu par le gaz (en J) pour la même détente ?

Question 4 : Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz.

Principe

Pour un gaz parfait, l'énergie interne est la somme des énergies cinétiques de toutes ses particules. Elle ne dépend que de la température. Comme le gaz a été chauffé, sa température a augmenté, donc son énergie interne a également augmenté.

Mini-Cours

La première loi de Joule stipule que l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. C'est une simplification majeure. Pour un gaz réel, l'énergie interne dépend aussi du volume (à cause des forces intermoléculaires). La capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{v,m}\)) est le coefficient de proportionnalité qui lie la variation d'énergie interne à la variation de température.

Remarque Pédagogique

Peu importe le chemin suivi (isobare, isochore, etc.), si la température initiale et finale sont les mêmes, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) pour un gaz parfait sera toujours la même. \(\Delta U\) est ce qu'on appelle une "fonction d'état".

Normes

Les lois de Joule sont des lois fondamentales de la physique, pas des normes industrielles.

Formule(s)

Formule de la variation d'énergie interne

\Delta U = n \cdot C_{v,m} \cdot (T_2 - T_1)

Hypothèses

Le gaz est supposé parfait et sa capacité thermique \(C_{v,m}\) est supposée constante sur l'intervalle de température considéré.

Donnée(s)

Les données proviennent de l'énoncé et des calculs de température des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	\(n\)	0.4	mol
Capacité thermique	\(C_{v,m}\)	12.47	J·mol⁻¹·K⁻¹
Température initiale	\(T_1\)	300.15	K
Température finale	\(T_2\)	400.15	K

Schéma (Avant les calculs)

Variation de Température du Système

Calcul(s)

Toutes les données sont connues et les températures sont en Kelvin. La différence de température est la même en Kelvin ou en Celsius (\(\Delta T_K = \Delta T_C\)).

Application numérique

\begin{aligned} \Delta U &= n \cdot C_{v,m} \cdot (T_2 - T_1) \\ &= (0.4 \text{ mol}) \times (12.47 \text{ J·mol⁻¹·K⁻¹}) \times (400.15 \text{ K} - 300.15 \text{ K}) \\ &= 0.4 \times 12.47 \times 100 \text{ J} \\ &= 498.8 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

L'augmentation de l'énergie interne se traduit par une agitation thermique plus importante des particules de gaz, comme illustré ci-dessous.

Augmentation de l'Agitation Thermique

Réflexions

Le signe positif indique bien que l'énergie interne du gaz a augmenté, ce qui est cohérent avec l'augmentation de température. L'énergie stockée dans le gaz sous forme d'agitation thermique a crû de 498.8 J.

Points de vigilance

Faites attention à bien utiliser la capacité thermique à volume constant (\(C_{v,m}\)) pour calculer \(\Delta U\), même si la transformation se fait à pression constante. C'est une source d'erreur fréquente.

Points à retenir

La variation d'énergie interne \(\Delta U\) d'un gaz parfait ne dépend que de \(\Delta T\).
La formule est toujours \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\).

Le saviez-vous ?

L'hélium est un gaz monoatomique. Pour un gaz parfait monoatomique, la théorie cinétique des gaz prédit que \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\). Vérifions : \(\frac{3}{2} \times 8.314 \approx 12.471\) J·mol⁻¹·K⁻¹. La valeur de l'énoncé est donc parfaitement cohérente !

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La variation d'énergie interne est de 498.8 J.

A vous de jouer

Si le gaz avait été du diazote (diatomique, \(C_{v,m} \approx 20.8 \text{ J·mol⁻¹·K⁻¹}\)), quelle aurait été la variation d'énergie interne (en J) ?

Question 5 : En déduire la quantité de chaleur \(Q\) reçue par le gaz.

Principe

Le Premier Principe de la Thermodynamique permet de faire le bilan d'énergie. L'énergie n'est ni créée ni détruite. La chaleur \(Q\) apportée au système (source d'énergie) a été utilisée de deux manières : une partie a été stockée sous forme d'énergie interne (\(\Delta U\)), et l'autre partie a été "dépensée" pour fournir le travail d'expansion (\(-W\)).

Mini-Cours

Le Premier Principe (\( \Delta U = W + Q \)) est une des lois les plus fondamentales de la physique. Il relie les deux modes de transfert d'énergie (travail, macroscopique et ordonné ; chaleur, microscopique et désordonné) à la variation d'une propriété intrinsèque du système (l'énergie interne). C'est la loi de conservation de l'énergie appliquée à la thermodynamique.

Remarque Pédagogique

Cette question est une conclusion logique des précédentes. Elle vous force à assembler toutes les pièces du puzzle (travail et énergie interne) pour faire un bilan complet grâce au Premier Principe. C'est souvent la question finale d'un exercice de thermo.

Normes

Le Premier Principe de la Thermodynamique est une loi universelle de la physique.

Formule(s)

Premier Principe de la Thermodynamique

\Delta U = W + Q

Formule pour calculer la chaleur

Q = \Delta U - W

Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire. On applique simplement le premier principe au système fermé que l'on étudie.

Donnée(s)

On utilise les résultats calculés dans les questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Variation d'énergie interne	\(\Delta U\)	498.8	J
Travail reçu	\(W\)	-333.2	J

Astuces

On peut vérifier ce résultat en calculant directement la chaleur avec la capacité thermique à pression constante \(C_{p,m}\). D'après la relation de Mayer, \(C_{p,m} = C_{v,m} + R = 12.47 + 8.314 = 20.784\) J·mol⁻¹·K⁻¹.
Alors \(Q = n C_{p,m} \Delta T = 0.4 \times 20.784 \times 100 \approx 831.4\) J. La petite différence avec notre résultat est simplement due aux arrondis des calculs précédents.

Schéma (Avant les calculs)

Avant le calcul, nous connaissons la variation d'énergie interne et le travail fourni par le système. Nous cherchons la quantité de chaleur qu'il a fallu apporter pour permettre cette transformation.

Bilan Énergétique Incomplet

Calcul(s)

On utilise les résultats des questions précédentes. Attention au double signe négatif.

\begin{aligned} Q &= \Delta U - W \\ &= 498.8 \text{ J} - (-333.2 \text{ J}) \\ &= 498.8 \text{ J} + 333.2 \text{ J} \\ &= 832.0 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le bilan énergétique est maintenant complet. La chaleur entrante se répartit entre l'augmentation de l'énergie interne et le travail fourni à l'extérieur.

Bilan Énergétique Complet

Réflexions

Le résultat est positif, ce qui signifie que le système a bien reçu de la chaleur du milieu extérieur, ce qui est cohérent avec l'énoncé ("On lui fournit de la chaleur"). On voit que la chaleur fournie (832 J) est supérieure à l'augmentation de l'énergie interne (498.8 J), car une partie de l'énergie a été "perdue" sous forme de travail fourni à l'extérieur (333.2 J).

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente ici est une erreur de signe dans la formule \(Q = \Delta U - W\). Il est plus sûr de toujours partir de la forme de base \(\Delta U = W + Q\) et de manipuler l'équation ensuite pour éviter toute confusion.

Points à retenir

Le premier principe \(\Delta U = W + Q\) est la clé de tout bilan d'énergie.
\(Q\) est la chaleur reçue (positive si le système est chauffé).
\(W\) est le travail reçu (négatif si le système se détend).

Le saviez-vous ?

L'enthalpie, notée \(H = U + PV\), est une fonction d'état très utile pour les transformations isobares. Pour une telle transformation, la chaleur échangée est simplement égale à la variation d'enthalpie : \(Q_P = \Delta H\). C'est un raccourci de calcul très puissant en chimie et en ingénierie.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La quantité de chaleur reçue par le gaz est de 832.0 J.

A vous de jouer

Si la variation d'énergie interne avait été de 600 J et le travail reçu de -400 J, quelle aurait été la chaleur reçue (en J) ?

Outil Interactif : Simulateur Isobare

Utilisez le simulateur pour voir comment le volume final et le travail varient en fonction de la température finale et de la pression, pour 0.4 mol de gaz initialement à 5L et 27°C.

Paramètres d'Entrée

Température Finale (°C) 127 °C

Pression (kPa) 200 kPa

Résultats Clés

Volume Final (L) -

Travail Reçu (J) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle grandeur physique est constante lors d'une transformation isobare ?

Le Volume
La Pression
La Température

2. Lors d'une expansion isobare (\(V_2 > V_1\)), le travail reçu par le gaz est...

Positif
Nul
Négatif

3. La loi de Charles établit une relation de proportionnalité entre...

Le volume et la température absolue
La pression et le volume
La pression et la température

Transformation Isobare: Un processus thermodynamique qui se déroule à pression constante (\( \Delta P = 0 \)).
Premier Principe de la Thermodynamique: Aussi appelé principe de conservation de l'énergie, il stipule que la variation d'énergie interne d'un système, \( \Delta U \), est égale à la somme du travail \( W \) et de la chaleur \( Q \) échangés avec le milieu extérieur : \( \Delta U = W + Q \).
Loi de Charles: Pour une quantité fixe de gaz parfait à pression constante, le volume est directement proportionnel à la température absolue (en Kelvin). \( V/T = \text{constante} \).