Étude des Aberrations Sphériques

Principe :

La formule des opticiens (ou du fabricant de lentilles) pour une lentille mince dans l'air relie la distance focale (\(f\)) à l'indice de réfraction (\(n\)) du matériau de la lentille et aux rayons de courbure de ses faces (\(R_1\) et \(R_2\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Attention aux conventions de signe pour \(R_1\) et \(R_2\). Pour une lentille biconvexe, si la lumière vient de la gauche : \(R_1 > 0\) (surface d'entrée convexe) et \(R_2 < 0\) (surface de sortie concave vue de l'intérieur, ou convexe vue de l'extérieur).

Données spécifiques :

• \(n = 1.50\)
• \(R_1 = +50.0 \, \text{mm} = 0.0500 \, \text{m}\)
• \(R_2 = -50.0 \, \text{mm} = -0.0500 \, \text{m}\)

Calcul :

Principe :

L'aberration sphérique longitudinale est la différence entre la distance focale paraxiale (\(f_p\)) et la distance focale marginale (\(f_m\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(f_p = 50.0 \, \text{mm}\)
• \(f_m = 48.5 \, \text{mm}\)

Calcul :

Principe :

Le cercle de moindre confusion (CMC) est la section la plus petite du faisceau lumineux conique formé par une lentille présentant une aberration sphérique. C'est l'endroit où l'image d'un point objet à l'infini apparaît la moins floue.

Discussion qualitative :

En présence d'aberration sphérique, il n'y a pas de point focal unique. Les rayons paraxiaux convergent en \(F_p\) et les rayons marginaux en \(F_m\). Entre ces deux points, le faisceau lumineux passe par un minimum de section transversale : c'est le cercle de moindre confusion.

Son importance réside dans le fait qu'il représente la meilleure image ponctuelle que la lentille peut former. Le diamètre de ce cercle détermine la résolution maximale atteignable par le système optique. Un petit cercle de moindre confusion signifie une image plus nette. En photographie ou en conception d'instruments optiques, on cherche souvent à placer le capteur ou le plan image à la position du cercle de moindre confusion pour obtenir la meilleure qualité d'image possible compte tenu des aberrations.

Principe :

Une approximation du rayon du cercle de moindre confusion est donnée par la formule fournie, qui le relie à la demi-ouverture de la lentille (\(H\)), à l'aberration sphérique longitudinale (ASL), et à la distance focale paraxiale (\(f_p\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• Diamètre de la lentille \(D = 40.0 \, \text{mm}\), donc demi-ouverture \(H = D/2 = 20.0 \, \text{mm}\)
• \(\text{ASL} = 1.5 \, \text{mm}\)
• \(f_p = 50.0 \, \text{mm}\)

Calcul :

Principe :

Diaphragmer une lentille signifie réduire son ouverture utile, c'est-à-dire bloquer les rayons les plus éloignés de l'axe optique (rayons marginaux).

Effet qualitatif :

• Sur l'aberration sphérique longitudinale (ASL) : L'ASL est la différence entre le foyer des rayons paraxiaux et celui des rayons marginaux. Si l'on bloque les rayons les plus marginaux, les rayons restants qui contribuent à la formation de l'image sont plus proches de l'axe. Le "nouveau" foyer marginal (pour les rayons les plus externes passant encore) sera plus proche du foyer paraxial. Par conséquent, l'ASL (la différence \(f_p - f'_m\)) diminuera.
• Sur le rayon du cercle de moindre confusion (\(r_{\text{cmc}}\)) : La formule \(r_{\text{cmc}} \approx \frac{1}{2} H \frac{|\text{ASL}|}{f_p}\) montre que \(r_{\text{cmc}}\) est proportionnel à \(H\) (demi-ouverture) et à l'ASL. Si l'on diaphragme, \(H\) diminue. Comme nous avons vu que l'ASL diminue également (et souvent de manière plus significative avec la réduction de \(H\), car l'ASL varie typiquement avec \(H^2\)), le rayon du cercle de moindre confusion va aussi diminuer, conduisant à une image plus nette. L'inconvénient principal du diaphragme est une réduction de la quantité de lumière collectée par la lentille.

Explication :

Plusieurs méthodes peuvent être employées pour réduire ou corriger l'aberration sphérique dans les systèmes optiques :

• Utilisation de lentilles asphériques : Les surfaces des lentilles asphériques ne sont pas des portions de sphères. Leur forme est optimisée pour faire converger tous les rayons (paraxiaux et marginaux) vers un point focal unique, réduisant ainsi considérablement l'aberration sphérique. Elles sont plus complexes et coûteuses à fabriquer.
• Optimisation de la forme de la lentille ("bending") : Pour une lentille simple avec une distance focale donnée, on peut minimiser l'aberration sphérique en choisissant judicieusement les rayons de courbure de ses deux faces. Par exemple, une lentille plan-convexe produit moins d'aberration sphérique lorsqu'elle est orientée avec sa face plane vers l'objet (si l'objet est éloigné) ou vers l'image (si l'image est éloignée).
• Utilisation de doublets ou de systèmes de plusieurs lentilles : En combinant plusieurs lentilles avec des indices de réfraction et des formes différentes (par exemple, un doublet achromatique), on peut non seulement corriger l'aberration chromatique mais aussi réduire l'aberration sphérique. Les aberrations d'une lentille peuvent être compensées par celles d'une autre.
• Utilisation d'un diaphragme d'ouverture : Comme discuté à la question 5, réduire l'ouverture de la lentille en utilisant un diaphragme bloque les rayons marginaux, qui sont les principaux contributeurs à l'aberration sphérique. Cela améliore la netteté mais réduit la luminosité.
• Utilisation de lentilles à gradient d'indice (GRIN) : Ces lentilles ont un indice de réfraction qui varie de manière continue à l'intérieur du matériau, ce qui peut être utilisé pour courber les rayons lumineux de manière à réduire les aberrations.