Diffraction de Fraunhofer par une Fente

Comprendre la Diffraction de Fraunhofer par une Fente Rectangulaire

La diffraction est un phénomène qui se manifeste lorsque des ondes rencontrent un obstacle ou une ouverture dont les dimensions sont de l'ordre de grandeur de leur longueur d'onde. La lumière, en tant qu'onde électromagnétique, subit également ce phénomène. La diffraction de Fraunhofer (ou diffraction à l'infini) se produit lorsque la source lumineuse et l'écran d'observation sont situés à une très grande distance de l'obstacle diffractant, ou lorsque des lentilles sont utilisées pour placer la source et l'écran dans les plans focaux image et objet respectivement.

Lorsqu'une onde plane monochromatique traverse une fente rectangulaire fine, chaque point de la fente peut être considéré comme une source secondaire d'ondelettes (principe de Huygens-Fresnel). Ces ondelettes interfèrent entre elles pour former une figure de diffraction sur un écran lointain. Cette figure est caractérisée par un maximum central très lumineux et large, encadré par des maxima secondaires moins intenses et plus étroits, séparés par des minima d'intensité nulle.

Données de l'étude

On étudie la diffraction de Fraunhofer produite par une fente rectangulaire de largeur $a$. La fente est éclairée en incidence normale par une lumière monochromatique de longueur d'onde $\lambda$. La figure de diffraction est observée sur un écran situé à une distance $D$ de la fente, avec $D \gg a$.

Caractéristiques du dispositif et de la lumière :

Largeur de la fente ($a$) : $0.05 \, \text{mm}$
Longueur d'onde de la lumière ($\lambda$) : $600 \, \text{nm}$
Distance fente-écran ($D$) : $1.5 \, \text{m}$

Hypothèses : On se place dans les conditions de la diffraction de Fraunhofer. On utilisera l'approximation des petits angles ($\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$, où $\theta$ est en radians).

Schéma : Diffraction par une Fente Rectangulaire

Diffraction de Fraunhofer par une fente rectangulaire de largeur $a$.

Questions à traiter

Énoncer la condition d'obtention des minima d'intensité dans la figure de diffraction de Fraunhofer par une fente rectangulaire de largeur $a$, en fonction de l'angle de diffraction $\theta$.
Donner l'expression des positions angulaires $\theta_{\text{m}}$ des minima de diffraction (où $m$ est un entier non nul, appelé ordre du minimum).
En utilisant l'approximation des petits angles, exprimer les positions linéaires $y_{\text{m}}$ de ces minima sur l'écran.
Calculer la position linéaire $y_1$ du premier minimum de diffraction ($m=1$) par rapport au centre de la figure de diffraction.
Définir et calculer la largeur angulaire $\Delta\theta_c$ de la tache centrale de diffraction (distance angulaire entre les deux premiers minima).
Calculer la largeur linéaire $L_c$ de la tache centrale de diffraction sur l'écran.
Comment la largeur de la tache centrale de diffraction ($L_c$) est-elle modifiée si :
a) La longueur d'onde $\lambda$ de la lumière est augmentée ?
b) La largeur de la fente $a$ est augmentée ?

Correction : Diffraction de Fraunhofer par une Fente Rectangulaire

Question 1 : Condition des Minima d'Intensité

Principe :

Dans la diffraction de Fraunhofer par une fente unique de largeur $a$, les minima d'intensité (extinctions) se produisent lorsque chaque point de la fente peut être apparié avec un autre point distant de $a/2$ tel que la différence de marche entre les ondelettes issues de ces deux points est un multiple impair de $\lambda/2$. Plus simplement, la condition pour un minimum est que la différence de marche entre les rayons issus des bords de la fente soit un multiple entier de $\lambda$. Toutefois, la condition usuelle pour les minima est donnée par :

Condition :

a \sin\theta = m \lambda \quad (m \in \mathbb{Z}, m \neq 0)

Où $\theta$ est l'angle de diffraction, $a$ la largeur de la fente, $\lambda$ la longueur d'onde, et $m$ un entier non nul ($\pm 1, \pm 2, \dots$) désignant l'ordre du minimum. Pour $m=0$, $\sin\theta = 0$, ce qui correspond au maximum central, et non à un minimum.

Résultat Question 1 : La condition pour les minima d'intensité est $a \sin\theta = m \lambda$, où $m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$.

Question 2 : Positions Angulaires ($\theta_{\text{m}}$) des Minima

Principe :

À partir de la condition des minima, on peut exprimer directement $\sin\theta_{\text{m}}$ et, pour des petits angles, $\theta_{\text{m}}$ lui-même.

Formule(s) utilisée(s) :

a \sin\theta_{\text{m}} = m \lambda\] \[\sin\theta_{\text{m}} = \frac{m \lambda}{a}\] \[\text{Pour des petits angles, } \theta_{\text{m}} \approx \sin\theta_{\text{m}} \text{ (en radians)}\] \[\theta_{\text{m}} \approx \frac{m \lambda}{a} \quad (m = \pm 1, \pm 2, \dots)

Résultat Question 2 : Les positions angulaires des minima sont $\theta_{\text{m}} \approx \frac{m \lambda}{a}$ (pour $m \neq 0$).

Question 3 : Positions Linéaires ($y_{\text{m}}$) des Minima sur l'Écran

Principe :

La position linéaire $y_{\text{m}}$ sur l'écran est reliée à la position angulaire $\theta_{\text{m}}$ par la relation $\tan\theta_{\text{m}} = y_{\text{m}}/D$. Pour les petits angles, $\tan\theta_{\text{m}} \approx \theta_{\text{m}}$.

Formule(s) utilisée(s) :

y_{\text{m}} = D \tan\theta_{\text{m}}\] \[\text{Pour des petits angles, } \tan\theta_{\text{m}} \approx \theta_{\text{m}}\] \[y_{\text{m}} \approx D \theta_{\text{m}}\] \[\text{En substituant } \theta_{\text{m}} \approx \frac{m \lambda}{a} \text{ :}\] \[y_{\text{m}} \approx \frac{m \lambda D}{a} \quad (m = \pm 1, \pm 2, \dots)

Résultat Question 3 : Les positions linéaires des minima sur l'écran sont $y_{\text{m}} \approx \frac{m \lambda D}{a}$ (pour $m \neq 0$).

Question 4 : Position Linéaire du Premier Minimum ($y_1$)

Principe :

On utilise la formule $y_{\text{m}} \approx \frac{m \lambda D}{a}$ avec $m=1$ (ou $m=-1$ pour le premier minimum de l'autre côté de l'axe).

Données spécifiques :

$\lambda = 600 \, \text{nm} = 600 \times 10^{-9} \, \text{m}$
$a = 0.05 \, \text{mm} = 0.05 \times 10^{-3} \, \text{m} = 5 \times 10^{-5} \, \text{m}$
$D = 1.5 \, \text{m}$

Calcul :

Pour le premier minimum ($m=1$) :

\begin{aligned} y_1 &\approx \frac{1 \cdot (600 \times 10^{-9} \, \text{m}) \cdot (1.5 \, \text{m})}{5 \times 10^{-5} \, \text{m}} \\ &= \frac{900 \times 10^{-9} \, \text{m}^2}{5 \times 10^{-5} \, \text{m}} \\ &= \frac{900}{5} \times 10^{-9 - (-5)} \, \text{m} \\ &= 180 \times 10^{-4} \, \text{m} \\ &= 1.8 \times 10^{-2} \, \text{m} = 1.8 \, \text{cm} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La position linéaire du premier minimum ($m=1$) est $y_1 \approx 1.8 \, \text{cm}$.

Quiz Intermédiaire 1 : Si la largeur de la fente $a$ diminue, la position $y_1$ du premier minimum :

Augmente (s'éloigne du centre).
Diminue (se rapproche du centre).
Reste la même.
Devient nulle.

Question 5 : Largeur Angulaire de la Tache Centrale ($\Delta\theta_{\text{c}}$)

Principe :

La tache centrale de diffraction (maximum central) s'étend entre le premier minimum d'un côté ($\theta_1$) et le premier minimum de l'autre côté ($\theta_{-1}$). Sa largeur angulaire est donc la différence entre ces deux angles.

Formule(s) utilisée(s) :

\theta_1 \approx \frac{\lambda}{a} \quad \text{et} \quad \theta_{-1} \approx \frac{-\lambda}{a}\] \[\Delta\theta_{\text{c}} = \theta_1 - \theta_{-1} = \frac{\lambda}{a} - \left(\frac{-\lambda}{a}\right)\] \[\Delta\theta_{\text{c}} = \frac{2\lambda}{a}

Données spécifiques :

$\lambda = 600 \times 10^{-9} \, \text{m}$
$a = 5 \times 10^{-5} \, \text{m}$

Calcul :

\begin{aligned} \Delta\theta_{\text{c}} &= \frac{2 \cdot (600 \times 10^{-9} \, \text{m})}{5 \times 10^{-5} \, \text{m}} \\ &= \frac{1200 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-5}} \, \text{rad} \\ &= 240 \times 10^{-4} \, \text{rad} \\ &= 0.024 \, \text{rad} \end{aligned}

Résultat Question 5 : La largeur angulaire de la tache centrale est $\Delta\theta_{\text{c}} = 0.024 \, \text{rad}$.

Question 6 : Largeur Linéaire de la Tache Centrale ($L_{\text{c}}$)

Principe :

La largeur linéaire $L_{\text{c}}$ de la tache centrale sur l'écran est la distance entre les deux premiers minima ($y_1$ et $y_{-1}$). Elle peut être calculée comme $2 \cdot |y_1|$ ou en utilisant la largeur angulaire $\Delta\theta_{\text{c}}$ et la distance $D$ à l'écran ($L_{\text{c}} \approx D \cdot \Delta\theta_{\text{c}}$ pour petits angles).

Formule(s) utilisée(s) :

L_{\text{c}} = y_1 - y_{-1} = \frac{\lambda D}{a} - \left(\frac{-\lambda D}{a}\right) = \frac{2\lambda D}{a}\] \[\text{Ou encore, } L_{\text{c}} \approx D \cdot \Delta\theta_{\text{c}}

Données spécifiques :

$y_1 \approx 1.8 \, \text{cm} = 0.018 \, \text{m}$ (calculé précédemment)
$\Delta\theta_{\text{c}} = 0.024 \, \text{rad}$ (calculé précédemment)
$D = 1.5 \, \text{m}$

Calcul :

En utilisant $y_1$:

\begin{aligned} L_{\text{c}} &= 2 \cdot y_1 \\ &= 2 \cdot (1.8 \, \text{cm}) \\ &= 3.6 \, \text{cm} \end{aligned}

Alternativement, en utilisant $\Delta\theta_{\text{c}}$ et $D$:

\begin{aligned} L_{\text{c}} &\approx D \cdot \Delta\theta_{\text{c}} \\ &= (1.5 \, \text{m}) \cdot (0.024 \, \text{rad}) \\ &= 0.036 \, \text{m} = 3.6 \, \text{cm} \end{aligned}

Résultat Question 6 : La largeur linéaire de la tache centrale sur l'écran est $L_{\text{c}} \approx 3.6 \, \text{cm}$.

Quiz Intermédiaire 2 : La largeur de la tache centrale de diffraction est :

La distance entre le centre et le premier maximum secondaire.
La distance entre les deux premiers minima de part et d'autre du centre.
Égale à la largeur de la fente $a$.
Indépendante de la longueur d'onde $\lambda$.

Question 7 : Influence des Paramètres sur la Largeur de la Tache Centrale ($L_{\text{c}}$)

Principe :

La largeur linéaire de la tache centrale est donnée par la formule $L_{\text{c}} = \frac{2\lambda D}{a}$. Nous analysons comment $L_{\text{c}}$ varie en fonction de $\lambda$ et $a$.

Analyse :

a) Si la longueur d'onde $\lambda$ augmente :

Comme $L_{\text{c}}$ est directement proportionnelle à $\lambda$ (avec $D$ et $a$ constants), si $\lambda$ augmente, la largeur de la tache centrale $L_{\text{c}}$ augmente. La tache centrale s'élargit.

b) Si la largeur de la fente $a$ augmente :

Comme $L_{\text{c}}$ est inversement proportionnelle à $a$ (avec $\lambda$ et $D$ constants), si $a$ augmente, la largeur de la tache centrale $L_{\text{c}}$ diminue. La tache centrale se rétrécit.

Résultat Question 7 :
a) Si $\lambda \uparrow \Rightarrow L_{\text{c}} \uparrow$ (la tache centrale s'élargit).
b) Si $a \uparrow \Rightarrow L_{\text{c}} \downarrow$ (la tache centrale se rétrécit).

Glossaire

Diffraction: Modification de la propagation d'une onde (par exemple, la lumière) lorsqu'elle rencontre un obstacle ou une ouverture. Ce phénomène se manifeste par un étalement des ondes et l'apparition de figures d'interférence spécifiques.
Diffraction de Fraunhofer: Type de diffraction observé lorsque la source lumineuse et l'écran d'observation sont effectivement à une distance infinie de l'objet diffractant (ou placés dans les plans focaux de lentilles). Les fronts d'onde incidents et diffractés sont considérés comme plans.
Fente rectangulaire: Ouverture de forme rectangulaire, généralement beaucoup plus longue que large, utilisée pour observer la diffraction. La largeur $a$ de la fente est le paramètre critique.
Principe de Huygens-Fresnel: Principe selon lequel chaque point d'un front d'onde peut être considéré comme une source secondaire d'ondelettes sphériques. La superposition de ces ondelettes détermine la forme du front d'onde à un instant ultérieur.
Minima de diffraction: Régions d'intensité lumineuse nulle (ou très faible) dans une figure de diffraction. Pour une fente unique, ils se produisent aux angles $\theta$ tels que $a \sin\theta = m \lambda$, avec $m$ entier non nul.
Maximum central (ou tache centrale): Région la plus large et la plus lumineuse au centre de la figure de diffraction par une fente. Sa largeur est inversement proportionnelle à la largeur de la fente.
Maxima secondaires: Franges lumineuses, moins intenses et plus étroites que le maximum central, situées de part et d'autre de celui-ci et séparées par les minima de diffraction.
Largeur angulaire: Mesure de l'étendue d'une caractéristique de la figure de diffraction (par exemple, la tache centrale) en termes d'angle.
Largeur linéaire: Mesure de l'étendue d'une caractéristique de la figure de diffraction sur l'écran d'observation, exprimée en unité de longueur (par exemple, cm ou mm).

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Principe :

Condition :

Question 2 : Positions Angulaires (\(\theta_{\text{m}}\)) des Minima

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Question 3 : Positions Linéaires (\(y_{\text{m}}\)) des Minima sur l'Écran

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Question 4 : Position Linéaire du Premier Minimum (\(y_1\))

Principe :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 5 : Largeur Angulaire de la Tache Centrale (\(\Delta\theta_{\text{c}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 6 : Largeur Linéaire de la Tache Centrale (\(L_{\text{c}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

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