Analyse d’Image Virtuelle avec un Miroir

Exercice : Analyse d'Image Virtuelle (Miroir Plan)

Analyse d’Image Virtuelle avec un Miroir Plan

Contexte : La formation d'une image virtuelleUne image formée par le prolongement des rayons lumineux. Elle ne peut pas être projetée sur un écran, mais peut être vue par l'œil..

Lorsque nous regardons dans un miroir plan le matin, nous voyons notre propre reflet. Ce reflet semble se trouver "derrière" le miroir. En optique géométrique, ce phénomène est décrit par les lois de la réflexion. Cet exercice vous guidera dans l'analyse précise de la position et des caractéristiques de cette image virtuelle, fondamentale pour comprendre les systèmes optiques plus complexes.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vise à solidifier votre compréhension de la différence entre image réelle et virtuelle, et à maîtriser la construction géométrique des rayons lumineux (tracé de rayons).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la formation d'une image par un miroir plan.
Appliquer les lois de la réflexion de Snell-Descartes.
Calculer la position de l'image virtuelle et son grandissement.
Analyser l'inversion latérale et la distance objet-image.

Données de l'étude

Un petit objet lumineux (une bougie) est placé face à un miroir plan vertical. Nous cherchons à caractériser complètement l'image perçue.

Configuration Géométrique

Élément	Description
Objet (O)	Source ponctuelle ou petit objet étendu
Miroir (M)	Surface plane parfaitement réfléchissante
Milieu	Air (indice \( n \approx 1 \))

Schéma de Principe

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance Objet-Miroir	\( d_{\text{obj}} \)	20	cm
Hauteur de l'objet	\( h \)	5	cm

Questions à traiter

Déterminer la position de l'image par rapport au miroir.
Calculer la taille (hauteur) de l'image formée.
Calculer la distance totale séparant l'objet de son image.
Déduire la nature (réelle ou virtuelle) et le sens de l'image.
Expliquer le phénomène d'inversion latérale observé.

Les bases de l'Optique Géométrique

Pour résoudre cet exercice, il faut maîtriser les lois fondamentales de la réflexion.

1. Loi de la Réflexion (Snell-Descartes)
Le rayon réfléchi reste dans le plan d'incidence. L'angle de réflexion \( r \) est égal à l'angle d'incidence \( i \) (en valeur absolue) par rapport à la normale. \[ |i| = |r| \]

2. Relation de Conjugaison (Miroir Plan)
Pour un miroir plan, l'image est symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir. Si l'origine est sur le miroir : \[ \overline{SA'} = - \overline{SA} \]

Correction : Analyse d’Image Virtuelle avec un Miroir Plan

Question 1 : Position de l'image

Principe

Cette section a pour but de comprendre comment se forme l'image. L'image d'un point objet par un miroir plan se construit par symétrie axiale. Tout rayon issu de l'objet semble, après réflexion, provenir d'un point unique situé "derrière" le miroir.

Mini-Cours

En optique géométrique, l'image d'un point objet réel \( A \) par un miroir plan est un point image virtuel \( A' \). La relation fondamentale est que \( A' \) est le symétrique orthogonal de \( A \) par rapport au plan du miroir.

Remarque Pédagogique

Ne vous laissez pas piéger par l'intuition : l'image n'est pas sur la surface du miroir, mais bien en profondeur. C'est pourquoi vous devez accommoder votre œil à distance lorsque vous vous regardez dans la glace.

Normes

Nous utilisons ici la convention de signe standard : l'axe optique est orienté dans le sens de la propagation de la lumière (de gauche à droite). L'origine est placée au sommet \( S \) du miroir.

Formule(s)

Relation de conjugaison (Origine au Sommet)

Cette formule relie la position algébrique de l'image à celle de l'objet, en prenant le sommet du miroir comme origine.

\overline{SA'} = - \overline{SA}

Le signe moins traduit le fait que l'objet et l'image sont situés de part et d'autre du miroir.

Distance géométrique

En valeur absolue (distance positive), la distance de l'image au miroir est égale à celle de l'objet.

d_{\text{img}} = d_{\text{obj}}

Hypothèses

Le miroir est parfaitement plan et réfléchissant.
L'objet est ponctuel ou de petite dimension (approximation de Gauss respectée).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance Objet	\( d_{\text{obj}} \)	20	cm

Astuces

Si vous touchez le miroir du bout du doigt, la distance entre votre doigt et son reflet est nulle. C'est un excellent moyen intuitif de vérifier l'origine des distances.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons la situation initiale : un objet placé devant un miroir.

Situation Initiale

Calcul(s)

Étape 1 : Identification des valeurs algébriques

D'après la section "Données", l'objet est situé à \( d_{\text{obj}} = 20 \text{ cm} \). Comme l'objet est réel et placé devant le miroir (côté lumière incidente), sa position algébrique (avec l'origine \( S \) au miroir et l'axe dirigé vers la droite, sens de la lumière) est négative :

\overline{SA} = -20 \text{ cm}

Le signe négatif indique que l'objet est à gauche du sommet \( S \).

Étape 2 : Application de la relation de conjugaison

Nous appliquons la formule de symétrie \( \overline{SA'} = - \overline{SA} \) en remplaçant \( \overline{SA} \) par sa valeur identifiée ci-dessus :

\begin{aligned} \overline{SA'} &= - (-20 \text{ cm}) \\ \overline{SA'} &= +20 \text{ cm} \end{aligned}

Le résultat positif signifie que l'image se forme à droite du miroir, dans la zone virtuelle.

Étape 3 : Interprétation géométrique

Pour obtenir la distance physique (toujours positive) à laquelle l'image se trouve du miroir, on prend la valeur absolue du résultat précédent :

d_{\text{img}} = | \overline{SA'} | = | +20 \text{ cm} | = 20 \text{ cm}

L'image se situe donc exactement à la même distance du miroir que l'objet.

Schéma (Après les calculs - Tracé des Rayons)

Construction de l'Image Virtuelle

Réflexions

La symétrie est parfaite. Si l'objet recule de 10 cm, l'image recule également de 10 cm "dans" le miroir.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre distance algébrique (avec un signe) et distance géométrique (toujours positive). Ici, \( \overline{SA} = -20 \) cm et \( \overline{SA'} = +20 \) cm.

Points à retenir

L'image d'un objet réel par un miroir plan est toujours virtuelle.
Elle est symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir.

Le saviez-vous ?

Les premiers miroirs connus, datant d'il y a 8000 ans en Anatolie, étaient faits d'obsidienne (une pierre volcanique noire vitreuse) polie, bien avant l'invention du verre argenté.

FAQ

Résultat Final

L'image se situe à 20 cm derrière le miroir.

A vous de jouer

Si l'objet est placé à 50 cm du miroir, à quelle distance du miroir se trouve l'image ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

Relation : \( d_{\text{img}} = d_{\text{obj}} \).
Nature : Virtuelle.

Question 2 : Taille de l'image

Principe

Nous analysons ici comment les dimensions de l'objet sont transférées à l'image. Pour un miroir plan, le système est stigmatique et aplanétique rigoureux pour tout point de l'espace : l'image d'un objet plan est un objet plan de même dimension.

Mini-Cours

Le grandissement transversal (noté \( \gamma \)) est le rapport entre la taille de l'image et la taille de l'objet. Pour un miroir plan, \( \gamma = +1 \), ce qui signifie que la taille et le sens sont conservés.

Remarque Pédagogique

Le signe (+) du grandissement est très important : il indique que l'image est "droite" (haut en haut, bas en bas). Si le grandissement était négatif, l'image serait renversée.

Normes

L'axe vertical \( y \) est orienté vers le haut. Une hauteur positive signifie que l'objet pointe vers le haut.

Formule(s)

Grandissement

Le grandissement est le rapport de la taille algébrique de l'image sur celle de l'objet.

\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = +1

Taille de l'image

On peut isoler la taille de l'image en multipliant la taille de l'objet par la valeur absolue du grandissement.

h_{\text{img}} = |\gamma| \times h_{\text{obj}}

Hypothèses

L'objet est plan et parallèle au miroir.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur	Unité
Hauteur de l'objet \( h_{\text{obj}} \)	5	cm

Astuces

Tracez des lignes horizontales imaginaires depuis le haut et le bas de l'objet vers le miroir. Comme elles sont perpendiculaires au miroir, elles se réfléchissent sur elles-mêmes, montrant immédiatement que la hauteur est conservée.

Schéma (Avant les calculs)

Objet de taille h

Calcul(s)

Étape 1 : Identification des données

Nous récupérons la hauteur de l'objet fournie dans l'énoncé et la propriété fondamentale du miroir plan (grandissement unitaire) :

\begin{aligned} h_{\text{obj}} &= 5 \text{ cm} \\ \gamma &= +1 \text{ (Miroir plan)} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la hauteur image

On remplace les valeurs dans la formule \( h_{\text{img}} = |\gamma| \times h_{\text{obj}} \) :

\begin{aligned} h_{\text{img}} &= |1| \times 5 \text{ cm} \\ h_{\text{img}} &= 1 \times 5 \text{ cm} \\ h_{\text{img}} &= 5 \text{ cm} \end{aligned}

Le calcul confirme que la taille de l'image est identique à celle de l'objet.

Schéma (Après les calculs)

Conservation de la taille

Réflexions

C'est parce que le miroir est plan que la taille est conservée. Un miroir de poche et un grand miroir mural donnent la même taille d'image pour une même distance objet-miroir.

Points de vigilance

Ne confondez pas la taille géométrique (5 cm) avec la taille apparente (angulaire). Plus vous vous éloignez, plus votre image semble petite à vos yeux, mais elle mesure toujours géométriquement la même taille que vous.

Points à retenir

Un miroir plan ne déforme pas l'image (contrairement aux miroirs concaves ou convexes des parcs d'attractions). Le grandissement est strictement égal à 1.

Le saviez-vous ?

Dans un miroir convexe (comme un rétroviseur de voiture), l'image est plus petite que l'objet (\(\gamma < 1\)), ce qui permet de voir un champ plus large.

FAQ

Résultat Final

La hauteur de l'image est de 5 cm.

A vous de jouer

Si l'objet mesure 12 cm de haut, quelle sera la hauteur de son image ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

Relation : \( h_{\text{img}} = h_{\text{obj}} \).
Grandissement : \( \gamma = +1 \).

Question 3 : Distance Objet-Image

Principe

Il s'agit de calculer la distance totale qui sépare l'objet réel de son image virtuelle. Puisque l'image est symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir, cette distance est la somme des distances individuelles au miroir.

Mini-Cours

En optique, la distance entre un objet et son image n'est pas toujours nulle. Ici, l'espace est "déplié" par la réflexion : l'image se trouve aussi loin derrière le miroir que l'objet l'est devant.

Remarque Pédagogique

Imaginez que le miroir est une fenêtre ouverte sur une pièce identique. Votre double se tient exactement à la même distance de la fenêtre que vous.

Normes

On considère ici la distance absolue (positive) entre les deux points \( A \) et \( A' \).

Formule(s)

Somme des distances

La distance totale est la somme de la distance objet-miroir et de la distance image-miroir.

D_{\text{total}} = d_{\text{obj}} + d_{\text{img}}

Comme \( d_{\text{img}} = d_{\text{obj}} \), on a aussi la relation simplifiée :

D_{\text{total}} = 2 \times d_{\text{obj}}

Hypothèses

L'objet et l'image sont sur le même axe perpendiculaire au miroir.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur	Unité
Distance Objet \( d_{\text{obj}} \)	20	cm
Distance Image \( d_{\text{img}} \)	20	cm

Astuces

C'est comme un pliage de papier : si vous pliez la feuille au niveau du miroir, l'objet et l'image se superposent. La distance totale est donc le double de la distance au pli.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des distances

Calcul(s)

Étape 1 : Récupération des distances

On rassemble les distances connues : la distance donnée de l'objet au miroir et la distance calculée de l'image au miroir (obtenue à la Question 1).

Distance Objet-Miroir : \( d_{\text{obj}} = 20 \text{ cm} \)
Distance Image-Miroir (calculée en Q1) : \( d_{\text{img}} = 20 \text{ cm} \)

Étape 2 : Somme des distances

On additionne ces deux valeurs pour obtenir la distance totale de séparation :

\begin{aligned} D_{\text{total}} &= d_{\text{obj}} + d_{\text{img}} \\ D_{\text{total}} &= 20 \text{ cm} + 20 \text{ cm} \\ D_{\text{total}} &= 40 \text{ cm} \end{aligned}

Cela correspond bien au double de la distance initiale.

Schéma (Après les calculs)

Distance Totale Résultante

Réflexions

Si vous avancez vers le miroir de 1 mètre, la distance totale entre vous et votre image diminue de 2 mètres (1 mètre pour vous + 1 mètre pour l'image).

Points de vigilance

Attention à la question posée : cherche-t-on la distance "image-miroir" (20 cm) ou "objet-image" (40 cm) ? C'est une source d'erreur fréquente.

Points à retenir

La distance totale est toujours le double de la distance à la surface du miroir.

Le saviez-vous ?

Cette propriété est utilisée chez l'ophtalmologiste : en projetant les lettres dans un miroir, on double la distance de lecture dans une petite salle de consultation.

FAQ

Résultat Final

L'objet et son image sont séparés de 40 cm.

A vous de jouer

Si la distance totale entre l'objet et l'image est de 30 cm, à quelle distance du miroir se trouve l'objet ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Relation : \( D_{\text{tot}} = 2 \times d_{\text{obj}} \).

Question 4 : Nature et Sens

Principe

Nous analysons ici les propriétés qualitatives de l'image. La nature (réelle ou virtuelle) dépend de la trajectoire de la lumière, tandis que le sens nous indique l'orientation de l'image par rapport à l'objet.

Mini-Cours

Une image est dite virtuelle si elle se forme à l'intersection des prolongements des rayons lumineux (elle ne peut pas être projetée sur un écran). Elle est dite droite si elle a la même orientation verticale que l'objet.

Remarque Pédagogique

Pour vérifier si une image est réelle ou virtuelle, demandez-vous : "Si je mets une feuille de papier à cet endroit, est-ce que je verrai l'image se dessiner dessus ?". Pour un miroir plan, la réponse est non (c'est derrière le mur !), donc c'est virtuel.

Formule(s)

Condition Image Virtuelle

\text{Position Image} > 0 \text{ (derrière le miroir)}

Condition Image Droite

\gamma > 0

Hypothèses

Objet réel.
Miroir plan standard.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Position Image	Derrière le miroir
Grandissement \( \gamma \)	+1

Analyse

Analyse de la Nature

Les rayons réfléchis divergent. Ils ne se croisent pas physiquement. Seuls leurs prolongements se croisent en \( A' \). L'image est donc virtuelle.

Analyse du Sens

Le grandissement est positif (\( \gamma = +1 \)). Cela signifie que le vecteur image est orienté dans le même sens que le vecteur objet. L'image est donc droite.

Schéma (Nature Virtuelle)

Divergence des Rayons et Perception Visuelle

Réflexions

C'est une propriété fondamentale des miroirs plans : l'image d'un objet réel est toujours virtuelle. Pour avoir une image réelle avec un miroir, il faut un miroir concave.

Points de vigilance

"Virtuelle" ne veut pas dire "imaginaire" ou "invisible". L'image virtuelle est bien visible pour l'œil, car le cristallin de l'œil fait converger ces rayons sur la rétine.

Points à retenir

Miroir plan = Image Virtuelle + Image Droite.
Les rayons réfléchis semblent provenir de l'image.

Le saviez-vous ?

Cette propriété est utilisée dans le "Fantôme de Pepper" (Pepper's Ghost), une technique d'illusionnisme utilisée au théâtre et dans les maisons hantées pour faire apparaître des fantômes translucides (qui sont en fait des images virtuelles).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

Virtuelle : Derrière le miroir.
Droite : \(\gamma > 0\).

Question 5 : Inversion Latérale

Principe

Nous expliquons pourquoi votre reflet lève la main gauche quand vous levez la main droite. Ce n'est pas une rotation de l'image, mais une symétrie par rapport au plan.

Mini-Cours

L'inversion latérale est due à l'inversion de l'axe de profondeur (l'axe \( z \) perpendiculaire au miroir). Un système de coordonnées "main droite" (x, y, z) devient un système "main gauche" (x, y, -z) après réflexion. C'est le phénomène d'énantiomorphisme.

Remarque Pédagogique

Si vous serrez la main à votre reflet, vos mains ne s'emboîtent pas comme avec une vraie personne (pouce contre pouce), mais se superposent (paume contre paume). C'est la preuve de l'inversion.

Formule(s)

Transformation de coordonnées

(x, y, z) \xrightarrow{\text{Miroir}} (x, y, -z)

Seule la coordonnée de profondeur change de signe.

Hypothèses

L'observateur se regarde de face.

Analyse Logique

Le Haut reste le Haut (Y inchangé).
La Gauche reste la Gauche (X inchangé).
L'Avant devient l'Arrière (Z inversé).

C'est notre cerveau qui interprète cette inversion de profondeur comme une rotation de 180° autour de l'axe vertical, créant l'illusion d'une inversion gauche-droite.

Schéma (Vue de dessus)

Inversion de Profondeur (Chiralité)

Réflexions

Pourquoi le miroir inverse-t-il la gauche et la droite mais pas le haut et le bas ? En réalité, il n'inverse ni l'un ni l'autre, il inverse l'avant et l'arrière (comme un gant retourné).

Points de vigilance

Ne dites pas que le miroir "tourne" l'image. Il effectue une symétrie.

Points à retenir

L'image est non-superposable à l'objet (comme nos deux mains l'une par rapport à l'autre). On dit qu'ils sont chiraux.

Le saviez-vous ?

C'est pour cette raison que le mot "AMBULANCE" est écrit à l'envers sur le capot des véhicules de secours : pour être lu correctement dans le rétroviseur (qui inverse l'image une nouvelle fois).

FAQ

Résultat Final

L'image subit une inversion latérale (gauche/droite apparente) due à l'inversion de profondeur.

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Transformation : \( z \rightarrow -z \).
Effet : Inversion Latérale (gauche \(\leftrightarrow\) droite).

Outil Interactif : Simulateur de Distance

Visualisez la relation linéaire entre la distance de l'objet et celle de l'image.

Paramètres

Distance Objet (\( d_{\text{obj}} \)) [cm] 20 cm

Indice du milieu (fixe) n = 1 (Air)

Résultats Clés

Distance Image (\( d_{\text{img}} \)) -

Distance Totale (Objet-Image) -

Quiz Final : Testez vos connaissances en Optique

1. Quelle est la nature de l'image formée par un miroir plan pour un objet réel ?

Réelle et inversée
Virtuelle et droite
Réelle et droite

2. Si vous vous approchez de 1 m du miroir, de combien votre image s'approche-t-elle de vous ?

1 m
0.5 m
2 m

3. L'angle de réflexion est défini par rapport à :

La normale à la surface
La surface du miroir
Le rayon incident

Glossaire

Image Virtuelle: Image qui semble provenir d'un point où les rayons lumineux ne se croisent pas physiquement, mais où leurs prolongements se rencontrent.
Réflexion Spéculaire: Réflexion de la lumière sur une surface lisse (comme un miroir) où un rayon incident unique produit un rayon réfléchi unique.
Normale: Droite imaginaire perpendiculaire à la surface du miroir au point d'incidence.

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