Étude des Aberrations Sphériques

Contexte : L'aberration sphériqueDéfaut optique où les rayons lumineux passant loin de l'axe optique convergent en un point différent de ceux passant près de l'axe..

En optique, la focalisation parfaite d'une lentille sphérique est un idéal. En réalité, les rayons lumineux passant par les bords de la lentille ne convergent pas au même point que les rayons passant près du centre (rayons paraxiaux). Ce phénomène, appelé aberration sphérique, dégrade la qualité des images en créant une tache focale floue au lieu d'un point parfait. Cet exercice vise à quantifier cette aberration pour une lentille plan-convexe simple.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer l'aberration sphérique longitudinale (ASL) et transversale (AST), et à comprendre son impact sur la formation d'une image.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre l'origine physique de l'aberration sphérique.
Calculer la position du foyer pour les rayons paraxiauxRayons lumineux très proches de l'axe optique et faisant un petit angle avec celui-ci..
Calculer la position du foyer pour les rayons marginauxRayons lumineux passant loin de l'axe optique, près des bords de la lentille..
Quantifier l'aberration sphérique longitudinale (ASL) et transversale (AST).

Données de l'étude

Nous étudions une lentille plan-convexe mince en verre (BK7) utilisée pour focaliser un faisceau de lumière parallèle (venant de l'infini). La lumière frappe d'abord la face plane.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Indice de réfraction du verre (n)	1.517
Rayon de courbure (R) (face convexe)	50 mm
Diamètre de la lentille (D)	40 mm

Lentille Plan-Convexe et Rayons Incidents

Paramètre	Symbole	Description	Valeur
Indice de réfraction	\(n\)	Indice du verre BK7	1.517
Rayons de courbure	\(R_1, R_2\)	Face plane \(R_1 = \infty\), Face convexe \(R_2 = -50\) mm	\(\infty\), -50 mm
Hauteur max. rayon	\(h_{\text{max}}\)	Demi-diamètre (D/2)	20 mm

Questions à traiter

Calculer la distance focale paraxiale (\(f_{\text{p}}\)) de la lentille.
Calculer la distance focale (\(f_{\text{h}}\)) pour un rayon marginal incident à une hauteur \(h = 20\) mm (en supposant une lentille mince).
Déterminer l'aberration sphérique longitudinale (ASL).
Calculer le rayon de la tache de diffusion (aberration sphérique transversale, AST) au niveau du foyer paraxial.
Discuter brièvement d'une méthode pour réduire cette aberration.

Rappels d'Optique Géométrique

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux concepts clés : la formule des lentilles pour les rayons paraxiaux (approximation de Gauss) et la loi de la réfraction de Snell-Descartes pour les rayons généraux.

1. Focale Paraxiale (Formule du Lunetier)
Pour les rayons proches de l'axe (paraxiaux), on utilise la formule simplifiée du lunetier (ou des opticiens) pour trouver la vergence (C) et la focale \(f_{\text{p}}\) : \[ C = \frac{1}{f_{\text{p}}} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \] Pour notre lentille plan-convexe avec lumière incidente sur la face plane : \(R_1 = \infty\) et \(R_2 = -R\) (où R = 50 mm). \[ \frac{1}{f_{\text{p}}} = (n-1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{n-1}{R} \implies f_{\text{p}} = \frac{R}{n-1} \]

2. Réfraction sur un dioptre sphérique
Pour un rayon non paraxial (marginal) à une hauteur \(h\), nous devons appliquer la loi de Snell-Descartes \(n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)\) à la surface de sortie. L'angle d'incidence \(\theta_1\) (dans le verre) sur la surface sphérique de rayon \(R_2 = -R\) est donné par \(\sin(\theta_1) = h/R\).

Correction : Étude des Aberrations Sphériques d'une Lentille Mince

Question 1 : Calculer la distance focale paraxiale (\(f_{\text{p}}\)) de la lentille.

Principe

L'objectif est de trouver la focale "idéale" de la lentille. On suppose que tous les rayons sont très proches de l'axe (approximation paraxiale ou de Gauss). Dans cette condition, tous les rayons convergent parfaitement en un seul point, \(F_{\text{p}}\). On utilise la formule du lunetier, qui lie la focale aux rayons de courbure et à l'indice de réfraction.

Mini-Cours

La formule du lunetier est \( \frac{1}{f_{\text{p}}} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \). Notre lentille est plan-convexe, et la lumière frappe la face plane en premier. Donc : \(R_1 = \infty\) (surface plane). La deuxième surface est convexe (vue de l'extérieur) mais son centre de courbure est à gauche (côté objet), donc \(R_2 = -R = -50\) mm. La formule devient : \( \frac{1}{f_{\text{p}}} = (n-1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-50} \right) = (n-1) \left( 0 + \frac{1}{50} \right) \). D'où la simplification : \( f_{\text{p}} = \frac{R}{n-1} \).

Remarque Pédagogique

Cette focale \(f_{\text{p}}\) est la focale "nominale" de la lentille, celle que le fabricant indiquerait. C'est notre référence absolue pour mesurer l'aberration. Tout écart par rapport à \(f_{\text{p}}\) est considéré comme une aberration.

Normes

Ce calcul suit la convention de signe de l'optique géométrique où la lumière voyage de gauche à droite, \(R_2\) est négatif car son centre est à gauche de la surface.

Formule(s)

f_{\text{p}} = \frac{R}{n-1}

Hypothèses

Nous sommes dans l'approximation paraxiale (rayons très proches de l'axe).

Approximation de Gauss.
Lentille mince.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé pour l'approximation paraxiale.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rayon de courbureRayon de la sphère qui définit la surface de la lentille.	R	50	mm
Indice de réfractionRapport de la vitesse de la lumière dans le vide à sa vitesse dans le matériau.	n	1.517

Astuces

Pour une lentille plan-convexe, la focale est toujours \(f = R / (n-1)\) (si face plane d'abord) ou \(f = R / (n-1)\) (si face convexe d'abord). La focale paraxiale est la même quel que soit le sens.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre le concept : un rayon parallèle à l'axe (paraxial, donc très proche de l'axe) est focalisé par la lentille plan-convexe en un point Fp situé à une distance fp.

Focalisation Paraxiale

Calcul(s)

Application de la formule paraxiale

On applique la formule \( f_{\text{p}} = \frac{R}{n-1} \) avec les données \(R=50\) mm et \(n=1.517\).

\begin{aligned} f_{\text{p}} &= \frac{50 \text{ mm}}{1.517 - 1} \\ &= \frac{50}{0.517} \\ \Rightarrow f_{\text{p}} &\approx 96.71 \text{ mm} \end{aligned}

Le résultat \(f_{\text{p}}\) est la focale paraxiale, notre référence.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme la position du foyer paraxial. Le point Fp est localisé à 96.71 mm de la lentille.

Résultat : Focale Paraxiale

Réflexions

C'est le point de focalisation "idéal" de la lentille, valable uniquement pour les rayons très proches du centre. Tous les autres rayons convergeront avant ce point.

Points de vigilance

Attention au signe des rayons de courbure. \(R_2\) est négatif car le centre de courbure est à gauche du sommet de la lentille (convention optique).

Points à retenir

La formule du lunetier est la base du calcul de focale paraxiale.
Pour une face plane, \(R = \infty\) et \(1/R = 0\).

Le saviez-vous ?

Cette formule a été développée indépendamment par Bonaventura Cavalieri (Italien) et Edmond Halley (Anglais) au 17ème siècle.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La distance focale paraxiale est \(f_{\text{p}} \approx 96.71\) mm.

A vous de jouer

Que deviendrait \(f_{\text{p}}\) si l'indice \(n\) était de 1.6 (verre plus dense) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Focale paraxiale (Formule du Lunetier).
Formule Essentielle : \(f_{\text{p}} = R / (n-1)\) (pour ce cas).

Question 2 : Calculer la distance focale (\(f_{\text{h}}\)) pour un rayon marginal (\(h = 20\) mm).

Principe

Ici, on abandonne l'approximation de Gauss. On étudie un rayon "réel" qui frappe le bord de la lentille (\(h=20\) mm). Ce rayon n'est plus paraxial. Nous devons calculer sa trajectoire exacte en appliquant la loi fondamentale de l'optique, la loi de Snell-Descartes (\(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\)), à la surface de sortie (la surface convexe). Le point où ce rayon coupera l'axe est \(f_{\text{h}}\).

Mini-Cours

Le rayon arrive parallèle à l'axe. Il frappe la face plane (\(R_1 = \infty\)) perpendiculairement, donc il n'est pas dévié. Il traverse le verre et frappe la surface sphérique de sortie (rayon \(R_2 = -R\)) à une hauteur \(h\). La normale à cette surface est un rayon de la sphère, passant par le centre de courbure C. L'angle d'incidence \(\theta_1\) (dans le verre) est formé par le rayon et cette normale. Par géométrie, \(\sin(\theta_1) = h/R\). On utilise Snell (\(n \sin \theta_1 = 1 \sin \theta_2\)) pour trouver \(\theta_2\). L'angle final \(\alpha\) du rayon avec l'axe est \(\alpha = \theta_2 - \theta_1\). Finalement, par trigonométrie, \(\tan(\alpha) = h / f_{\text{h}}\).

Remarque Pédagogique

Comparez cette approche à la Q1. En Q1, on utilise une formule *approximée* (\(f_{\text{p}}=R/(n-1)\)) qui suppose \(h \to 0\). Ici, on utilise les lois *fondamentales* (Snell, trigonométrie) pour un \(h\) réel. C'est la différence entre l'optique paraxiale et l'optique géométrique réelle.

Normes

Ce calcul suit les principes fondamentaux de l'optique géométrique (tracé de rayons).

Formule(s)

Angle d'incidence \(\theta_1\)

\sin(\theta_1) = \frac{h}{R}

Loi de Snell-Descartes (sortie)

n \sin(\theta_1) = 1 \sin(\theta_2)

Angle de déviation

\alpha = \theta_2 - \theta_1

Focale marginale

f_{\text{h}} = \frac{h}{\tan(\alpha)}

Hypothèses

On suppose que la lentille est "mince", ce qui signifie que le rayon frappe la deuxième surface à la même hauteur \(h\) que la première.

Lentille mince.
Rayon incident parallèle à l'axe.

Donnée(s)

Données nécessaires pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur du rayon	h	20	mm
Rayon de courbure	R	50	mm
Indice de réfraction	n	1.517

Astuces

L'angle \(\theta_1\) est défini par la géométrie (h et R). Tout le calcul découle de cet angle.

Schéma (Avant les calculs)

Réfraction d'un rayon marginal

Calcul(s)

Étape 1 : Angle d'incidence \(\theta_1\) (dans le verre)

On calcule \(\sin(\theta_1)\) en utilisant la hauteur \(h=20\) mm et le rayon \(R=50\) mm. On en déduit l'angle \(\theta_1\).

\sin(\theta_1) = \frac{h}{|R_2|} = \frac{20 \text{ mm}}{50 \text{ mm}} \] \[ \sin(\theta_1) = 0.4 \] \[ \sin(\theta_1) = \arcsin(0.4) \] \[ \sin(\theta_1) \approx 23.58^\circ

Nous obtenons un angle d'incidence \(\theta_1\) de 23.58 degrés. C'est l'angle *à l'intérieur* du verre, par rapport à la normale.

Étape 2 : Angle de réfraction \(\theta_2\) (dans l'air)

On applique Snell-Descartes \(n \sin(\theta_1) = 1 \sin(\theta_2)\). On utilise \(n=1.517\) et la valeur de \(\sin(\theta_1)=0.4\) de l'étape 1.

(\theta_2) = 1 \sin(\theta_2) \\ \sin(\theta_2) \] \[ (\theta_2) = 1.517 \times 0.4 \] \[ (\theta_2) = 0.6068 \] \[ (\theta_2) = \arcsin(0.6068) \] \[ (\theta_2) \approx 37.36^\circ

L'angle de sortie \(\theta_2\) (dans l'air) est de 37.36 degrés. Comme il est plus grand que \(\theta_1\), le rayon s'écarte de la normale, ce qui est attendu en passant d'un milieu plus dense à un milieu moins dense.

Étape 3 : Angle de déviation \(\alpha\) par rapport à l'axe

L'angle de déviation \(\alpha\) est la différence entre l'angle de sortie \(\theta_2\) et l'angle d'incidence \(\theta_1\).

\alpha = \theta_2 - \theta_1 \] \[ \alpha \approx 37.36^\circ - 23.58^\circ \] \[ \alpha \approx 13.78^\circ

Cet angle \(\alpha\) est l'angle final du rayon par rapport à l'axe optique. C'est lui qui détermine où le rayon coupera l'axe.

Étape 4 : Focale marginale \(f_{\text{h}}\)

On utilise la trigonométrie \(\tan(\alpha) = h/f_{\text{h}}\), en isolant \(f_{\text{h}}\). On utilise \(h=20\) mm et la valeur de \(\alpha\) de l'étape 3.

\tan(\alpha) = \frac{h}{f_{\text{h}}} \Rightarrow f_{\text{h}} = \frac{h}{\tan(\alpha)} \] \[ f_{\text{h}} = \frac{20 \text{ mm}}{\tan(13.78^\circ)} \] \[ f_{\text{h}} \approx \frac{20}{0.245} \] \[ f_{\text{h}} \approx 81.63 \text{ mm}

La focale pour ce rayon marginal (\(f_{\text{h}}\)) est donc d'environ 81.63 mm, ce qui est significativement plus court que la focale paraxiale (96.71 mm).

Schéma (Après les calculs)

Le schéma ci-dessous illustre la différence entre le foyer paraxial \(F_{\text{p}}\) (loin) et le foyer marginal \(F_{\text{h}}\) (proche).

Comparaison Focales \(F_{\text{p}}\) et \(F_{\text{h}}\)

Réflexions

On constate que \(f_{\text{h}} \approx 81.63\) mm est bien plus court que \(f_{\text{p}} \approx 96.71\) mm. Les rayons du bord sont "sur-focalisés" ; ils convergent trop tôt. C'est le signe d'une aberration sphérique positive.

Points de vigilance

Assurez-vous que vos angles sont en degrés ou en radians de manière cohérente dans votre calculatrice, en particulier pour les fonctions trigonométriques.

Points à retenir

L'approximation paraxiale ne s'applique pas aux rayons marginaux.
La loi de Snell-Descartes est la loi fondamentale pour les rayons réels.

Le saviez-vous ?

Cette méthode de "tracé de rayon" (ray tracing) est la base de tous les logiciels de conception optique modernes, mais appliquée à des millions de rayons.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La distance focale marginale (pour h=20mm) est \(f_{\text{h}} \approx 81.63\) mm.

A vous de jouer

Recalculez \(f_{\text{h}}\) pour un rayon à mi-hauteur, \(h = 10\) mm. L'aberration sera-t-elle plus grande ou plus petite ? (Réponse : \(f_{\text{h}} \approx 92.86\) mm)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Réfraction marginale (Loi de Snell).
Formule : \(f_{\text{h}} = h / \tan(\theta_2 - \theta_1)\).

Question 3 : Déterminer l'aberration sphérique longitudinale (ASL).

Principe

L'aberration sphérique longitudinale (ASL) est la mesure la plus directe de l'aberration. C'est l'étalement des foyers le long de l'axe optique. On la quantifie simplement en mesurant la distance entre le foyer le plus éloigné (paraxial, \(F_{\text{p}}\)) et le foyer le plus proche (marginal, \(F_{\text{h}}\)).

Mini-Cours

Pour une lentille sphérique convergente simple, les rayons marginaux (bords) sont toujours déviés *plus* que les rayons paraxiaux. Ils sont "sur-focalisés" et convergent donc *avant* (plus près de la lentille). C'est pourquoi \(f_{\text{h}}\) est plus court que \(f_{\text{p}}\). L'ASL est donc \(f_{\text{p}} - f_{\text{h}}\). On l'appelle aussi aberration "sous-corrigée" (car la lentille ne focalise pas assez loin les rayons du bord).

Remarque Pédagogique

L'ASL n'est pas une constante pour la lentille. Elle dépend de la hauteur \(h\) du rayon ! Elle est nulle pour \(h=0\) et (comme nous l'avons calculé) elle vaut 15.08 mm pour \(h=20\) mm. Le simulateur (plus bas) montre très bien cette dépendance : l'ASL croît (environ) avec \(h^2\).

Normes

Il n'y a pas de "norme" à proprement parler, mais c'est une métrique standard (un "mérite") dans la conception de systèmes optiques.

Formule(s)

ASL = f_{\text{p}} - f_{\text{h}}

Hypothèses

Ce calcul dépend directement de la validité des calculs pour \(f_{\text{p}}\) et \(f_{\text{h}}\).

Aucune nouvelle hypothèse.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions 1 et 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Focale paraxiale	\(f_{\text{p}}\)	96.71	mm
Focale marginale	\(f_{\text{h}}\)	81.63	mm

Astuces

Une ASL importante (comme ici, >10% de la focale) indique une très mauvaise qualité d'image attendue.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma suivant illustre la définition de l'ASL comme la distance axiale entre le foyer marginal Fh et le foyer paraxial Fp.

Définition de l'ASL

Calcul(s)

On applique la formule \(ASL = f_{\text{p}} - f_{\text{h}}\) en soustrayant le résultat de la Q2 (\(f_{\text{h}} \approx 81.63\) mm) du résultat de la Q1 (\(f_{\text{p}} \approx 96.71\) mm).

ASL = 96.71 \text{ mm} - 81.63 \text{ mm} \] \[ ASL = 15.08 \text{ mm}

Le résultat est l'Aberration Sphérique Longitudinale. Cela signifie qu'il y a un étalement de 15.08 mm des points de focalisation le long de l'axe optique.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme la distance axiale entre les deux foyers, qui est de 15.08 mm.

Résultat : Aberration Longitudinale

Réflexions

Une ASL de plus de 15 mm est très importante pour une lentille de focale ~97 mm. Cela signifie que les rayons du bord focalisent 1.5 cm avant les rayons du centre, créant une image très floue.

Points de vigilance

Ne pas inverser les termes. C'est toujours (focale la plus longue) - (focale la plus courte) pour obtenir une valeur positive.

Points à retenir

ASL mesure l'étalement des foyers sur l'axe optique.

Le saviez-vous ?

Les premiers télescopes (comme ceux de Galilée) utilisaient des lentilles simples et souffraient énormément d'aberrations sphériques et chromatiques, limitant leur grossissement pratique.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'aberration sphérique longitudinale (ASL) est de 15.08 mm.

A vous de jouer

En utilisant votre réponse au "A vous de jouer" de la Q2 (\(f_{\text{h}} \approx 92.86\) mm pour h=10mm), quelle est l'ASL pour h=10mm ? (Rappel: \(f_{\text{p}}=96.71\) mm)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Aberration Longitudinale.
Formule : \(ASL = f_{\text{p}} - f_{\text{h}}\).

Question 4 : Calculer le rayon de la tache de diffusion (aberration sphérique transversale, AST) au niveau du foyer paraxial.

Principe

L'ASL (Q3) décrit le flou *le long* de l'axe. L'AST (Aberration Sphérique Transversale) décrit le flou *dans le plan de l'image*. Si on place un capteur au foyer "idéal" (\(F_{\text{p}}\)), les rayons paraxiaux y forment un point parfait. Mais les rayons marginaux (de hauteur \(h\)) ont déjà convergé en \(F_{\text{h}}\) et s'écartent à nouveau, frappant le capteur à une certaine hauteur. Cette hauteur est le rayon de la tache de flou, c'est l'AST.

Mini-Cours

Nous avons un rayon (le marginal) qui coupe l'axe en \(F_{\text{h}}\) avec un angle \(\alpha\). Nous voulons trouver sa hauteur (l'AST) à une distance plus loin, au plan focal \(F_{\text{p}}\). La distance horizontale entre \(F_{\text{h}}\) et \(F_{\text{p}}\) est l'ASL. Nous avons un triangle rectangle dont les côtés sont l'ASL (adjacent) et l'AST (opposé), avec l'angle \(\alpha\). La relation est donc \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} = \frac{AST}{ASL}\).

Remarque Pédagogique

C'est la métrique la plus importante pour un photographe. Une ASL de 15 mm (Q3) est un concept abstrait, mais une AST de 3.7 mm (Q4) signifie concrètement qu'un point de lumière devient une tache floue de 7.4 mm de diamètre sur le capteur. C'est catastrophique pour la netteté.

Normes

C'est une métrique standard, souvent comparée à la taille du "disque d'Airy" (limite de diffraction) pour voir si la lentille est limitée par les aberrations ou par la diffraction.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul de l'AST

Formule(s)

Par trigonométrie, en considérant le triangle formé par le rayon marginal, l'axe optique, \(F_{\text{h}}\) et \(F_{\text{p}}\) :

\tan(\alpha) = \frac{AST}{f_{\text{p}} - f_{\text{h}}} = \frac{AST}{ASL} \\ \implies AST = ASL \times \tan(\alpha)

Hypothèses

On utilise l'approximation des petits angles pour \(\tan(\alpha)\) ? Non, utilisons la valeur exacte de \(\alpha\) calculée en Q2 pour plus de précision.

Les calculs de l'ASL et de \(\alpha\) sont corrects.

Donnée(s)

Nous utilisons l'ASL de la Q3 et l'angle \(\alpha\) de la Q2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
ASL	ASL	15.08	mm
Angle marginal	\(\alpha\)	13.78	degrés

Astuces

On peut aussi calculer \(\tan(\alpha)\) directement depuis \(f_h\). Puisque \(f_h = h / \tan(\alpha)\), alors \(\tan(\alpha) = h / f_h\). La formule devient : \(AST = ASL \times (h / f_{\text{h}})\).

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de l'AST

On utilise la formule \(AST = ASL \times \tan(\alpha)\) avec la valeur de l'ASL de la Q3 (\(15.08\) mm) et l'angle \(\alpha\) de la Q2 (\(13.78^\circ\)).

\begin{aligned} AST &= 15.08 \text{ mm} \times \tan(13.78^\circ) \\ &= 15.08 \times 0.245 \\ \Rightarrow AST &\approx 3.69 \text{ mm} \end{aligned}

Vérification avec l'astuce

On vérifie en utilisant \(\tan(\alpha) = h / f_{\text{h}}\). Avec \(h=20\) mm et \(f_{\text{h}}=81.63\) mm, on a \(\tan(\alpha) = 20 / 81.63 \approx 0.2449\).

\begin{aligned} AST &= ASL \times (h / f_{\text{h}}) \\ AST &= 15.08 \times (20 / 81.63) \\ &= 15.08 \times 0.2449 \approx 3.69 \text{ mm} \end{aligned}

La vérification par la méthode des triangles semblables (utilisant l'astuce) confirme le résultat. Les deux méthodes sont équivalentes.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul montre que le rayon marginal frappe le plan focal paraxial à une hauteur de 3.69 mm de l'axe, créant une tache floue.

Résultat : Aberration Transversale

Réflexions

Un rayon de tache de 3.69 mm (soit un diamètre de 7.38 mm !) est énorme. Une image ponctuelle est transformée en une large tache floue, rendant la lentille inutilisable pour l'imagerie de précision à cette ouverture.

Points de vigilance

L'AST dépend du plan où on la mesure. Nous l'avons mesurée au foyer paraxial (\(f_{\text{p}}\)). Il existe un point entre \(f_{\text{h}}\) et \(f_{\text{p}}\) où la tache est la plus petite (le "cercle de moindre diffusion"), mais son calcul est plus complexe.

Points à retenir

L'AST quantifie la taille du flou dans le plan image.
Elle est directement proportionnelle à l'ASL et à l'angle du rayon marginal.

Le saviez-vous ?

Dans un appareil photo, fermer le diaphragme (augmenter le "f-stop") réduit le diamètre \(D\) de la lentille utilisée (donc \(h\)), ce qui réduit massivement l'aberration sphérique (qui est proportionnelle à \(h^3\)) et augmente la netteté (profondeur de champ).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'aberration sphérique transversale (AST) est d'environ 3.69 mm. C'est le rayon de la tache focale au foyer paraxial.

A vous de jouer

Calculez l'AST pour h=10mm (en utilisant l'ASL de 3.85 mm de la Q3 "A vous de jouer" et \(f_{\text{h}} = 92.86\) mm).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Aberration Transversale.
Formule : \(AST = ASL \times \tan(\alpha)\).

Question 5 : Discuter brièvement d'une méthode pour réduire cette aberration.

Principe

L'aberration sphérique est un défaut inhérent aux surfaces sphériques. On peut la minimiser en "pliant" la lentille (changer sa forme), en l'orientant correctement, ou en utilisant des surfaces non sphériques.

Mini-Cours

Correction des aberrations : La correction de l'aberration sphérique est un pilier de la conception optique. La méthode la plus simple est le "pliage" de la lentille (lens bending). Pour une focale donnée, il existe une "forme" (un "facteur de forme") qui minimise l'aberration. Pour focaliser un faisceau parallèle, la forme optimale est une lentille plan-convexe avec la face convexe tournée vers l'infini, ou une lentille biconvexe non symétrique. Les solutions plus avancées incluent l'utilisation de surfaces asphériques (qui ne sont pas des portions de sphère) ou l'ajout de lentilles correctrices (doublets) qui annulent les aberrations.

Réflexions

Il existe plusieurs méthodes pour corriger ou réduire l'aberration sphérique :

Orientation de la lentille : L'aberration est minimisée lorsque la déviation du rayon est répartie le plus également possible sur les deux surfaces. Pour une lentille plan-convexe focalisant un faisceau parallèle, l'aberration est bien plus faible si la face convexe est tournée vers le faisceau incident. (Nous avons calculé le "pire" cas).
Lentilles Asphériques : Utiliser une lentille dont le profil n'est pas sphérique mais parabolique (ou autre). C'est la solution idéale (un miroir parabolique n'a pas d'aberration sphérique pour les objets à l'infini) mais plus coûteuse à fabriquer.
Doublets (Achromats) : Combiner une lentille convergente (en Crown) avec une lentille divergente (en Flint) permet de corriger l'aberration sphérique et chromatique en même temps.
Diaphragmer : Réduire le diamètre de la lentille (utiliser un diaphragme) bloque les rayons marginaux, qui sont la cause du problème. Cela augmente la netteté mais réduit la luminosité.

Points de vigilance

Ne pas confondre les solutions. Diaphragmer (réduire l'ouverture) ne "corrige" pas l'aberration, elle ne fait que bloquer les rayons qui la causent, au détriment de la luminosité. Orienter la lentille (face convexe vers l'infini) ne l'annule pas, mais la réduit considérablement (c'est la "forme de moindre aberration"). Seules les lentilles asphériques ou les systèmes multi-lentilles peuvent l'annuler.

Points à retenir

La "forme" (facteur de forme) et l'orientation d'une lentille sont cruciales pour minimiser l'aberration sphérique.
La solution la plus performante est l'utilisation de surfaces asphériques.

Le saviez-vous ?

Le télescope spatial Hubble souffrait d'une aberration sphérique massive après son lancement car son miroir principal avait été poli avec une erreur de 2.2 micromètres (plus fin que l'épaisseur d'un cheveu !). Il a fallu une mission de réparation (COSTAR) pour installer des optiques correctrices.

Résultat Final

On peut réduire l'ASL en orientant la lentille avec la face convexe vers l'infini, en utilisant un doublet, ou en employant une lentille asphérique.

Outil Interactif : Simulateur d'Aberration

Ce simulateur vous permet de voir comment la hauteur du rayon incident (\(h\)) et l'indice de réfraction (\(n\)) influencent les aberrations pour notre lentille (R=50mm, face plane d'abord).

Paramètres d'Entrée

Hauteur du rayon (h) (mm) 10 mm

Indice de réfraction (n) 1.517

Résultats Clés

Aberration Long. (ASL) (mm) -

Aberration Trans. (AST) (mm) -

Glossaire

Aberration Sphérique: Défaut optique d'une lentille ou d'un miroir sphérique qui fait que les rayons lumineux passant loin de l'axe optique ne convergent pas au même point que les rayons passant près de l'axe.
Rayons Paraxiaux: Rayons lumineux très proches de l'axe optique et faisant un petit angle avec celui-ci. Ils définissent la focale "idéale" (Gaussienne).
Rayons Marginaux: Rayons lumineux passant loin de l'axe optique, près des bords (de la marge) de la lentille.
ASL (Aberration Sphérique Longitudinale): Mesure de l'aberration le long de l'axe optique. C'est la distance \(f_{\text{p}} - f_{\text{h}}\) entre le foyer paraxial et le foyer marginal.
AST (Aberration Sphérique Transversale): Mesure de l'aberration dans le plan focal. C'est le rayon de la tache floue (cercle de moindre diffusion) causée par l'ASL.