Calcul des Franges d’Interférence avec les Fentes de Young
Contexte : L'InterférométrieTechnique de mesure basée sur l'analyse des figures d'interférence produites par la superposition d'ondes (lumineuses, acoustiques, etc.)..
L'expérience des fentes de Young est une pierre angulaire de l'optique et de la physique moderne. En faisant passer une onde lumineuse (comme un laser) à travers deux fentes très proches, on observe sur un écran distant non pas deux barres lumineuses, mais une alternance de franges brillantes et sombres. Ce phénomène, appelé interférencePhénomène résultant de la superposition de plusieurs ondes, qui peut entraîner une augmentation (interférence constructive) ou une diminution (interférence destructive) de l'amplitude., a été la preuve décisive de la nature ondulatoire de la lumière.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser mathématiquement ce phénomène pour prédire où apparaîtront les franges brillantes et sombres, et comment leurs positions dépendent des paramètres de l'expérience (longueur d'onde, distance, écartement).
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe des interférences constructives et destructives.
- Appliquer la formule de la différence de marcheLa différence de distance (ou de temps) parcourue par two ondes issues de sources différentes (ou d'une même source par des chemins différents) avant de se superposer en un point..
- Calculer la largeur d'une frange d'interférence (l'interfrangeLa distance séparant les milieux de deux franges brillantes consécutives (ou deux franges sombres consécutives) sur l'écran.).
- Déterminer la position des franges brillantes et sombres sur un écran.
- Analyser l'influence des paramètres expérimentaux sur la figure d'interférence.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Source Laser | Hélium-Néon (Rouge) |
| Milieu de propagation | Air (indice \(n \approx 1\)) |
| Type d'approximation | Petits angles (\(\theta \ll 1\) rad) |
Schéma de l'expérience de Young
| [Nom du Paramètre] | [Symbole] | [Valeur] | [Unité] |
|---|---|---|---|
| Longueur d'onde | \(\lambda\) | 633 | nm |
| Distance fentes-écran | \(D\) | 2.0 | m |
| Écartement des fentes | \(a\) | 0.5 | mm |
Questions à traiter
- Calculer l'interfrange \(\Delta x\) (aussi notée \(i\)) sur l'écran.
- Déterminer la position \(x_3\) de la 3ème frange brillante (en comptant celle du centre comme \(k=0\)) par rapport au centre O.
- Déterminer la position \(x'_1\) de la 2ème frange sombre (pour \(k=1\)) par rapport au centre O.
- Que se passe-t-il (qualitativement) pour l'interfrange \(\Delta x\) si l'on double l'écartement \(a\) des fentes ?
- Que se passe-t-il (qualitativement) pour l'interfrange \(\Delta x\) si l'on remplace le laser rouge par un laser bleu (dont la longueur d'onde est plus faible) ?
Les bases sur l'Interférence à deux ondes
Pour qu'il y ait interférence en un point P de l'écran, les deux ondes issues des fentes S₁ et S₂ doivent être cohérentes. La nature de l'interférence (constructive ou destructive) dépend de leur différence de chemin optique (ou différence de marche).
1. Différence de Marche (\(\delta\))
C'est la différence des distances parcourues par les deux rayons lumineux : \(\delta = S_2P - S_1P\). Dans l'approximation où \(D \gg a\) et \(D \gg x\) (position sur l'écran), on peut montrer que :
\[ \delta \approx \frac{a \cdot x}{D} \]
2. Conditions d'interférence et Interfrange (\(\Delta x\))
L'interférence est constructive (frange brillante) si \(\delta = k \cdot \lambda\), où \(k\) est un entier (\(0, \pm 1, \pm 2, \dots\)).
L'interférence est destructive (frange sombre) si \(\delta = (k + 1/2) \cdot \lambda\).
L'interfrangeLa distance séparant les milieux de deux franges brillantes consécutives (ou deux franges sombres consécutives) sur l'écran. \(\Delta x\) est la distance entre deux franges brillantes consécutives. On l'obtient en cherchant la variation de \(x\) qui correspond à une variation de \(k\) de 1 :
\[ \Delta x = \frac{\lambda \cdot D}{a} \]
Correction : Calcul des Franges d’Interférence avec les Fentes de Young
Question 1 : Calculer l'interfrange \(\Delta x\)
Principe
L'interfrange, notée \(\Delta x\) ou \(i\), est la distance physique sur l'écran qui sépare deux franges brillantes consécutives (ou deux franges sombres consécutives). Elle représente la périodicité spatiale de la figure d'interférence.
Mini-Cours
La formule de l'interfrange est une conséquence directe des conditions d'interférence constructive. Elle relie les paramètres géométriques de l'expérience (\(a\) et \(D\)) à la longueur d'onde (\(\lambda\)) de la lumière utilisée. C'est la formule la plus importante de cette expérience.
Remarque Pédagogique
Notez bien comment chaque paramètre influence le résultat : une plus grande longueur d'onde (lumière "rouge") ou un écran plus lointain (\(D\)) "étirent" les franges (augmentent \(\Delta x\)). Un écartement \(a\) plus grand "comprime" les franges (diminue \(\Delta x\)).
Normes
Ce calcul ne dépend pas d'une norme d'ingénierie, mais des lois fondamentales de l'optique ondulatoire, établies par Thomas Young, Augustin Fresnel et d'autres. L'approximation des petits angles est cruciale pour obtenir cette formule simple.
Formule(s)
La formule de l'interfrange est :
Hypothèses
Nous appliquons les hypothèses standards de l'expérience de Young :
- Approximation des petits angles : \(x \ll D\), ce qui implique \(\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta \approx x/D\).
- Les fentes sont considérées comme des sources secondaires cohérentes et en phase.
- La lumière est parfaitement monochromatique.
Donnée(s)
Nous extrayons les données de l'énoncé et les préparons pour le calcul (conversion en unités du Système International - mètres).
Conversion 1 : Longueur d'onde (\(\lambda\))
La valeur est donnée en nanomètres (nm). Le préfixe "nano" signifie un milliardième, soit \(10^{-9}\).
Conversion 2 : Écartement des fentes (\(a\))
La valeur est donnée en millimètres (mm). Le préfixe "milli" signifie un millième, soit \(10^{-3}\).
Tableau des données en SI
| Paramètre | Symbole | Valeur (énoncé) | Valeur (SI, en m) |
|---|---|---|---|
| Longueur d'onde | \(\lambda\) | 633 nm | \(633 \times 10^{-9}\) m |
| Distance fentes-écran | \(D\) | 2.0 m | 2.0 m |
| Écartement des fentes | \(a\) | 0.5 mm | \(0.5 \times 10^{-3}\) m |
Astuces
Attention aux unités ! C'est le piège n°1. Convertissez systématiquement toutes les longueurs en mètres (nm \(\rightarrow 10^{-9}\)), mm \(\rightarrow 10^{-3}\) avant de faire le calcul. Le résultat \(\Delta x\) sera alors directement en mètres, qu'il est courant de reconvertir en millimètres (mm) pour l'interprétation.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé (ci-dessus) est suffisant. Il montre bien les trois paramètres \(\lambda\) (implicite de la source), \(a\) et \(D\) que nous allons utiliser.
Modélisation de l'expérience
Calcul(s)
Nous appliquons la formule en insérant les valeurs en unités SI.
Étape 1 : Poser la formule
Étape 2 : Remplacer par les valeurs (en mètres)
Étape 3 : Calculer le résultat (en mètres)
Étape 4 : Convertir en millimètres (mm)
Schéma (Après les calculs)
Le calcul nous donne la période spatiale. Si l'on traçait l'intensité lumineuse sur l'écran, on obtiendrait une figure périodique où la distance entre les pics (franges brillantes) est de 2.53 mm.
Profil d'intensité (Théorique)
Réflexions
Un interfrange de 2.53 mm est une distance facilement observable à l'œil nu sur un écran placé à 2 mètres. Cela montre que l'expérience est réalisable avec des moyens relativement simples. Si l'interfrange était de l'ordre du micromètre, nous ne pourrions pas voir les franges sans un microscope.
Points de vigilance
La principale source d'erreur est la gestion des puissances de 10. Assurez-vous que \(\lambda\) et \(a\) sont dans la même unité (le mètre est le plus sûr) avant de diviser. Une erreur fréquente est de diviser 633 (nm) par 0.5 (mm), ce qui ne donne aucun résultat physiquement cohérent.
Points à retenir
La formule clé à retenir de cette question est :
- \(\Delta x = \frac{\lambda D}{a}\)
- L'interfrange \(\Delta x\) est proportionnelle à \(\lambda\) et \(D\).
- L'interfrange \(\Delta x\) est inversement proportionnelle à \(a\).
Le saviez-vous ?
L'expérience originale de Thomas Young en 1801 n'utilisait pas un laser (inventé en 1960 !), mais la lumière du soleil filtrée à travers un petit trou, puis à travers deux autres trous. La cohérence était bien moindre, mais l'observation des franges a suffi à prouver la nature ondulatoire de la lumière, contre la théorie corpusculaire de Newton alors dominante.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Si l'on déplaçait l'écran pour que \(D = 3.0\) m, que vaudrait la nouvelle interfrange \(\Delta x\) (en mm) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Calcul de l'interfrange.
- Formule Essentielle : \(\Delta x = \lambda D / a\).
- Point de Vigilance Majeur : Conversion des unités en mètres (nm \(rightarrow 10^{-9}\)), mm (\(rightarrow 10^{-3}\)).
Question 2 : Position de la 3ème frange brillante (\(k=3\))
Principe
Les franges brillantes correspondent aux lieux d'interférence constructive. La frange centrale (pour \(k=0\)) est à \(x=0\). Les autres franges brillantes sont situées à des multiples entiers de l'interfrange \(\Delta x\).
Mini-Cours
La position des franges brillantes est déterminée par la condition d'interférence constructive, \(\delta = k \lambda\). En combinant avec la formule de la différence de marche \(\delta \approx ax/D\), on trouve \(ax/D = k\lambda\), ce qui donne \(x = k \cdot (\lambda D / a)\). On reconnaît l'interfrange \(\Delta x\). Donc \(x_k = k \cdot \Delta x\).
Remarque Pédagogique
L'ordre \(k\) est un simple compteur. \(k=0\) est la frange centrale (lumineuse), \(k=1\) est la première frange lumineuse de part et d'autre du centre, etc. La symétrie est totale par rapport au centre O.
Normes
Il ne s'agit pas de normes de construction (comme les Eurocodes), mais de l'application directe des principes fondamentaux de l'optique ondulatoire, notamment le principe de superposition et la condition d'interférence constructive (\(\delta = k \lambda\)).
Formule(s)
La position \(x_k\) d'une frange brillante d'ordre \(k\) est donnée par :
Hypothèses
Les hypothèses restent identiques à celles de la Question 1 :
- Approximation des petits angles : \(x \ll D\), ce qui permet de simplifier \(\delta \approx ax/D\).
- Les fentes S₁ et S₂ sont des sources secondaires idéales, parfaitement cohérentes et en phase.
- La figure observée est une figure d'interférence "pure", non limitée par une enveloppe de diffraction (ce qui suppose des fentes infiniment fines).
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat de la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Interfrange | \(\Delta x\) | 2.532 | mm |
| Ordre de la frange | \(k\) | 3 | (sans unité) |
Astuces
Pas de piège ici, c'est une application directe. Il suffit de multiplier l'ordre \(k\) par l'interfrange \(\Delta x\) calculée à la Q1. Assurez-vous d'utiliser \(\Delta x\) en mm pour obtenir un résultat final en mm.
Schéma (Avant les calculs)
Nous cherchons à localiser \(x_3\). Sur le profil d'intensité, cela correspond au 3ème pic lumineux après le centre (\(k=0\)).
Localisation de \(x_3\) (Frange Brillante)
Calcul(s)
Nous appliquons la formule des franges brillantes \(x_k = k \cdot \Delta x\) en utilisant l'ordre \(k=3\) et la valeur de \(\Delta x\) calculée à la Question 1.
Étape 1 : Poser la formule pour k=3
Étape 2 : Remplacer \(\Delta x\) par sa valeur
Nous utilisons la valeur \(\Delta x = 2.532 \text{ mm}\) trouvée à la Question 1.
Étape 3 : Calcul final
Schéma (Après les calculs)
Le schéma confirme notre calcul. La position \(x_3\) correspond bien au 3ème pic d'intensité maximale, situé à une distance de \(3 \times \Delta x\) du centre.
Localisation de \(x_3\) (Frange Brillante)
Réflexions
La position est simplement \(k\) fois l'interfrange. Cela montre bien la périodicité de la figure. La 3ème frange brillante est à 7.6 mm du centre, que ce soit vers le haut (\(+7.6\) mm) ou vers le bas (\(-7.6\) mm).
Points de vigilance
Ne pas confondre l'ordre \(k=3\) (la 3ème frange *après* le centre, car l'énoncé précise \(k=0\) pour le centre) avec la "troisième frange" si l'on comptait "1, 2, 3" depuis le bord.
Points à retenir
La figure d'interférence est périodique, de période spatiale \(\Delta x\).
- La position des maxima (franges brillantes) est un multiple *entier* de l'interfrange : \(x_k = k \cdot \Delta x\).
Le saviez-vous ?
Si on utilisait de la lumière blanche (polychromatique), la frange centrale (\(k=0\)) serait blanche (car toutes les couleurs s'y superposent constructivement), mais les franges latérales (\(k=1, 2...\)) seraient 'irisées' (des arcs-en-ciel), car \(\Delta x\) dépend de \(\lambda\). C'est le phénomène de dispersion interférentielle.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Sur le même principe, à quelle position (en mm) se trouve la 5ème frange brillante (\(k=5\)) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept : Position des franges brillantes (constructives).
- Formule : \(x_k = k \cdot \Delta x\).
Question 3 : Position de la 2ème frange sombre (\(k=1\))
Principe
Les franges sombres (extinction de la lumière) correspondent aux lieux d'interférence destructive. Elles se produisent lorsque les deux ondes arrivent en "opposition de phase" et s'annulent. Elles sont "intercalées" exactement au milieu des franges brillantes.
Mini-Cours
L'interférence destructive se produit lorsque la différence de marche \(\delta\) est un multiple demi-entier de la longueur d'onde : \(\delta = (k + 1/2) \cdot \lambda\). En utilisant \(\delta \approx ax/D\), on trouve la position des minima \(x'_k\) : \(ax'_k/D = (k+1/2)\lambda\), ce qui donne \(x'_k = (k+1/2) \cdot (\lambda D / a) = (k+1/2) \cdot \Delta x\).
Remarque Pédagogique
Il n'y a pas de frange sombre 'centrale' (pour \(x=0\), l'interférence est constructive). Les franges sombres sont toujours décalées. La première frange sombre (pour \(k=0\)) est à \(0.5 \cdot \Delta x\), la deuxième (pour \(k=1\)) est à \(1.5 \cdot \Delta x\), et ainsi de suite.
Normes
Comme pour la question précédente, nous appliquons les lois de l'optique ondulatoire. La section se base spécifiquement sur le principe de superposition, appliqué au cas où les ondes s'annulent (opposition de phase), menant à la condition d'interférence destructive \(\delta = (k + 1/2) \lambda\).
Formule(s)
La position \(x'_k\) d'une frange sombre d'ordre \(k\) est donnée par :
Note : La "1ère" frange sombre (pour \(k=0\)) est à \(0.5 \cdot \Delta x\). La "2ème" (pour \(k=1\)) est à \(1.5 \cdot \Delta x\).
Hypothèses
Les hypothèses fondamentales sont inchangées :
- Approximation des petits angles (\(x \ll D\)).
- Sources S₁ et S₂ cohérentes, en phase, et d'amplitudes (intensités) identiques pour permettre une extinction parfaite (intensité nulle).
Donnée(s)
Nous utilisons \(\Delta x\) et \(k=1\) (pour la 2ème frange sombre).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Interfrange | \(\Delta x\) | 2.532 | mm |
| Ordre de la frange | \(k\) | 1 | (sans unité) |
Astuces
Attention à la numérotation. L'énoncé demande la '2ème frange sombre'. Dans la formule \((k + 1/2)\Delta x\), cela correspond à \(k=1\) (car la première est à \(k=0\)). C'est un piège courant.
Schéma (Avant les calculs)
Nous cherchons à localiser \(x'_1\). Sur le profil d'intensité, cela correspond au 2ème minimum (zéro d'intensité) après le centre. Le 1er est à \(0.5 \Delta x\), le 2ème est à \(1.5 \Delta x\).
Localisation de \(x'_1\) (Frange Sombre)
Calcul(s)
Nous appliquons la formule des franges sombres \(x'_k = (k + 1/2) \cdot \Delta x\). Pour la 2ème frange sombre, l'ordre est \(k=1\).
Étape 1 : Poser la formule pour k=1
L'ordre \(k=1\) correspond au facteur \((1 + 1/2) = 1.5\).
Étape 2 : Remplacer \(\Delta x\) par sa valeur
Nous utilisons encore \(\Delta x = 2.532 \text{ mm}\) (Q1).
Étape 3 : Calcul final
Schéma (Après les calculs)
Le schéma confirme le calcul. Le 2ème minimum d'intensité (la 2ème frange sombre) est localisé à \(1.5 \times \Delta x\).
Localisation de \(x'_1\) (Frange Sombre)
Réflexions
Comme attendu, cette frange sombre (à 3.80 mm) se trouve bien entre la 1ère frange brillante (à \(\Delta x \approx 2.53\) mm) et la 2ème frange brillante (à \(2 \cdot \Delta x \approx 5.06\) mm).
Points de vigilance
Le piège principal est l'indice \(k\). '2ème frange sombre' $\rightarrow$ \((k+1/2)\) avec \(k=1\), et non \(k=2\). Si \(k=2\), on obtiendrait \((2+1/2)\Delta x = 2.5 \Delta x\), ce qui est la 3ème frange sombre.
Points à retenir
- La position des minima (franges sombres) est un multiple *demi-entier* de l'interfrange : \(x'_k = (k + 1/2) \cdot \Delta x\).
Le saviez-vous ?
En acoustique, ce même principe est utilisé dans les casques à réduction de bruit active. Un microphone capte le bruit ambiant, un processeur l'analyse et émet une 'anti-onde' (une onde en opposition de phase, décalée de \(\pi\) ou \((k+1/2)\lambda\)) pour annuler le bruit par interférence destructive à l'oreille.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Sur le même principe, à quelle position (en mm) se trouve la 1ère frange sombre (\(k=0\)) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept : Position des franges sombres (destructives).
- Formule : \(x'_k = (k + 1/2) \cdot \Delta x\).
Question 4 : Effet de doubler \(a\)
Principe
Cette question est qualitative. Il ne s'agit pas de calculer une valeur, mais de comprendre la relation de dépendance entre les variables. Nous devons analyser l'impact d'une modification de l'écartement \(a\) sur l'interfrange \(\Delta x\).
Mini-Cours
L'analyse de la formule \(\Delta x = \lambda D / a\) montre une relation mathématique de 'proportionnalité inverse'. Si \(\Delta x = C / a\) (où \(C = \lambda D\) est constant), alors si \(a_2 = 2 \cdot a_1\), on a \(\Delta x_2 = C / (2 \cdot a_1) = (1/2) \cdot (C / a_1) = (1/2) \cdot \Delta x_1\).
Remarque Pédagogique
C'est un concept fondamental en physique (lié aux relations de Fourier). Plus on 'comprime' un phénomène dans un espace (ici, plus on rapproche les fentes, \(a\) diminue), plus il 's'étale' dans l'espace réciproque (ici, l'écran, \(\Delta x\) augmente).
Normes
Il ne s'agit pas d'une norme, mais d'une méthode d'analyse fondamentale en sciences : l'analyse de sensibilité. Nous étudions comment le résultat \(\Delta x\) réagit à une variation du paramètre d'entrée \(a\). C'est la base de la compréhension d'un modèle physique.
Formule(s)
Nous reprenons la formule de l'interfrange :
Hypothèses
L'hypothèse clé de cette analyse est que tous les autres paramètres sont 'toutes choses égales par ailleurs' (ceteris paribus). Pendant que nous varions \(a\), nous supposons que \(\lambda\) (le laser) et \(D\) (la position de l'écran) restent fixes.
Donnée(s)
Les données sont relationnelles et non numériques :
- Paramètre d'entrée : Écartement \(a\).
- Variation : \(a_{\text{final}} = 2 \times a_{\text{initial}}\).
- Paramètres fixes : \(\lambda\) et \(D\).
- Sortie à analyser : \(\Delta x\).
Astuces
Pensez 'inverse'. \(a\) (l'écartement) est au dénominateur. Augmenter le dénominateur \(Rightarrow\) Réduire la valeur de la fraction.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma "avant" est notre cas de référence, celui de la Question 1, avec un écartement \(a\) et un interfrange \(\Delta x\).
Cas 1 : Écartement \(a\) (Référence - Rouge)
Calcul(s)
Il s'agit d'une analyse formelle pour trouver la nouvelle interfrange, que nous appellerons \(\Delta x'\), en fonction de l'ancienne, \(\Delta x\). Le nouvel écartement est \(a' = 2a\).
Étape 1 : Poser la formule de la nouvelle interfrange \(\Delta x'\)
La formule est la même, mais avec le nouvel écartement \(a'\).
Étape 2 : Remplacer \(a'\) par \(2a\)
On substitue la nouvelle valeur \(a' = 2a\) dans la formule.
Étape 3 : Mettre en évidence l'ancienne interfrange \(\Delta x\)
On peut réécrire l'expression en sortant le facteur 1/2 :
Étape 4 : Conclure en remplaçant par \(\Delta x\)
Puisque \(\Delta x = \frac{\lambda D}{a}\) (c'était notre interfrange initiale), on obtient :
Schéma (Après les calculs)
Le résultat \(\Delta x' = \Delta x / 2\) signifie que le profil d'intensité est "comprimé". Les franges sont deux fois plus serrées.
Cas 2 : Écartement \(a' = 2a\)
Réflexions
Dans cette formule, \(\Delta x\) est au numérateur et \(a\) est au dénominateur. Cela signifie que \(\Delta x\) est inversement proportionnel à \(a\).
- Si \(a\) augmente, \(\Delta x\) diminue.
- Si \(a\) diminue, \(\Delta x\) augmente.
Par conséquent, si l'on double \(a\) (on le multiplie par 2), l'interfrange \(\Delta x\) sera divisée par 2.
Points de vigilance
C'est un résultat parfois contre-intuitif. On pourrait penser qu'écarter les fentes "écarte" les franges, mais c'est l'inverse. Plus les fentes sont serrées, plus la figure d'interférence s'étale sur l'écran.
Points à retenir
La relation inverse entre l'écartement des sources et l'espacement des franges est un point crucial de l'optique ondulatoire.
- Relation : \(\Delta x \propto 1/a\) (inversement proportionnel).
- Conséquence : Écarter les fentes \(Rightarrow\) Rapprocher les franges.
Le saviez-vous ?
C'est ce qui se passe avec les réseaux de diffraction (qui ont des milliers de fentes). Plus le pas du réseau (équivalent de \(a\)) est fin, plus les 'pics' de lumière (ordres de diffraction) sont étalés angulairement, permettant de mieux séparer les couleurs (spectromètre).
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Question quantitative : Si l'on augmente l'écartement à \(a = 1.0\) mm (au lieu de 0.5 mm), que devient l'interfrange \(\Delta x\) (en mm) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Relation : \(\Delta x \propto 1/a\) (inversement proportionnel).
- Conséquence : Écarter les fentes $\Rightarrow$ Rapprocher les franges.
Question 5 : Effet de changer \(\lambda\) (laser bleu)
Principe
Comme pour la question 4, il s'agit d'une analyse qualitative. La lumière "bleue" a une longueur d'onde \(\lambda_{\text{bleu}}\) plus courte que la lumière "rouge" \(\lambda_{\text{rouge}}\). Nous devons analyser la dépendance de \(\Delta x\) par rapport à \(\lambda\).
Mini-Cours
L'analyse de la formule \(\Delta x = \lambda D / a\) montre une relation de 'proportionnalité directe'. Si \(\Delta x = C' \cdot \lambda\) (où \(C' = D/a\) est constant), alors si \(\lambda_2 < \lambda_1\), on aura \(\Delta x_2 < \Delta x_1\).
Remarque Pédagogique
Le spectre visible va du violet (plus courte \(\lambda\), \(\approx 400\) nm) au rouge (plus grande \(\lambda\), \(\approx 700\) nm). Le 'bleu' (\(\approx 450-490\) nm) est donc du côté des longueurs d'onde faibles. Une longueur d'onde plus courte signifie que l'onde 'oscille' plus rapidement dans l'espace.
Normes
Comme pour la Q4, il s'agit d'une analyse de sensibilité. Nous analysons la dépendance de la sortie \(\Delta x\) par rapport au paramètre d'entrée \(\lambda\) (longueur d'onde).
Formule(s)
Nous reprenons la même formule :
Hypothèses
L'hypothèse est que l'on change uniquement la source lumineuse (on remplace le laser rouge par un bleu). Les paramètres géométriques de l'expérience, l'écartement \(a\) et la distance à l'écran \(D\), sont supposés rester constants.
Donnée(s)
Les données sont qualitatives et basées sur la connaissance du spectre électromagnétique :
- Paramètre d'entrée : Longueur d'onde \(\lambda\).
- Variation : \(\lambda_{\text{final}} = \lambda_{\text{bleu}}\) et \(\lambda_{\text{initial}} = \lambda_{\text{rouge}}\).
- Relation physique : \(\lambda_{\text{bleu}} < \lambda_{\text{rouge}}\).
- Paramètres fixes : \(a\) et \(D\).
Astuces
Pensez 'direct'. \(\lambda\) (la longueur d'onde) est au numérateur. Réduire le numérateur \(Rightarrow\) Réduire la valeur de la fraction.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma "avant" est notre cas de référence, avec la lumière rouge, produisant un interfrange \(\Delta x_{\text{rouge}}\).
Cas 1 : Lumière Rouge (\(\lambda_{\text{rouge}}\))
Calcul(s)
C'est une analyse qualitative basée sur la relation de proportionnalité. Nous comparons \(\Delta x_{\text{rouge}}\) (notre \(\Delta x\) initial) avec \(\Delta x_{\text{bleu}}\).
Étape 1 : Poser la relation de proportionnalité
D'après la formule \(\Delta x = \frac{\lambda D}{a}\), et en supposant \(D\) et \(a\) constants, \(\Delta x\) est directement proportionnel à \(\lambda\).
Étape 2 : Comparer les longueurs d'onde
La lumière bleue est du côté "violet" du spectre, et la lumière rouge de l'autre côté. La longueur d'onde du bleu est donc plus faible que celle du rouge.
Étape 3 : Appliquer la proportionnalité
Puisque \(\Delta x\) varie dans le même sens que \(\lambda\), une longueur d'onde plus faible donne une interfrange plus faible.
Schéma (Après les calculs)
Le résultat \(\Delta x_{\text{bleu}} < \Delta x_{\text{rouge}}\) signifie que le profil d'intensité avec la lumière bleue est "comprimé" par rapport au profil avec la lumière rouge.
Cas 2 : Lumière Bleue (\(\lambda_{\text{bleu}} < \lambda_{\text{rouge}}\))
Réflexions
Dans cette formule, \(\Delta x\) et \(\lambda\) sont tous les deux au numérateur. Cela signifie que \(\Delta x\) est directement proportionnel à \(\lambda\).
- Si \(\lambda\) augmente (vers le rouge), \(\Delta x\) augmente (les franges s'écartent).
- Si \(\lambda\) diminue (vers le bleu), \(\Delta x\) diminue (les franges se resserrent).
La lumière bleue (\(\lambda \approx 450\) nm) a une longueur d'onde plus faible que la lumière rouge (\(\lambda = 633\) nm). Par conséquent, l'interfrange \(\Delta x\) va diminuer.
Points de vigilance
Ne pas inverser la relation. C'est simple : "plus grande longueur d'onde" (rouge) donne "plus grande interfrange". "Plus petite longueur d'onde" (bleu/violet) donne "plus petite interfrange".
Points à retenir
La couleur de la lumière (sa longueur d'onde) a un impact direct sur la taille de la figure d'interférence.
- Relation : \(\Delta x \propto \lambda\) (directement proportionnel).
- Conséquence : Lumière bleue (plus courte \(\lambda\)) \(Rightarrow\) Franges plus serrées.
Le saviez-vous ?
C'est pour cette raison que les lecteurs Blu-ray utilisent un laser bleu-violet (\(\lambda \approx 405\) nm) et non un laser rouge (\(\lambda \approx 650\) nm) comme les DVD. La longueur d'onde plus courte permet de focaliser la lumière sur des "pits" (creux) plus petits et plus serrés sur le disque (par diffraction), permettant de stocker beaucoup plus de données.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Question quantitative : En gardant \(a=0.5\) mm et \(D=2.0\) m, si l'on utilise un laser bleu de \(\lambda = 450\) nm, que vaut la nouvelle interfrange \(\Delta x\) (en mm) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Relation : \(\Delta x \propto \lambda\) (directement proportionnel).
- Conséquence : Lumière bleue (plus courte \(\lambda\)) $\Rightarrow$ Franges plus serrées.
Outil Interactif : Simulateur d'Interfrange
Utilisez les curseurs pour faire varier la longueur d'onde \(\lambda\) (la couleur) et l'écartement des fentes \(a\). Observez en temps réel l'impact sur l'interfrange \(\Delta x\) et sur la figure d'interférence. (La distance à l'écran \(D\) est fixée à 2.0 m).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. L'interfrangeLa distance séparant les milieux de deux franges brillantes consécutives (ou deux franges sombres consécutives) sur l'écran. \(\Delta x\) représente :
2. Si l'on augmente la distance \(D\) (fentes-écran), l'interfrange \(\Delta x\) :
3. Si l'on augmente l'écartement \(a\) entre les fentes, l'interfrange \(\Delta x\) :
4. Par rapport à la lumière rouge, la lumière bleue produit des franges :
5. Une frange sombre (interférence destructive) apparaît lorsque la différence de marche \(\delta\) est :
Glossaire
- Interférence
- Phénomène résultant de la superposition de plusieurs ondes (ex: lumineuses), qui peut entraîner une augmentation d'amplitude (constructive) ou une diminution (destructive).
- Interfrange (\(\Delta x\) ou \(i\))
- La distance sur l'écran qui sépare les centres de deux franges brillantes consécutives (ou deux franges sombres consécutives).
- Différence de marche (\(\delta\))
- La différence de distance (ex: \(\delta = S_2P - S_1P\)) parcourue par deux ondes avant de se superposer en un point P. C'est cette différence qui détermine la nature de l'interférence.
- Lumière monochromatique
- Lumière qui n'est composée que d'une seule longueur d'onde (une seule "couleur"). Les lasers sont de très bonnes sources monochromatiques.
- Lumière cohérente
- Se dit de sources lumineuses dont la relation de phase est constante dans le temps et l'espace. C'est une condition nécessaire pour observer une figure d'interférence stable.
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