Oscillations Couplées de Deux Pendules Identiques
Comprendre les Oscillations Couplées et les Modes Normaux
Lorsque deux oscillateurs ou plus sont connectés d'une manière qui leur permet d'échanger de l'énergie, on dit qu'ils sont couplés. Le mouvement résultant peut sembler complexe, mais il peut toujours être décomposé en une superposition de mouvements plus simples appelés modes normaux d'oscillation. Chaque mode normal est une oscillation dans laquelle toutes les parties du système oscillent à la même fréquence (la fréquence propre du mode) et avec une relation de phase fixe.
L'étude de deux pendules identiques reliés par un ressort est un exemple canonique d'oscillateurs couplés. L'énergie peut être transférée d'un pendule à l'autre via le ressort, créant des battements. Cependant, en analysant le système, on découvre deux modes normaux : un mode symétrique où les pendules oscillent en phase, et un mode antisymétrique où ils oscillent en opposition de phase. Tout mouvement complexe du système est une combinaison linéaire de ces deux modes.
Données de l'étude
- Masse de chaque pendule (\(m\)) : \(0.5 \, \text{kg}\)
- Longueur de chaque pendule (\(L\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
- Constante de raideur du ressort (\(k\)) : \(2.0 \, \text{N/m}\)
- Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Pendules Couplés
Questions à traiter
- Dans l'approximation des petites oscillations (\(\sin\theta \approx \theta \approx x/L\)), établir le système des deux équations différentielles couplées qui régissent les mouvements de \(x_1\) et \(x_2\).
- Découpler ce système en introduisant les coordonnées des modes normaux : \(q_1 = x_1 + x_2\) (mode symétrique) et \(q_2 = x_1 - x_2\) (mode antisymétrique).
- Montrer que les nouvelles équations sont celles de deux oscillateurs harmoniques indépendants et déterminer leurs pulsations propres, \(\omega_1\) et \(\omega_2\).
- Décrire physiquement le mouvement de chacun des deux modes normaux.
- Calculer numériquement les fréquences \(f_1\) et \(f_2\) des deux modes normaux.
Correction : Oscillations Couplées et Modes Normaux
Question 1 : Équations Différentielles du Mouvement
Principe :
On applique la deuxième loi de Newton à chaque masse. Chaque masse est soumise à trois forces : son poids, la tension du fil, et la force de rappel du ressort. Dans l'approximation des petites oscillations, la force de rappel du pendule est \(F_p = -mg\theta = -(mg/L)x\). La force exercée par le ressort sur la masse 1 est \(F_r = -k(x_1 - x_2)\), et sur la masse 2, elle est \(F_r = -k(x_2 - x_1)\).
Équations :
Pour la masse 1 :
Pour la masse 2 :
En réarrangeant :
Question 2 : Découplage via les Coordonnées Normales
Principe :
On effectue un changement de variables en définissant \(q_1 = x_1 + x_2\) et \(q_2 = x_1 - x_2\). L'objectif est de manipuler les deux équations initiales pour obtenir deux nouvelles équations, l'une ne dépendant que de \(q_1\) et l'autre que de \(q_2\).
Calcul :
1. Addition des deux équations initiales (\(\ddot{x}_1 + \ddot{x}_2\)) :
2. Soustraction de la deuxième équation à la première (\(\ddot{x}_1 - \ddot{x}_2\)) :
Question 3 : Pulsations Propres des Modes Normaux
Principe :
Les équations découplées sont de la forme \(\ddot{q} + \omega^2 q = 0\), qui est l'équation d'un oscillateur harmonique simple de pulsation \(\omega\). On peut identifier directement les pulsations \(\omega_1\) et \(\omega_2\) à partir de ces équations.
Analyse :
Pour le mode 1 (coordonnée \(q_1\)) :
Pour le mode 2 (coordonnée \(q_2\)) :
Question 4 : Description Physique des Modes
Mode 1 (Symétrique, pulsation \(\omega_1\)) :
Ce mode correspond à \(q_2 = x_1 - x_2 = 0\), ce qui implique \(x_1 = x_2\). Les deux pendules oscillent en phase avec la même amplitude. Le ressort n'est jamais étiré ni comprimé, il se déplace simplement avec les masses. La pulsation \(\omega_1 = \sqrt{g/L}\) est la même que celle d'un pendule simple non couplé.
Mode 2 (Antisymétrique, pulsation \(\omega_2\)) :
Ce mode correspond à \(q_1 = x_1 + x_2 = 0\), ce qui implique \(x_1 = -x_2\). Les deux pendules oscillent en opposition de phase avec la même amplitude. Le ressort est alternativement étiré et comprimé au maximum, ajoutant une force de rappel supplémentaire. C'est pourquoi la pulsation \(\omega_2\) est plus élevée que \(\omega_1\).
Question 5 : Calcul Numérique des Fréquences (\(f_1, f_2\))
Principe :
On calcule d'abord les pulsations \(\omega_1\) et \(\omega_2\) avec les valeurs numériques, puis on utilise la relation \(f = \omega / (2\pi)\) pour trouver les fréquences.
Calcul :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Dans le mode symétrique des pendules couplés, le ressort :
2. La fréquence du mode antisymétrique est plus élevée que celle du mode symétrique parce que :
3. Si la raideur du ressort \(k\) est nulle, que deviennent les fréquences \(\omega_1\) et \(\omega_2\) ?
Glossaire
- Oscillateur Couplé
- Système de deux ou plusieurs oscillateurs qui peuvent interagir et échanger de l'énergie entre eux. Le mouvement d'un oscillateur affecte le mouvement des autres.
- Mode Normal d'Oscillation
- Modèle de mouvement spécifique dans un système oscillant où toutes les parties du système se déplacent sinusoïdalement avec la même fréquence et avec une relation de phase fixe.
- Pulsation Propre (\(\omega\))
- Fréquence angulaire naturelle à laquelle un système oscille en l'absence de force d'amortissement ou d'excitation. Elle est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\).
- Mode Symétrique
- Un mode normal dans lequel les parties du système se déplacent de manière symétrique, ou "en phase". Pour les deux pendules, cela signifie qu'ils se balancent dans la même direction en même temps.
- Mode Antisymétrique
- Un mode normal dans lequel les parties du système se déplacent en opposition de phase. Pour les deux pendules, cela signifie qu'ils se balancent dans des directions opposées en même temps.
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