ÉTUDE DE PHYSIQUE

Pouvoir de Résolution d’un Réseau de Diffraction

Pouvoir de Résolution d'un Réseau de Diffraction

Pouvoir de Résolution d'un Réseau de Diffraction

Comprendre le Pouvoir de Résolution d'un Réseau de Diffraction

Un réseau de diffraction est un composant optique constitué d'un grand nombre de fentes (ou traits) parallèles et équidistantes. Lorsqu'il est éclairé, il produit des interférences très marquées qui séparent la lumière en ses différentes longueurs d'onde, formant un spectre. Cette propriété en fait un outil essentiel en spectroscopie.

Le pouvoir de résolution d'un réseau est sa capacité à distinguer deux raies spectrales très proches, c'est-à-dire deux longueurs d'onde \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) très voisines. Selon le critère de Rayleigh, deux raies spectrales sont considérées comme résolues (ou séparées) si le maximum de diffraction de l'une coïncide avec le premier minimum de diffraction de l'autre. Le pouvoir de résolution \(R\) est défini par \(R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda}\), où \(\lambda\) est la longueur d'onde moyenne et \(\Delta\lambda\) est la plus petite différence de longueur d'onde discernable. Pour un réseau, ce pouvoir de résolution est aussi donné par \(R = mN\), où \(m\) est l'ordre de diffraction et \(N\) est le nombre total de traits du réseau qui sont éclairés par la lumière.

Données de l'étude

On souhaite utiliser un réseau de diffraction plan pour séparer les deux raies jaunes du doublet du sodium. On observe le spectre à l'ordre \(m=2\).

Caractéristiques du dispositif et de la lumière :

  • Réseau de diffraction comportant 600 traits par millimètre.
  • Spectre observé à l'ordre de diffraction : \(m = 2\).
  • Longueurs d'onde du doublet du sodium :
    • \(\lambda_1 = 589.00 \, \text{nm}\)
    • \(\lambda_2 = 589.59 \, \text{nm}\)

Hypothèses : La lumière éclaire le réseau en incidence normale.

Schéma : Séparation Spectrale par un Réseau
{/* Source et faisceau incident */} Source (Na) λ₁, λ₂ {/* Réseau */} Réseau {/* Lentille */} Lentille {/* Écran */} Écran (Plan focal) {/* Ordre 0 */} m = 0 {/* Ordre m=2 */} m = 2 λ₁ λ₂

Un réseau de diffraction sépare les différentes longueurs d'onde (λ₁ et λ₂) d'une source en maxima d'intensité à des angles différents.

Questions à traiter

  1. Calculer le pas \(d\) du réseau (distance entre deux traits consécutifs).
  2. Calculer le pouvoir de résolution \(R\) nécessaire pour séparer les deux raies du doublet du sodium, selon le critère de Rayleigh.
  3. Déterminer le nombre total de traits \(N\) du réseau qui doivent être éclairés pour obtenir cette résolution à l'ordre \(m=2\).
  4. En déduire la largeur minimale \(L\) du réseau qui doit être éclairée par le faisceau lumineux pour résoudre le doublet.
  5. Calculer l'angle de diffraction \(\theta_1\) pour la première longueur d'onde (\(\lambda_1\)) à l'ordre \(m=2\).
  6. Calculer la séparation angulaire \(\Delta\theta\) entre les deux raies du doublet à l'ordre \(m=2\).
  7. Le pouvoir de résolution du réseau dépend-il de la longueur d'onde utilisée ? Discuter brièvement.

Correction : Pouvoir de Résolution d'un Réseau

Question 1 : Calcul du Pas du Réseau (\(d\))

Principe :

Le pas du réseau \(d\) est la distance entre les centres de deux traits consécutifs. Il est l'inverse du nombre de traits par unité de longueur. Ici, le réseau a 600 traits par millimètre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[d = \frac{1}{\text{Nombre de traits par unité de longueur}}\]
Données spécifiques :
  • Nombre de traits : \(600 \, \text{traits/mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d &= \frac{1}{600 \, \text{traits/mm}} \\ &= 1.666... \times 10^{-3} \, \text{mm/trait} \\ &\approx 1.67 \times 10^{-6} \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le pas du réseau est \(d \approx 1.67 \, \mu\text{m}\).

Question 2 : Pouvoir de Résolution Requis (\(R\))

Principe :

Selon le critère de Rayleigh, le pouvoir de résolution \(R\) nécessaire pour distinguer deux longueurs d'onde \(\lambda\) et \(\lambda + \Delta\lambda\) est donné par la formule \(R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda}\). On utilise la longueur d'onde moyenne pour \(\lambda\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda_{\text{moy}} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2}\] \[\Delta\lambda = |\lambda_2 - \lambda_1|\] \[R = \frac{\lambda_{\text{moy}}}{\Delta\lambda}\]
Données spécifiques :
  • \(\lambda_1 = 589.00 \, \text{nm}\)
  • \(\lambda_2 = 589.59 \, \text{nm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{moy}} &= \frac{589.00 + 589.59}{2} \\ &= 589.295 \, \text{nm} \\ \\ \Delta\lambda &= 589.59 - 589.00 \\ &= 0.59 \, \text{nm} \\ \\ R &= \frac{589.295 \, \text{nm}}{0.59 \, \text{nm}} \\ &\approx 998.8 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le pouvoir de résolution requis est \(R \approx 999\).

Question 3 : Nombre de Traits à Éclairer (\(N\))

Principe :

Le pouvoir de résolution théorique d'un réseau de diffraction est donné par \(R = mN\), où \(m\) est l'ordre de diffraction et \(N\) est le nombre total de traits du réseau qui sont éclairés. Pour résoudre les raies, le pouvoir de résolution du réseau doit être au moins égal au pouvoir de résolution requis.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{réseau}} = mN\] \[N_{\text{min}} = \frac{R_{\text{requis}}}{m}\]
Données spécifiques :
  • \(R_{\text{requis}} \approx 999\)
  • Ordre de diffraction \(m = 2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_{\text{min}} &= \frac{999}{2} \\ &= 499.5 \end{aligned} \]

Puisque le nombre de traits doit être un entier, il faut éclairer au minimum 500 traits.

Résultat Question 3 : Il faut éclairer un minimum de \(N = 500\) traits du réseau.

Quiz Intermédiaire 1 : Pour améliorer le pouvoir de résolution d'un réseau, on peut :

Question 4 : Largeur Minimale du Réseau à Éclairer (\(L\))

Principe :

La largeur totale \(L\) du réseau qui doit être éclairée est simplement le nombre de traits nécessaires \(N\) multiplié par la distance entre chaque trait (le pas du réseau \(d\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[L = N \cdot d\]
Données spécifiques :
  • \(N = 500\) traits
  • \(d \approx 1.667 \times 10^{-6} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L &= 500 \cdot (1.667 \times 10^{-6} \, \text{m}) \\ &= 833.5 \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &= 0.8335 \times 10^{-3} \, \text{m} \\ &\approx 0.83 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La largeur minimale du réseau à éclairer est \(L \approx 0.83 \, \text{mm}\).

Question 5 : Angle de Diffraction (\(\theta_1\)) pour \(\lambda_1\) à l'Ordre 2

Principe :

L'angle de diffraction pour les maxima d'intensité d'un réseau est donné par la formule générale des réseaux : \(d \sin\theta = m\lambda\). On peut l'utiliser pour trouver \(\theta_1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[d \sin\theta_1 = m \lambda_1 \Rightarrow \sin\theta_1 = \frac{m \lambda_1}{d}\]
Données spécifiques :
  • \(m = 2\)
  • \(\lambda_1 = 589.00 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
  • \(d \approx 1.667 \times 10^{-6} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sin\theta_1 &= \frac{2 \cdot (589.00 \times 10^{-9} \, \text{m})}{1.667 \times 10^{-6} \, \text{m}} \\ &= \frac{1178 \times 10^{-9}}{1.667 \times 10^{-6}} \\ &\approx 706.6 \times 10^{-3} \\ &\approx 0.7066 \\ \\ \theta_1 &= \arcsin(0.7066) \\ &\approx 44.96^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'angle de diffraction pour \(\lambda_1\) à l'ordre 2 est \(\theta_1 \approx 45.0^\circ\).

Question 6 : Séparation Angulaire (\(\Delta\theta\)) entre les Raies

Principe :

La séparation angulaire est la différence entre les angles de diffraction des deux longueurs d'onde, \(\theta_2\) et \(\theta_1\), au même ordre \(m\). On calcule d'abord \(\theta_2\) puis la différence.

Calcul :

D'abord, calculons \(\theta_2\) pour \(\lambda_2 = 589.59 \, \text{nm}\) :

\[ \begin{aligned} \sin\theta_2 &= \frac{m \lambda_2}{d} \\ &= \frac{2 \cdot (589.59 \times 10^{-9} \, \text{m})}{1.667 \times 10^{-6} \, \text{m}} \\ &\approx 0.7073 \\ \\ \theta_2 &= \arcsin(0.7073) \\ &\approx 45.02^\circ \end{aligned} \]

Maintenant, la séparation angulaire :

\[ \begin{aligned} \Delta\theta &= \theta_2 - \theta_1 \\ &= 45.02^\circ - 44.96^\circ \\ &= 0.06^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La séparation angulaire entre les deux raies est \(\Delta\theta \approx 0.06^\circ\).

Question 7 : Dépendance du Pouvoir de Résolution avec la Longueur d'Onde

Principe et Analyse :

Le pouvoir de résolution d'un réseau est donné par \(R=mN\). Dans cette formule, ni l'ordre \(m\) ni le nombre de traits éclairés \(N\) ne dépendent directement de \(\lambda\). On pourrait donc conclure que \(R\) est indépendant de \(\lambda\). Cependant, la formule des réseaux \(d\sin\theta = m\lambda\) montre que pour un ordre \(m\) et un pas \(d\) fixes, l'angle \(\theta\) augmente avec \(\lambda\). Il existe un angle maximal \(\theta=90^\circ\) (\(\sin\theta=1\)), ce qui impose une limite supérieure à \(m\lambda\). L'ordre maximal observable, \(m_{\text{max}} = \text{floor}(d/\lambda)\), dépend donc de \(\lambda\). Par conséquent, bien que pour un ordre \(m\) *fixe*, \(R\) soit constant, le pouvoir de résolution *maximal* atteignable avec un réseau dépend de la longueur d'onde, car \(R_{\text{max}} = m_{\text{max}}N = \text{floor}(d/\lambda) \cdot N\). En pratique, pour un ordre \(m\) donné, le pouvoir de résolution est constant, mais les ordres élevés ne sont pas accessibles pour toutes les longueurs d'onde.

Résultat Question 7 : Pour un ordre de diffraction \(m\) fixe, le pouvoir de résolution \(R=mN\) est indépendant de \(\lambda\). Cependant, le pouvoir de résolution maximal qu'un réseau peut fournir dépend de \(\lambda\) car l'ordre maximal observable en dépend.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le pouvoir de résolution d'un réseau de diffraction représente sa capacité à :

2. Selon le critère de Rayleigh, deux raies spectrales sont juste résolues si :

3. Pour augmenter le pouvoir de résolution d'un réseau (à \(\lambda\) constante), il est plus efficace de :

Glossaire

Réseau de diffraction
Composant optique avec une structure périodique qui diffracte la lumière en plusieurs faisceaux se propageant dans des directions différentes. Il est utilisé pour séparer les longueurs d'onde (spectroscopie).
Pas du réseau (\(d\))
Distance entre deux traits ou fentes consécutifs sur un réseau de diffraction. C'est l'inverse de la densité de traits (ex: traits/mm).
Ordre de diffraction (\(m\))
Entier qui caractérise les directions des maxima principaux d'intensité dans la figure de diffraction d'un réseau, selon la formule \(d \sin\theta = m\lambda\).
Pouvoir de résolution (\(R\))
Mesure de la capacité d'un instrument d'optique (comme un réseau) à distinguer deux objets ou deux signaux (comme deux longueurs d'onde) très rapprochés. Défini par \(R = \lambda/\Delta\lambda\).
Critère de Rayleigh
Condition standard utilisée pour déterminer si deux sources lumineuses ponctuelles (ou deux raies spectrales) sont juste séparées. Elles le sont si le maximum de la figure de diffraction de l'une coïncide avec le premier minimum de la figure de l'autre.
Doublet du sodium
Paire de raies spectrales très proches dans le spectre d'émission du sodium (à 589.00 nm et 589.59 nm), souvent utilisée comme test standard pour le pouvoir de résolution des spectromètres.
Pouvoir de Résolution d'un Réseau de Diffraction - Exercice d'Application

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