Pouvoir de Résolution d’un Réseau de Diffraction

Exercice : Pouvoir de Résolution d'un Réseau

Pouvoir de Résolution d'un Réseau de Diffraction

Contexte : L'Optique OndulatoireBranche de la physique qui décrit la lumière comme une onde électromagnétique, expliquant des phénomènes comme l'interférence et la diffraction. et la Spectroscopie.

Dans cet exercice, nous explorons la capacité d'un réseau de diffractionComposant optique périodique qui disperse la lumière en différentes directions selon sa longueur d'onde. à séparer deux longueurs d'onde très proches, comme celles du doublet jaune du sodium. C'est une application fondamentale en spectroscopie pour déterminer la précision des instruments d'analyse.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de comprendre le lien entre la géométrie d'un réseau (nombre de traits), l'ordre de diffraction, et la finesse spectrale qu'il est possible d'atteindre. Vous apprendrez à dimensionner un réseau pour une tâche spécifique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le critère de Rayleigh pour la résolution spectrale.
Calculer le pouvoir de résolution théorique d'un réseau.
Déterminer le nombre minimum de traits nécessaires pour séparer deux raies spectrales.

Données de l'étude

On considère un spectromètre utilisant un réseau de diffraction par transmission pour analyser le doublet du sodium (Na).

Caractéristiques Spectrales

Raie Spectrale	Longueur d'onde (\(\lambda\))
Sodium D1	589,00 nm
Sodium D2	589,59 nm

Schéma de Principe : Diffraction par un Réseau

Paramètre	Description	Valeur	Unité
Densité de traits (\(n\))	Nombre de fentes par mm	500	traits/mm
Largeur utile (\(L\))	Largeur illuminée du réseau	2,0	cm
Ordre étudié (\(m\))	Ordre de diffraction considéré	2	-

Questions à traiter

Calculer la différence de longueur d'onde \(\Delta \lambda\) et la longueur d'onde moyenne \(\lambda_{\text{moy}}\) du doublet.
Calculer le nombre total de traits \(N\) éclairés sur le réseau.
Déterminer le pouvoir de résolution théorique \(R_{\text{th}}\) du réseau à l'ordre \(m=2\).
Vérifier si le réseau permet de séparer (résoudre) les deux raies du doublet à cet ordre.

Les bases sur les Réseaux de Diffraction

Pour résoudre cet exercice, quelques rappels d'optique ondulatoire sont nécessaires.

1. Équation fondamentale du réseau
Liaison entre l'angle de diffraction \(\theta\), l'ordre \(m\), la longueur d'onde \(\lambda\) et le pas du réseau \(a\) (distance entre deux traits). \[ a \sin(\theta) = m \lambda \quad \text{avec} \quad a = \frac{1}{n} \]

2. Pouvoir de Résolution (\(R\))
Capacité à séparer deux longueurs d'onde proches.

Définition (Critère de Rayleigh) : \(R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda}\)
Formule théorique pour un réseau : \(R_{\text{th}} = m \cdot N\)

Où \(m\) est l'ordre de diffraction et \(N\) le nombre total de traits illuminés.

Correction : Pouvoir de Résolution d'un Réseau de Diffraction

Question 1 : Caractérisation du Doublet

Principe

La première étape consiste à quantifier la "proximité" des deux raies spectrales. Plus \(\Delta \lambda\) est petit, plus les raies sont proches et difficiles à séparer. Le pouvoir de résolution nécessaire dépend directement de ce rapport \(\lambda / \Delta \lambda\), qui exprime combien de fois l'intervalle \(\Delta \lambda\) "tient" dans la longueur d'onde moyenne.

Mini-Cours

Un doublet est constitué de deux raies spectrales très voisines, souvent issues du couplage spin-orbite dans l'atome. Pour caractériser leur écartement, on utilise la différence absolue de longueur d'onde \(\Delta \lambda\). La longueur d'onde moyenne \(\lambda_{\text{moy}}\) sert de référence pour calculer le pouvoir de résolution nécessaire, c'est-à-dire la finesse minimale que doit avoir l'instrument pour distinguer ces deux pics.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas la largeur naturelle d'une raie (due à l'effet Doppler ou à la pression, souvent très faible) avec l'écartement entre deux raies distinctes (\(\Delta \lambda\)). Ici, nous nous intéressons à la distance spectrale entre deux centres de pics.

Normes

Les longueurs d'onde du doublet du sodium (589,0 nm et 589,6 nm) sont des références standard en spectroscopie, historiquement notées raies D1 et D2 de Fraunhofer dans le spectre solaire.

Formule(s)

Nous utilisons des calculs arithmétiques élémentaires pour trouver l'écart et la moyenne.

\Delta \lambda = |\lambda_2 - \lambda_1|

\lambda_{\text{moy}} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2}

Hypothèses

On suppose que les valeurs données sont exactes et correspondent aux centres des raies spectrales dans le vide (ou dans l'air standard, la différence étant négligeable pour cet exercice).

Donnée(s)

Les valeurs sont extraites directement de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur
Raie D1	\(\lambda_1\)	589,00 nm
Raie D2	\(\lambda_2\)	589,59 nm

Astuces

Pour une estimation rapide sans calculatrice, la moyenne est simplement "au milieu" des deux valeurs. L'écart est inférieur à 1 nm, ce qui indique une exigence de résolution élevée.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation conceptuelle des deux raies sur l'axe des longueurs d'onde avant de connaître l'écart précis.

Position relative des raies D1 et D2

Calcul(s)

Calcul de la différence de longueur d'onde

Nous cherchons l'écart absolu entre les deux longueurs d'onde en soustrayant la plus petite de la plus grande.

\begin{aligned} \Delta \lambda &= | 589,59 - 589,00 | \\ &= 0,59 \text{ nm} \end{aligned}

Cet écart de \(0,59 \text{ nm}\) est très faible, inférieur au nanomètre.

Calcul de la longueur d'onde moyenne

Pour la moyenne, nous additionnons les deux valeurs et divisons par deux.

\begin{aligned} \lambda_{\text{moy}} &= \frac{589,00 + 589,59}{2} \\ &= \frac{1178,59}{2} \\ &= 589,295 \text{ nm} \end{aligned}

Cette valeur servira de référence pour la longueur d'onde du doublet. On l'arrondira souvent à \(589,3 \text{ nm}\).

Schéma (Après les calculs)

Le schéma est maintenant renseigné avec les valeurs calculées, montrant l'écart quantifié.

Écart quantifié

Réflexions

L'écart relatif \(\Delta \lambda / \lambda\) est de l'ordre de \(10^{-3}\) (0,1%). C'est cette petite valeur qui rend la séparation difficile : les deux pics sont extrêmement proches l'un de l'autre par rapport à leur position absolue.

Points de vigilance

Attention aux chiffres significatifs. Ici, les données sont fournies avec deux décimales, le résultat \(\Delta \lambda\) conserve cette précision. Pour la moyenne, bien que le calcul donne 3 décimales, il est physiquement cohérent de rester proche de la précision des données initiales.

Points à retenir

Le doublet du sodium est un cas d'école classique en optique. Retenez l'ordre de grandeur : environ 589 nm (jaune) avec un écart très faible de 0,6 nm.

Le saviez-vous ?

C'est ce doublet qui donne la couleur jaune-orangé caractéristique aux lampadaires d'éclairage public utilisant des lampes à vapeur de sodium basse pression. Si vous regardez cette lumière avec un spectromètre à réseau simple (comme un CD), vous verrez cette ligne jaune dominante.

FAQ

Résultat Final

\(\Delta \lambda = 0,59 \text{ nm}\) et \(\lambda_{\text{moy}} \approx 589,3 \text{ nm}\).

A vous de jouer

Calculez l'écart \(\Delta \lambda\) pour le doublet de l'hydrogène (\(H\alpha\)) si les composantes fines sont situées à 656,272 nm et 656,288 nm.

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :
Caractérisation de la finesse spectrale via \(\Delta \lambda\). Nécessaire pour déterminer le \(R\) requis.

Question 2 : Nombre total de traits (\(N\))

Principe

Le pouvoir de résolution d'un réseau ne dépend pas uniquement de la densité de traits (finesse de la gravure), mais surtout du nombre **total** de fentes (ou traits) qui participent à l'interférence. Ce nombre \(N\) est le produit de la densité de traits par la largeur géométrique du réseau qui est réellement illuminée.

Mini-Cours

La densité de traits \(n\) s'exprime souvent en traits/mm (ou traits/cm). Pour obtenir le nombre total \(N\) (sans unité), il faut multiplier cette densité linéique par la largeur \(L\) du réseau traversée par le faisceau lumineux. Plus \(N\) est grand, plus les pics d'interférence sont fins.

Remarque Pédagogique

Un réseau très dense mais tout petit (ex: 1mm de large) aura moins de traits et donc une moins bonne résolution qu'un réseau moins dense mais très large (ex: 10cm). C'est la taille totale de la zone de diffraction qui compte.

Normes

Les réseaux standard commerciaux ont souvent des densités de 300, 600, 1200 ou 2400 traits/mm.

Formule(s)

Relation linéaire simple entre densité et largeur.

N = n \times L

Hypothèses

On suppose que le réseau est uniformément gravé sur toute sa surface et que toute la largeur \(L\) donnée dans l'énoncé est effectivement éclairée par la source lumineuse (le faisceau n'est pas plus petit que le réseau).

Données

On reprend les paramètres physiques du réseau.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Densité de traits	\(n\)	500	traits/mm
Largeur utile	\(L\)	2,0	cm

Astuces

Convertissez toujours vos longueurs en millimètres (mm) avant de multiplier par une densité en traits/mm. C'est l'erreur la plus fréquente : multiplier des traits/mm par des cm donne un résultat faux d'un facteur 10.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la géométrie du réseau et des paramètres \(n\) et \(L\).

Géométrie du réseau

Calcul(s)

Conversion de la largeur

D'abord, convertissons la largeur \(L\) en millimètres pour correspondre à l'unité de la densité \(n\) (traits/mm).

L = 2,0 \text{ cm} \times 10 = 20 \text{ mm}

Cela garantit des unités homogènes pour la multiplication.

Calcul du nombre total de traits

Nous appliquons ensuite la multiplication de la densité par la largeur convertie.

\begin{aligned} N &= n \times L \\ &= 500 \text{ traits/mm} \times 20 \text{ mm} \\ &= 10\,000 \text{ traits} \end{aligned}

Le réseau comporte donc 10 000 fentes actives participant à la diffraction.

Schéma (Après les calculs)

Le réseau contient donc 10 000 fentes agissant comme des sources secondaires cohérentes.

Résultat du dénombrement

Réflexions

10 000 est un nombre conséquent. En optique ondulatoire, l'intensité du pic principal est proportionnelle à \(N^2\), et sa finesse est proportionnelle à \(1/N\). C'est ce grand nombre qui permet d'obtenir des pics de diffraction très fins et très intenses par rapport au fond.

Points de vigilance

Si la largeur était donnée en pouces ou en mètres, la conversion serait l'étape critique. Vérifiez toujours que \(n\) et \(L\) utilisent la même unité de longueur (mm et mm, ou m et m).

Points à retenir

La performance d'un réseau (son \(N\)) dépend de deux facteurs : sa fabrication (\(n\)) et son utilisation géométrique (\(L\)). Couper un réseau en deux divise sa résolution par deux !

Le saviez-vous ?

Les réseaux holographiques modernes de très haute performance peuvent atteindre des densités de plus de 6000 traits/mm et des largeurs de plusieurs dizaines de centimètres, atteignant des \(N\) colossaux pour l'astronomie !

FAQ

Résultat Final

Le nombre total de traits éclairés est \(N = 10\,000\).

A vous de jouer

Combien de traits aurait-on si la largeur utile était de 5 cm avec la même densité ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :
\(N = n \times L\). Conversion d'unités primordiale (tout en mm).

Question 3 : Pouvoir de Résolution Théorique (\(R_{\text{th}}\))

Principe

Le pouvoir de résolution théorique est une grandeur sans dimension qui quantifie la capacité limite de l'instrument à distinguer deux fréquences proches, indépendamment de la source lumineuse. Il ne dépend que des caractéristiques du réseau et de la configuration d'observation (ordre \(m\)).

Mini-Cours

Le pouvoir de résolution théorique maximal d'un réseau est donné par la formule fondamentale \(R_{\text{th}} = m \cdot N\).
Cela signifie que la résolution s'améliore linéairement si :
1. On utilise un ordre de diffraction plus élevé (\(m\)).
2. On augmente le nombre total de traits (\(N\)).

Remarque Pédagogique

On pourrait penser qu'il suffit d'augmenter \(m\) indéfiniment pour avoir une résolution infinie. En pratique, travailler à des ordres élevés (\(m > 1\)) diminue souvent la luminosité et peut entraîner des chevauchements de spectres (la partie rouge de l'ordre 2 peut se mélanger avec la partie bleue de l'ordre 3).

Normes

Le critère utilisé implicitement est celui de Rayleigh, qui définit mathématiquement quand deux pics de diffraction sont considérés comme "juste séparés".

Formule(s)

La relation clé pour un réseau.

R_{\text{th}} = m \times N

Hypothèses

On suppose une fente d'entrée infiniment fine, une lumière parfaitement collimatée, et un réseau parfait exempt d'aberrations périodiques (fantômes).

Données

Nous utilisons les résultats précédents.

Paramètre	Symbole	Valeur	Source
Ordre de diffraction	\(m\)	2	Donnée
Nombre de traits	\(N\)	10 000	Calculé (Q2)

Astuces

C'est une multiplication simple. Assurez-vous juste d'utiliser le \(N\) total, pas la densité \(n\). Si vous utilisez \(n\), le résultat sera ridiculement petit (1000) et incorrect.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des ordres de diffraction. Plus on va vers des ordres élevés (angles plus grands), plus le spectre est étalé et résolu.

Ordres de diffraction

Calcul(s)

On utilise l'ordre \(m=2\) donné dans l'énoncé et le nombre de traits \(N=10 000\) calculé à la question précédente.

\begin{aligned} R_{\text{th}} &= m \times N \\ &= 2 \times 10\,000 \\ &= 20\,000 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce chiffre de 20 000 est un nombre sans dimension représentant la "finesse" de l'analyse. Visuellement, cela signifie des pics très étroits.

Visualisation de la finesse (Pic théorique)

Réflexions

Une résolution de 20 000 signifie qu'on peut distinguer une différence de longueur d'onde de \(\frac{1}{20 000}\) de la longueur d'onde moyenne. Pour \(\lambda \approx 600\) nm, cela permettrait de voir des détails de \(0,03\) nm. C'est excellent pour un instrument standard.

Points de vigilance

Ne confondez pas \(R\) (Pouvoir de résolution, sans dimension, souvent > 1000) avec la Résolution spatiale ou d'autres métriques. Ici, \(R\) n'a pas d'unité.

Points à retenir

Plus l'ordre est grand, meilleure est la résolution. Plus le réseau est grand (nombre de traits), meilleure est la résolution. \(R\) mesure la "puissance de séparation".

Le saviez-vous ?

Les interféromètres de Fabry-Perot, qui fonctionnent sur un principe d'interférences multiples similaire mais avec des miroirs, peuvent atteindre des pouvoirs de résolution de plusieurs millions !

FAQ

Résultat Final

Le pouvoir de résolution théorique est \(R_{\text{th}} = 20\,000\).

A vous de jouer

Quel serait le pouvoir de résolution à l'ordre 1 avec ce même réseau ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :
\(R_{\text{th}} = m \cdot N\). Sans dimension. Indique la finesse.

Question 4 : Condition de Résolution

Principe

C'est l'étape de verdict. Nous comparons la performance théorique de l'instrument (\(R_{\text{th}}\)) calculée précédemment à l'exigence physique du phénomène observé (\(R_{\text{nec}}\)). Si l'instrument est "plus fort" que le problème, alors on peut voir les détails.

Mini-Cours

Pour séparer deux raies \(\lambda\) et \(\lambda + \Delta \lambda\), le critère de Rayleigh impose que l'instrument ait un pouvoir de résolution \(R_{\text{th}} \ge R_{\text{nec}}\), où \(R_{\text{nec}} = \frac{\lambda}{\Delta \lambda}\). Si cette condition est remplie, le creux ("saddle point") entre les deux pics sera suffisamment marqué (intensité relative d'environ 0.81) pour que l'œil ou un détecteur distingue deux sommets.

Remarque Pédagogique

Si \(R_{\text{th}} < R_{\text{nec}}\), les deux raies seront trop larges et se chevaucheront trop : elles apparaîtront comme une seule tache un peu élargie ("patatoïde"). On ne pourra pas affirmer qu'il y a deux raies.

Normes

Critère de Rayleigh strict : le maximum principal de la figure de diffraction de la première longueur d'onde tombe exactement sur le premier minimum nul de la seconde.

Formule(s)

Calcul du besoin et comparaison.

R_{\text{nec}} = \frac{\lambda_{\text{moy}}}{\Delta \lambda}

\text{Condition de résolution :} \quad R_{\text{th}} \ge R_{\text{nec}}

Hypothèses

On suppose que les raies ont des intensités proches (ce qui est le cas pour le doublet du sodium) pour que le critère de Rayleigh soit directement applicable sans correction.

Données

On rassemble les éléments des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Source
Longueur d'onde moy.	\(\lambda_{\text{moy}}\)	589,3 nm	Q1
Écart spectral	\(\Delta \lambda\)	0,59 nm	Q1
Résolution théorique	\(R_{\text{th}}\)	20 000	Q3

Astuces

Calculez d'abord le \(R\) nécessaire. C'est le ratio "Moyenne / Écart". Si votre \(R\) théorique est 10 ou 20 fois supérieur à ce ratio, la réponse est "Oui, largement".

Schéma (Avant les calculs)

Illustration de la comparaison : une balance entre la capacité de l'outil et la difficulté de la tâche.

Comparaison Capacité vs Besoin

Calcul(s)

Calcul du pouvoir de résolution nécessaire

On divise la longueur d'onde moyenne par l'écart à résoudre. Cela donne le nombre minimal de traits nécessaires à l'ordre 1 pour séparer les raies.

\begin{aligned} R_{\text{nec}} &= \frac{589,3}{0,59} \\ &\approx 998,8 \\ &\approx 999 \end{aligned}

Comparaison

On compare maintenant la valeur théorique du réseau (20 000) avec la valeur nécessaire calculée (~1 000).

R_{\text{th}} = 20\,000 \quad \text{et} \quad R_{\text{nec}} \approx 999

20\,000 \gg 999

La condition \(R_{\text{th}} \ge R_{\text{nec}}\) est donc largement vérifiée.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du résultat spectral attendu : deux pics distincts et bien séparés.

Séparation spectrale obtenue

Réflexions

Le réseau est largement surdimensionné pour cette tâche (\(20\,000 \gg 999\)). En fait, avec un tel réseau, on pourrait théoriquement séparer des raies 20 fois plus proches que celles du sodium ! Cela confirme que ce réseau est un instrument de bonne qualité pour de la spectroscopie standard.

Points de vigilance

Conclure simplement par "oui" ne suffit pas dans un examen ou un rapport technique, il faut justifier par la comparaison numérique explicite des deux valeurs \(R\).

Points à retenir

La condition de séparation est une inégalité entre la capacité de l'instrument (\(m \cdot N\)) et la demande physique de la source (\(\lambda / \Delta \lambda\)).

Le saviez-vous ?

L'œil humain a aussi un "pouvoir de résolution" (angulaire cette fois), limité par la diffraction de la lumière à travers la pupille ! C'est le même principe physique (critère de Rayleigh) appliqué à une ouverture circulaire.

FAQ

Résultat Final

Oui, le réseau permet de séparer les deux raies car \(20\,000 > 999\).

A vous de jouer

Si \(R_{\text{th}}\) était seulement de 500, pourrait-on séparer les raies (Oui/Non) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :
Comparaison \(R_{\text{th}}\) vs \(R_{\text{nec}}\). Si \(R_{\text{th}} > \lambda/\Delta\lambda\), la séparation est possible.

Outil Interactif : Simulateur de Résolution

Visualisez l'impact du nombre de traits et de l'ordre sur la capacité à séparer deux pics gaussiens (simulant les raies spectrales).

Paramètres du Réseau

Nombre de traits total (\(N\)) 1000 traits

Ordre de diffraction (\(m\)) Ordre 1

Calculs en temps réel

Résolution Théorique (\(R_{\text{th}}\)) -

Limite de séparation (\(\Delta \lambda_{\text{min}}\)) pour \(\lambda=589\)nm -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si je double le nombre de traits \(N\) de mon réseau, comment évolue le pouvoir de résolution \(R\) ?

Il reste inchangé.
Il double.
Il est divisé par deux.

2. Le critère de Rayleigh stipule que deux raies sont résolues si :

Le maximum de l'une coïncide avec le premier minimum de l'autre.
Les deux maximums sont parfaitement superposés.
La distance entre les pics est nulle.

Glossaire

Réseau de diffraction: Dispositif optique composé d'une série de fentes parallèles régulièrement espacées, utilisé pour disperser la lumière.
Ordre de diffraction (\(m\)): Entier relatif indiquant le numéro du maximum principal d'interférence. \(m=0\) correspond à la lumière transmise directement sans déviation.
Doublet du sodium: Paire de raies spectrales d'émission très intenses du sodium neutre, situées à 589,0 nm et 589,6 nm (couleur jaune-orangé).
Critère de Rayleigh: Critère standard utilisé pour définir la limite de résolution d'un système optique (la plus petite distance séparable entre deux sources ponctuelles).

D’autres exercices d’optique et photonique: