ÉTUDE DE PHYSIQUE

Transformation Isobare d’un Gaz Parfait

Transformation Isobare d’un Gaz Parfait en Thermodynamique

Transformation Isobare d’un Gaz Parfait

Comprendre les Transformations Isobares

En thermodynamique, une transformation isobare est un processus au cours duquel la pression du système reste constante (\(\Delta P = 0\)). Pour un gaz parfait, ce type de transformation est régi par la loi de Charles, qui stipule qu'à pression constante, le volume d'une quantité donnée de gaz est directement proportionnel à sa température absolue (\(V/T = \text{constante}\)). Lors d'une transformation isobare, le travail effectué par ou sur le système est non nul si le volume change, et la chaleur échangée est directement liée à la variation d'enthalpie du système. L'étude des transformations isobares est fondamentale pour comprendre le fonctionnement de nombreux dispositifs thermiques et cycles thermodynamiques.

Données du Problème

\(2.00 \, \text{moles}\) d'un gaz parfait diatomique subissent une expansion isobare.

  • Nombre de moles (\(n\)) : \(2.00 \, \text{mol}\)
  • Pression constante (\(P\)) : \(1.50 \times 10^5 \, \text{Pa}\) (Pascals)
  • Volume initial (\(V_1\)) : \(0.0300 \, \text{m}^3\)
  • Volume final (\(V_2\)) : \(0.0500 \, \text{m}^3\)

Constantes utiles pour un gaz parfait diatomique :

  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{v,m}\)) : \(\frac{5}{2}R\)
  • Capacité thermique molaire à pression constante (\(C_{p,m}\)) : \(\frac{7}{2}R\)
Schéma : Expansion Isobare d'un Gaz dans un Cylindre-Piston
État Initial (V₁, T₁) P Chaleur Q État Final (V₂, T₂) P Travail W Pression Constante

Expansion isobare d'un gaz parfait. Le piston se déplace sous l'effet d'un apport de chaleur, maintenant une pression constante.

Questions à traiter

  1. Calculer la température initiale (\(T_1\)) du gaz en Kelvins (K).
  2. Calculer la température finale (\(T_2\)) du gaz en Kelvins (K).
  3. Calculer le travail (\(W\)) effectué par le gaz lors de cette expansion, en Joules (J). Le travail est-il effectué par le système ou sur le système ?
  4. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz, en Joules (J).
  5. En utilisant le premier principe de la thermodynamique, calculer la quantité de chaleur (\(Q\)) transférée au gaz, en Joules (J). La chaleur est-elle absorbée ou libérée par le gaz ?
  6. Calculer la variation d'enthalpie (\(\Delta H\)) du gaz, en Joules (J).
  7. Vérifier que pour une transformation isobare d'un gaz parfait, la chaleur transférée \(Q\) est égale à la variation d'enthalpie \(\Delta H\).

Correction : Transformation Isobare d’un Gaz Parfait

Question 1 : Température initiale (\(T_1\))

Principe :

On utilise l'équation d'état des gaz parfaits : \(PV = nRT\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_1 = \frac{P V_1}{nR} \]
Données spécifiques :
  • \(P = 1.50 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1 = 0.0300 \, \text{m}^3\)
  • \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_1 &= \frac{(1.50 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0.0300 \, \text{m}^3)}{(2.00 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)})} \\ &= \frac{4500 \, \text{J}}{16.628 \, \text{J/K}} \\ &\approx 270.6278 \, \text{K} \end{aligned} \]

En arrondissant à trois chiffres significatifs : \(T_1 \approx 271 \, \text{K}\).

Résultat Question 1 : La température initiale du gaz est \(T_1 \approx 271 \, \text{K}\).

Question 2 : Température finale (\(T_2\))

Principe :

Pour une transformation isobare d'un gaz parfait, \(V/T = \text{constante}\) (Loi de Charles), donc \(V_1/T_1 = V_2/T_2\). Alternativement, on peut utiliser \(PV_2 = nRT_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_2 = \frac{P V_2}{nR} \quad \text{ou} \quad T_2 = T_1 \frac{V_2}{V_1} \]
Données spécifiques :
  • \(P = 1.50 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(V_2 = 0.0500 \, \text{m}^3\)
  • \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 \approx 270.6278 \, \text{K}\) (valeur non arrondie)
  • \(V_1 = 0.0300 \, \text{m}^3\)
Calcul (avec \(PV=nRT\)) :
\[ \begin{aligned} T_2 &= \frac{(1.50 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0.0500 \, \text{m}^3)}{(2.00 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)})} \\ &= \frac{7500 \, \text{J}}{16.628 \, \text{J/K}} \\ &\approx 451.0464 \, \text{K} \end{aligned} \]

Calcul (avec Loi de Charles) :

\[ \begin{aligned} T_2 &\approx (270.6278 \, \text{K}) \times \frac{0.0500 \, \text{m}^3}{0.0300 \, \text{m}^3} \\ &\approx 270.6278 \, \text{K} \times 1.6666... \\ &\approx 451.0463 \, \text{K} \end{aligned} \]

En arrondissant à trois chiffres significatifs : \(T_2 \approx 451 \, \text{K}\).

Résultat Question 2 : La température finale du gaz est \(T_2 \approx 451 \, \text{K}\).

Question 3 : Travail (\(W\)) effectué par le gaz

Principe :

Pour une transformation isobare réversible, le travail effectué par le gaz est donné par \(W = -P \Delta V = -P (V_2 - V_1)\). La convention de signe en thermodynamique est que le travail effectué par le système sur l'extérieur est négatif.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W = -P (V_2 - V_1) \]
Données spécifiques :
  • \(P = 1.50 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1 = 0.0300 \, \text{m}^3\)
  • \(V_2 = 0.0500 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W &= -(1.50 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0.0500 \, \text{m}^3 - 0.0300 \, \text{m}^3) \\ &= -(1.50 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0.0200 \, \text{m}^3) \\ &= -3000 \, \text{J} \\ &= -3.00 \, \text{kJ} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que le travail est effectué par le système (le gaz) sur l'extérieur (expansion).

Résultat Question 3 : Le travail effectué par le gaz est \(W = -3000 \, \text{J}\) (ou \(-3.00 \, \text{kJ}\)). Le travail est effectué par le système.

Question 4 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température : \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T = n C_{v,m} (T_2 - T_1)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = n C_{v,m} (T_2 - T_1) \]

Pour un gaz parfait diatomique, \(C_{v,m} = \frac{5}{2}R\).

Données spécifiques :
  • \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
  • \(C_{v,m} = \frac{5}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} = 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 \approx 270.6278 \, \text{K}\)
  • \(T_2 \approx 451.0464 \, \text{K}\)
  • \(\Delta T = T_2 - T_1 \approx 451.0464 \, \text{K} - 270.6278 \, \text{K} \approx 180.4186 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &\approx (2.00 \, \text{mol}) \times (20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}) \times (180.4186 \, \text{K}) \\ &\approx 41.57 \, \text{J/K} \times 180.4186 \, \text{K} \\ &\approx 7500.0 \, \text{J} \\ &= 7.50 \, \text{kJ} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La variation d'énergie interne est \(\Delta U \approx 7500 \, \text{J}\) (ou \(7.50 \, \text{kJ}\)).

Question 5 : Quantité de chaleur (\(Q\)) transférée

Principe :

Le premier principe de la thermodynamique stipule que \(\Delta U = Q + W\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q = \Delta U - W \]
Données spécifiques :
  • \(\Delta U \approx 7500.0 \, \text{J}\)
  • \(W = -3000 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &\approx 7500.0 \, \text{J} - (-3000 \, \text{J}) \\ &= 7500.0 \, \text{J} + 3000 \, \text{J} \\ &= 10500 \, \text{J} \\ &= 10.5 \, \text{kJ} \end{aligned} \]

Puisque \(Q > 0\), la chaleur est absorbée par le gaz.

Résultat Question 5 : La quantité de chaleur transférée au gaz est \(Q \approx 10500 \, \text{J}\) (ou \(10.5 \, \text{kJ}\)). La chaleur est absorbée par le système.

Question 6 : Variation d'enthalpie (\(\Delta H\))

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie est donnée par \(\Delta H = n C_{p,m} \Delta T = n C_{p,m} (T_2 - T_1)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = n C_{p,m} (T_2 - T_1) \]

Pour un gaz parfait diatomique, \(C_{p,m} = \frac{7}{2}R\).

Données spécifiques :
  • \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
  • \(C_{p,m} = \frac{7}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} = 29.099 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(\Delta T \approx 180.4186 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta H &\approx (2.00 \, \text{mol}) \times (29.099 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}) \times (180.4186 \, \text{K}) \\ &\approx 58.198 \, \text{J/K} \times 180.4186 \, \text{K} \\ &\approx 10500.0 \, \text{J} \\ &= 10.5 \, \text{kJ} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La variation d'enthalpie est \(\Delta H \approx 10500 \, \text{J}\) (ou \(10.5 \, \text{kJ}\)).

Question 7 : Vérification \(Q = \Delta H\) pour une transformation isobare

Principe :

Pour une transformation isobare réversible d'un système fermé, la chaleur échangée (\(Q_P\)) est égale à la variation d'enthalpie (\(\Delta H\)) du système.

Vérification :

D'après la question 5, \(Q \approx 10500 \, \text{J}\).

D'après la question 6, \(\Delta H \approx 10500 \, \text{J}\).

Les deux valeurs sont égales (aux arrondis près), ce qui confirme la relation \(Q_P = \Delta H\) pour une transformation isobare d'un gaz parfait.

Résultat Question 7 : Les calculs confirment que \(Q \approx \Delta H \approx 10.5 \, \text{kJ}\) pour cette transformation isobare.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Lors d'une transformation isobare, quelle grandeur reste constante ?

2. Pour un gaz parfait subissant une expansion isobare, le travail effectué par le gaz est :

3. La variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) d'un gaz parfait dépend uniquement de :

4. Pour une transformation isobare réversible, la chaleur échangée (\(Q_P\)) est égale à :

Glossaire

Transformation Isobare
Processus thermodynamique qui se déroule à pression constante.
Gaz Parfait
Modèle théorique d'un gaz dont les particules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il obéit à l'équation d'état \(PV=nRT\).
Loi de Charles
Pour une quantité donnée de gaz parfait à pression constante, le volume est directement proportionnel à la température absolue (\(V/T = \text{constante}\)).
Travail (\(W\))
Forme d'énergie transférée lorsqu'une force déplace un objet. En thermodynamique, pour un gaz, \(W = -\int P_{\text{ext}} dV\). Pour une transformation isobare réversible, \(W = -P(V_2 - V_1)\).
Énergie Interne (\(U\))
Somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles des particules constituant un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.
Chaleur (\(Q\))
Forme d'énergie transférée entre des systèmes en raison d'une différence de température.
Premier Principe de la Thermodynamique
La variation d'énergie interne d'un système est égale à la somme de la chaleur échangée avec l'extérieur et du travail effectué par ou sur le système (\(\Delta U = Q + W\)).
Enthalpie (\(H\))
Fonction d'état thermodynamique définie par \(H = U + PV\). Sa variation à pression constante est égale à la chaleur échangée (\(\Delta H = Q_P\)).
Capacité Thermique Molaire (\(C_m\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une mole d'une substance de un Kelvin (ou un degré Celsius). On distingue \(C_{v,m}\) (à volume constant) et \(C_{p,m}\) (à pression constante).
Pascal (Pa)
Unité SI de la pression, \(1 \, \text{Pa} = 1 \, \text{N/m}^2\).
Transformation Isobare d’un Gaz Parfait - Exercice d'Application

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