ÉTUDE DE PHYSIQUE

Étude de la Trajectoire Parabolique en Basketball

Étude de la Trajectoire Parabolique en Basketball

Étude de la Trajectoire Parabolique en Basketball

Comprendre la Trajectoire d'un Ballon de Basketball

En mécanique classique, le mouvement d'un projectile lancé dans un champ gravitationnel uniforme, en l'absence de frottement de l'air, décrit une trajectoire parabolique. Cette modélisation est fréquemment utilisée pour analyser les tirs dans des sports comme le basketball. Comprendre les équations qui régissent ce mouvement permet de déterminer des paramètres clés tels que la portée, la hauteur maximale atteinte, et le temps de vol. Dans cet exercice, nous allons analyser un tir au basketball en appliquant les principes de la cinématique du projectile.

Données du Problème

Un joueur de basketball effectue un tir vers le panier. On considère les données suivantes :

  • Vitesse initiale du ballon (\(v_0\)) : \(7.5 \, \text{m/s}\)
  • Angle de lancement par rapport à l'horizontale (\(\theta\)) : \(55^\circ\)
  • Hauteur initiale du ballon (au moment du lâcher, \(h_0\)) : \(2.0 \, \text{m}\) par rapport au sol.
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Distance horizontale entre le joueur (point de lâcher) et le centre du panier (\(x_{\text{panier}}\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur du centre du panier par rapport au sol (\(y_{\text{panier}}\)) : \(3.05 \, \text{m}\)

Hypothèses : On néglige la résistance de l'air et la rotation du ballon. Le ballon est considéré comme une masse ponctuelle. Le repère d'étude est défini avec l'origine au sol, juste en dessous du point de lâcher du ballon, l'axe \(x\) horizontal dirigé vers le panier, et l'axe \(y\) vertical dirigé vers le haut.

Schéma du Tir au Basketball
h0 2.0 m v0 \(\theta\) \(y_{\text{panier}}\) 3.05 m x_panier = 5.0 m 0 (sol) x=0

Schéma d'un tir au basketball avec les paramètres clés.

Questions à traiter

  1. Déterminer les composantes horizontale (\(v_{0x}\)) et verticale (\(v_{0y}\)) de la vitesse initiale du ballon.
  2. Écrire les équations horaires du mouvement du ballon, \(x(t)\) et \(y(t)\), en fonction du temps \(t\).
  3. Calculer le temps \(t_{\text{panier}}\) que met le ballon pour atteindre la distance horizontale du panier.
  4. Déterminer la hauteur \(y(t_{\text{panier}})\) du ballon lorsqu'il atteint la distance horizontale du panier. Le ballon passe-t-il à la hauteur correcte pour entrer dans le panier (on considérera que le ballon doit passer par \(y = y_{\text{panier}}\) à \(x = x_{\text{panier}}\) pour un tir réussi) ?
  5. Calculer le temps \(t_{\text{max}}\) mis par le ballon pour atteindre sa hauteur maximale.
  6. Calculer la hauteur maximale (\(y_{\text{max}}\)) atteinte par le ballon par rapport au sol.

Correction : Étude de la Trajectoire Parabolique en Basketball

Question 1 : Composantes de la vitesse initiale

Principe :

La vitesse initiale \(v_0\) est un vecteur. Ses composantes horizontale (\(v_{0x}\)) et verticale (\(v_{0y}\)) sont obtenues par projection sur les axes \(x\) et \(y\) en utilisant l'angle de lancement \(\theta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_{0x} = v_0 \cos(\theta) \] \[ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) \]
Données spécifiques :
  • \(v_0 = 7.5 \, \text{m/s}\)
  • \(\theta = 55^\circ\)
  • \(\cos(55^\circ) \approx 0.5736\)
  • \(\sin(55^\circ) \approx 0.8192\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{0x} &= 7.5 \, \text{m/s} \times \cos(55^\circ) \\ &\approx 7.5 \, \text{m/s} \times 0.5736 \\ &\approx 4.302 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} v_{0y} &= 7.5 \, \text{m/s} \times \sin(55^\circ) \\ &\approx 7.5 \, \text{m/s} \times 0.8192 \\ &\approx 6.144 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(v_{0x} \approx 4.302 \, \text{m/s}\) et \(v_{0y} \approx 6.144 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Équations horaires du mouvement

Principe :

Le mouvement horizontal est uniforme (\(a_x = 0\)) et le mouvement vertical est uniformément varié (\(a_y = -g\)). Les équations horaires décrivent la position (\(x, y\)) du ballon en fonction du temps \(t\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ x(t) = v_{0x} \cdot t \] \[ y(t) = h_0 + v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \]

Où \(h_0\) est la hauteur initiale de lancement.

Données spécifiques :
  • \(v_{0x} \approx 4.302 \, \text{m/s}\)
  • \(v_{0y} \approx 6.144 \, \text{m/s}\)
  • \(h_0 = 2.0 \, \text{m}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Équations :
\[ x(t) = (4.302 \, \text{m/s}) \cdot t \] \[ y(t) = (2.0 \, \text{m}) + (6.144 \, \text{m/s}) \cdot t - \frac{1}{2} (9.81 \, \text{m/s}^2) t^2 \] \[ y(t) = 2.0 + 6.144 t - 4.905 t^2 \]
Résultat Question 2 : \(x(t) = 4.302 t\) et \(y(t) = 2.0 + 6.144 t - 4.905 t^2\) (avec \(x, y\) en mètres et \(t\) en secondes).

Question 3 : Temps pour atteindre la distance horizontale du panier (\(t_{\text{panier}}\))

Principe :

On utilise l'équation du mouvement horizontal \(x(t)\) pour trouver le temps lorsque \(x(t_{\text{panier}}) = x_{\text{panier}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ t_{\text{panier}} = \frac{x_{\text{panier}}}{v_{0x}} \]
Données spécifiques :
  • \(x_{\text{panier}} = 5.0 \, \text{m}\)
  • \(v_{0x} \approx 4.302 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_{\text{panier}} &= \frac{5.0 \, \text{m}}{4.302 \, \text{m/s}} \\ &\approx 1.16225 \, \text{s} \end{aligned} \]

On arrondit à \(t_{\text{panier}} \approx 1.162 \, \text{s}\) pour les calculs suivants.

Résultat Question 3 : Le ballon atteint la distance horizontale du panier en environ \(t_{\text{panier}} \approx 1.162 \, \text{s}\).

Question 4 : Hauteur du ballon à la distance du panier

Principe :

On utilise le temps \(t_{\text{panier}}\) calculé précédemment et on le substitue dans l'équation du mouvement vertical \(y(t)\) pour trouver la hauteur du ballon.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y(t_{\text{panier}}) = h_0 + v_{0y} \cdot t_{\text{panier}} - \frac{1}{2} g (t_{\text{panier}})^2 \]
Données spécifiques :
  • \(h_0 = 2.0 \, \text{m}\)
  • \(v_{0y} \approx 6.144 \, \text{m/s}\)
  • \(t_{\text{panier}} \approx 1.162 \, \text{s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(y_{\text{panier}} = 3.05 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y(1.162 \, \text{s}) &\approx 2.0 + (6.144 \times 1.162) - (0.5 \times 9.81 \times (1.162)^2) \\ &\approx 2.0 + 7.139328 - (4.905 \times 1.350244) \\ &\approx 2.0 + 7.139328 - 6.62294682 \\ &\approx 9.139328 - 6.62294682 \\ &\approx 2.51638 \, \text{m} \end{aligned} \]

La hauteur calculée du ballon est \(y(t_{\text{panier}}) \approx 2.52 \, \text{m}\).

Comparaison avec la hauteur du panier : \(y_{\text{panier}} = 3.05 \, \text{m}\).

Puisque \(2.52 \, \text{m} < 3.05 \, \text{m}\), le ballon passe en dessous du centre du panier à cette distance horizontale. Le tir n'est pas réussi dans ces conditions si l'on vise le centre du panier.

Résultat Question 4 : La hauteur du ballon à la distance horizontale du panier est d'environ \(2.52 \, \text{m}\). Comme \(2.52 \, \text{m} < 3.05 \, \text{m}\), le ballon passe en dessous du centre du panier.

Question 5 : Temps pour atteindre la hauteur maximale (\(t_{\text{max}}\))

Principe :

La hauteur maximale est atteinte lorsque la composante verticale de la vitesse (\(v_y\)) devient nulle.

L'équation de la vitesse verticale est : \(v_y(t) = v_{0y} - g t\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_y(t_{\text{max}}) = 0 \Rightarrow v_{0y} - g t_{\text{max}} = 0 \Rightarrow t_{\text{max}} = \frac{v_{0y}}{g} \]
Données spécifiques :
  • \(v_{0y} \approx 6.144 \, \text{m/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_{\text{max}} &\approx \frac{6.144 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 0.626299 \, \text{s} \end{aligned} \]

On arrondit à \(t_{\text{max}} \approx 0.626 \, \text{s}\).

Résultat Question 5 : Le temps pour atteindre la hauteur maximale est d'environ \(t_{\text{max}} \approx 0.626 \, \text{s}\).

Question 6 : Hauteur maximale (\(y_{\text{max}}\))

Principe :

On substitue \(t_{\text{max}}\) dans l'équation de la position verticale \(y(t)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y_{\text{max}} = h_0 + v_{0y} \cdot t_{\text{max}} - \frac{1}{2} g (t_{\text{max}})^2 \]

Alternativement : \(y_{\text{max}} = h_0 + \frac{v_{0y}^2}{2g}\)

Données spécifiques :
  • \(h_0 = 2.0 \, \text{m}\)
  • \(v_{0y} \approx 6.144 \, \text{m/s}\)
  • \(t_{\text{max}} \approx 0.626 \, \text{s}\) (ou utiliser la formule alternative)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul (en utilisant \(t_{\text{max}}\)) :
\[ \begin{aligned} y_{\text{max}} &\approx 2.0 + (6.144 \times 0.626) - (0.5 \times 9.81 \times (0.626)^2) \\ &\approx 2.0 + 3.846144 - (4.905 \times 0.391876) \\ &\approx 2.0 + 3.846144 - 1.92215178 \\ &\approx 3.92399 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul avec la formule alternative :

\[ \begin{aligned} y_{\text{max}} &\approx 2.0 + \frac{(6.144)^2}{2 \times 9.81} \\ &\approx 2.0 + \frac{37.748736}{19.62} \\ &\approx 2.0 + 1.9240 \\ &\approx 3.924 \, \text{m} \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues aux arrondis.

Résultat Question 6 : La hauteur maximale atteinte par le ballon est d'environ \(3.92 \, \text{m}\) par rapport au sol.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. En l'absence de frottement de l'air, la composante horizontale de la vitesse d'un projectile :

2. La hauteur maximale d'un projectile est atteinte lorsque :

3. Si l'angle de lancement \(\theta\) augmente (pour \(0 < \theta < 90^\circ\)) avec une vitesse initiale \(v_0\) constante, la composante verticale initiale \(v_{0y}\) :

4. La forme de la trajectoire d'un projectile en l'absence de frottement de l'air est une :

Glossaire

Projectile
Tout corps lancé dans l'espace et soumis uniquement à l'action de la gravité (et éventuellement à la résistance de l'air, négligée ici).
Trajectoire Parabolique
Forme de la courbe décrite par un projectile lancé dans un champ gravitationnel uniforme, en l'absence de frottement de l'air.
Vitesse Initiale (\(v_0\))
Vitesse du projectile au moment de son lancement.
Angle de Lancement (\(\theta\))
Angle que fait le vecteur vitesse initiale avec l'horizontale.
Composantes de la Vitesse
Projections du vecteur vitesse sur les axes horizontal (\(v_x\)) et vertical (\(v_y\)).
Équations Horaires du Mouvement
Équations qui donnent la position (\(x(t), y(t)\)) d'un mobile en fonction du temps.
Accélération Gravitationnelle (\(g\))
Accélération subie par tout corps massique à proximité de la surface de la Terre, dirigée vers le bas. Sa valeur est d'environ \(9.81 \, \text{m/s}^2\).
Portée
Distance horizontale maximale parcourue par un projectile avant de retomber à sa hauteur de lancement (ou à une hauteur spécifiée).
Flèche (Hauteur Maximale)
Altitude maximale atteinte par le projectile au cours de sa trajectoire.
Temps de Vol
Durée totale pendant laquelle le projectile est en l'air.
Étude de la Trajectoire Parabolique en Basketball - Exercice d'Application

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