Étude de la Trajectoire Parabolique d'un Tir en Basketball
Contexte : La trajectoire paraboliqueLa courbe en forme de parabole décrite par un projectile lancé dans un champ de gravité uniforme, en négligeant la résistance de l'air. en mécanique classique.
En basketball, la réussite d'un tir dépend de plusieurs facteurs : la vitesse initiale du ballon, l'angle de lancer et la position du joueur. La mécanique newtonienne nous permet de modéliser avec précision la trajectoire du ballon, assimilée à celle d'un projectile. Cet exercice a pour but d'appliquer les principes fondamentaux de la cinématique pour déterminer si un tir est réussi.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de décomposer un problème de physique en 2D, d'établir et de résoudre les équations horaires du mouvement, et d'interpréter les résultats dans un contexte sportif concret.
Objectifs Pédagogiques
- Établir les équations horaires du mouvement d'un projectile.
- Déterminer la flèche (hauteur maximale) et la portée d'une trajectoire.
- Appliquer les conditions initiales pour résoudre un problème de cinématique.
- Analyser un vecteur vitesse en un point donné de la trajectoire.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Position du joueur par rapport au panier | Aligné avec le panier |
| Hauteur du panier | Réglementaire |
| Type de tir | Tir franc (sans opposition) |
Schéma de la situation
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur initiale du lancer | \(h\) | 2.0 | m |
| Vitesse initiale du ballon | \(v_0\) | 8.5 | m/s |
| Angle de tir (par rapport à l'horizontale) | \(\alpha\) | 55 | ° |
| Distance horizontale joueur-panier | \(D\) | 7.0 | m |
| Hauteur du panier | \(H\) | 3.05 | m |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Questions à traiter
- Établir les équations horaires du mouvement du ballon, \(x(t)\) et \(y(t)\), dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) défini sur le schéma.
- Calculer le temps \(t_{\text{flèche}}\) nécessaire pour que le ballon atteigne sa hauteur maximale (la flèche).
- Calculer cette hauteur maximale \(y_{\text{max}}\).
- Le tir est-il réussi ? (On considérera le tir réussi si le centre du ballon passe par le centre de l'arceau, c'est-à-dire si sa hauteur est de 3.05 m lorsqu'il a parcouru la distance horizontale D).
- Si le tir est réussi, déterminer les composantes du vecteur vitesse \(\vec{v}_{\text{panier}}\) du ballon au moment où il atteint le panier, puis calculer sa norme.
Les bases sur le Mouvement d'un Projectile
Le mouvement d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme (en négligeant les frottements de l'air) est un cas classique de la mécanique newtonienne. La seule force agissant sur l'objet est son poids, ce qui lui confère une accélération constante et verticale, dirigée vers le bas.
1. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
Le PFD (ou deuxième loi de Newton) stipule que la somme des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de sa masse par son accélération : \(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a}\). Dans notre cas, \(\vec{P} = m \cdot \vec{a}\), soit \(m \cdot \vec{g} = m \cdot \vec{a}\), ce qui implique \(\vec{a} = \vec{g}\).
2. Équations du mouvement
En projetant l'accélération \(\vec{a}(a_x, a_y)\) sur les axes, on obtient \(a_x = 0\) et \(a_y = -g\). Par intégrations successives par rapport au temps, on trouve les équations de la vitesse \(v_x(t)\), \(v_y(t)\) puis de la position \(x(t)\), \(y(t)\), en utilisant les conditions initiales (position et vitesse à \(t=0\)).
Correction : Étude de la Trajectoire Parabolique d'un Tir en Basketball
Question 1 : Établir les équations horaires du mouvement \(x(t)\) et \(y(t)\).
Principe
Le principe est d'appliquer le PFD pour trouver l'accélération, puis d'intégrer deux fois par rapport au temps pour obtenir la vitesse, puis la position. Les constantes d'intégration sont déterminées grâce aux conditions initiales du problème (position et vitesse à \(t=0\)).
Mini-Cours
La cinématique étudie le mouvement sans se soucier des causes. En partant de l'accélération constante \(\vec{a} = \vec{g}\), une première intégration donne la vitesse \(\vec{v}(t) = \vec{g}t + \vec{v}_0\) et une seconde intégration donne la position \(\vec{OM}(t) = \frac{1}{2}\vec{g}t^2 + \vec{v}_0 t + \vec{OM}_0\). La projection de ces équations vectorielles sur les axes du repère donne les équations horaires scalaires.
Remarque Pédagogique
La clé est de bien décomposer le problème. Le mouvement horizontal est simple (rectiligne uniforme) car aucune force n'agit dans cette direction. Le mouvement vertical est plus complexe (rectiligne uniformément accéléré) car il est soumis à la gravité. Traiter les deux axes séparément simplifie grandement la résolution.
Normes
Ce problème relève de la mécanique classique (ou newtonienne) et n'est pas régi par une norme d'ingénierie spécifique. Les équations utilisées sont des principes fondamentaux de la physique enseignés dans le monde entier.
Formule(s)
Définition de l'accélération
Définition de la vitesse
Hypothèses
On simplifie le problème pour le rendre calculable.
- Le ballon est assimilé à un point matériel.
- La résistance de l'air et la poussée d'Archimède sont négligées.
- Le champ de pesanteur \(\vec{g}\) est uniforme.
Donnée(s)
On liste les conditions initiales à \(t=0\).
| Paramètre | Symbole | Expression | Unité |
|---|---|---|---|
| Position initiale | \(\vec{OM}(0)\) | \(x(0)=0\), \(y(0)=h\) | m |
| Vitesse initiale | \(\vec{v}(0)\) | \(v_x(0) = v_0 \cos(\alpha)\), \(v_y(0) = v_0 \sin(\alpha)\) | m/s |
| Accélération | \(\vec{a}\) | \(a_x = 0\), \(a_y = -g\) | m/s² |
Astuces
Pour ne pas se tromper, il est utile de vérifier l'homogénéité de chaque terme dans les équations finales. Par exemple, dans \(y(t)\), \(-\frac{1}{2}gt^2\) est bien une distance (\(\text{m/s}^2 \times \text{s}^2 = \text{m}\)), tout comme les autres termes. C'est une vérification rapide et efficace.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la Vitesse Initiale
Calcul(s)
Étape 1 : Intégration de l'accélération pour obtenir la vitesse
Avec les conditions initiales à \(t=0\), on trouve \(C_1 = v_0 \cos(\alpha)\) et \(C_2 = v_0 \sin(\alpha)\).
Étape 2 : Intégration de la vitesse pour obtenir la position
Avec les conditions initiales à \(t=0\), on trouve \(C_3 = x(0) = 0\) et \(C_4 = y(0) = h\).
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des Mouvements Projetés
Réflexions
Ces deux équations sont le fondement de toute l'étude. Elles décrivent complètement la position du ballon à n'importe quel instant \(t > 0\). L'équation \(x(t)\) montre que la distance horizontale parcourue est proportionnelle au temps, tandis que l'équation \(y(t)\) est un polynôme du second degré en \(t\), caractéristique d'un mouvement uniformément accéléré.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier la hauteur initiale \(h\) dans l'équation \(y(t)\). Une autre erreur fréquente est de mal orienter l'axe (y) et de se tromper sur le signe de \(g\). Ici, l'axe (y) est vers le haut, donc l'accélération de la pesanteur est négative (\(a_y = -g\)).
Points à retenir
Pour tout mouvement de projectile sans frottement :
- Le mouvement horizontal est rectiligne et uniforme.
- Le mouvement vertical est rectiligne et uniformément accéléré.
- Les deux mouvements sont indépendants et leur composition donne la trajectoire parabolique.
Le saviez-vous ?
Galilée fut l'un des premiers scientifiques à décomposer le mouvement d'un projectile en deux composantes indépendantes, horizontale et verticale, au début du 17ème siècle. Cette idée révolutionnaire a jeté les bases de la mécanique classique formalisée plus tard par Newton.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelles seraient les équations si le joueur tirait depuis le sol (\(h=0\)) ? Modifiez l'équation \(y(t)\) en conséquence.
Question 2 : Calculer le temps \(t_{\text{flèche}}\) pour atteindre la hauteur maximale.
Principe
Au sommet de la trajectoire (la flèche), la composante verticale de la vitesse du ballon s'annule brièvement avant de devenir négative. Il suffit donc de résoudre l'équation \(v_y(t) = 0\) pour trouver le temps correspondant.
Mini-Cours
En mathématiques, pour trouver l'extremum (maximum ou minimum) d'une fonction, on cherche le point où sa dérivée s'annule. En cinématique, la hauteur \(y(t)\) est maximale lorsque sa dérivée par rapport au temps, qui n'est autre que la vitesse verticale \(v_y(t)\), est nulle. C'est l'application directe d'un concept mathématique à un problème physique.
Remarque Pédagogique
Visualisez la trajectoire : le ballon monte, sa vitesse verticale diminue, atteint zéro au sommet, puis il redescend et sa vitesse verticale devient négative. Le moment précis où il "s'arrête" de monter est le sommet. C'est ce que l'équation \(v_y(t) = 0\) traduit mathématiquement.
Normes
Pas de norme applicable. C'est un calcul de cinématique de base.
Formule(s)
Équation de la vitesse verticale
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 (pas de frottement, etc.).
Donnée(s)
On utilise les valeurs de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 8.5 | m/s |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 55 | ° |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Le temps de montée jusqu'à la flèche ne dépend que de la composante verticale de la vitesse initiale et de \(g\). Il est indépendant de la hauteur de départ \(h\) et de la vitesse horizontale.
Schéma (Avant les calculs)
Vecteur Vitesse au Sommet
Calcul(s)
Résolution de l'équation \(v_y(t_{\text{flèche}}) = 0\)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Identification du Temps de Flèche
Réflexions
Ce temps représente la durée de la phase ascendante du mouvement. Il est crucial pour déterminer ensuite la hauteur maximale. Un temps de montée plus long (obtenu avec une plus grande vitesse verticale initiale) mènera à une flèche plus haute.
Points de vigilance
Attention à bien utiliser l'angle en degrés dans votre calculatrice si elle est configurée ainsi, ou à le convertir en radians si nécessaire. Ici, \(\sin(55°)\) est utilisé.
Points à retenir
La condition physique du sommet de la trajectoire se traduit mathématiquement par l'annulation de la composante verticale de la vitesse : \(v_y(t) = 0\).
Le saviez-vous ?
Pour une portée maximale (pour un départ et une arrivée à la même hauteur), l'angle de tir optimal est de 45°. Cependant, au basketball, l'angle est toujours supérieur pour que le ballon ait une trajectoire "plongeante" vers le panier, augmentant ainsi la surface effective de la cible.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le joueur tirait avec le même angle mais une vitesse de 10 m/s, quel serait le nouveau temps de montée ?
Question 3 : Calculer la hauteur maximale \(y_{\text{max}}\).
Principe
Maintenant que nous connaissons le temps \(t_{\text{flèche}}\) pour atteindre le sommet, il suffit d'injecter cette valeur dans l'équation horaire de la position verticale, \(y(t)\), pour trouver la hauteur correspondante.
Mini-Cours
La hauteur maximale est la valeur de la fonction \(y(t)\) à l'instant \(t = t_{\text{flèche}}\). C'est une application directe des équations établies à la première question. Physiquement, cela représente l'altitude maximale que le projectile atteint par rapport au point de référence (ici, le sol).
Remarque Pédagogique
C'est une démarche en deux temps : on trouve d'abord l'instant critique (ici, \(t_{\text{flèche}}\)), puis on utilise cet instant pour trouver la grandeur recherchée (ici, \(y_{\text{max}}\)). Cette méthode est très courante en physique pour résoudre des problèmes d'optimisation ou de conditions particulières.
Normes
Pas de norme applicable.
Formule(s)
Équation de la position verticale
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment.
Donnée(s)
On utilise le résultat de la question 2 et les données de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Temps de montée | \(t_{\text{flèche}}\) | 0.709 | s |
| Hauteur initiale | \(h\) | 2.0 | m |
Astuces
Une formule directe existe pour la flèche (hauteur max par rapport au point de départ) : \(y_{\text{flèche}} = \frac{(v_0 \sin \alpha)^2}{2g}\). On peut l'utiliser pour vérifier le calcul. Ici, \(y_{\text{max}} = y_{\text{flèche}} + h\).
Schéma (Avant les calculs)
Repérage de la Hauteur Maximale
Calcul(s)
Application numérique de \(y_{\text{max}} = y(t_{\text{flèche}})\)
Schéma (Après les calculs)
Position de la Flèche
Réflexions
La hauteur maximale de 4.47 m est bien supérieure à la hauteur du panier (3.05 m), ce qui est une condition nécessaire (mais non suffisante) pour que le tir ait une chance de rentrer. Cela correspond à une trajectoire en "cloche", typique d'un tir réussi.
Points de vigilance
Ne pas oublier d'ajouter la hauteur initiale \(h\) au résultat si on utilise une formule de flèche qui la calcule par rapport au point de départ. L'équation horaire \(y(t)\) l'inclut déjà, ce qui limite les risques d'erreur.
Points à retenir
La hauteur maximale est la valeur de \(y(t)\) calculée à l'instant \(t = t_{\text{flèche}}\).
Le saviez-vous ?
Les joueurs professionnels développent une "mémoire musculaire" qui leur permet de reproduire quasi-parfaitement l'angle et la vitesse de lancer nécessaires pour marquer depuis différentes positions. Leur cerveau effectue intuitivement ces calculs de trajectoire.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les données initiales, quelle serait la hauteur maximale si le joueur était plus petit et lançait de \(h=1.8\) m ?
Question 4 : Le tir est-il réussi ?
Principe
Pour savoir si le tir est réussi, nous devons vérifier la hauteur du ballon lorsqu'il se trouve à la verticale du panier. D'abord, on calcule le temps \(t_{\text{panier}}\) nécessaire pour parcourir la distance horizontale \(D\). Ensuite, on utilise ce temps pour calculer la hauteur \(y(t_{\text{panier}})\) et on la compare à la hauteur du panier \(H\).
Mini-Cours
Cette question combine les deux équations horaires. L'équation \(x(t)\) est utilisée pour trouver un instant précis (le passage à la verticale de la cible), et l'équation \(y(t)\) est utilisée pour trouver la position verticale à cet instant. C'est l'essence même de l'analyse d'une trajectoire en un point donné de l'espace.
Remarque Pédagogique
C'est la question de synthèse. On utilise tout ce qui a été établi précédemment pour répondre à la question concrète de l'énoncé. La démarche est toujours la même : utiliser une coordonnée connue (ici \(x=D\)) pour trouver le temps, puis utiliser ce temps pour trouver l'autre coordonnée (\(y\)).
Normes
Pas de norme applicable.
Formule(s)
Équation de la position horizontale
Équation de la position verticale
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment.
Donnée(s)
On ajoute les coordonnées de la cible.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance horizontale de la cible | \(D\) | 7.0 | m |
| Hauteur de la cible | \(H\) | 3.05 | m |
Astuces
Avant de faire le calcul de \(y(t_{\text{panier}})\), on peut comparer \(t_{\text{panier}}\) à \(t_{\text{flèche}}\). Si \(t_{\text{panier}} > t_{\text{flèche}}\), on sait que le ballon sera dans sa phase descendante, ce qui est nécessaire pour un tir réussi. Ici, \(1.434\text{s} > 0.709\text{s}\), donc la condition est remplie.
Schéma (Avant les calculs)
Le point cible
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du temps de vol jusqu'au panier
Étape 2 : Calcul de la hauteur du ballon à cet instant
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Trajectoire et Cible
Réflexions
La hauteur calculée du ballon à la distance du panier est de 1.90 m. Cette hauteur est bien inférieure à la hauteur du panier, qui est de 3.05 m. Le ballon passe donc bien en dessous de l'arceau. Le tir est trop "court" ou "plat". Pour le réussir, le joueur aurait dû augmenter la vitesse initiale \(v_0\) ou l'angle \(\alpha\).
Points de vigilance
Il est crucial de ne pas arrondir les valeurs intermédiaires de manière excessive. Conserver plusieurs décimales pour \(t_{\text{panier}}\) permet d'obtenir une valeur plus précise pour \(y_{\text{panier}}\).
Points à retenir
Pour vérifier si une trajectoire passe par un point \((x_c, y_c)\), on calcule le temps \(t_c\) pour atteindre \(x_c\), puis on calcule \(y(t_c)\) et on le compare à \(y_c\).
Le saviez-vous ?
Des systèmes de tracking par caméras (comme "Hawk-Eye" au tennis) sont maintenant utilisés au basketball pour analyser en temps réel les trajectoires de tir des joueurs à l'entraînement, leur fournissant des données précises pour optimiser leur gestuelle.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant le simulateur, trouvez une vitesse initiale (à 0.1 m/s près) qui permettrait de réussir le tir en gardant l'angle de 55°.
Question 5 : Si le tir était réussi, quel serait le vecteur vitesse ?
Principe
Bien que le tir ait échoué, nous pouvons tout de même calculer le vecteur vitesse du ballon à l'instant \(t_{\text{panier}}\) où il croise la verticale du panier. Il suffit d'utiliser les équations de la vitesse \(v_x(t)\) et \(v_y(t)\) avec \(t = t_{\text{panier}}\).
Mini-Cours
Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire en tout point. Ses composantes indiquent la vitesse de déplacement selon chaque axe. La composante \(v_x\) reste constante, tandis que \(v_y\) diminue pendant la montée, s'annule au sommet, et augmente (en valeur absolue) pendant la descente. La norme du vecteur, \(||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\), représente la vitesse scalaire de l'objet.
Remarque Pédagogique
Analyser le vecteur vitesse en fin de course est important. Par exemple, un ballon arrivant avec une composante verticale très faible (tir "tendu") aura moins de chances de rentrer qu'un ballon arrivant avec une trajectoire plongeante (composante verticale négative plus importante).
Normes
Pas de norme applicable.
Formule(s)
Équations de la vitesse
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment.
Donnée(s)
On utilise le temps \(t_{\text{panier}}\) calculé à la question 4.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Temps de vol jusqu'au panier | \(t_{\text{panier}}\) | 1.434 | s |
Astuces
Puisque \(v_x\) est constant, on n'a même pas besoin de le recalculer. Il est le même qu'au départ. Seul \(v_y\) a changé à cause de la gravité.
Schéma (Avant les calculs)
Vecteur Vitesse à la verticale du panier
Calcul(s)
Calcul de la composante horizontale \(v_x\)
Calcul de la composante verticale \(v_y\)
Calcul de la norme de la vitesse
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Vitesse au Panier
Réflexions
La composante verticale de la vitesse est négative, ce qui est logique car le ballon est dans sa phase descendante (\(t_{\text{panier}} > t_{\text{flèche}}\)). La norme de la vitesse (8.61 m/s) est légèrement supérieure à la vitesse initiale (8.5 m/s), car le ballon est passé en dessous de sa hauteur de départ. Si le point d'arrivée était à la même hauteur que le point de départ, la norme de la vitesse serait identique.
Points de vigilance
Ne pas oublier le signe négatif pour la composante \(v_y\). Un vecteur vitesse a une direction, et le signe est crucial pour la représenter correctement. Une erreur de signe ici signifierait que le ballon est encore en train de monter, ce qui serait incohérent.
Points à retenir
Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire. Ses composantes se calculent en utilisant les équations \(v_x(t)\) et \(v_y(t)\) à l'instant désiré. Sa norme se calcule avec le théorème de Pythagore.
Le saviez-vous ?
L'énergie mécanique du ballon (somme de son énergie cinétique et potentielle) se conserve au cours du mouvement (puisqu'on néglige les frottements). L'énergie potentielle est maximale au sommet (flèche), donc l'énergie cinétique (et la vitesse) y est minimale.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la composante verticale de la vitesse si le ballon retombait exactement à sa hauteur de départ (\(h=2\) m) ?
Outil Interactif : Simulateur de Tir
Utilisez les curseurs pour modifier la vitesse initiale et l'angle de tir. Le simulateur calcule en temps réel la hauteur maximale (flèche) et la distance horizontale où le ballon retombe au sol (portée), puis trace la trajectoire. Le panier est indiqué sur le graphique pour visualiser la réussite du tir.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (depuis \(h=2\text{m}\))
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la composante de l'accélération du ballon sur l'axe horizontal (Ox) ?
2. Au sommet de la trajectoire, quelle affirmation est correcte ?
3. Si on augmentait l'angle de tir \(\alpha\) (en gardant \(v_0\) constante), la hauteur maximale (flèche) serait...
4. La forme de la trajectoire \(y(x)\) est une...
5. Si on négligeait la gravité, quelle serait la trajectoire du ballon ?
- Trajectoire parabolique
- La courbe en forme de parabole décrite par un projectile lancé dans un champ de gravité uniforme, en négligeant la résistance de l'air.
- Équations horaires
- Fonctions mathématiques qui décrivent la position (\(x(t)\), \(y(t)\)) d'un objet en fonction du temps.
- Vecteur vitesse
- Vecteur qui décrit la vitesse et la direction du mouvement d'un objet à un instant donné. Ses composantes sont \(v_x\) et \(v_y\).
- Flèche
- La hauteur maximale atteinte par un projectile au cours de sa trajectoire.
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