Étude de la Trajectoire d’une Balle en Mécanique Classique
Comprendre le Mouvement des Projectiles
Le mouvement d'un projectile est un exemple classique d'application des lois de Newton. Lorsqu'un objet est lancé dans les airs avec une vitesse initiale et sous la seule influence de la gravité (en négligeant la résistance de l'air), sa trajectoire est parabolique. L'étude de ce mouvement implique de décomposer le mouvement en composantes horizontales et verticales. Le mouvement horizontal est uniforme (accélération nulle), tandis que le mouvement vertical est uniformément accéléré (soumis à l'accélération gravitationnelle \(g\)). La compréhension de ces principes permet de calculer des grandeurs clés telles que la hauteur maximale atteinte, la portée du projectile et le temps de vol.
Données de l'étude : Lancement d'une Balle
- Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
- \(\sin(53.0^{\circ}) \approx 0.7986\)
- \(\cos(53.0^{\circ}) \approx 0.6018\)
Schéma : Trajectoire Parabolique d'une Balle
Trajectoire parabolique d'une balle lancée avec une vitesse initiale \(v_0\) et un angle \(\theta\).
Questions à traiter
- Calculer les composantes horizontale (\(v_{0x}\)) et verticale (\(v_{0y}\)) de la vitesse initiale.
- Établir les équations horaires du mouvement de la balle : \(x(t)\) et \(y(t)\).
- Calculer le temps (\(t_{\text{sommet}}\)) nécessaire pour que la balle atteigne le sommet de sa trajectoire.
- Calculer la hauteur maximale (\(H_{\text{max}}\)) atteinte par la balle.
- Calculer le temps de vol total (\(t_{\text{vol}}\)) de la balle avant qu'elle ne retouche le sol.
- Calculer la portée horizontale (\(R\)) de la balle.
Correction : Étude de la Trajectoire d’une Balle
Question 1 : Composantes de la vitesse initiale
Principe :
La vitesse initiale \(\vec{v_0}\) est un vecteur. Ses composantes horizontale (\(v_{0x}\)) et verticale (\(v_{0y}\)) sont obtenues par projection sur les axes x et y en utilisant l'angle de lancement \(\theta\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(v_0 = 20.0 \, \text{m/s}\)
- \(\theta = 53.0^{\circ}\)
- \(\cos(53.0^{\circ}) \approx 0.6018\)
- \(\sin(53.0^{\circ}) \approx 0.7986\)
Calcul :
- Composante horizontale de la vitesse initiale : \(v_{0x} \approx 12.04 \, \text{m/s}\)
- Composante verticale de la vitesse initiale : \(v_{0y} \approx 15.97 \, \text{m/s}\)
Question 2 : Équations horaires du mouvement \(x(t)\) et \(y(t)\)
Principe :
Le mouvement horizontal est uniforme (\(a_x = 0\)). Le mouvement vertical est uniformément varié (\(a_y = -g\), en choisissant l'axe y positif vers le haut).
Équations générales du mouvement :
Pour x : \(x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{1}{2}a_x t^2\)
Pour y : \(y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}a_y t^2\)
Conditions initiales : \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\) (lancement depuis l'origine).
Formule(s) dérivée(s) :
Données spécifiques :
- \(v_{0x} \approx 12.036 \, \text{m/s}\)
- \(v_{0y} \approx 15.972 \, \text{m/s}\)
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Équations avec valeurs numériques :
- \(x(t) \approx 12.04 \cdot t\)
- \(y(t) \approx 15.97 \cdot t - 4.905 \cdot t^2\)
Question 3 : Temps pour atteindre le sommet (\(t_{\text{sommet}}\))
Principe :
Au sommet de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse (\(v_y\)) est nulle. L'équation de la vitesse verticale est \(v_y(t) = v_{0y} - gt\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(v_{0y} \approx 15.972 \, \text{m/s}\)
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
Question 4 : Hauteur maximale (\(H_{\text{max}}\))
Principe :
La hauteur maximale est la valeur de \(y(t)\) lorsque \(t = t_{\text{sommet}}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Alternativement, \(H_{\text{max}} = \frac{v_{0y}^2}{2g}\).
Données spécifiques :
- \(v_{0y} \approx 15.972 \, \text{m/s}\)
- \(t_{\text{sommet}} \approx 1.6281 \, \text{s}\)
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul (en utilisant \(t_{\text{sommet}}\)) :
Calcul avec la formule alternative :
Les légères différences sont dues aux arrondis.
Quiz Intermédiaire 1 : Au sommet de la trajectoire d'un projectile (résistance de l'air négligée) :
Question 5 : Temps de vol total (\(t_{\text{vol}}\))
Principe :
Le temps de vol total est le temps que met la balle pour retourner au sol (\(y(t_{\text{vol}}) = 0\)). Pour un lancement depuis le sol et un retour au sol (trajectoire symétrique en l'absence de résistance de l'air), le temps de vol est le double du temps pour atteindre le sommet.
Formule(s) utilisée(s) :
Ou en résolvant \(y(t) = 0\): \(v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 = 0 \Rightarrow t(v_{0y} - \frac{1}{2}gt) = 0\). Les solutions sont \(t=0\) (départ) et \(t = \frac{2v_{0y}}{g}\).
Données spécifiques :
- \(t_{\text{sommet}} \approx 1.6281 \, \text{s}\)
- \(v_{0y} \approx 15.972 \, \text{m/s}\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
Ou avec l'autre formule :
\[ \begin{aligned} t_{\text{vol}} &= \frac{2 \times 15.972 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{31.944 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 3.2562 \, \text{s} \end{aligned} \]Question 6 : Portée horizontale (\(R\))
Principe :
La portée horizontale est la distance horizontale totale parcourue par la balle. C'est la valeur de \(x(t)\) lorsque \(t = t_{\text{vol}}\).
Formule(s) utilisée(s) :
On peut aussi utiliser la formule \(R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}\).
Données spécifiques :
- \(v_{0x} \approx 12.036 \, \text{m/s}\)
- \(t_{\text{vol}} \approx 3.2562 \, \text{s}\)
- \(v_0 = 20.0 \, \text{m/s}\), \(\theta = 53.0^{\circ}\), \(2\theta = 106.0^{\circ}\), \(\sin(106.0^{\circ}) \approx 0.9613\)
Calcul (en utilisant \(v_{0x}\) et \(t_{\text{vol}}\)) :
Calcul avec la formule de portée :
Quiz Intermédiaire 2 : Pour un projectile lancé depuis le sol, l'angle de lancement qui donne la portée horizontale maximale (en l'absence de résistance de l'air) est de :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Dans le mouvement d'un projectile (sans résistance de l'air), quelle composante de la vitesse reste constante ?
2. L'accélération d'un projectile après son lancement (résistance de l'air négligée) est :
3. Si on double la vitesse initiale d'un projectile (en gardant le même angle de lancement), sa portée horizontale :
Glossaire
- Mouvement du Projectile
- Mouvement d'un objet lancé dans un champ gravitationnel, où la seule force agissante (en l'absence de résistance de l'air) est la gravité.
- Trajectoire
- Chemin suivi par un objet en mouvement. Pour un projectile sans résistance de l'air, c'est une parabole.
- Vitesse Initiale (\(v_0\))
- Vitesse de l'objet au moment de son lancement.
- Angle de Lancement (\(\theta\))
- Angle entre le vecteur vitesse initiale et l'horizontale.
- Composantes de la Vitesse
- Projections du vecteur vitesse sur les axes d'un système de coordonnées (généralement horizontal \(v_x\) et vertical \(v_y\)).
- Équations Horaires
- Équations qui décrivent la position (\(x(t), y(t)\)) et la vitesse (\(v_x(t), v_y(t)\)) d'un objet en fonction du temps.
- Hauteur Maximale (\(H_{\text{max}}\))
- Altitude la plus élevée atteinte par le projectile au cours de sa trajectoire.
- Portée Horizontale (\(R\))
- Distance horizontale totale parcourue par le projectile depuis son point de lancement jusqu'au point où il retombe à sa hauteur de lancement initiale.
- Temps de Vol (\(t_{\text{vol}}\))
- Durée totale pendant laquelle le projectile est en l'air.
- Accélération due à la Gravité (\(g\))
- Accélération subie par tout objet dans un champ gravitationnel (environ \(9.81 \, \text{m/s}^2\) à la surface de la Terre, dirigée vers le bas).
D’autres exercices de mécanique classique:
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