Étude d’une Collision Élastique sur Glace
Contexte : La mécanique classique et les lois de conservation.
Nous allons analyser un scénario classique en physique : une collision élastiqueUne collision où l'énergie cinétique totale du système est conservée, en plus de la quantité de mouvement. Les objets rebondissent sans perte d'énergie sous forme de chaleur ou de déformation. unidimensionnelle entre deux palets de curling sur une patinoire parfaitement lisse. Cette situation idéale nous permet d'appliquer deux des principes les plus fondamentaux de la mécanique : la conservation de la quantité de mouvementProduit de la masse d'un objet par sa vitesse (p=mv). C'est une mesure de l'inertie en mouvement. Dans un système isolé, la quantité de mouvement totale est toujours conservée. et la conservation de l'énergie cinétiqueL'énergie que possède un objet en raison de son mouvement. Elle est calculée par la formule Ec = ½mv²..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un système physique, à poser les équations de conservation et à résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour prédire l'état final du système après une interaction.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le principe de conservation de la quantité de mouvement.
- Appliquer le principe de conservation de l'énergie cinétique pour une collision élastique.
- Résoudre un système d'équations pour trouver les vitesses finales des objets.
- Analyser et interpréter les résultats d'une simulation de collision.
Données de l'étude
Conditions de l'Expérience
| Caractéristique | Description |
|---|---|
| Environnement | Patinoire horizontale, frottements négligés |
| Type de Collision | Élastique et unidimensionnelle (frontale) |
| Système | Système isoléUn système qui n'échange ni matière ni énergie avec l'extérieur. Aucune force extérieure nette n'agit sur lui, ce qui permet d'appliquer les lois de conservation. (palet A + palet B) |
Schéma de la Collision
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| m_A | Masse du palet A | 2.0 | kg |
| m_B | Masse du palet B | 3.0 | kg |
| v_A | Vitesse initiale du palet A | 10.0 | m/s |
| v_B | Vitesse initiale du palet B | 0.0 | m/s |
Questions à traiter
- Calculer la quantité de mouvement totale du système avant la collision.
- Calculer l'énergie cinétique totale du système avant la collision.
- Écrire les deux équations de conservation (quantité de mouvement et énergie cinétique) pour le système après la collision, en utilisant v'_A et v'_B comme inconnues.
- Résoudre le système d'équations pour déterminer les vitesses finales v'_A et v'_B.
- Vérifier que l'énergie cinétique totale est bien conservée après la collision.
Les bases de la Mécanique des Collisions
Pour résoudre cet exercice, deux principes fondamentaux de la physique sont nécessaires.
1. Conservation de la Quantité de Mouvement
Pour un système isolé (sans forces extérieures nettes), la quantité de mouvement totale avant une collision est égale à la quantité de mouvement totale après.
\[ \sum \vec{p}_{\text{avant}} = \sum \vec{p}_{\text{après}} \]
\[ m_A \vec{v}_A + m_B \vec{v}_B = m_A \vec{v'}_A + m_B \vec{v'}_B \]
2. Conservation de l'Énergie Cinétique (Collisions Élastiques)
Dans une collision parfaitement élastique, l'énergie cinétique totale du système est également conservée.
\[ \sum E_{\text{c, avant}} = \sum E_{\text{c, après}} \]
\[ \frac{1}{2}m_A v_A^2 + \frac{1}{2}m_B v_B^2 = \frac{1}{2}m_A v'_A{}^2 + \frac{1}{2}m_B v'_B{}^2 \]
Correction : Étude d’une Collision Élastique sur Glace
Question 1 : Calculer la quantité de mouvement totale du système avant la collision.
Principe
La quantité de mouvement totale d'un système est la somme vectorielle des quantités de mouvement de chaque objet qui le compose. Avant la collision, nous devons calculer cette somme en utilisant les masses et les vitesses initiales.
Mini-Cours
La quantité de mouvement, souvent notée \(\vec{p}\), est une mesure de la "quantité de mouvement" d'un objet. Elle dépend à la fois de sa masse (son inertie) et de sa vitesse. C'est une quantité vectorielle, ce qui signifie qu'elle a une direction et un sens. Dans un système isolé, les forces internes (comme celles de la collision) se compensent (3ème loi de Newton), et la quantité de mouvement totale ne change pas.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours de définir un système et de vérifier s'il est isolé. Ici, le système est {palet A + palet B}. En négligeant les frottements, les seules forces extérieures (poids, réaction de la glace) se compensent verticalement. Le système est donc bien isolé horizontalement, ce qui nous autorise à utiliser la conservation de la quantité de mouvement.
Normes
Les calculs sont basés sur les principes fondamentaux de la mécanique Newtonienne, qui constituent la "norme" pour l'étude des systèmes macroscopiques à des vitesses non relativistes.
Formule(s)
Formule de la quantité de mouvement totale
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le système {palet A + palet B} est considéré comme isolé.
- Les frottements de l'air et sur la glace sont négligeables.
- Le mouvement est unidimensionnel (collision parfaitement frontale).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du palet A | \(m_A\) | 2.0 | kg |
| Masse du palet B | \(m_B\) | 3.0 | kg |
| Vitesse initiale de A | \(v_A\) | +10.0 | m/s |
| Vitesse initiale de B | \(v_B\) | 0.0 | m/s |
Astuces
Pour aller plus vite, on remarque immédiatement que la quantité de mouvement du palet B est nulle puisqu'il est immobile. La quantité de mouvement totale du système avant l'impact est donc simplement celle du palet A.
Schéma (Avant les calculs)
État du système avant la collision
Calcul(s)
Application Numérique
Comme le mouvement est unidimensionnel, nous pouvons traiter les vecteurs comme des scalaires, en utilisant un signe positif pour la direction initiale de A. Le palet B étant immobile, sa quantité de mouvement initiale est nulle.
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Quantité de Mouvement Totale (Avant)
Réflexions
La quantité de mouvement totale initiale du système est de 20 kg·m/s, entièrement due au mouvement du palet A. Cette valeur sera conservée tout au long de l'interaction. C'est notre première "ancre" pour résoudre le problème.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier l'unité kg·m/s. Une valeur numérique sans unité n'a pas de sens physique. De plus, il faut bien prendre en compte le signe des vitesses si le mouvement n'était pas dans la même direction.
Points à retenir
La quantité de mouvement totale d'un système isolé est une constante. C'est l'un des piliers de la mécanique, applicable à toutes les interactions, qu'elles soient élastiques ou non.
Le saviez-vous ?
Le concept de quantité de mouvement, initialement appelé 'impetus', a été développé bien avant Newton, notamment par des savants comme Jean Buridan au 14ème siècle pour expliquer le mouvement des projectiles.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le palet A avait une masse de 4 kg mais la même vitesse, quelle serait la nouvelle quantité de mouvement totale ?
Question 2 : Calculer l'énergie cinétique totale du système avant la collision.
Principe
L'énergie cinétique totale est la somme (scalaire) des énergies cinétiques de chaque objet. Contrairement à la quantité de mouvement, c'est une quantité scalaire (toujours positive) qui représente l'énergie associée au mouvement.
Mini-Cours
L'énergie cinétique, \(E_{\text{c}} = \frac{1}{2}mv^2\), représente le travail nécessaire pour amener un objet du repos à sa vitesse actuelle. Dans une collision élastique, aucune énergie n'est perdue en chaleur, son ou déformation permanente. L'énergie cinétique se conserve donc, en plus de la quantité de mouvement.
Remarque Pédagogique
Notez que la vitesse est au carré dans la formule de l'énergie cinétique. Cela signifie que le sens du mouvement (le signe de la vitesse) n'a pas d'importance pour ce calcul. De plus, l'énergie cinétique augmente avec le carré de la vitesse, ce qui la rend très sensible aux changements de vitesse.
Normes
Les calculs sont basés sur le principe de conservation de l'énergie, une loi fondamentale de la physique.
Formule(s)
Formule de l'énergie cinétique totale
Hypothèses
Les mêmes hypothèses que pour la question 1 s'appliquent.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du palet A | \(m_A\) | 2.0 | kg |
| Masse du palet B | \(m_B\) | 3.0 | kg |
| Vitesse initiale de A | \(v_A\) | +10.0 | m/s |
| Vitesse initiale de B | \(v_B\) | 0.0 | m/s |
Astuces
Comme pour la quantité de mouvement, l'énergie cinétique du palet B est nulle car sa vitesse est nulle. Le calcul se simplifie donc grandement.
Schéma (Avant les calculs)
État du système avant la collision
Calcul(s)
Application Numérique
L'énergie cinétique du palet B est nulle car il est immobile. L'énergie totale est donc simplement celle du palet A.
Schéma (Après les calculs)
Répartition de l'Énergie Cinétique (Avant)
Réflexions
L'énergie totale disponible dans le système est de 100 Joules. Puisque la collision est spécifiée comme étant élastique, cette valeur doit être la même après la collision. C'est notre deuxième "ancre" pour la résolution.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre la vitesse au carré. Assurez-vous de bien faire \(v \times v\) dans votre calcul.
Points à retenir
Dans une collision élastique, l'énergie cinétique est conservée. Dans une collision inélastique (où les objets se collent, par exemple), elle ne l'est pas, mais la quantité de mouvement l'est toujours !
Le saviez-vous ?
Au niveau subatomique, les collisions entre particules élémentaires sont souvent parfaitement élastiques. C'est en étudiant ces collisions dans les accélérateurs de particules que les physiciens découvrent de nouvelles particules !
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la vitesse initiale du palet A était de 20 m/s, quelle serait l'énergie cinétique totale ?
Question 3 : Écrire les deux équations de conservation après la collision.
Principe
Nous allons maintenant formaliser les deux principes de conservation en équations. Nous égalons les expressions de la quantité de mouvement (avant et après) et de l'énergie cinétique (avant et après), en utilisant les valeurs calculées et en laissant les vitesses finales \(v'_A\) et \(v'_B\) comme inconnues.
Mini-Cours
La résolution de nombreux problèmes en physique se ramène à la mise en place d'un système d'équations basé sur les lois de conservation. Le nombre d'équations indépendantes doit être égal au nombre d'inconnues. Ici, nous avons deux inconnues (\(v'_A\) et \(v'_B\)) et, heureusement, deux lois de conservation, ce qui rend le problème soluble.
Remarque Pédagogique
L'étape de mise en équation est cruciale. Prenez le temps de bien écrire chaque terme, en vérifiant les masses et les variables (vitesses initiales vs finales). Une petite erreur ici se propagera dans toute la suite de la résolution.
Normes
Pas de norme spécifique, on applique les lois fondamentales de la physique.
Formule(s)
Conservation de la Quantité de Mouvement
Conservation de l'Énergie Cinétique
Hypothèses
Les mêmes hypothèses que précédemment s'appliquent.
Donnée(s)
Pour établir les équations, nous utilisons les masses des palets ainsi que les valeurs totales de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique du système, qui sont conservées durant la collision.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du palet A | \(m_A\) | 2.0 | kg |
| Masse du palet B | \(m_B\) | 3.0 | kg |
| Quantité de mouvement totale | \(p_{\text{totale}}\) | 20.0 | kg·m/s |
| Énergie cinétique totale | \(E_{\text{c, totale}}\) | 100 | J |
Astuces
Pour simplifier l'équation de l'énergie cinétique, on peut multiplier tous les termes par 2 pour éliminer les fractions \(\frac{1}{2}\), ce qui donne \(m_A v_A^2 + m_B v_B^2 = m_A v'_A{}^2 + m_B v'_B{}^2\).
Schéma (Avant les calculs)
État du système après la collision
Calcul(s)
Équation 1 : Conservation de la Quantité de Mouvement
Équation 2 : Conservation de l'Énergie Cinétique
Schéma (Après les calculs)
Système d'Équations à Résoudre
Réflexions
Nous avons maintenant un système de deux équations (une linéaire, une quadratique) avec deux inconnues. C'est un problème mathématique bien défini que nous pouvons résoudre.
Points de vigilance
Faites attention à ne pas mélanger les variables. Les vitesses avant la collision (\(v_A, v_B\)) sont des valeurs connues, tandis que les vitesses après (\(v'_A, v'_B\)) sont les inconnues à trouver.
Points à retenir
Pour une collision élastique 1D avec une cible au repos, il y a toujours deux lois à appliquer : la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie cinétique.
Le saviez-vous ?
Le Pendule de Newton est un exemple célèbre de collisions quasi-élastiques successives où la quantité de mouvement et l'énergie se transmettent à travers une chaîne de billes.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
1) \(20 = 2v'_A + 3v'_B\)
2) \(100 = v'_A{}^2 + 1.5v'_B{}^2\)
A vous de jouer
Si la masse de B était de 8 kg (\(m_B=8\)), quelle serait la nouvelle équation de quantité de mouvement ?
Question 4 : Résoudre le système pour trouver v'_A et v'_B.
Principe
Nous utilisons la méthode de substitution, une technique algébrique standard pour résoudre les systèmes d'équations. Nous isolons une variable dans l'équation la plus simple (l'équation linéaire de la quantité de mouvement) et nous la substituons dans la seconde équation (l'équation quadratique de l'énergie).
Mini-Cours
La substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre. En injectant cette expression dans la deuxième équation, on obtient une équation à une seule inconnue, que l'on peut alors résoudre. Une fois cette inconnue trouvée, on la réinjecte dans l'expression de substitution pour trouver la seconde inconnue.
Remarque Pédagogique
La résolution d'une équation du second degré (\(ax^2+bx+c=0\)) donne souvent deux solutions. En physique, il est crucial d'analyser ces solutions pour déterminer laquelle a un sens physique. Parfois, une solution correspond à l'état initial (avant que l'événement ne se produise) et doit être écartée.
Normes
La résolution suit les règles de l'algèbre classique.
Formule(s)
Pas de nouvelle formule physique, il s'agit d'une résolution mathématique.
Hypothèses
Les mêmes hypothèses que précédemment s'appliquent.
Donnée(s)
Nous partons du système d'équations établi à la question 3.
| Équation | Formulation |
|---|---|
| (1) Quantité de Mouvement | \(20 = 2v'_A + 3v'_B\) |
| (2) Énergie Cinétique | \(100 = v'_A{}^2 + 1.5v'_B{}^2\) |
Astuces
Lorsque vous obtenez une équation de la forme \(x(ax-b)=0\), ne divisez pas par x ! Cela vous ferait perdre la solution \(x=0\). Les deux solutions sont bien \(x=0\) et \(ax-b=0\).
Schéma (Avant les calculs)
Méthode de Substitution
Calcul(s)
Étape 1 : Isoler \(v'_A\) dans l'équation (1)
Étape 2 : Substituer \(v'_A\) dans l'équation (2)
Développement de l'équation
Simplification de l'équation
Cette équation a deux solutions pour \(v'_B\) : \(v'_B = 0\) (ce qui correspond à l'état avant la collision, donc pas la solution physique que nous cherchons) et :
Résolution pour \(v'_B\)
Étape 3 : Calculer \(v'_A\)
On utilise la valeur de \(v'_B\) trouvée pour calculer \(v'_A\) :
Schéma (Après les calculs)
État du système après la collision (Résultats)
Réflexions
Le palet A, plus léger, rebondit en arrière (vitesse négative) tandis que le palet B, plus lourd, est projeté en avant avec une vitesse importante. C'est un résultat typique et physiquement cohérent pour ce type de collision.
Points de vigilance
Attention aux erreurs de calcul en développant le carré \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Une erreur de signe ici est très fréquente et faussera tout le résultat.
Points à retenir
La résolution d'un système d'équations (une linéaire, une quadratique) est une compétence mathématique clé pour résoudre des problèmes de collisions élastiques.
Le saviez-vous ?
Il existe des formules directes pour les vitesses finales dans une collision élastique 1D, qui sont dérivées de cette même résolution. Les apprendre par cœur peut faire gagner du temps, mais comprendre la méthode de résolution est plus fondamental.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(m_A = m_B = 2 \text{ kg}\), quelles seraient les vitesses finales \(v'_A\) et \(v'_B\) ? (Entrez les deux valeurs séparées par une virgule)
Question 5 : Vérifier que l'énergie cinétique totale est bien conservée.
Principe
C'est l'étape de vérification. Pour confirmer que nos calculs sont corrects et que la collision est bien élastique, nous calculons l'énergie cinétique totale du système *après* la collision en utilisant les vitesses finales que nous venons de trouver. Le résultat doit être égal à l'énergie cinétique initiale.
Mini-Cours
La vérification est une partie essentielle de la démarche scientifique et de l'ingénierie. Elle permet de détecter des erreurs de calcul et de s'assurer que la solution trouvée est cohérente avec les principes physiques de départ. Si l'énergie n'était pas conservée, cela signifierait soit une erreur de calcul, soit que la collision n'était en fait pas élastique.
Remarque Pédagogique
Cette dernière étape boucle la boucle. Nous avons utilisé deux principes (conservation de p et de Ec) pour trouver les inconnues, et nous utilisons maintenant ces inconnues pour vérifier que le second principe est bien respecté. C'est une auto-vérification robuste.
Normes
Pas de norme spécifique, on applique les lois fondamentales de la physique.
Formule(s)
Formule de l'énergie cinétique totale après collision
Hypothèses
Les mêmes hypothèses que précédemment s'appliquent.
Donnée(s)
Nous utilisons les vitesses finales calculées à la question 4 ainsi que les masses des palets.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du palet A | \(m_A\) | 2.0 | kg |
| Masse du palet B | \(m_B\) | 3.0 | kg |
| Vitesse finale de A | \(v'_A\) | -2.0 | m/s |
| Vitesse finale de B | \(v'_B\) | +8.0 | m/s |
Astuces
N'oubliez pas que \((-2)^2 = +4\). Le carré d'un nombre négatif est toujours positif. L'énergie cinétique est toujours une quantité positive ou nulle.
Schéma (Avant les calculs)
État du système après la collision (Résultats)
Calcul(s)
Application Numérique
On applique la formule de l'énergie cinétique totale avec les nouvelles vitesses.
Schéma (Après les calculs)
Répartition de l'Énergie Cinétique
Réflexions
L'énergie cinétique totale après la collision (100 J) est identique à l'énergie cinétique totale avant la collision (100 J). La conservation de l'énergie est bien respectée, ce qui valide nos résultats pour les vitesses finales.
Points de vigilance
Assurez-vous de comparer la valeur finale à la valeur initiale exacte. Une petite différence peut indiquer une erreur d'arrondi ou une erreur de calcul plus grave.
Points à retenir
La vérification finale est une bonne pratique qui confirme la validité de l'ensemble de votre raisonnement. Si la conservation n'est pas vérifiée, il faut remonter les étapes de calcul pour trouver l'erreur.
Le saviez-vous ?
Dans le monde réel, aucune collision macroscopique n'est parfaitement élastique. Il y a toujours une petite perte d'énergie en son (le "clac" de l'impact) et en chaleur. Le concept de collision élastique est une idéalisation très utile.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les vitesses finales de la question 4, vérifiez la quantité de mouvement totale après la collision. Est-elle bien conservée ?
Outil Interactif : Simulateur de Collision
Utilisez ce simulateur pour explorer comment les masses des palets influencent leurs vitesses finales. Le palet B est toujours au repos initialement.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si deux objets de même masse entrent en collision élastique frontale (l'un étant initialement au repos), que se passe-t-il ?
2. Dans une collision inélastique, quelle quantité est toujours conservée ?
3. Si un objet très lourd frappe un objet très léger au repos, la vitesse de l'objet léger après l'impact est...
4. L'unité de la quantité de mouvement dans le Système International est :
5. Pourquoi peut-on ignorer les frottements dans cette expérience ?
- Collision Élastique
- Une collision où l'énergie cinétique totale du système est conservée, en plus de la quantité de mouvement. Les objets rebondissent sans perte d'énergie sous forme de chaleur ou de déformation.
- Quantité de Mouvement
- Produit de la masse d'un objet par sa vitesse (p=mv). C'est une mesure de l'inertie en mouvement. Dans un système isolé, la quantité de mouvement totale est toujours conservée.
- Énergie Cinétique
- L'énergie que possède un objet en raison de son mouvement. Elle est calculée par la formule Ec = ½mv².
- Système Isolé
- Un système qui n'échange ni matière ni énergie avec l'extérieur. Aucune force extérieure nette n'agit sur lui, ce qui permet d'appliquer les lois de conservation.
D’autres exercices de mécanique classique:
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