ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la vitesse moyenne d’un trajet routier

Calcul de la Vitesse Moyenne d’un Trajet Routier en Mécanique Classique

Calcul de la Vitesse Moyenne d’un Trajet Routier

Comprendre la Vitesse Moyenne

La vitesse moyenne d'un objet en mouvement est définie comme le rapport de la distance totale parcourue au temps total mis pour parcourir cette distance. Elle donne une mesure globale de la rapidité du déplacement sur l'ensemble du trajet, sans tenir compte des variations de vitesse instantanée (accélérations, décélérations, arrêts). En mécanique classique, le calcul de la vitesse moyenne est un concept de base pour analyser les mouvements et planifier des trajets. Il est important de ne pas la confondre avec la moyenne des vitesses, qui peut donner un résultat différent si les durées ou les distances des segments du trajet ne sont pas égales.

Données du Problème

Une voiture effectue un trajet en plusieurs étapes :

  • Segment 1 : De la ville A à la ville B, une distance (\(d_1\)) de \(120 \, \text{km}\) est parcourue en un temps (\(t_1\)) de \(1.5 \, \text{heures}\).
  • Arrêt : Une pause à la ville B d'une durée (\(t_{\text{arrêt}}\)) de \(30 \, \text{minutes}\).
  • Segment 2 : De la ville B à la ville C, une distance (\(d_2\)) de \(180 \, \text{km}\) est parcourue à une vitesse constante (\(v_2\)) de \(90 \, \text{km/h}\).
Schéma : Trajet Routier Multi-Étapes
A d₁ = 120 km t₁ = 1.5 h B Arrêt: 30 min d₂ = 180 km v₂ = 90 km/h C

Illustration du trajet de la voiture entre les villes A, B et C.

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse moyenne (\(v_1\)) de la voiture sur le segment 1 (de A à B) en km/h.
  2. Calculer le temps (\(t_2\)) mis pour parcourir le segment 2 (de B à C) en heures.
  3. Calculer la distance totale (\(d_{\text{totale}}\)) parcourue par la voiture de A à C.
  4. Calculer le temps total (\(t_{\text{total}}\)) du voyage de A à C, incluant l'arrêt à la ville B. (Assurez-vous que toutes les durées sont en heures).
  5. Calculer la vitesse moyenne (\(v_{\text{moyenne}}\)) de la voiture pour l'ensemble du trajet de A à C.
  6. Si l'on calculait simplement la moyenne des vitesses \(v_1\) et \(v_2\), obtiendrait-on la même valeur que la vitesse moyenne calculée à la question 5 ? Expliquez pourquoi ou pourquoi pas.

Correction : Calcul de la Vitesse Moyenne d’un Trajet Routier

Question 1 : Vitesse moyenne (\(v_1\)) sur le segment 1

Principe :

La vitesse moyenne sur un segment est la distance du segment divisée par le temps mis pour le parcourir.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v = \frac{d}{t} \]
Données spécifiques :
  • \(d_1 = 120 \, \text{km}\)
  • \(t_1 = 1.5 \, \text{heures}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_1 &= \frac{120 \, \text{km}}{1.5 \, \text{h}} \\ &= 80 \, \text{km/h} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La vitesse moyenne sur le segment 1 est \(v_1 = 80 \, \text{km/h}\).

Question 2 : Temps (\(t_2\)) pour parcourir le segment 2

Principe :

Le temps est la distance divisée par la vitesse.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ t = \frac{d}{v} \]
Données spécifiques :
  • \(d_2 = 180 \, \text{km}\)
  • \(v_2 = 90 \, \text{km/h}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_2 &= \frac{180 \, \text{km}}{90 \, \text{km/h}} \\ &= 2.0 \, \text{heures} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le temps mis pour parcourir le segment 2 est \(t_2 = 2.0 \, \text{heures}\).

Question 3 : Distance totale (\(d_{\text{totale}}\))

Principe :

La distance totale est la somme des distances des deux segments.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ d_{\text{totale}} = d_1 + d_2 \]
Données spécifiques :
  • \(d_1 = 120 \, \text{km}\)
  • \(d_2 = 180 \, \text{km}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d_{\text{totale}} &= 120 \, \text{km} + 180 \, \text{km} \\ &= 300 \, \text{km} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La distance totale parcourue est \(d_{\text{totale}} = 300 \, \text{km}\).

Question 4 : Temps total (\(t_{\text{total}}\)) du voyage

Principe :

Le temps total est la somme des temps de parcours des segments et du temps d'arrêt. Le temps d'arrêt doit être converti en heures.

Conversion du temps d'arrêt :
\[ t_{\text{arrêt}} = 30 \, \text{minutes} = 30 \times \frac{1}{60} \, \text{heures} = 0.5 \, \text{heures} \]
Formule(s) utilisée(s) :
\[ t_{\text{total}} = t_1 + t_{\text{arrêt}} + t_2 \]
Données spécifiques :
  • \(t_1 = 1.5 \, \text{heures}\)
  • \(t_{\text{arrêt}} = 0.5 \, \text{heures}\)
  • \(t_2 = 2.0 \, \text{heures}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_{\text{total}} &= 1.5 \, \text{h} + 0.5 \, \text{h} + 2.0 \, \text{h} \\ &= 4.0 \, \text{heures} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le temps total du voyage est \(t_{\text{total}} = 4.0 \, \text{heures}\).

Question 5 : Vitesse moyenne (\(v_{\text{moyenne}}\)) pour l'ensemble du trajet

Principe :

La vitesse moyenne est la distance totale divisée par le temps total.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_{\text{moyenne}} = \frac{d_{\text{totale}}}{t_{\text{total}}} \]
Données spécifiques :
  • \(d_{\text{totale}} = 300 \, \text{km}\)
  • \(t_{\text{total}} = 4.0 \, \text{heures}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{\text{moyenne}} &= \frac{300 \, \text{km}}{4.0 \, \text{h}} \\ &= 75 \, \text{km/h} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La vitesse moyenne pour l'ensemble du trajet est \(v_{\text{moyenne}} = 75 \, \text{km/h}\).

Question 6 : Comparaison avec la moyenne des vitesses

Principe :

La moyenne arithmétique des vitesses des segments (\((v_1 + v_2)/2\)) n'est égale à la vitesse moyenne du trajet que si les durées de parcours à ces vitesses sont égales (ou si les distances sont égales et les temps proportionnels).

Calcul de la moyenne des vitesses :
  • \(v_1 = 80 \, \text{km/h}\)
  • \(v_2 = 90 \, \text{km/h}\)
\[ \text{Moyenne des vitesses} = \frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{80 \, \text{km/h} + 90 \, \text{km/h}}{2} = \frac{170}{2} \, \text{km/h} = 85 \, \text{km/h} \]
Comparaison et explication :

La vitesse moyenne calculée (\(75 \, \text{km/h}\)) est différente de la moyenne des vitesses (\(85 \, \text{km/h}\)).

Cela s'explique par le fait que la voiture n'a pas passé le même temps à rouler à chaque vitesse. La vitesse moyenne tient compte de la durée totale du trajet et de la distance totale, tandis que la simple moyenne des vitesses ne pondère pas par les durées ou les distances. Le temps d'arrêt influence également la vitesse moyenne globale (en l'abaissant) mais n'est pas pris en compte dans une simple moyenne des vitesses de conduite.

Résultat Question 6 : La moyenne des vitesses (\(85 \, \text{km/h}\)) est différente de la vitesse moyenne du trajet (\(75 \, \text{km/h}\)) car les durées et les distances des segments ne sont pas telles qu'une simple moyenne arithmétique des vitesses serait représentative. De plus, le temps d'arrêt affecte la vitesse moyenne globale.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La vitesse moyenne est calculée par :

2. Si un trajet est composé de deux segments de même distance, mais que la vitesse sur le premier segment est double de celle sur le second, la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet sera :

Indice : On passe plus de temps sur le segment où la vitesse est plus faible.

3. Pour convertir des minutes en heures, on :

4. Si une voiture parcourt \(200 \, \text{km}\) en \(2.5 \, \text{heures}\), sa vitesse moyenne est de :

Glossaire

Vitesse
Grandeur physique qui mesure le rapport d'une distance parcourue par le temps mis pour la parcourir. Unité SI : mètre par seconde (m/s). Couramment utilisée : kilomètre par heure (km/h).
Vitesse Moyenne
Rapport de la distance totale parcourue au temps total nécessaire pour effectuer ce parcours. Elle ne tient pas compte des variations de vitesse durant le trajet.
Vitesse Instantanée
Vitesse d'un objet à un instant précis. C'est la limite de la vitesse moyenne lorsque l'intervalle de temps tend vers zéro.
Distance
Mesure de la longueur du chemin parcouru par un objet.
Temps
Mesure de la durée d'un événement ou de l'intervalle entre deux événements.
Trajet
Chemin parcouru par un mobile d'un point de départ à un point d'arrivée.
Segment de Trajet
Partie d'un trajet global, souvent caractérisée par une vitesse ou une durée spécifique.
Calcul de la Vitesse Moyenne d’un Trajet Routier - Exercice d'Application

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