Bloc sur plan incliné avec frottements

Principe :

Un diagramme des forces représente l'objet et toutes les forces extérieures agissant sur lui. Pour un plan incliné, on choisit généralement l'axe x parallèle à la pente et l'axe y perpendiculaire.

Diagramme des Forces :

Description des forces et Choix des axes :

• Poids (\(\vec{P}\)) : Dirigé verticalement vers le bas.
• Force Normale (\(\vec{N}\)) : Perpendiculaire au plan, dirigée vers le haut.
• Force de Frottement (\(\vec{f}\)) : Parallèle au plan, s'opposant à la tendance au mouvement (donc dirigée vers le haut de la pente si le bloc tend à glisser vers le bas).

Choix des axes : Axe x parallèle au plan incliné, orienté positivement vers le bas de la pente. Axe y perpendiculaire au plan incliné, orienté positivement vers le haut (sortant du plan).

Principe :

Le poids \(\vec{P}\) est décomposé. L'angle \(\theta\) du plan se retrouve entre le vecteur poids et la perpendiculaire au plan (direction de l'axe y, mais opposée à \(P_y\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(m = 10.0 \, \text{kg}\)
• \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
• \(\theta = 37.0^{\circ}\)
• \(\sin(37.0^{\circ}) \approx 0.6018\)
• \(\cos(37.0^{\circ}) \approx 0.7986\)

Calcul :

Intensité du poids :

Composante \(P_x\) (selon l'axe x positif) :

Composante \(P_y\) (opposée à l'axe y positif) :

Principe :

Pas de mouvement perpendiculaire au plan (\(a_y = 0\)). La somme des forces selon y est nulle.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(P_y \approx -78.34266 \, \text{N}\)

Calcul :

Principe :

\(f_{s,max} = \mu_s N\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(\mu_s = 0.50\)
• \(N \approx 78.34266 \, \text{N}\)

Calcul :

Principe :

Le bloc se met en mouvement si la composante du poids parallèle au plan (\(P_x\)), qui tend à faire descendre le bloc, est supérieure à la force de frottement statique maximale (\(f_{s,max}\)) qui peut s'y opposer.

Données spécifiques :

• \(P_x \approx 59.03658 \, \text{N}\)
• \(f_{s,max} \approx 39.17133 \, \text{N}\)

Analyse :

Comparons \(P_x\) à \(f_{s,max}\) :

\(59.03658 \, \text{N}\) (force tendant à faire descendre) vs \(39.17133 \, \text{N}\) (frottement statique max opposé).

Puisque \(P_x > f_{s,max}\), la force motrice est suffisante pour vaincre le frottement statique maximal.

Principe :

Puisque le bloc est en mouvement, la force de frottement agissant est la force de frottement cinétique, \(f_k = \mu_k N\). Elle est dirigée vers le haut de la pente, s'opposant au mouvement.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(\mu_k = 0.30\)
• \(N \approx 78.34266 \, \text{N}\)

Calcul :

Principe :

On applique la deuxième loi de Newton (\(\sum F_x = ma_x\)) le long de l'axe x (parallèle au plan, positif vers le bas). Les forces agissant selon x sont \(P_x\) (positive) et \(f_k\) (négative, car elle s'oppose au mouvement vers le bas).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(P_x \approx 59.03658 \, \text{N}\)
• \(f_k \approx 23.5028 \, \text{N}\)
• \(m = 10.0 \, \text{kg}\)

Calcul :

Principe :

Le bloc part du repos (\(v_{0x, \text{plan}} = 0\)) et subit une accélération constante \(a\). On utilise l'équation du mouvement uniformément varié : \(d = v_{0x, \text{plan}} t + \frac{1}{2} a t^2\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(d = 3.0 \, \text{m}\)
• \(a \approx 3.553378 \, \text{m/s}^2\)

Calcul :