Calcul de Pression dans un Réacteur Chimique

Contexte : La thermodynamique chimiqueBranche de la chimie qui étudie les échanges d'énergie (chaleur, travail) lors des réactions chimiques..

En ingénierie chimique, la maîtrise des conditions opératoires comme la pression et la température est cruciale. Elle garantit non seulement la sécurité des installations, mais aussi l'optimisation du rendement des réactions. Cet exercice se concentre sur le calcul de la pression finale dans un réacteur à volume constant après une réaction en phase gazeuse, en utilisant la loi des gaz parfaitsLoi physique qui décrit le comportement des gaz sous certaines conditions idéalisées. Elle relie la pression, le volume, la quantité de matière et la température..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à combiner la stœchiométrie d'une réaction avec la loi des gaz parfaits pour prédire l'état final d'un système fermé, une compétence fondamentale en génie des procédés.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi des gaz parfaits ($PV=nRT$) à un système réactionnel.
Établir un tableau d'avancement pour déterminer la composition finale du mélange.
Identifier le réactif limitant et son impact sur la réaction.
Calculer la quantité totale de matière (moles) dans un mélange gazeux.

Données de l'étude

On étudie la synthèse de l'ammoniac ($NH_3$) à partir de diazote ($N_2$) et de dihydrogène ($H_2$) en phase gazeuse dans un réacteur fermé de volume constant. On considère que la réaction est totale et que les gaz se comportent comme des gaz parfaits.

Conditions Initiales

Schéma du Réacteur à l'État Initial

Paramètre	Symbole	Valeur
Volume du réacteur	$V$	$100 \text{ L}$
Température (constante)	$T$	$500 \text{ K}$
Quantité initiale de diazote	$n_{\text{N}_2, \text{init}}$	$5 \text{ mol}$
Quantité initiale de dihydrogène	$n_{\text{H}_2, \text{init}}$	$12 \text{ mol}$
Constante des gaz parfaits	$R$	$8,314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}$

Questions à traiter

Écrire l'équation chimique équilibrée de la synthèse de l'ammoniac.
Déterminer le réactif limitant de la réaction.
Construire le tableau d'avancement et calculer les quantités de matière (en moles) de chaque espèce à la fin de la réaction.
Calculer la quantité de matière totale ($n_{\text{totale}}$) de gaz dans le réacteur à l'état final.
En déduire la pression finale ($P_{\text{finale}}$) dans le réacteur en Pascals (Pa), puis en bars.

Les bases de la Thermodynamique des Gaz

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur deux concepts fondamentaux : la stœchiométrie et la loi des gaz parfaits.

1. La Stœchiométrie et le Tableau d'Avancement
La stœchiométrie étudie les proportions dans lesquelles les réactifs se combinent et les produits se forment. Le tableau d'avancement est un outil qui permet de suivre les quantités de matière de chaque espèce chimique au cours de la réaction, de l'état initial à l'état final. L'avancement, noté $x$, mesure la "progression" de la réaction. Pour une réaction totale, l'avancement est maximal ($x_{\text{max}}$) et est limité par le réactif qui s'épuise en premier : le réactif limitant.

2. La Loi des Gaz Parfaits
Elle décrit la relation entre la pression ($P$), le volume ($V$), la quantité de matière ($n$) et la température ($T$) d'un gaz. Elle est essentielle pour calculer l'état d'un système gazeux.

\[ PV = nRT \]

$P$ : Pression en Pascals ($\text{Pa}$)
$V$ : Volume en mètres cubes ($\text{m}^3$)
$n$ : Quantité de matière en moles ($\text{mol}$)
$R$ : Constante des gaz parfaits ($8,314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}$)
$T$ : Température en Kelvin ($\text{K}$)

Correction : Calcul de Pression dans un Réacteur Chimique

Question 1 : Écrire l'équation chimique équilibrée

Principe (le concept physique)

Le principe fondamental est la loi de conservation de la matière, formulée par Lavoisier. Dans une réaction chimique, les atomes ne sont ni créés ni détruits, ils sont simplement réarrangés. Une équation équilibrée est une représentation symbolique qui respecte cette conservation pour chaque élément chimique.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour équilibrer une équation, on ajuste des nombres, appelés coefficients stœchiométriques, placés devant les formules chimiques des réactifs et des produits. L'objectif est d'avoir le même nombre d'atomes de chaque élément de part et d'autre de la flèche de réaction. On ne doit jamais modifier les indices dans les formules chimiques (par exemple, changer H₂O en H₃O).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Commencez par les éléments qui apparaissent dans le moins de composés possible. Ici, l'azote (N) n'est que dans $N_2$ et $NH_3$. Équilibrez-le en premier, puis passez à l'hydrogène (H). Comptez les atomes à chaque étape pour vérifier.

Normes (la référence réglementaire)

L'équilibrage des équations chimiques n'est pas régi par une norme d'ingénierie (comme un Eurocode), mais par les lois fondamentales de la chimie. C'est une convention universelle adoptée par l'Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (UICPA).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Il n'y a pas de formule à proprement parler, mais une méthode de comptage :

\sum (\text{Atomes d'un élément})_{\text{réactifs}} = \sum (\text{Atomes du même élément})_{\text{produits}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les réactifs ($N_2$ et $H_2$) et le produit ($NH_3$) sont les seules espèces chimiques impliquées dans la réaction principale.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Ces données proviennent de l'énoncé de l'exercice, qui définit les réactifs et le produit de la synthèse.

Rôle	Nom	Formule
Réactif	Diazote	$N_2$
Réactif	Dihydrogène	$H_2$
Produit	Ammoniac	$NH_3$

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour les réactions simples, vous pouvez traiter les groupements polyatomiques comme une seule entité s'ils apparaissent inchangés des deux côtés (ce qui n'est pas le cas ici). L'équilibrage devient alors plus rapide.

Schéma (Avant les calculs)

Un schéma de balance à plateaux peut illustrer le déséquilibre initial des atomes entre les réactifs et les produits avant l'ajustement des coefficients.

Déséquilibre atomique initial

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Équation de départ

On commence avec les réactifs à gauche et le produit à droite, sans coefficients.

N_2 + H_2 \rightarrow NH_3

Étape 2 : Équilibrage des atomes d'azote (N)

On observe 2 atomes d'azote dans la molécule de $N_2$ à gauche et 1 seul dans $NH_3$ à droite. On ajoute donc un coefficient 2 devant $NH_3$ pour avoir 2 atomes d'azote de chaque côté.

N_2 + H_2 \rightarrow 2 NH_3

Étape 3 : Équilibrage des atomes d'hydrogène (H)

Après l'étape 2, on a $2 \times 3 = 6$ atomes d'hydrogène à droite, mais seulement 2 à gauche dans $H_2$. On ajoute un coefficient 3 devant $H_2$ pour obtenir 6 atomes d'hydrogène à gauche.

N_2 + 3 H_2 \rightarrow 2 NH_3

Étape 4 : Vérification finale

On recompte les atomes de chaque côté pour confirmer l'équilibre.
Côté réactifs : 2 atomes N, $3 \times 2 = 6$ atomes H.
Côté produits : $2 \times 1 = 2$ atomes N, $2 \times 3 = 6$ atomes H.
L'équation est bien équilibrée.

Schéma (Après les calculs)

Une fois les coefficients stœchiométriques corrects appliqués, les balances atomiques pour chaque élément sont à l'équilibre.

Équilibre stœchiométrique atteint

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour maîtriser cette étape, retenez qu'il faut :
1. Identifier tous les réactifs et produits.
2. Compter les atomes de chaque élément de chaque côté.
3. Ajuster les coefficients (et non les indices) jusqu'à ce que le compte soit égal pour chaque élément.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'équation chimique équilibrée est : $N_2{_\text{(g)}} + 3 H_2{_\text{(g)}} \rightarrow 2 NH_3{_\text{(g)}}$.

Question 2 : Détermination du réactif limitant

Principe (le concept physique)

Dans une recette de cuisine, si vous avez assez de farine pour 3 gâteaux mais seulement assez d'œufs pour 1, les œufs vous "limitent". Le réactif limitant est le "ingrédient" chimique qui s'épuise en premier et qui dicte la quantité maximale de "plat" (produit) que l'on peut former.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour identifier le limitant, on ne compare pas directement les quantités de matière initiales, mais on les rapporte à la stœchiométrie de la réaction. On calcule pour chaque réactif le rapport : (quantité de matière initiale) / (coefficient stœchiométrique). Le réactif qui présente le plus petit rapport est le réactif limitant. Ce plus petit rapport est égal à l'avancement maximal, $x_{\text{max}}$.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne tombez pas dans le piège de penser que le réactif avec le moins de moles au départ est forcément le limitant. C'est une erreur classique. La comparaison des rapports est la seule méthode fiable.

Normes (la référence réglementaire)

Ce concept découle directement de la loi des proportions définies de Proust, un principe fondamental de la chimie, et non d'une norme industrielle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On calcule et compare les rapports suivants :

\frac{n_{\text{N}_2, \text{init}}}{\text{coeff. de } \text{N}_2} \quad ; \quad \frac{n_{\text{H}_2, \text{init}}}{\text{coeff. de } \text{H}_2}

Le réactif avec le plus petit rapport est le limitant.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la réaction se déroule bien selon l'équation $N_2 + 3 H_2 \rightarrow 2 NH_3$ et qu'elle est totale (elle se poursuit jusqu'à épuisement du réactif limitant).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les quantités de matière initiales sont issues de l'énoncé, tandis que les coefficients stœchiométriques proviennent de l'équation équilibrée à la question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité initiale de diazote	$n_{\text{N}_2, \text{init}}$	5	$\text{mol}$
Quantité initiale de dihydrogène	$n_{\text{H}_2, \text{init}}$	12	$\text{mol}$
Coefficients stœchiométriques		1 pour $N_2$, 3 pour $H_2$	-

Astuces (Pour aller plus vite)

Mentalement, vous pouvez vous demander : "Avec mes 5 moles de $N_2$, combien de $H_2$ me faudrait-il ?" Réponse : $5 \times 3 = 15$ mol. "Or, je n'en ai que 12. Il va donc me manquer du $H_2$." Conclusion : $H_2$ est le limitant. C'est une façon intuitive de vérifier le calcul des rapports.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma compare les "ingrédients" disponibles à la "recette" requise par la stœchiométrie pour former des "lots" de produits.

Comparaison Recette vs. Inventaire

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du rapport pour le diazote ($N_2$)

\begin{aligned} \text{Rapport pour N}_2 : \frac{n_{\text{N}_2, \text{init}}}{1} &= \frac{5}{1} \\ &= 5 \text{ mol} \end{aligned}

Calcul du rapport pour le dihydrogène ($H_2$)

\begin{aligned} \text{Rapport pour H}_2 : \frac{n_{\text{H}_2, \text{init}}}{3} &= \frac{12}{3} \\ &= 4 \text{ mol} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul montre que l'on ne peut faire que 4 "lots" de réaction avant d'être à court de dihydrogène.

Épuisement du réactif limitant

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le rapport pour le dihydrogène (4 mol) est inférieur à celui du diazote (5 mol). Cela signifie que le dihydrogène sera entièrement consommé alors qu'il restera encore du diazote. Le dihydrogène limite donc la progression de la réaction. L'avancement maximal $x_{\text{max}}$ sera de 4 mol.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur principale est de comparer les moles initiales (12 > 5) et d'en conclure à tort que $N_2$ est le limitant. Il faut impérativement diviser par les coefficients stœchiométriques.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Retenez la méthode en 2 étapes :
1. Calculer le rapport $n_{\text{initial}} / \text{coefficient}$ pour chaque réactif.
2. Le réactif avec le plus petit rapport est le limitant. Ce rapport est la valeur de $x_{\text{max}}$.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La synthèse de l'ammoniac (procédé Haber-Bosch) est l'une des inventions les plus importantes du 20ème siècle. Elle a permis la production massive d'engrais azotés, révolutionnant l'agriculture mondiale. La gestion du réactif limitant et des réactifs en excès est un enjeu économique et technique majeur dans ces usines.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le réactif limitant est le dihydrogène ($H_2$).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on avait introduit 18 mol de $H_2$ au lieu de 12, quel aurait été le réactif limitant ?

Question 3 : Tableau d'avancement et quantités finales

Principe (le concept physique)

Le tableau d'avancement est un outil comptable qui suit la loi de conservation de la matière. Il permet de visualiser comment les quantités de réactifs diminuent et celles des produits augmentent au fur et à mesure que la réaction progresse, en se basant sur un paramètre unique : l'avancement $x$.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un tableau d'avancement a typiquement trois lignes : état initial ($x=0$), état intermédiaire (avancement $x$), et état final ($x=x_{\text{max}}$). Pour une réaction $aA + bB \rightarrow cC$, les quantités à un avancement $x$ sont :
• $n_A = n_{A, \text{init}} - ax$
• $n_B = n_{B, \text{init}} - bx$
• $n_C = n_{C, \text{init}} + cx$
À l'état final, on remplace $x$ par $x_{\text{max}}$ (déterminé par le réactif limitant).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prenez l'habitude de toujours construire ce tableau, même pour des problèmes simples. C'est une méthode systématique qui vous empêche d'oublier des termes et vous aide à structurer votre raisonnement, surtout pour des réactions plus complexes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule pour les réactifs consommés :

n_{\text{réactif, final}} = n_{\text{réactif, initial}} - (\text{coeff.}) \times x_{\text{max}}

Formule pour les produits formés :

n_{\text{produit, final}} = n_{\text{produit, initial}} + (\text{coeff.}) \times x_{\text{max}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On se base sur le fait que la réaction est totale, donc l'avancement atteint sa valeur maximale, $x_{\text{max}}$, qui a été calculée à 4 mol dans la question précédente.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les quantités initiales sont tirées de l'énoncé, et la valeur de l'avancement maximal ($x_{\text{max}}$) a été calculée à la question 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité initiale de diazote	$n_{\text{N}_2, \text{init}}$	5	mol
Quantité initiale de dihydrogène	$n_{\text{H}_2, \text{init}}$	12	mol
Quantité initiale d'ammoniac	$n_{\text{NH}_3, \text{init}}$	0	mol
Avancement maximal	$x_{\text{max}}$	4	mol

Schéma (Avant les calculs)

Le tableau d'avancement est l'outil visuel qui prépare le calcul. Il structure les données initiales et les relations pour l'état final.

Équation	$N_2$	+	$3 H_2$	$\rightarrow$	$2 NH_3$
État Initial ($\text{mol}$)	5		12		0
État Final ($\text{mol}$)	$5 - x_{\text{max}}$		$12 - 3x_{\text{max}}$		$2x_{\text{max}}$

Calcul(s) (l'application numérique)

On remplace $x_{\text{max}}$ par sa valeur (4 mol) dans les expressions de l'état final.

Calcul de la quantité finale de diazote ($N_2$)

\begin{aligned} n_{\text{N}_2, \text{final}} &= 5 - 4 \\ &= 1 \text{ mol} \end{aligned}

Calcul de la quantité finale de dihydrogène ($H_2$)

\begin{aligned} n_{\text{H}_2, \text{final}} &= 12 - 3 \times 4 \\ &= 12 - 12 \\ &= 0 \text{ mol} \end{aligned}

Calcul de la quantité finale d'ammoniac ($NH_3$)

\begin{aligned} n_{\text{NH}_3, \text{final}} &= 0 + 2 \times 4 \\ &= 8 \text{ mol} \end{aligned}

Tableau d'avancement final

En résumé, voici le tableau d'avancement complété avec les valeurs finales.

Équation	$N_2$	+	$3 H_2$	$\rightarrow$	$2 NH_3$
État Initial ($\text{mol}$)	5		12		0
État Final ($\text{mol}$)	1		0		8

Schéma (Après les calculs)

Composition molaire du mélange final. Le dihydrogène a complètement disparu.

Répartition Finale des Moles (HTML/SVG)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul confirme que le réactif limitant ($H_2$) est bien à 0 mol à la fin. Il reste 1 mole de réactif en excès ($N_2$) et 8 moles de produit ($NH_3$) ont été créées. Le système n'est plus un mélange de réactifs, mais un mélange de produit et d'un réactif.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est de mal utiliser les coefficients stœchiométriques. N'oubliez pas de les multiplier par $x_{max}$ (par exemple, $3 \times x_{\text{max}}$ pour $H_2$). Une autre erreur est d'oublier le signe : négatif pour les réactifs (consommés), positif pour les produits (formés).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le tableau d'avancement est votre feuille de route. Une fois $x_{\text{max}}$ trouvé, le reste n'est qu'une application numérique systématique pour trouver les quantités finales de chaque composé, y compris les produits et les réactifs en excès.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les réacteurs industriels, on atteint rarement une réaction "totale". On parle plutôt d'équilibre chimique, où la réaction directe et la réaction inverse se produisent à la même vitesse. Le tableau d'avancement est alors utilisé avec un avancement à l'équilibre $x_{eq}$, inférieur à $x_{max}$.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

À l'état final, les quantités de matière sont : $n_{\text{N}_2} = 1 \text{ mol}$, $n_{\text{H}_2} = 0 \text{ mol}$, et $n_{\text{NH}_3} = 8 \text{ mol}$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec les conditions de la question 2 ($n_{\text{H}_2, \text{init}} = 18 \text{ mol}$), quelle serait la quantité finale de $NH_3$ ?

Question 4 : Quantité de matière totale finale

Principe (le concept physique)

Conformément à la loi de Dalton, dans un mélange de gaz, chaque gaz contribue au comportement global du système. Pour appliquer la loi des gaz parfaits au mélange, nous avons besoin de la quantité totale de molécules de gaz, qui est simplement la somme des quantités de chaque gaz présent.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La quantité de matière totale d'un mélange, $n_{\text{totale}}$, est une propriété extensive, ce qui signifie qu'elle est la somme des quantités de ses parties constituantes. Pour un mélange gazeux de $k$ composants, on a : $n_{\text{totale}} = n_1 + n_2 + ... + n_k = \sum_{i=1}^{k} n_i$.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette étape est un pont essentiel entre la chimie de la réaction (stœchiométrie) et la physique des gaz (thermodynamique). Assurez-vous d'inclure toutes les espèces gazeuses restantes à l'état final, y compris le réactif en excès qui n'a pas réagi.

Formule(s) (l'outil mathématique)

n_{\text{totale, final}} = \sum n_{i, \text{final}} = n_{\text{N}_2, \text{final}} + n_{\text{H}_2, \text{final}} + n_{\text{NH}_3, \text{final}}

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre les différentes populations de molécules gazeuses présentes dans le réacteur à la fin de la réaction, qu'il faut maintenant additionner.

Composants du Mélange Final

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Ces valeurs correspondent aux quantités de matière finales calculées dans le tableau d'avancement de la question 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité finale de diazote	$n_{\text{N}_2, \text{final}}$	1	mol
Quantité finale de dihydrogène	$n_{\text{H}_2, \text{final}}$	0	mol
Quantité finale d'ammoniac	$n_{\text{NH}_3, \text{final}}$	8	mol

Calcul(s) (l'application numérique)

Somme des quantités de matière finales

\begin{aligned} n_{\text{totale, final}} &= 1 + 0 + 8 \\ &= 9 \text{ mol} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma final montre le regroupement de toutes les molécules en une seule quantité totale, prête à être utilisée dans la loi des gaz parfaits.

Quantité Totale de Gaz

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le nombre total de moles a diminué, passant de $5+12=17$ mol au début à 9 mol à la fin. Cela est dû à la stœchiométrie : 4 moles de réactifs ($1 N_2 + 3 H_2$) ne produisent que 2 moles de produit. Cette diminution du nombre de molécules de gaz aura un effet direct sur la pression finale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas oublier le réactif en excès ! Une erreur fréquente est de ne compter que les moles de produit formé. Toutes les molécules de gaz présentes dans le réacteur à la fin contribuent à la pression.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le "n" dans la loi des gaz parfaits $PV=nRT$ pour un mélange est TOUJOURS le nombre total de moles de gaz dans ce mélange. C'est la somme de tout ce qui reste à la fin.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La quantité de matière totale de gaz à l'état final est de 9 mol.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle était la quantité de matière totale initiale ($n_{\text{totale, init}}$) ?

Question 5 : Pression finale dans le réacteur

Principe (le concept physique)

La loi des gaz parfaits ($PV=nRT$) est une équation d'état qui relie les propriétés macroscopiques d'un gaz. Connaissant le volume du réacteur, la température du système et la quantité totale de gaz calculée précédemment, on peut isoler et calculer la dernière variable inconnue : la pression finale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La pression d'un gaz résulte des innombrables collisions des molécules de ce gaz avec les parois du contenant. La loi des gaz parfaits montre que cette pression est directement proportionnelle au nombre de molécules (moles, $n$) et à leur énergie cinétique moyenne (liée à la température, $T$).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le point le plus critique dans l'application de cette loi est la cohérence des unités. La valeur de la constante R que vous utilisez (ici, 8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹) impose l'utilisation stricte des unités du Système International (SI).

Normes (la référence réglementaire)

L'utilisation du Système International d'unités (SI) est la norme mondiale pour les calculs scientifiques et techniques, établie par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la loi des gaz parfaits réarrangée pour la pression :

P_{\text{finale}} = \frac{n_{\text{totale, final}} \cdot R \cdot T}{V}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le mélange gazeux final ($N_2$ et $NH_3$) se comporte comme un gaz parfait unique, ce qui est une bonne approximation dans les conditions données (haute température).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

La quantité totale de matière finale a été déterminée à la question 4. Le volume, la température et la constante R sont des données de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité SI
Quantité totale finale	$n_{\text{totale}}$	$9 \text{ mol}$	$\text{mol}$
Volume	$V$	$100 \text{ L}$	$0.1 \text{ m}^3$
Température	$T$	$500 \text{ K}$	$\text{K}$
Constante des gaz	$R$	8.314	$\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}$

Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque V et T sont constants, on peut utiliser la relation $\frac{P_{\text{finale}}}{P_{\text{initiale}}} = \frac{n_{\text{finale}}}{n_{\text{initiale}}}$. Si vous calculez la pression initiale (avec $n_{\text{init}}=17$ mol), vous pouvez trouver la pression finale par une simple proportion : $P_{\text{finale}} = P_{\text{initiale}} \times \frac{9}{17}$.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma représente le système à l'état final, avec toutes les grandeurs connues et la pression comme seule inconnue à déterminer.

Système Final Prêt pour le Calcul de Pression

Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion du volume en unités SI

\begin{aligned} V &= 100 \text{ L} \\ &= 100 \text{ dm}^3 \\ &= 100 \times 10^{-3} \text{ m}^3 \\ &= 0.1 \text{ m}^3 \end{aligned}

Application numérique de la loi des gaz parfaits

P_{\text{finale}} = \frac{9 \text{ mol} \times 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \times 500 \text{ K}}{0.1 \text{ m}^3}

Calcul de la pression en Pascals

\begin{aligned} P_{\text{finale}} &= \frac{37413}{0.1} \\ &= 374130 \text{ Pa} \end{aligned}

Conversion de la pression en bars

\begin{aligned} P_{\text{finale}} (\text{en bar}) &= \frac{374130 \text{ Pa}}{10^5 \text{ Pa/bar}} \\ &\approx 3.74 \text{ bar} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le même schéma que précédemment, mais la valeur de la pression est maintenant connue et affichée sur le manomètre.

Résultat : Pression Finale Calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La pression finale calculée est de 3,74 bar. C'est une pression modérée pour un réacteur chimique. La pression a considérablement diminué par rapport à la pression initiale (qui était de 7,07 bar), ce qui est une conséquence directe de la diminution du nombre total de moles de gaz due à la réaction.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Trois erreurs classiques :
1. Oublier de convertir les Litres en m³.
2. Utiliser la température en degrés Celsius au lieu de Kelvin.
3. Utiliser une mauvaise valeur de la constante R (par ex. $0.0821 \text{ L} \cdot \text{atm} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}$, qui requiert d'autres unités).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La séquence de résolution est :
1. Stœchiométrie pour trouver $n_{\text{final}}$.
2. Conversion de toutes les données en unités SI.
3. Application de $P=nRT/V$. C'est la méthode infaillible pour les problèmes de gaz parfaits.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le procédé Haber-Bosch industriel se déroule à des pressions bien plus élevées (150-250 bars) et des températures similaires (400-500 °C). À ces pressions, le comportement des gaz est loin d'être idéal. Les ingénieurs utilisent des modèles thermodynamiques complexes (équations d'état cubiques) pour prédire avec précision la pression et les équilibres de phase.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La pression finale dans le réacteur est de 374 130 Pa, soit environ 3,74 bar.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la température était doublée à 1000 K, quelle serait la pression finale en bars, sans refaire tout le calcul ?

Outil Interactif : Simulateur de Pression

Utilisez les curseurs pour faire varier la quantité initiale de dihydrogène ($H_2$) et la température ($T$) du réacteur. Observez en temps réel l'impact sur le réactif limitant et la pression finale. Le volume est fixé à 100 L et $n_{\text{N}_2}$ à 5 mol.

Paramètres d'Entrée

Quantité de $H_2$ initiale (mol) 12 mol

Température (K) 500 K

Résultats Clés

Réactif Limitant -

Pression Finale (bar) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans la loi des gaz parfaits $PV=nRT$, quelle est l'unité de la température $T$ dans le Système International ?

Degré Celsius (°C)
Degré Fahrenheit (°F)
Kelvin (K)

2. Pour la réaction $N_2 + 3H_2 \rightarrow 2NH_3$, si la quantité totale de moles diminue, qu'advient-il de la pression à volume et température constants ?

Elle augmente
Elle diminue
Elle reste constante

3. Si on double la température (en K) d'un gaz parfait dans un réacteur fermé, comment évolue la pression ?

Elle double
Elle est divisée par deux
Elle est multipliée par quatre

Loi des Gaz Parfaits: Équation d'état ($PV=nRT$) décrivant le comportement des gaz sous de faibles pressions et hautes températures. Elle relie les variables macroscopiques d'un gaz.
Réactif Limitant: Réactif qui est complètement consommé lors d'une réaction chimique et qui détermine la quantité maximale de produit pouvant être formé.
Stœchiométrie: Étude des relations quantitatives (en moles, masse, volume) entre les réactifs et les produits dans une réaction chimique.
Pression: Force exercée par un fluide (gaz ou liquide) par unité de surface. L'unité SI est le Pascal (Pa).

Paramètre	Symbole	Valeur
Volume du réacteur	\(V\)	\(100 \text{ L}\)
Température (constante)	\(T\)	\(500 \text{ K}\)
Quantité initiale de diazote	\(n_{\text{N}_2, \text{init}}\)	\(5 \text{ mol}\)
Quantité initiale de dihydrogène	\(n_{\text{H}_2, \text{init}}\)	\(12 \text{ mol}\)
Constante des gaz parfaits	\(R\)	\(8,314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Équation	\(N_2\)	+	\(3 H_2\)	$\rightarrow$	\(2 NH_3\)
État Initial (\(\text{mol}\))	5		12		0
État Final (\(\text{mol}\))	\(5 - x_{\text{max}}\)		\(12 - 3x_{\text{max}}\)		\(2x_{\text{max}}\)

Équation	\(N_2\)	+	\(3 H_2\)	$\rightarrow$	\(2 NH_3\)
État Initial (\(\text{mol}\))	5		12		0
État Final (\(\text{mol}\))	1		0		8

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité SI
Quantité totale finale	\(n_{\text{totale}}\)	\(9 \text{ mol}\)	\(\text{mol}\)
Volume	\(V\)	\(100 \text{ L}\)	\(0.1 \text{ m}^3\)
Température	\(T\)	\(500 \text{ K}\)	\(\text{K}\)
Constante des gaz	\(R\)	8.314	\(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)