ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de Pression dans un Réacteur Chimique

Calcul de Pression dans un Réacteur Chimique en Thermodynamique

Calcul de Pression dans un Réacteur Chimique

Comprendre la Pression dans les Réacteurs Chimiques

La pression est une grandeur thermodynamique cruciale dans la conception et l'exploitation des réacteurs chimiques. Elle influence la vitesse des réactions (surtout pour les réactions en phase gazeuse), la position des équilibres chimiques, et la sécurité des installations. Pour les gaz, la pression est directement liée au nombre de moles, au volume du réacteur et à la température, comme décrit par l'équation d'état des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) dans des conditions idéales. Les réactions chimiques peuvent modifier le nombre total de moles de gaz dans un réacteur à volume constant, entraînant ainsi des variations de pression si la température change ou reste constante. La surveillance et le contrôle de la pression sont donc essentiels en génie chimique.

Données du Problème

Un réacteur fermé de volume fixe contient initialement un mélange de dioxyde de soufre (SO₂) et de dioxygène (O₂). La réaction suivante se produit :

\[ 2\text{SO}_2\text{(g)} + \text{O}_2\text{(g)} \rightarrow 2\text{SO}_3\text{(g)} \]
  • Volume du réacteur (\(V\)) : \(10.0 \, \text{L}\)
  • Nombre initial de moles de SO₂ (\(n_{\text{SO}_2, \text{init}}\)) : \(0.500 \, \text{mol}\)
  • Nombre initial de moles de O₂ (\(n_{\text{O}_2, \text{init}}\)) : \(0.300 \, \text{mol}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(400 \, \text{K}\)
  • La réaction se déroule jusqu'à ce que 80.0% du réactif limitant soit consommé.
  • Température finale après la réaction (\(T_2\)) : \(500 \, \text{K}\)

Constante utile :

  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) (Note: \(1 \, \text{Pa} = 1 \, \text{N/m}^2\), \(1 \, \text{J} = 1 \, \text{N}\cdot\text{m}\))
Schéma : Réacteur Chimique à Volume Constant
Réacteur Fermé (V = Cte) P État Initial (T₁) SO₂, O₂ →

Réaction en phase gazeuse dans un réacteur fermé à volume constant.

Questions à traiter

  1. Convertir le volume du réacteur en mètres cubes (\(\text{m}^3\)).
  2. Calculer le nombre total de moles de gaz initiales (\(n_{\text{total, init}}\)).
  3. Calculer la pression totale initiale (\(P_1\)) dans le réacteur en Pascals (Pa).
  4. Déterminer le réactif limitant pour la réaction.
  5. Calculer le nombre de moles de SO₂, O₂ et SO₃ présentes dans le réacteur à l'état final (après que 80.0% du réactif limitant a réagi).
  6. Calculer le nombre total de moles de gaz (\(n_{\text{total, final}}\)) à l'état final.
  7. Calculer la pression totale finale (\(P_2\)) dans le réacteur à la température \(T_2 = 500 \, \text{K}\).

Correction : Calcul de Pression dans un Réacteur Chimique

Question 1 : Conversion du volume du réacteur

Principe :

Il faut convertir les litres (L) en mètres cubes (m³) pour utiliser la constante des gaz parfaits \(R\) en \(\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) et obtenir la pression en Pascals (Pa).

\[ 1 \, \text{L} = 10^{-3} \, \text{m}^3 \]
Données spécifiques :
  • \(V = 10.0 \, \text{L}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V (\text{m}^3) &= 10.0 \, \text{L} \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{L} \\ &= 0.0100 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le volume du réacteur est \(V = 0.0100 \, \text{m}^3\).

Question 2 : Nombre total de moles de gaz initiales (\(n_{\text{total, init}}\))

Principe :

Le nombre total de moles de gaz initiales est la somme des moles de chaque gaz présent au début.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ n_{\text{total, init}} = n_{\text{SO}_2, \text{init}} + n_{\text{O}_2, \text{init}} \]
Données spécifiques :
  • \(n_{\text{SO}_2, \text{init}} = 0.500 \, \text{mol}\)
  • \(n_{\text{O}_2, \text{init}} = 0.300 \, \text{mol}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n_{\text{total, init}} &= 0.500 \, \text{mol} + 0.300 \, \text{mol} \\ &= 0.800 \, \text{mol} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le nombre total de moles de gaz initiales est \(n_{\text{total, init}} = 0.800 \, \text{mol}\).

Question 3 : Pression totale initiale (\(P_1\))

Principe :

On utilise l'équation d'état des gaz parfaits : \(PV = nRT\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_1 = \frac{n_{\text{total, init}} R T_1}{V} \]
Données spécifiques :
  • \(n_{\text{total, init}} = 0.800 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
  • \(T_1 = 400 \, \text{K}\)
  • \(V = 0.0100 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= \frac{(0.800 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}) \times (400 \, \text{K})}{0.0100 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{2660.48 \, \text{J}}{0.0100 \, \text{m}^3} \\ &= 266048 \, \text{Pa} \\ &\approx 2.66 \times 10^5 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La pression totale initiale est \(P_1 \approx 2.66 \times 10^5 \, \text{Pa}\).

Question 4 : Détermination du réactif limitant

Principe :

Le réactif limitant est celui qui sera consommé en premier. On compare le rapport (nombre de moles initiales / coefficient stœchiométrique) pour chaque réactif. Le plus petit rapport indique le réactif limitant.

Réaction : \(2\text{SO}_2\text{(g)} + 1\text{O}_2\text{(g)} \rightarrow 2\text{SO}_3\text{(g)}\)

Données spécifiques :
  • \(n_{\text{SO}_2, \text{init}} = 0.500 \, \text{mol}\) (coeff. = 2)
  • \(n_{\text{O}_2, \text{init}} = 0.300 \, \text{mol}\) (coeff. = 1)
Calcul :

Pour SO₂ :

\[ \frac{n_{\text{SO}_2, \text{init}}}{2} = \frac{0.500 \, \text{mol}}{2} = 0.250 \, \text{mol} \]

Pour O₂ :

\[ \frac{n_{\text{O}_2, \text{init}}}{1} = \frac{0.300 \, \text{mol}}{1} = 0.300 \, \text{mol} \]

Puisque \(0.250 < 0.300\), le SO₂ est le réactif limitant.

Résultat Question 4 : Le SO₂ est le réactif limitant.

Question 5 : Nombre de moles de chaque gaz à l'état final

Principe :

80.0% du réactif limitant (SO₂) a réagi. On calcule les moles consommées et produites en fonction de la stœchiométrie.

Moles de SO₂ ayant réagi (\(x\)) : \(x = 0.800 \times n_{\text{SO}_2, \text{init}}\)

Données spécifiques :
  • \(n_{\text{SO}_2, \text{init}} = 0.500 \, \text{mol}\)
  • \(n_{\text{O}_2, \text{init}} = 0.300 \, \text{mol}\)
  • \(n_{\text{SO}_3, \text{init}} = 0 \, \text{mol}\)
Calcul :

Moles de SO₂ ayant réagi :

\[ x = 0.800 \times 0.500 \, \text{mol} = 0.400 \, \text{mol de SO}_2 \text{ réagi} \]

Moles de SO₂ restantes :

\[ n_{\text{SO}_2, \text{final}} = n_{\text{SO}_2, \text{init}} - x = 0.500 \, \text{mol} - 0.400 \, \text{mol} = 0.100 \, \text{mol} \]

Moles de O₂ ayant réagi (selon stœchiométrie \(2\text{SO}_2 : 1\text{O}_2\)) :

\[ n_{\text{O}_2, \text{réagi}} = x \times \frac{1}{2} = 0.400 \, \text{mol} \times \frac{1}{2} = 0.200 \, \text{mol} \]

Moles de O₂ restantes :

\[ n_{\text{O}_2, \text{final}} = n_{\text{O}_2, \text{init}} - n_{\text{O}_2, \text{réagi}} = 0.300 \, \text{mol} - 0.200 \, \text{mol} = 0.100 \, \text{mol} \]

Moles de SO₃ produites (selon stœchiométrie \(2\text{SO}_2 : 2\text{SO}_3\), donc \(1:1\)) :

\[ n_{\text{SO}_3, \text{final}} = x \times \frac{2}{2} = x = 0.400 \, \text{mol} \]
Résultat Question 5 : À l'état final : \(n_{\text{SO}_2} = 0.100 \, \text{mol}\), \(n_{\text{O}_2} = 0.100 \, \text{mol}\), \(n_{\text{SO}_3} = 0.400 \, \text{mol}\).

Question 6 : Nombre total de moles de gaz à l'état final (\(n_{\text{total, final}}\))

Principe :

Somme des moles de tous les gaz présents à l'état final.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ n_{\text{total, final}} = n_{\text{SO}_2, \text{final}} + n_{\text{O}_2, \text{final}} + n_{\text{SO}_3, \text{final}} \]
Données spécifiques :
  • \(n_{\text{SO}_2, \text{final}} = 0.100 \, \text{mol}\)
  • \(n_{\text{O}_2, \text{final}} = 0.100 \, \text{mol}\)
  • \(n_{\text{SO}_3, \text{final}} = 0.400 \, \text{mol}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n_{\text{total, final}} &= 0.100 \, \text{mol} + 0.100 \, \text{mol} + 0.400 \, \text{mol} \\ &= 0.600 \, \text{mol} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le nombre total de moles de gaz à l'état final est \(n_{\text{total, final}} = 0.600 \, \text{mol}\).

Question 7 : Pression totale finale (\(P_2\))

Principe :

On utilise l'équation d'état des gaz parfaits avec les conditions finales.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_2 = \frac{n_{\text{total, final}} R T_2}{V} \]
Données spécifiques :
  • \(n_{\text{total, final}} = 0.600 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
  • \(T_2 = 500 \, \text{K}\)
  • \(V = 0.0100 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= \frac{(0.600 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}) \times (500 \, \text{K})}{0.0100 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{2494.2 \, \text{J}}{0.0100 \, \text{m}^3} \\ &= 249420 \, \text{Pa} \\ &\approx 2.49 \times 10^5 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La pression totale finale dans le réacteur est \(P_2 \approx 2.49 \times 10^5 \, \text{Pa}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un réacteur fermé à volume constant, si le nombre total de moles de gaz diminue et que la température reste constante, la pression :

2. L'équation d'état des gaz parfaits est :

3. Le réactif limitant est celui qui :

4. Si la température d'un gaz parfait dans un volume constant double, sa pression (en supposant le nombre de moles constant) :

Glossaire

Pression (\(P\))
Force exercée par unité de surface. Unité SI : Pascal (Pa).
Gaz Parfait
Modèle théorique d'un gaz où les particules sont supposées ponctuelles et n'ont pas d'interactions entre elles, sauf lors de collisions élastiques. Il obéit à l'équation \(PV=nRT\).
Équation d'État des Gaz Parfaits
Relation mathématique \(PV=nRT\) qui lie la pression (\(P\)), le volume (\(V\)), le nombre de moles (\(n\)) et la température absolue (\(T\)) d'un gaz parfait. \(R\) est la constante des gaz parfaits.
Mole (mol)
Unité de quantité de matière.
Constante des Gaz Parfaits (\(R\))
Constante physique fondamentale apparaissant dans l'équation d'état des gaz parfaits. Sa valeur est approximativement \(8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) ou \(0.0821 \, \text{L}\cdot\text{atm/(mol}\cdot\text{K)}\).
Température Absolue (\(T\))
Température mesurée sur une échelle où le zéro absolu est le point le plus bas possible. Unité SI : Kelvin (K).
Réacteur Chimique
Enceinte ou appareil conçu pour contenir et contrôler des réactions chimiques.
Stœchiométrie
Étude des rapports quantitatifs entre les réactifs et les produits dans une réaction chimique.
Réactif Limitant
Réactif qui est complètement consommé en premier dans une réaction chimique et qui détermine la quantité maximale de produit pouvant être formée.
Pascal (Pa)
Unité SI de la pression, équivalente à un Newton par mètre carré (\(\text{N/m}^2\)).
Calcul de Pression dans un Réacteur Chimique - Exercice d'Application

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