Diffraction d’un laser He–Ne

Exercice : Diffraction d'un Laser He-Ne

Diffraction d'un Laser He-Ne par une Fente Simple

Contexte : Le phénomène de diffractionÉtalement d'une onde lorsqu'elle rencontre un obstacle ou une ouverture de dimension comparable à sa longueur d'onde..

La diffraction est un phénomène fondamental de l'optique ondulatoire qui décrit comment la lumière s'étale après avoir traversé une petite ouverture ou contourné un obstacle. Dans cet exercice, nous allons étudier la figure de diffraction produite par un laser Hélium-Néon (He-Ne) cohérent passant à travers une fente simple et étroite. L'objectif est d'utiliser les dimensions de la figure de diffraction observée sur un écran pour déterminer la largeur inconnue de la fente.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les principes de la diffraction de Fraunhofer pour caractériser une ouverture (fente) à l'aide d'un laser, une technique couramment utilisée en laboratoire pour mesurer de petites dimensions.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la condition de diffraction de Fraunhofer.
Calculer la largeur de la tache centrale de diffraction.
Déterminer la largeur d'une fente inconnue à partir de sa figure de diffraction.

Données de l'étude

Nous utilisons un laser Hélium-Néon (He-Ne) standard pour éclairer une fente simple de largeur $a$ inconnue. La figure de diffraction est observée sur un écran plat situé à une grande distance $D$ de la fente.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Laser	Hélium-Néon (He-Ne)
Longueur d'onde ($\lambda$)	632.8 nm
Distance Fente-Écran ($D$)	2.0 m

Dispositif expérimental de diffraction par une fente

Paramètre	Description	Symbole	Valeur
Longueur d'onde	Lumière émise par le laser	$\lambda$	632.8 nm
Distance Fente-Écran	Distance entre la fente et l'écran	$D$	2.0 m
Largeur de la tache centrale	Largeur mesurée sur l'écran	$L$	12.7 mm

Questions à traiter

Convertir toutes les données initiales en unités du Système International (mètres).
Rappeler la formule donnant la position angulaire $\theta$ du premier minimum de diffraction (bord de la tache centrale) pour une fente de largeur $a$.
En utilisant l'approximation des petits angles ($\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta$), exprimer la largeur totale $L$ de la tache centrale en fonction de $\lambda$, $D$, et $a$.
Isoler $a$ de l'équation précédente pour trouver la formule permettant de calculer la largeur de la fente.
Calculer la valeur numérique de la largeur de la fente $a$ en mètres, puis en micromètres ($\mu\text{m}$).

Les bases sur la Diffraction de Fraunhofer

La diffraction de Fraunhofer, ou diffraction à champ lointain, décrit le comportement d'une onde lumineuse lorsqu'elle passe à travers une petite ouverture et que l'onde est observée à une grande distance. Cette condition est remplie si l'écran est "infiniment" loin, ou, en pratique, si la distance $D$ est très grande devant les dimensions de l'ouverture.

1. Condition de Fraunhofer
On est en condition de Fraunhofer lorsque la distance $D$ à l'écran est beaucoup plus grande que la "distance de Rayleigh", c'est-à-dire : \[ D \gg \frac{a^2}{\lambda} \] Dans notre cas, $a$ est de l'ordre de 100 $\mu\text{m}$, donc $a^2/\lambda \approx (10^{-4})^2 / (6 \times 10^{-7}) \approx 1.6 \times 10^{-2}$ m. Notre distance $D=2.0$ m est bien supérieure.

2. Position des Minima (Zones Sombres)
Pour une fente simple de largeur $a$, les minima d'intensité (zones sombres) sont observés pour des angles $\theta_{\text{p}}$ qui satisfont la condition d'interférence destructive : \[ a \sin \theta_{\text{p}} = p \lambda \quad (\text{pour } p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots) \] La tache centrale, la plus large et la plus lumineuse, est délimitée par les deux premiers minima, $p = 1$ et $p = -1$.

Correction : Diffraction d'un Laser He-Ne par une Fente Simple

Question 1 : Convertir toutes les données initiales en unités du Système International (mètres).

Principe

Pour garantir la validité des calculs en physique, toutes les grandeurs doivent être exprimées dans un système d'unités cohérent. Nous utilisons le Système International (SI), où l'unité de longueur est le mètre (m).

Mini-Cours

Les préfixes SI sont cruciaux :

nano (n) : signifie $10^{-9}$. Donc, 1 nanomètre (nm) = $10^{-9}$ mètres (m).
milli (m) : signifie $10^{-3}$. Donc, 1 millimètre (mm) = $10^{-3}$ mètres (m).

Remarque Pédagogique

Une erreur d'unité est l'erreur la plus fréquente en calcul scientifique. Prenez l'habitude de tout convertir en SI (m, kg, s, A...) *avant* de commencer à appliquer les formules.

Normes

Le Système International d'unités (SI) est la norme mondiale pour les mesures scientifiques et techniques.

Formule(s)

Les relations de conversion sont nos "formules" ici.

Conversion Nano

1 \text{ nm} = 1 \times 10^{-9} \text{ m}

Conversion Milli

1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-3} \text{ m}

Hypothèses

Aucune hypothèse n'est nécessaire pour une conversion.

Donnée(s)

Les valeurs à convertir sont tirées de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur d'onde	$\lambda$	632.8	nm
Distance Fente-Écran	$D$	2.0	m
Largeur tache centrale	$L$	12.7	mm

Astuces

Pour $\lambda$, 632.8 nm est proche de 633 nm, ce qui est une valeur commune. C'est $632.8 \times 10^{-9}$ m, ou plus scientifiquement $6.328 \times 10^{-7}$ m.

Schéma (Avant les calculs)

Cette étape est purement algébrique. Ce schéma illustre le processus de conversion des unités de départ vers l'unité SI (mètre).

Conversion d'Unités vers le SI

Calcul(s)

Nous appliquons les facteurs de conversion pour passer des nanomètres (nm) et millimètres (mm) aux mètres (m), l'unité de base du Système International.

Étape 1 : Conversion de $\lambda$

On commence par convertir la longueur d'onde $\lambda$ de nanomètres (nm) en mètres (m). On utilise le facteur $1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$.

\begin{aligned} \lambda &= 632.8 \text{ nm} \\ &= 632.8 \times 10^{-9} \text{ m} \end{aligned}

La longueur d'onde est donc $632.8 \times 10^{-9}$ mètres.

Étape 2 : Conversion de $D$

Ensuite, on vérifie la distance $D$. Elle est déjà en mètres, l'unité SI.

\begin{aligned} D &= 2.0 \text{ m} \end{aligned}

Aucune conversion n'est nécessaire pour $D$.

Étape 3 : Conversion de $L$

Enfin, on convertit la largeur $L$ de la tache centrale de millimètres (mm) en mètres (m). On utilise le facteur $1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$.

\begin{aligned} L &= 12.7 \text{ mm} \\ &= 12.7 \times 10^{-3} \text{ m} \end{aligned}

Nous avons maintenant toutes nos valeurs en unités SI, prêtes pour les calculs.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est un ensemble de valeurs converties, pas une nouvelle géométrie. Ce schéma résume les valeurs prêtes à l'emploi.

Valeurs en Unités SI

Réflexions

Nous avons maintenant trois valeurs dans des unités cohérentes, prêtes pour le calcul : $632.8 \times 10^{-9}$ m, $2.0$ m, et $12.7 \times 10^{-3}$ m.

Points de vigilance

Ne confondez pas "m" (milli, $10^{-3}$) avec "M" (Méga, $10^{6}$) ou "$\mu$" (micro, $10^{-6}$).

Points à retenir

Les conversions les plus courantes en optique sont :

nm $\rightarrow$ m (multiplier par $10^{-9}$)
mm $\rightarrow$ m (multiplier par $10^{-3}$)
cm $\rightarrow$ m (multiplier par $10^{-2}$)

Le saviez-vous ?

La longueur d'onde 632.8 nm du laser He-Ne est si stable et bien définie qu'elle a été utilisée pendant des décennies comme étalon de longueur.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Les valeurs en SI sont : $\lambda = 632.8 \times 10^{-9}$ m, $D = 2.0$ m, et $L = 12.7 \times 10^{-3}$ m.

A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Que vaudrait $L = 2.5 \text{ cm}$ en mètres ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Cohérence des unités (Système International).
Facteurs Clés : 1 nm = $10^{-9}$ m ; 1 mm = $10^{-3}$ m.

Question 2 : Rappeler la formule donnant la position angulaire $\theta$ du premier minimum de diffraction...

Principe

La figure de diffraction est créée par l'interférence de toutes les ondelettes de Huygens provenant de la fente. Les minima (zones sombres) se produisent là où les interférences sont parfaitement destructives. La tache centrale est la zone la plus brillante avant la première "extinction".

Mini-Cours

Pour une fente de largeur $a$, on peut montrer (en appariant les ondelettes de Huygens) que la première interférence parfaitement destructive se produit lorsque la différence de marche entre le rayon provenant du bord supérieur et du bord inférieur de la fente est égale à une longueur d'onde. Cela conduit à la condition générale pour les minima (angles $\theta_{\text{p}}$) : $ a \sin \theta_{\text{p}} = p \lambda $, où $p$ est un entier non nul ($\pm 1, \pm 2, \ldots$).

Formule(s)

Condition des minima

a \sin \theta_{\text{p}} = p \lambda \quad (p = \pm 1, \pm 2, \ldots)

Premier minimum (bord de la tache centrale)

\text{Pour } p=1 \text{ (premier minimum): } a \sin \theta_{\text{1}} = (1) \lambda \Rightarrow \sin \theta_{\text{1}} = \frac{\lambda}{a}

Réflexions

Cette formule est fondamentale. Elle montre que l'angle $\theta$ (qui mesure l'étalement de la lumière) est inversement proportionnel à la largeur de la fente $a$. C'est le cœur de la diffraction : plus l'ouverture est petite, plus la lumière s'étale.

Points à retenir

La tache centrale est délimitée par les minima $p=1$ et $p=-1$.
Sa demi-largeur angulaire $\theta_{\text{1}}$ est donnée par $\sin \theta_{\text{1}} = \lambda / a$.

Résultat Final

La position angulaire $\theta$ du premier minimum est donnée par la formule : $\sin \theta = \frac{\lambda}{a}$.

A vous de jouer

Si on double la largeur de la fente $a$, l'angle $\theta$ (et donc l'étalement) est-il (1) doublé ou (2) divisé par deux (approximativement) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Formule Clé : $a \sin \theta_{\text{p}} = p \lambda$ (pour les minima).
1er Minimum : $\sin \theta_{\text{1}} = \lambda / a$.

Question 3 : ...exprimer la largeur totale $L$ de la tache centrale en fonction de $\lambda$, $D$, et $a$.

Principe

Nous devons relier la largeur angulaire $\theta$ (une mesure théorique en degrés ou radians) à la largeur physique $L$ (une mesure concrète en mètres) observable sur l'écran. Pour ce faire, nous utilisons la trigonométrie simple, en considérant le triangle rectangle formé par la fente (sommet), le centre de la tache (point sur l'axe optique) et le premier minimum (bord de la tache).

Mini-Cours

La relation trigonométrique de base dans un triangle rectangle est $\tan \theta = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$. Dans notre dispositif, le côté opposé à l'angle $\theta$ est la demi-largeur de la tache centrale ($L/2$), et le côté adjacent est la distance fente-écran ($D$).
En optique de Fraunhofer, la distance $D$ (en mètres) est toujours immensément plus grande que la largeur de la tache $L$ (en millimètres). Cela implique que l'angle $\theta$ est très petit.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus importante de la démonstration : elle fait le pont entre la physique ondulatoire (Q2, $\sin \theta = \lambda/a$) et la géométrie simple de l'expérience ($\tan \theta = (L/2)/D$). L'approximation des petits angles est "l'astuce" mathématique qui permet de lier les deux mondes.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme d'ingénierie, mais d'une approximation mathématique standard : l'approximation des petits angles, qui découle du développement limité de $\sin(x)$ et $\tan(x)$ au voisinage de 0.

Formule(s)

Définition de la Tangente

\tan \theta = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} = \frac{L/2}{D}

Approximation des Petits Angles (en radians)

\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta \quad (\text{pour } \theta \ll 1 \text{ rad})

Hypothèses

L'hypothèse fondamentale est celle des "petits angles". Nous la justifions par le fait que $D \approx 2 \text{ m}$ est très grand devant $L \approx 12.7 \text{ mm}$. L'angle est donc très faible, ce qui valide l'approximation $\tan \theta \approx \sin \theta$.

Approximation des petits angles : $\tan \theta \approx \sin \theta$.

Donnée(s)

On utilise la formule démontrée à la Q2 comme une donnée d'entrée pour cette question.

Paramètre	Formule (de Q2)
Demi-angle d'ouverture	$\sin \theta = \lambda / a$

Astuces

Pour ne jamais se tromper entre sinus et tangente dans cette approximation, dessinez le triangle. L'hypoténuse est le trajet réel du rayon lumineux, le côté adjacent est $D$. Comme $\theta$ est minuscule, la longueur de l'hypoténuse est quasiment égale à celle de $D$. C'est pour cela que $\sin \theta = \text{Opp}/\text{Hyp}$ et $\tan \theta = \text{Opp}/\text{Adj}$ deviennent presque identiques.

Schéma (Avant les calculs)

Considérons le triangle rectangle formé par la distance $D$ (côté adjacent) et la demi-largeur de la tache $L/2$ (côté opposé). L'angle au centre est $\theta$.

Relation Trigonométrique $L$ et $D$

Calcul(s)

Étape 1 : On pose la relation trigonométrique de base (géométrie).

Dans le triangle rectangle (voir schéma), la tangente de l'angle $\theta$ est le rapport du côté opposé (la demi-largeur $L/2$) sur le côté adjacent (la distance $D$).

\tan \theta = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} = \frac{L/2}{D}

C'est notre relation géométrique.

Étape 2 : On applique l'hypothèse des petits angles.

Comme $D \gg L$, l'angle $\theta$ est très petit. Pour un petit angle (en radians), la tangente est presque égale au sinus.

\tan \theta \approx \sin \theta

Cette approximation est la clé pour lier la géométrie à la physique.

Étape 3 : On utilise la formule de la diffraction (de Q2).

De la question précédente, nous savons que la condition physique pour le premier minimum est donnée par cette formule.

\sin \theta = \frac{\lambda}{a}

C'est notre relation physique.

Étape 4 : On égalise les relations et on isole L.

Puisque $\tan \theta \approx \sin \theta$, on peut dire que $(L/2)/D \approx \lambda/a$. On résout ensuite pour $L$. On a: $ \tan \theta \approx \sin \theta$. Donc (en substituant E1 et E3):

\begin{aligned} &\frac{L/2}{D} &\approx \frac{\lambda}{a} \end{aligned}

On multiplie par D :

\begin{aligned} L/2 &\approx \frac{\lambda D}{a} \end{aligned}

On multiplie par 2 :

\begin{aligned} L &\approx \frac{2 \lambda D}{a} \end{aligned}

C'est la formule finale qui relie la largeur mesurée $L$ aux paramètres de l'expérience.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une formule. Ce schéma illustre les relations établies, notamment la relation inverse entre $a$ et $L$.

Illustration de la Formule $L \approx 2 \lambda D / a$

Réflexions

Cette formule, $L \approx 2 \lambda D / a$, est extrêmement utile. Elle montre que la largeur de la tache $L$ est :

Proportionnelle à $\lambda$ (une lumière rouge avec un $\lambda$ plus grand s'étale plus qu'une lumière bleue).
Proportionnelle à $D$ (plus l'écran est loin, plus l'image est grande, comme un projecteur).
Inversement proportionnelle à $a$ (plus la fente est petite, plus la lumière s'étale !).

Points de vigilance

Ne pas oublier que $L$ est la largeur *totale* de la tache centrale (du premier minimum négatif au premier minimum positif). La trigonométrie se fait avec la *demi-largeur* $L/2$. Une erreur fréquente est d'oublier le facteur 2 dans la formule finale.

Points à retenir

La relation géométrique est $\tan \theta = (L/2) / D$.
L'approximation physique (petits angles) est $\tan \theta \approx \sin \theta$.
La condition de diffraction (Q2) est $\sin \theta = \lambda / a$.

Le saviez-vous ?

Cette approximation ($\tan \theta \approx \sin \theta$) est valide à moins de 1% d'erreur pour des angles allant jusqu'à environ 8 degrés. Dans notre exercice, $\theta \approx 0.18^\circ$, l'approximation est donc extrêmement précise.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La largeur totale de la tache centrale est donnée par l'approximation : $L \approx \frac{2 \lambda D}{a}$.

A vous de jouer

Si on double la distance $D$ à l'écran, que devient la largeur $L$ ? (1) Doublée (2) Divisée par deux.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Relation Clé : $\tan \theta = (L/2) / D$.
Approximation : $\tan \theta \approx \sin \theta$.
Formule Finale : $L \approx 2 \lambda D / a$.

Question 4 : Isoler $a$ de l'équation précédente pour trouver la formule permettant de calculer la largeur de la fente.

Principe

Il s'agit d'une simple manipulation algébrique de la formule trouvée à la question 3. L'objectif est de passer d'une formule qui calcule $L$ (ce qu'on observe) à une formule qui calcule $a$ (ce qu'on cherche à mesurer).

Mini-Cours

C'est une étape d'algèbre de base. Pour isoler une variable $x$ dans une équation du type $Y = k/X$, on la "fait monter" en multipliant les deux côtés par $X$, ce qui donne $Y \times X = k$. Ensuite, on "fait descendre" $Y$ en divisant les deux côtés par $Y$, ce qui donne $X = k/Y$.

Remarque Pédagogique

Pensez-y comme à une "inversion" de la formule. Nous voulons exprimer l'inconnue ($a$) en fonction des grandeurs connues ou mesurées ($\lambda, D, L$). C'est la formule que vous utiliseriez concrètement en laboratoire après avoir mesuré $L$ sur l'écran.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit de règles algébriques fondamentales.

Formule(s)

Formule de départ (de Q3)

L = \frac{2 \lambda D}{a}

Hypothèses

Nous supposons que la formule $L = 2 \lambda D / a$, établie à la question 3, est correcte et applicable.

Donnée(s)

Pas de données numériques, uniquement la formule algébrique. Les variables sont $L, \lambda, D, a$.

Astuces

Pour isoler $a$ au dénominateur, le plus simple est de faire un "produit en croix" (ou de voir que $a$ et $L$ peuvent simplement échanger leur place) : $L \times a = 2 \lambda D$. Ensuite, il suffit de diviser par $L$.

Schéma (Avant les calculs)

L'objectif est d'inverser la relation de la Q3 pour isoler $a$.

Objectif : Isoler $a$

Calcul(s)

Étape 1 : On part de la formule de Q3. On multiplie les deux côtés par $a$.

Pour isoler $a$, qui est au dénominateur, on le "fait monter" en multipliant toute l'équation par $a$.

L \times a = \left( \frac{2 \lambda D}{a} \right) \times a \Rightarrow L \times a = 2 \lambda D

Cette étape transforme l'équation en une relation linéaire simple.

Étape 2 : On divise les deux côtés par $L$.

Maintenant que $a$ est au numérateur, on l'isole en divisant les deux côtés par $L$, qui est maintenant connu (mesuré).

\frac{L \times a}{L} = \frac{2 \lambda D}{L} \Rightarrow a = \frac{2 \lambda D}{L}

Nous avons maintenant la formule finale qui exprime l'inconnue $a$ en fonction des trois grandeurs que nous connaissons ou mesurons.

Schéma (Après les calculs)

La formule est maintenant prête à être utilisée pour le calcul numérique. Ce schéma montre quelles variables sont les entrées (connues) et quelle est la sortie (inconnue).

Formule de Mesure Prête

Réflexions

Cette formule est la formule "pratique" pour l'expérimentateur. $\lambda$ (longueur d'onde du laser) et $D$ (distance à l'écran) sont des paramètres que nous contrôlons. $L$ (largeur de la tache) est le paramètre que nous *mesurons*. En mesurant $L$, nous pouvons déduire $a$, la dimension inconnue de la fente.

Points de vigilance

Une erreur commune est d'inverser $L$ et $a$ dans la formule. Rappelez-vous : si $L$ (la tache) est grande, $a$ (la fente) doit être petite. La formule $a = ... / L$ (avec $L$ au dénominateur) respecte bien cette relation inverse.

Points à retenir

La formule pour *trouver* la largeur de la fente $a$ en mesurant $L$ est $a = \frac{2 \lambda D}{L}$.

Le saviez-vous ?

Cette même technique de mesure, basée sur la diffraction, est utilisée pour mesurer des structures incroyablement petites. Par exemple, la diffraction des rayons X (où $\lambda$ est très petit) permet de mesurer l'espacement entre les atomes dans un cristal.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La largeur de la fente $a$ est donnée par la formule : $a = \frac{2 \lambda D}{L}$.

A vous de jouer

Selon cette formule, si la largeur mesurée $L$ est très *grande*, la fente $a$ doit être très... (1) grande ou (2) petite ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Objectif : Mesurer $a$.
Formule de Mesure : $a = 2 \lambda D / L$.

Question 5 : Calculer la valeur numérique de la largeur de la fente $a$ en mètres, puis en micromètres ($\mu\text{m}$).

Principe

C'est l'application numérique finale. Nous appliquons la formule trouvée à la question 4 en utilisant les valeurs numériques converties en Système International (SI) à la question 1.

Mini-Cours

Le calcul final implique de multiplier et diviser des nombres en notation scientifique. La gestion des puissances de 10 est l'étape la plus critique.
Rappel : $ \frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n} $.
Rappel de conversion : $ 1 \mu\text{m} = 10^{-6} \text{ m} $.

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs de calculatrice, il est fortement recommandé de faire le calcul en deux temps : d'abord calculer le "nombre" (2, 632.8, 2.0, 12.7), puis calculer séparément la "puissance de 10" ($10^{-9}$, $10^{-3}$).

Normes

Pas de norme, il s'agit d'une application numérique.

Formule(s)

Formule de calcul de $a$

a = \frac{2 \lambda D}{L}

Conversion finale

1 \text{ m} = 10^6 \ \mu\text{m} \quad \text{ou} \quad 1 \ \mu\text{m} = 10^{-6} \text{ m}

Hypothèses

Nous supposons que les données de l'énoncé sont correctes et que les hypothèses des questions précédentes (petits angles, Fraunhofer) sont valides.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs en SI (mètres) de la Question 1.

Symbole	Valeur	Unité
$\lambda$	$632.8 \times 10^{-9}$	m
$D$	2.0	m
$L$	$12.7 \times 10^{-3}$	m

Astuces

Regroupez d'abord les nombres : $ \frac{2 \times 632.8 \times 2.0}{12.7} $.
Regroupez ensuite les puissances : $ \frac{10^{-9}}{10^{-3}} = 10^{-9 - (-3)} = 10^{-6} $.
Le résultat numérique sera directement en $ \times 10^{-6} $ mètres, ce qui est la définition même du micromètre ($\mu\text{m}$) !

Schéma (Avant les calculs)

Nous allons "injecter" nos valeurs SI dans la formule de la Q4.

Injection des Données SI

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution numérique

On remplace les variables $\lambda$, $D$, et $L$ par leurs valeurs en SI (mètres) de la Q1 dans la formule $a = 2 \lambda D / L$.

a = \frac{2 \times (632.8 \times 10^{-9} \text{ m}) \times (2.0 \text{ m})}{12.7 \times 10^{-3} \text{ m}}

Notez que les unités ($\text{m}^2$) au numérateur et ($\text{m}$) au dénominateur se simplifieront pour donner un résultat final en mètres (m).

Étape 2 : Calcul du numérateur

On calcule le numérateur : $ (2 \times 632.8 \times 2.0) = 2531.2 $. Les puissances de 10 et le dénominateur sont gardés pour l'instant.

a = \frac{2531.2 \times 10^{-9} \text{ m}^2}{12.7 \times 10^{-3} \text{ m}}

Le calcul est maintenant simplifié en une seule division de nombres et une division de puissances de 10.

Étape 3 : Résultat en mètres (SI)

On divise les nombres ($ 2531.2 / 12.7 \approx 199.307 $) et on divise les puissances ($ 10^{-9} / 10^{-3} = 10^{-9 - (-3)} = 10^{-6} $).

\begin{aligned} a &= \left( \frac{2531.2}{12.7} \right) \times \left( \frac{10^{-9}}{10^{-3}} \right) \text{ m} \\ a &\approx 199.307 \times 10^{-6} \text{ m} \quad \text{(car } 10^{-9+3} = 10^{-6} \text{)} \\ a &\approx 1.993 \times 10^{-4} \text{ m} \end{aligned}

Le résultat est $199.307 \times 10^{-6}$ mètres. La deuxième ligne montre le même résultat en notation scientifique standard (un seul chiffre avant la virgule).

Étape 4 : Conversion en micromètres ($\mu\text{m}$)

Puisque le préfixe "micro" ($\mu$) signifie $10^{-6}$, on peut directement remplacer le $ \times 10^{-6} \text{ m} $ par $ \mu\text{m} $ pour une lecture plus facile.

\text{Puisque } 1 \mu\text{m} = 10^{-6} \text{ m} \text{ : } \\ a \approx 199.3 \ \mu\text{m}

La largeur de notre fente est donc de 199.3 micromètres.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul est terminé, et le résultat est converti en une unité appropriée et plus lisible.

Résultat Final et Conversion

Réflexions

La largeur de la fente est d'environ 199.3 micromètres. C'est une dimension très petite, environ deux fois l'épaisseur d'un cheveu humain (qui est d'environ 50 à 100 $\mu\text{m}$). Ce résultat est tout à fait plausible pour une fente utilisée dans une expérience de diffraction, ce qui valide notre calcul.

Points de vigilance

Attention à la gestion des puissances de 10 lors du calcul final : $ \frac{10^{-9}}{10^{-3}} = 10^{-9 - (-3)} = 10^{-9 + 3} = 10^{-6} $. Une erreur fréquente est d'obtenir $10^{-12}$ en faisant une mauvaise soustraction.

Points à retenir

Un résultat typique pour une fente de diffraction est de l'ordre du micromètre ($\mu\text{m}$) à quelques centaines de $\mu\text{m}$. Si vous trouvez des mètres, des millimètres ou des kilomètres, vérifiez vos unités et vos puissances de 10 !

Le saviez-vous ?

Le micromètre ($\mu\text{m}$) est aussi appelé "micron" dans certains (anciens) contextes. 1 $\mu\text{m}$ est la taille approximative d'une petite bactérie et c'est aussi l'échelle typique des composants à l'intérieur d'une puce électronique (bien que les gravures modernes se fassent maintenant à l'échelle du nanomètre, nm).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La largeur de la fente est $a \approx 1.99 \times 10^{-4}$ m, ce qui équivaut à $199.3 \ \mu\text{m}$.

A vous de jouer

Recalculez $a$ (en $\mu\text{m}$) si la largeur mesurée $L$ était de $10.0 \text{ mm}$ (avec les mêmes $\lambda$ et $D$).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Méthode : Appliquer $a = 2 \lambda D / L$.
Calcul : $a = (2 \times 632.8 \times 10^{-9} \times 2) / (12.7 \times 10^{-3})$.
Résultat : $\approx 199.3 \times 10^{-6} \text{ m} = 199.3 \ \mu\text{m}$.

Outil Interactif : Simulateur de Diffraction

Explorez comment la largeur de la fente ($a$) et la longueur d'onde ($\lambda$) influencent la figure de diffraction. La distance à l'écran $D$ est fixée à 2.0 m.

Paramètres d'Entrée

Largeur fente $a$ ($\mu\text{m}$) 200 $\mu\text{m}$

Longueur d'onde $\lambda$ (nm) 633 nm

Résultats Clés

Largeur tache $L$ (mm) -

Angle 1er min $\theta$ (degrés) -

Glossaire

Diffraction: Phénomène par lequel une onde (lumineuse, sonore, etc.) est déviée et s'étale lorsqu'elle rencontre un obstacle ou une ouverture dont la taille est de l'ordre de sa longueur d'onde.
Diffraction de Fraunhofer: Régime de diffraction où l'onde est observée à une "grande" distance de l'obstacle (champ lointain), de sorte que les fronts d'onde sont considérés comme plans (rayons parallèles).
Interférence Destructive: Superposition d'ondes en opposition de phase (un creux rencontre un sommet), résultant en une annulation de l'amplitude (zone sombre).
Laser He-Ne: Type de laser à gaz commun produisant une lumière rouge très cohérente à une longueur d'onde de 632.8 nm.

D’autres exercices d’optique et photonique:

Symbole	Valeur	Unité
\(\lambda\)	\(632.8 \times 10^{-9}\)	m
\(D\)	2.0	m
\(L\)	\(12.7 \times 10^{-3}\)	m

Diffraction d’un laser He–Ne

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Dispositif expérimental de diffraction par une fente

Questions à traiter

Les bases sur la Diffraction de Fraunhofer

Correction : Diffraction d'un Laser He-Ne par une Fente Simple

Question 1 : Convertir toutes les données initiales en unités du Système International (mètres).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Conversion d'Unités vers le SI

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Valeurs en Unités SI

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Rappeler la formule donnant la position angulaire \(\theta\) du premier minimum de diffraction...

Principe

Mini-Cours

Formule(s)

Réflexions

Points à retenir

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : ...exprimer la largeur totale \(L\) de la tache centrale en fonction de \(\lambda\), \(D\), et \(a\).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Relation Trigonométrique \(L\) et \(D\)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Illustration de la Formule \(L \approx 2 \lambda D / a\)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Isoler \(a\) de l'équation précédente pour trouver la formule permettant de calculer la largeur de la fente.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Objectif : Isoler \(a\)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Formule de Mesure Prête

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ