Étude de la Trajectoire d’une Balle
Contexte : La mécanique classiqueBranche de la physique qui décrit le mouvement des objets macroscopiques, des projectiles aux planètes..
Cet exercice porte sur l'un des problèmes les plus fondamentaux de la mécanique : le mouvement d'un projectile. Nous allons analyser la trajectoire d'une balle lancée dans les airs, en ne considérant que l'effet de la gravité. Cette étude nous permettra de comprendre et de prédire la portée, la hauteur maximale et le temps de vol, des concepts essentiels en balistique, en sport et dans de nombreux autres domaines de l'ingénierie et de la physique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un mouvement en deux dimensions (horizontal et vertical) et à appliquer les équations du mouvement uniformément accéléré pour résoudre un problème concret.
Objectifs Pédagogiques
- Établir les équations horaires du mouvement d'un projectile.
- Déterminer l'équation de la trajectoire.
- Calculer des grandeurs clés : la flèche (hauteur maximale) et la portée.
- Comprendre l'influence de l'angle de tir et de la vitesse initiale.
Données de l'étude
Schéma du Lancement du Projectile
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( v_0 \) | Norme de la vitesse initiale | 20 | m/s |
| \( \alpha \) | Angle de tir (avec l'horizontale) | 60 | degrés |
| \( g \) | Accélération de la pesanteur | 9.81 | m/s² |
Questions à traiter
- Déterminer les composantes \( v_{0x} \) et \( v_{0y} \) du vecteur vitesse initial \( \vec{v_0} \).
- En appliquant la deuxième loi de Newton, établir les équations horaires de la vitesse \( v_x(t) \) et \( v_y(t) \).
- En déduire les équations horaires de la position \( x(t) \) et \( y(t) \).
- Établir l'équation de la trajectoire \( y(x) \).
- Calculer la hauteur maximale atteinte (la flèche) et la distance horizontale parcourue (la portée).
Les bases sur le Mouvement d'un Projectile
Le mouvement d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme (en négligeant les frottements) est un cas classique de mouvement à deux dimensions. La clé est de le décomposer en deux mouvements indépendants :
1. Mouvement Horizontal (selon l'axe Ox)
Aucune force n'agit sur le projectile horizontalement. L'accélération est donc nulle. Le mouvement est rectiligne et uniforme.
\[ a_x = 0 \Rightarrow v_x(t) = v_{0x} \Rightarrow x(t) = v_{0x} \cdot t + x_0 \]
2. Mouvement Vertical (selon l'axe Oy)
Le projectile est soumis à son poids, une force constante dirigée vers le bas. L'accélération est constante et égale à \( -g \). Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
\[ a_y = -g \Rightarrow v_y(t) = -g \cdot t + v_{0y} \Rightarrow y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + v_{0y} \cdot t + y_0 \]
Correction : Étude de la Trajectoire d’une Balle
Question 1 : Composantes de la vitesse initiale
Principe
Pour étudier le mouvement, il faut d'abord décomposer le vecteur vitesse initial selon les axes du repère. On utilise pour cela les relations trigonométriques dans le triangle rectangle formé par le vecteur et ses composantes.
Mini-Cours
Un vecteur dans un plan peut être décomposé en deux composantes orthogonales. Si un vecteur \( \vec{V} \) fait un angle \( \alpha \) avec l'axe des abscisses, ses composantes sont \( V_x = ||\vec{V}|| \cos(\alpha) \) et \( V_y = ||\vec{V}|| \sin(\alpha) \). Cette projection est la première étape de la quasi-totalité des problèmes de mécanique en 2D.
Remarque Pédagogique
Prenez toujours le temps de dessiner le vecteur et ses composantes. Cela vous aide à visualiser quel côté du triangle correspond au cosinus (le côté "collé" à l'angle) et lequel correspond au sinus (le côté opposé).
Normes
Ce problème se situe dans le cadre de la mécanique Newtonienne, qui est le modèle standard (la "norme") pour décrire le mouvement des objets à des vitesses non relativistes et à une échelle macroscopique.
Formule(s)
Composante horizontale
Composante verticale
Hypothèses
Pour que ces formules soient valides, on se base sur les hypothèses suivantes :
- Le repère (O, x, y) est orthonormé.
- L'angle \( \alpha \) est mesuré par rapport à l'axe horizontal (Ox).
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs fournies dans l'énoncé pour l'application numérique.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \( v_0 \) | 20 | m/s |
| Angle de tir | \( \alpha \) | 60 | degrés |
Astuces
Pour vous souvenir des formules, utilisez le moyen mnémotechnique "SOH CAH TOA" (Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent). Ici, l'hypoténuse est \( v_0 \).
Schéma (Avant les calculs)
Projection de la vitesse initiale
Calcul(s)
Calcul de la composante horizontale \( v_{0x} \)
Calcul de la composante verticale \( v_{0y} \)
Schéma (Après les calculs)
Composantes de la vitesse initiale avec valeurs
Réflexions
Le résultat nous montre que la balle commence son mouvement avec une vitesse horizontale de 10 m/s qui (comme nous le verrons) restera constante, et une vitesse verticale initiale de 17.32 m/s qui va diminuer à cause de la gravité.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est d'utiliser le mauvais mode sur sa calculatrice (radians au lieu de degrés). Vérifiez toujours le mode avant de calculer un sinus ou un cosinus ! Une autre erreur est d'inverser sinus et cosinus.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez : 1. Toujours décomposer les vecteurs initiaux. 2. La composante horizontale utilise le cosinus de l'angle avec l'horizontale. 3. La composante verticale utilise le sinus.
Le saviez-vous ?
Le concept de décomposition des vecteurs a été formalisé au 19ème siècle, mais l'idée de décomposer le mouvement d'un projectile en une composante horizontale et une verticale a été introduite par Galilée au 17ème siècle. C'est cette idée qui a révolutionné l'étude de la balistique.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez les composantes si la vitesse initiale était de 30 m/s avec un angle de 45°.
Question 2 : Équations horaires de la vitesse
Principe
On applique la deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) qui relie la somme des forces extérieures à l'accélération du système.
Mini-Cours
La seule force agissant sur la balle est son poids \( \vec{P} = m\vec{g} \). La deuxième loi de Newton s'écrit \( \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a} \). Ici, cela devient \( m\vec{g} = m\vec{a} \), donc \( \vec{a} = \vec{g} \). Le vecteur accélération est constant et égal au vecteur champ de pesanteur. Pour trouver la vitesse, on intègre l'accélération par rapport au temps : \( \vec{v}(t) = \int \vec{a} dt = \vec{a}t + \vec{v_0} \).
Remarque Pédagogique
La démarche est toujours la même en dynamique : 1. Bilan des forces. 2. Application du PFD pour trouver l'accélération. 3. Intégrations successives pour trouver la vitesse puis la position.
Normes
Le référentiel terrestre est supposé Galiléen pour cette étude, ce qui est une approximation standard et valide pour des mouvements de courte durée et à l'échelle locale.
Formule(s)
Composante horizontale de la vitesse
Composante verticale de la vitesse
Hypothèses
Le calcul repose sur des hypothèses fondamentales :
- La masse de la balle est constante.
- Le champ de pesanteur \( \vec{g} \) est uniforme (constant en direction et en norme).
- Les forces de frottement de l'air sont négligées.
Donnée(s)
On utilise les composantes de la vitesse initiale calculées précédemment et la valeur de g.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Composante horizontale V0 | \( v_{0x} \) | 10 | m/s |
| Composante verticale V0 | \( v_{0y} \) | 17.32 | m/s |
| Accélération pesanteur | \( g \) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Puisque le poids est la seule force et qu'elle est purement verticale, on sait immédiatement que le mouvement horizontal sera uniforme (\(v_x\) = constante) et que seul le mouvement vertical sera affecté (\(v_y\) varie).
Schéma (Avant les calculs)
Vecteur Accélération
Calcul(s)
Projection du vecteur accélération
Intégration pour \( v_x(t) \)
Intégration pour \( v_y(t) \)
Schéma (Après les calculs)
Graphiques des composantes de la vitesse
Réflexions
Les équations montrent bien que la vitesse horizontale ne change jamais, tandis que la vitesse verticale diminue, devient nulle au sommet de la trajectoire, puis devient négative (la balle redescend).
Points de vigilance
Attention au signe de g ! L'axe (Oy) est vers le haut, mais la gravité tire vers le bas, d'où le signe négatif pour \( a_y \). Une erreur de signe ici faussera tous les calculs suivants.
Points à retenir
Retenez le processus : PFD \(\rightarrow\) Accélération \(\rightarrow\) Intégration \(\rightarrow\) Vitesse. Et surtout, \( \vec{a} = \vec{g} \) est le point de départ de tout problème de chute libre.
Le saviez-vous ?
Isaac Newton a formulé ses lois du mouvement dans son ouvrage "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica" en 1687. La deuxième loi, F=ma, est l'une des équations les plus importantes de toute la physique.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la vitesse verticale \( v_y \) après 1 seconde de vol ?
Question 3 : Équations horaires de la position
Principe
On obtient les équations de la position en intégrant les équations de la vitesse par rapport au temps. Les constantes d'intégration sont déterminées par la position initiale de l'objet.
Mini-Cours
La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps (\(\vec{v} = d\vec{r}/dt\)). Inversement, la position est l'intégrale de la vitesse par rapport au temps : \( \vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) dt \). Chaque intégration fait apparaître une constante, qui correspond à la valeur de la grandeur à l'instant initial (ici, la position à t=0).
Remarque Pédagogique
Cette double intégration (de l'accélération à la position) est une méthode centrale en cinématique. Assurez-vous de bien la maîtriser. N'oubliez jamais les constantes d'intégration, elles sont cruciales !
Normes
Il n'y a pas de norme réglementaire ici, mais la convention universelle est de noter les équations de la position par \(x(t)\) et \(y(t)\).
Formule(s)
Position horizontale
Position verticale
Hypothèses
On se place à l'origine du repère à l'instant initial.
- Position initiale : \( x_0 = x(0) = 0 \)
- Position initiale : \( y_0 = y(0) = 0 \)
Donnée(s)
On utilise les équations de la vitesse trouvées à la question précédente.
| Paramètre | Équation |
|---|---|
| Vitesse horizontale | \( v_x(t) = 10 \) |
| Vitesse verticale | \( v_y(t) = -9.81t + 17.32 \) |
Astuces
L'intégration d'un polynôme est simple : l'intégrale de \(at^n\) est \( \frac{a}{n+1}t^{n+1} \). L'intégrale d'une constante \(C\) est \(Ct\).
Schéma (Avant les calculs)
Intégration de la vitesse pour trouver la position
Calcul(s)
Intégration pour \( x(t) \)
Avec la condition initiale \( x(0) = 0 \), on trouve \( C_3 = 0 \).
Intégration pour \( y(t) \)
Avec la condition initiale \( y(0) = 0 \), on trouve \( C_4 = 0 \).
Schéma (Après les calculs)
Trajectoire décrite par les équations horaires
Réflexions
L'équation \(x(t)\) est linéaire, confirmant le mouvement uniforme horizontal. L'équation \(y(t)\) est un polynôme du second degré en t, caractéristique du mouvement uniformément accéléré vertical.
Points de vigilance
Ne pas oublier d'intégrer chaque terme. Une erreur fréquente est d'oublier le terme en \(t\) lors de l'intégration de la constante \(v_{0y}\).
Points à retenir
Retenez le processus : Vitesse \(\rightarrow\) Intégration \(\rightarrow\) Position. Les conditions initiales (ici, \(x_0=0, y_0=0\)) sont utilisées pour fixer les constantes d'intégration.
Le saviez-vous ?
Les équations horaires sont la base de tous les systèmes de guidage, des GPS aux missiles balistiques. En connaissant les conditions initiales et les forces en jeu, on peut prédire la position future d'un objet.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la position horizontale x de la balle après 2 secondes ?
Question 4 : Équation de la trajectoire
Principe
L'équation de la trajectoire, \( y(x) \), décrit la forme de la courbe suivie par la balle. On l'obtient en éliminant le paramètre temps \( t \) entre les deux équations horaires de la position.
Mini-Cours
Passer d'un système d'équations paramétriques (\(x(t), y(t)\)) à une équation cartésienne (\(y(x)\)) est une technique mathématique courante. Elle consiste à isoler le paramètre dans l'une des équations (la plus simple, en général) et à le substituer dans l'autre.
Remarque Pédagogique
Cette étape fait le lien entre la cinématique (étude du mouvement en fonction du temps) et la géométrie (étude de la forme de la trajectoire). Le résultat, une équation de parabole, est l'un des résultats les plus célèbres de la physique de base.
Normes
La notation \(y(x)\) ou \(y=f(x)\) est la convention standard pour représenter une fonction cartésienne dans un plan.
Formule(s)
Formule générale de la trajectoire
Hypothèses
Cette manipulation n'est possible que parce que \(x(t)\) est une fonction strictement croissante, ce qui permet d'exprimer \(t\) de manière unique en fonction de \(x\).
Donnée(s)
On utilise les deux équations horaires trouvées à la question 3.
| Équation |
|---|
| \( x(t) = 10t \) |
| \( y(t) = -4.905t^2 + 17.32t \) |
Astuces
Choisissez toujours l'équation la plus simple pour isoler \(t\). Ici, \(x(t)\) est linéaire, c'est donc le choix évident. Tenter d'isoler \(t\) dans l'équation de \(y(t)\) serait beaucoup plus complexe (équation du second degré).
Schéma (Avant les calculs)
Trajectoire Parabolique
Calcul(s)
Isolation du temps \( t \)
Substitution de \( t \) dans \( y(t) \)
Schéma (Après les calculs)
Graphe de la fonction y(x)
Réflexions
L'équation \(y(x)\) est de la forme \(ax^2+bx+c\), ce qui est la définition d'une parabole. Le coefficient 'a' (\(-0.04905\)) est négatif, ce qui confirme que la parabole est ouverte vers le bas, comme attendu pour une trajectoire sous l'effet de la gravité.
Points de vigilance
Lors de la substitution, n'oubliez pas de mettre au carré l'ensemble du terme. Une erreur classique est d'écrire \((\frac{x}{10})^2\) comme \(\frac{x^2}{10}\) au lieu de \(\frac{x^2}{100}\).
Points à retenir
Pour trouver la trajectoire : 1. Isoler \(t\) dans l'équation de \(x(t)\). 2. Substituer \(t\) dans l'équation de \(y(t)\). 3. Simplifier l'expression pour obtenir \(y(x)\).
Le saviez-vous ?
Les architectes et ingénieurs utilisent des formes paraboliques dans de nombreuses constructions, comme les ponts suspendus ou les arches, car cette forme permet une excellente distribution des charges.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
À quelle hauteur \(y\) se trouve la balle lorsqu'elle a parcouru 5 mètres horizontalement (\(x=5\)) ?
Question 5 : Calcul de la flèche et de la portée
Principe
La flèche est l'altitude maximale \( y_{\text{max}} \). Elle est atteinte lorsque la composante verticale de la vitesse \( v_y(t) \) s'annule. La portée est la distance horizontale \( x_{\text{max}} \) parcourue lorsque la balle retombe au sol (c'est-à-dire quand \( y(t) = 0 \)).
Mini-Cours
Ces deux grandeurs sont des caractéristiques clés de la trajectoire. Le sommet de la parabole (\(y_{\text{max}}\)) est atteint lorsque la dérivée de \(y(x)\) s'annule, ce qui est équivalent à dire que la vitesse verticale \(v_y\) est nulle. La portée correspond à la deuxième racine (non nulle) de l'équation \(y(x)=0\).
Remarque Pédagogique
Il y a souvent deux façons de résoudre : en utilisant les équations en fonction du temps (chercher t puis calculer x et y) ou en utilisant l'équation de la trajectoire y(x). La méthode temporelle est souvent plus intuitive.
Normes
Les termes "flèche" et "portée" sont des terminologies standard en balistique et en mécanique.
Formule(s)
Formule de la flèche
Formule de la portée
Hypothèses
Ces calculs supposent que le point de départ et le point d'arrivée sont à la même altitude (\(y=0\)).
Donnée(s)
On utilise les équations horaires de la vitesse et de la position.
| Paramètre | Équation |
|---|---|
| Vitesse verticale | \( v_y(t) = -9.81t + 17.32 \) |
| Position horizontale | \( x(t) = 10t \) |
| Position verticale | \( y(t) = -4.905t^2 + 17.32t \) |
Astuces
Pour une trajectoire symétrique (départ et arrivée à la même hauteur), le temps total de vol est exactement le double du temps nécessaire pour atteindre la flèche. C'est un excellent moyen de vérifier ses calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la flèche et de la portée
Calcul(s)
Temps pour atteindre la flèche (\( t_f \))
Calcul de la flèche (\( y_{\text{max}} \))
Temps de vol total (\( t_p \))
Calcul de la portée (\( x_{\text{max}} \))
Schéma (Après les calculs)
Trajectoire avec valeurs clés
Réflexions
Ces deux valeurs, flèche et portée, caractérisent entièrement le tir. Elles dépendent fortement de la vitesse initiale et de l'angle, comme on peut l'explorer avec le simulateur. Par exemple, un angle de 45° maximise la portée.
Points de vigilance
Pour la portée, ne pas oublier que l'équation \(y(t)=0\) a deux solutions. \(t=0\) est le point de départ, il faut prendre la deuxième solution non nulle pour le point d'arrivée.
Points à retenir
Flèche : \(v_y=0\). Portée : \(y=0\). Ce sont les deux conditions physiques clés à retenir pour trouver ces grandeurs.
Le saviez-vous ?
Les artilleurs du Moyen Âge utilisaient des tables balistiques complexes, calculées empiriquement, pour ajuster l'angle de leurs canons et atteindre leur cible. Ces tables étaient les ancêtres de nos équations de trajectoire.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la gravité était celle de la Lune (\(g \approx 1.62 \text{ m/s}^2\)), quelle serait la nouvelle portée (avec les mêmes conditions initiales) ?
Outil Interactif : Simulateur de Trajectoire
Utilisez les curseurs pour modifier la vitesse initiale et l'angle de tir, et observez en temps réel comment la trajectoire de la balle est affectée. Le graphique montre la trajectoire \(y(x)\), et les résultats clés sont mis à jour instantanément.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la forme de la trajectoire d'un projectile soumis uniquement à la gravité ?
2. Quand la hauteur maximale (flèche) est-elle atteinte ?
3. En négligeant la résistance de l'air, quel angle de tir donne la portée maximale ?
4. Comment évolue la composante horizontale de la vitesse au cours du mouvement ?
5. Si on double la vitesse initiale (en gardant le même angle), comment la portée est-elle affectée ?
- Équations horaires
- Ensemble d'équations qui décrivent la position, la vitesse et l'accélération d'un objet en fonction du temps.
- Trajectoire
- La courbe géométrique décrite par un objet en mouvement dans l'espace.
- Portée
- La distance horizontale maximale parcourue par un projectile entre son point de lancement et son point de chute (à la même altitude).
- Flèche
- L'altitude maximale atteinte par un projectile au cours de sa trajectoire.
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