ÉTUDE DE PHYSIQUE

Étude de la Trajectoire d’une Balle

Étude de la Trajectoire d’une Balle en Mécanique Classique

Étude de la Trajectoire d’une Balle en Mécanique Classique

Comprendre le Mouvement des Projectiles

Le mouvement d'un projectile est un exemple classique d'application des lois de Newton. Lorsqu'un objet est lancé dans les airs avec une vitesse initiale et sous la seule influence de la gravité (en négligeant la résistance de l'air), sa trajectoire est parabolique. L'étude de ce mouvement implique de décomposer le mouvement en composantes horizontales et verticales. Le mouvement horizontal est uniforme (accélération nulle), tandis que le mouvement vertical est uniformément accéléré (soumis à l'accélération gravitationnelle \(g\)). La compréhension de ces principes permet de calculer des grandeurs clés telles que la hauteur maximale atteinte, la portée du projectile et le temps de vol.

Données de l'étude : Lancement d'une Balle

Une balle est lancée depuis le sol avec une vitesse initiale \(v_0 = 20.0 \, \text{m/s}\) faisant un angle \(\theta = 53.0^{\circ}\) avec l'horizontale. On négligera la résistance de l'air.

Constantes et informations :

  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(\sin(53.0^{\circ}) \approx 0.7986\)
  • \(\cos(53.0^{\circ}) \approx 0.6018\)
Schéma : Trajectoire Parabolique d'une Balle
v0 θ y x Hmax Portée (R) Mouvement d'un projectile lancé avec un angle θ.

Trajectoire parabolique d'une balle lancée avec une vitesse initiale \(v_0\) et un angle \(\theta\).

Questions à traiter

  1. Calculer les composantes horizontale (\(v_{0x}\)) et verticale (\(v_{0y}\)) de la vitesse initiale.
  2. Établir les équations horaires du mouvement de la balle : \(x(t)\) et \(y(t)\).
  3. Calculer le temps (\(t_{\text{sommet}}\)) nécessaire pour que la balle atteigne le sommet de sa trajectoire.
  4. Calculer la hauteur maximale (\(H_{\text{max}}\)) atteinte par la balle.
  5. Calculer le temps de vol total (\(t_{\text{vol}}\)) de la balle avant qu'elle ne retouche le sol.
  6. Calculer la portée horizontale (\(R\)) de la balle.

Correction : Étude de la Trajectoire d’une Balle

Question 1 : Composantes de la vitesse initiale

Principe :

La vitesse initiale \(\vec{v_0}\) est un vecteur. Ses composantes horizontale (\(v_{0x}\)) et verticale (\(v_{0y}\)) sont obtenues par projection sur les axes x et y en utilisant l'angle de lancement \(\theta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_{0x} = v_0 \cos(\theta) \] \[ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) \]
Données spécifiques :
  • \(v_0 = 20.0 \, \text{m/s}\)
  • \(\theta = 53.0^{\circ}\)
  • \(\cos(53.0^{\circ}) \approx 0.6018\)
  • \(\sin(53.0^{\circ}) \approx 0.7986\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{0x} &= (20.0 \, \text{m/s}) \times \cos(53.0^{\circ}) \\ &\approx (20.0 \, \text{m/s}) \times 0.6018 \\ &\approx 12.036 \, \text{m/s} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} v_{0y} &= (20.0 \, \text{m/s}) \times \sin(53.0^{\circ}) \\ &\approx (20.0 \, \text{m/s}) \times 0.7986 \\ &\approx 15.972 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Composante horizontale de la vitesse initiale : \(v_{0x} \approx 12.04 \, \text{m/s}\)
  • Composante verticale de la vitesse initiale : \(v_{0y} \approx 15.97 \, \text{m/s}\)

Question 2 : Équations horaires du mouvement \(x(t)\) et \(y(t)\)

Principe :

Le mouvement horizontal est uniforme (\(a_x = 0\)). Le mouvement vertical est uniformément varié (\(a_y = -g\), en choisissant l'axe y positif vers le haut).

Équations générales du mouvement :

Pour x : \(x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{1}{2}a_x t^2\)

Pour y : \(y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}a_y t^2\)

Conditions initiales : \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\) (lancement depuis l'origine).

Formule(s) dérivée(s) :
\[ x(t) = v_{0x} t \] \[ y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 \]
Données spécifiques :
  • \(v_{0x} \approx 12.036 \, \text{m/s}\)
  • \(v_{0y} \approx 15.972 \, \text{m/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Équations avec valeurs numériques :
\[ x(t) \approx (12.04 \, \text{m/s}) \cdot t \] \[ y(t) \approx (15.97 \, \text{m/s}) \cdot t - \frac{1}{2} (9.81 \, \text{m/s}^2) \cdot t^2 \] \[ y(t) \approx (15.97 \, \text{m/s}) \cdot t - (4.905 \, \text{m/s}^2) \cdot t^2 \]
Résultat Question 2 : Les équations horaires sont :
  • \(x(t) \approx 12.04 \cdot t\)
  • \(y(t) \approx 15.97 \cdot t - 4.905 \cdot t^2\)
(où \(x\) et \(y\) sont en mètres et \(t\) en secondes).

Question 3 : Temps pour atteindre le sommet (\(t_{\text{sommet}}\))

Principe :

Au sommet de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse (\(v_y\)) est nulle. L'équation de la vitesse verticale est \(v_y(t) = v_{0y} - gt\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_y(t_{\text{sommet}}) = 0 \Rightarrow v_{0y} - g t_{\text{sommet}} = 0 \] \[ t_{\text{sommet}} = \frac{v_{0y}}{g} \]
Données spécifiques :
  • \(v_{0y} \approx 15.972 \, \text{m/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_{\text{sommet}} &= \frac{15.972 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 1.6281 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le temps pour atteindre le sommet est \(t_{\text{sommet}} \approx 1.63 \, \text{s}\).

Question 4 : Hauteur maximale (\(H_{\text{max}}\))

Principe :

La hauteur maximale est la valeur de \(y(t)\) lorsque \(t = t_{\text{sommet}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_{\text{max}} = y(t_{\text{sommet}}) = v_{0y} t_{\text{sommet}} - \frac{1}{2} g t_{\text{sommet}}^2 \]

Alternativement, \(H_{\text{max}} = \frac{v_{0y}^2}{2g}\).

Données spécifiques :
  • \(v_{0y} \approx 15.972 \, \text{m/s}\)
  • \(t_{\text{sommet}} \approx 1.6281 \, \text{s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul (en utilisant \(t_{\text{sommet}}\)) :
\[ \begin{aligned} H_{\text{max}} &\approx (15.972 \, \text{m/s})(1.6281 \, \text{s}) - \frac{1}{2} (9.81 \, \text{m/s}^2)(1.6281 \, \text{s})^2 \\ &\approx 26.008 \, \text{m} - (4.905 \, \text{m/s}^2)(2.6507 \, \text{s}^2) \\ &\approx 26.008 \, \text{m} - 13.0017 \, \text{m} \\ &\approx 13.0063 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul avec la formule alternative :

\[ \begin{aligned} H_{\text{max}} &= \frac{(15.972 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{255.104784 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{19.62 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 13.002 \, \text{m} \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues aux arrondis.

Résultat Question 4 : La hauteur maximale atteinte par la balle est \(H_{\text{max}} \approx 13.0 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Au sommet de la trajectoire d'un projectile (résistance de l'air négligée) :

Question 5 : Temps de vol total (\(t_{\text{vol}}\))

Principe :

Le temps de vol total est le temps que met la balle pour retourner au sol (\(y(t_{\text{vol}}) = 0\)). Pour un lancement depuis le sol et un retour au sol (trajectoire symétrique en l'absence de résistance de l'air), le temps de vol est le double du temps pour atteindre le sommet.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ t_{\text{vol}} = 2 \times t_{\text{sommet}} \]

Ou en résolvant \(y(t) = 0\): \(v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 = 0 \Rightarrow t(v_{0y} - \frac{1}{2}gt) = 0\). Les solutions sont \(t=0\) (départ) et \(t = \frac{2v_{0y}}{g}\).

Données spécifiques :
  • \(t_{\text{sommet}} \approx 1.6281 \, \text{s}\)
  • \(v_{0y} \approx 15.972 \, \text{m/s}\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_{\text{vol}} &= 2 \times 1.6281 \, \text{s} \\ &\approx 3.2562 \, \text{s} \end{aligned} \]

Ou avec l'autre formule :

\[ \begin{aligned} t_{\text{vol}} &= \frac{2 \times 15.972 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{31.944 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 3.2562 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le temps de vol total est \(t_{\text{vol}} \approx 3.26 \, \text{s}\).

Question 6 : Portée horizontale (\(R\))

Principe :

La portée horizontale est la distance horizontale totale parcourue par la balle. C'est la valeur de \(x(t)\) lorsque \(t = t_{\text{vol}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R = x(t_{\text{vol}}) = v_{0x} t_{\text{vol}} \]

On peut aussi utiliser la formule \(R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}\).

Données spécifiques :
  • \(v_{0x} \approx 12.036 \, \text{m/s}\)
  • \(t_{\text{vol}} \approx 3.2562 \, \text{s}\)
  • \(v_0 = 20.0 \, \text{m/s}\), \(\theta = 53.0^{\circ}\), \(2\theta = 106.0^{\circ}\), \(\sin(106.0^{\circ}) \approx 0.9613\)
Calcul (en utilisant \(v_{0x}\) et \(t_{\text{vol}}\)) :
\[ \begin{aligned} R &\approx (12.036 \, \text{m/s}) \times (3.2562 \, \text{s}) \\ &\approx 39.185 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul avec la formule de portée :

\[ \begin{aligned} R &= \frac{(20.0 \, \text{m/s})^2 \sin(106.0^{\circ})}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{400 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \times 0.9613}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{384.52}{9.81} \, \text{m} \\ &\approx 39.196 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La portée horizontale de la balle est \(R \approx 39.2 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Pour un projectile lancé depuis le sol, l'angle de lancement qui donne la portée horizontale maximale (en l'absence de résistance de l'air) est de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans le mouvement d'un projectile (sans résistance de l'air), quelle composante de la vitesse reste constante ?

2. L'accélération d'un projectile après son lancement (résistance de l'air négligée) est :

3. Si on double la vitesse initiale d'un projectile (en gardant le même angle de lancement), sa portée horizontale :

Glossaire

Mouvement du Projectile
Mouvement d'un objet lancé dans un champ gravitationnel, où la seule force agissante (en l'absence de résistance de l'air) est la gravité.
Trajectoire
Chemin suivi par un objet en mouvement. Pour un projectile sans résistance de l'air, c'est une parabole.
Vitesse Initiale (\(v_0\))
Vitesse de l'objet au moment de son lancement.
Angle de Lancement (\(\theta\))
Angle entre le vecteur vitesse initiale et l'horizontale.
Composantes de la Vitesse
Projections du vecteur vitesse sur les axes d'un système de coordonnées (généralement horizontal \(v_x\) et vertical \(v_y\)).
Équations Horaires
Équations qui décrivent la position (\(x(t), y(t)\)) et la vitesse (\(v_x(t), v_y(t)\)) d'un objet en fonction du temps.
Hauteur Maximale (\(H_{\text{max}}\))
Altitude la plus élevée atteinte par le projectile au cours de sa trajectoire.
Portée Horizontale (\(R\))
Distance horizontale totale parcourue par le projectile depuis son point de lancement jusqu'au point où il retombe à sa hauteur de lancement initiale.
Temps de Vol (\(t_{\text{vol}}\))
Durée totale pendant laquelle le projectile est en l'air.
Accélération due à la Gravité (\(g\))
Accélération subie par tout objet dans un champ gravitationnel (environ \(9.81 \, \text{m/s}^2\) à la surface de la Terre, dirigée vers le bas).
Étude de la Trajectoire d’une Balle - Exercice d'Application

D’autres exercices de mécanique classique:

Problème des Deux Corps
Problème des Deux Corps

Problème des Deux Corps et Réduction à un Corps Fictif Problème des Deux Corps et Réduction à un Corps Fictif Comprendre le Problème des Deux Corps En mécanique classique, le problème des deux corps consiste à déterminer le mouvement de deux corps ponctuels qui...

Application du Principe de Moindre Action
Application du Principe de Moindre Action

Application du Principe de Moindre Action Application du Principe de Moindre Action Le principe de moindre action est un principe variationnel fondamental en mécanique et en physique théorique. Il stipule que la trajectoire réellement suivie par un système physique...

Roulement Sans Glissement d’une Sphère
Roulement Sans Glissement d’une Sphère

Roulement Sans Glissement d'une Sphère sur un Plan Incliné Roulement sans Glissement d'une Sphère sur un Plan Incliné Comprendre le Roulement Sans Glissement Le roulement sans glissement est un type de mouvement où un objet (comme une roue, un cylindre ou une sphère)...

Le Pendule de Foucault : Calcul de la Déviation
Le Pendule de Foucault : Calcul de la Déviation

Le Pendule de Foucault : Calcul de la Déviation Le Pendule de Foucault : Calcul de la Déviation Comprendre le Pendule de Foucault Le pendule de Foucault, du nom du physicien français Léon Foucault, est une expérience célèbre qui démontre de manière visible la rotation...

Stabilité d’un Corps Flottant
Stabilité d’un Corps Flottant

Stabilité d'un Corps Flottant : Poussée et Métacentre Stabilité d'un Corps Flottant : Poussée et Métacentre La stabilité d'un corps flottant est une question centrale en mécanique des fluides et en ingénierie. Elle détermine la capacité d'un objet (comme un navire ou...

Calcul de l’Effet Coriolis
Calcul de l’Effet Coriolis

Effet Coriolis sur la Trajectoire d'un Objet Calcul de l'Effet Coriolis sur la Trajectoire d'un Objet Comprendre l'Effet Coriolis L'effet Coriolis est une manifestation de l'inertie dans un référentiel en rotation, comme la Terre. Il se traduit par une force fictive,...

Oscillations Couplées de Deux Pendules Identiques
Oscillations Couplées de Deux Pendules Identiques

Oscillations Couplées de Deux Pendules Identiques Oscillations Couplées de Deux Pendules Identiques Comprendre les Oscillations Couplées et les Modes Normaux Lorsque deux oscillateurs ou plus sont connectés d'une manière qui leur permet d'échanger de l'énergie, on dit...

Trajectoire dans un Champ de Force Central
Trajectoire dans un Champ de Force Central

Trajectoire dans un Champ de Force Central Trajectoire dans un Champ de Force Central En mécanique classique, le mouvement d'une particule soumise à une force centrale (une force qui est toujours dirigée vers un point fixe, le centre de force) possède des propriétés...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *