ÉTUDE DE PHYSIQUE

Temps et Trajectoire sous l’Effet de la Gravité

Temps et Trajectoire sous l’Effet de la Gravité en Mécanique Classique

Temps et Trajectoire sous l’Effet de la Gravité

Comprendre le Mouvement des Projectiles

En mécanique classique, le mouvement d'un objet lancé dans un champ gravitationnel uniforme (comme celui de la Terre, en négligeant la résistance de l'air) est un exemple fondamental de mouvement à deux dimensions. Si un objet est lancé avec une vitesse initiale, sa trajectoire sera parabolique. L'analyse de ce mouvement se fait en décomposant le mouvement en une composante horizontale (généralement à vitesse constante) et une composante verticale (soumise à l'accélération constante de la gravité). Comprendre ces principes permet de prédire le temps de vol, la portée (distance horizontale parcourue), la hauteur maximale, et la vitesse à tout instant de la trajectoire.

Données du Problème

Un projectile est lancé horizontalement depuis le sommet d'une falaise.

  • Hauteur de la falaise (\(h_0\)) : \(80.0 \, \text{m}\)
  • Vitesse initiale horizontale du projectile (\(v_{0x}\)) : \(15.0 \, \text{m/s}\)
  • Composante verticale initiale de la vitesse (\(v_{0y}\)) : \(0 \, \text{m/s}\) (lancement horizontal)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\) (dirigée vers le bas)

Hypothèses : On néglige la résistance de l'air. Le repère d'étude est défini avec l'origine au pied de la falaise, l'axe \(x\) horizontal dans la direction du lancement, et l'axe \(y\) vertical dirigé vers le haut, avec le sommet de la falaise à \(y = h_0\).

Schéma : Lancement Horizontal d'un Projectile
Falaise Sol (y=0) Lancement (x=0, y=h₀) v 0x h 0 80m x sol (Portée) O x y

Lancement horizontal d'un projectile depuis une falaise.

Questions à traiter

  1. Écrire les équations horaires du mouvement du projectile, c'est-à-dire \(x(t)\) et \(y(t)\), en fonction du temps \(t\).
  2. Calculer le temps (\(t_{\text{sol}}\)) mis par le projectile pour atteindre le sol (\(y=0\)).
  3. Calculer la portée horizontale (\(x_{\text{sol}}\)) du projectile, c'est-à-dire la distance horizontale parcourue avant de toucher le sol.
  4. Calculer les composantes horizontale (\(v_x(t_{\text{sol}})\)) et verticale (\(v_y(t_{\text{sol}})\)) de la vitesse du projectile juste avant l'impact au sol.
  5. Déterminer la norme de la vitesse d'impact (\(v_{\text{impact}}\)) et l'angle d'impact (\(\alpha_{\text{impact}}\)) par rapport à l'horizontale.
  6. Si la vitesse initiale horizontale était doublée (\(2 \times v_{0x}\)), comment cela affecterait-il le temps de vol et la portée ? Justifiez sans refaire tous les calculs.

Correction : Temps et Trajectoire sous l’Effet de la Gravité

Question 1 : Équations horaires du mouvement

Principe :

Le mouvement horizontal est un mouvement rectiligne uniforme (MRU) car il n'y a pas d'accélération horizontale (\(a_x = 0\)). Le mouvement vertical est un mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) car il est soumis à l'accélération constante de la gravité (\(a_y = -g\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Pour le mouvement horizontal :

\[ x(t) = x_0 + v_{0x} t \]

Pour le mouvement vertical :

\[ y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 \]
Données spécifiques et application :
  • Origine du repère au pied de la falaise : \(x_0 = 0\).
  • Hauteur initiale : \(y_0 = h_0 = 80.0 \, \text{m}\).
  • Vitesse initiale horizontale : \(v_{0x} = 15.0 \, \text{m/s}\).
  • Vitesse initiale verticale : \(v_{0y} = 0 \, \text{m/s}\).
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\).

Donc, les équations horaires deviennent :

\[ x(t) = (15.0 \, \text{m/s}) \cdot t \] \[ y(t) = (80.0 \, \text{m}) - \frac{1}{2} (9.81 \, \text{m/s}^2) t^2 = 80.0 - 4.905 t^2 \]
Résultat Question 1 : \(x(t) = 15.0 t\) et \(y(t) = 80.0 - 4.905 t^2\) (avec \(x, y\) en mètres et \(t\) en secondes).

Question 2 : Temps pour atteindre le sol (\(t_{\text{sol}}\))

Principe :

Le projectile atteint le sol lorsque sa position verticale \(y(t_{\text{sol}})\) est égale à zéro.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y(t_{\text{sol}}) = 0 \Rightarrow 80.0 - 4.905 t_{\text{sol}}^2 = 0 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} 4.905 t_{\text{sol}}^2 &= 80.0 \\ t_{\text{sol}}^2 &= \frac{80.0}{4.905} \\ t_{\text{sol}}^2 &\approx 16.30988787 \, \text{s}^2 \\ t_{\text{sol}} &\approx \sqrt{16.30988787} \, \text{s} \\ t_{\text{sol}} &\approx 4.03855 \, \text{s} \end{aligned} \]

En arrondissant à trois chiffres significatifs : \(t_{\text{sol}} \approx 4.04 \, \text{s}\).

Résultat Question 2 : Le temps mis par le projectile pour atteindre le sol est \(t_{\text{sol}} \approx 4.04 \, \text{s}\).

Question 3 : Portée horizontale (\(x_{\text{sol}}\))

Principe :

La portée horizontale est la distance \(x\) parcourue pendant le temps de vol \(t_{\text{sol}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ x_{\text{sol}} = x(t_{\text{sol}}) = v_{0x} \cdot t_{\text{sol}} \]
Données spécifiques :
  • \(v_{0x} = 15.0 \, \text{m/s}\)
  • \(t_{\text{sol}} \approx 4.03855 \, \text{s}\) (valeur non arrondie pour plus de précision)
Calcul :
\[ \begin{aligned} x_{\text{sol}} &\approx (15.0 \, \text{m/s}) \times (4.03855 \, \text{s}) \\ &\approx 60.57825 \, \text{m} \end{aligned} \]

En arrondissant à trois chiffres significatifs : \(x_{\text{sol}} \approx 60.6 \, \text{m}\).

Résultat Question 3 : La portée horizontale du projectile est \(x_{\text{sol}} \approx 60.6 \, \text{m}\).

Question 4 : Composantes de la vitesse à l'impact

Principe :

La composante horizontale de la vitesse (\(v_x\)) reste constante. La composante verticale de la vitesse (\(v_y\)) change en raison de l'accélération gravitationnelle.

Équations de vitesse : \(v_x(t) = v_{0x}\) et \(v_y(t) = v_{0y} - gt = -gt\) (puisque \(v_{0y}=0\)).

Données spécifiques :
  • \(v_{0x} = 15.0 \, \text{m/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(t_{\text{sol}} \approx 4.03855 \, \text{s}\)
Calcul :

Composante horizontale à l'impact :

\[ v_x(t_{\text{sol}}) = v_{0x} = 15.0 \, \text{m/s} \]

Composante verticale à l'impact :

\[ \begin{aligned} v_y(t_{\text{sol}}) &= -g \cdot t_{\text{sol}} \\ &\approx -(9.81 \, \text{m/s}^2) \times (4.03855 \, \text{s}) \\ &\approx -39.6181755 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

En arrondissant : \(v_y(t_{\text{sol}}) \approx -39.6 \, \text{m/s}\) (le signe négatif indique une direction vers le bas).

Résultat Question 4 : Juste avant l'impact, \(v_x \approx 15.0 \, \text{m/s}\) et \(v_y \approx -39.6 \, \text{m/s}\).

Question 5 : Norme et angle de la vitesse d'impact

Principe :

La norme de la vitesse d'impact (\(v_{\text{impact}}\)) est calculée par le théorème de Pythagore à partir de ses composantes. L'angle d'impact (\(\alpha_{\text{impact}}\)) par rapport à l'horizontale est obtenu par l'arctangente du rapport des composantes de la vitesse.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_{\text{impact}} = \sqrt{v_x(t_{\text{sol}})^2 + v_y(t_{\text{sol}})^2} \] \[ \alpha_{\text{impact}} = \arctan\left(\frac{|v_y(t_{\text{sol}})|}{v_x(t_{\text{sol}})}\right) \]

L'angle est généralement donné comme l'angle sous l'horizontale.

Données spécifiques :
  • \(v_x(t_{\text{sol}}) = 15.0 \, \text{m/s}\)
  • \(v_y(t_{\text{sol}}) \approx -39.618 \, \text{m/s}\) (valeur plus précise)
Calcul :

Norme de la vitesse d'impact :

\[ \begin{aligned} v_{\text{impact}} &\approx \sqrt{(15.0)^2 + (-39.618)^2} \\ &\approx \sqrt{225 + 1569.58} \\ &\approx \sqrt{1794.58} \\ &\approx 42.362 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Angle d'impact (sous l'horizontale) :

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{impact}} &\approx \arctan\left(\frac{|-39.618|}{15.0}\right) \\ &\approx \arctan(2.6412) \\ &\approx 69.26^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La norme de la vitesse d'impact est \(v_{\text{impact}} \approx 42.4 \, \text{m/s}\) et l'angle d'impact avec l'horizontale est d'environ \(69.3^\circ\) vers le bas.

Question 6 : Effet du doublement de la vitesse initiale horizontale

Principe :

Analyser l'influence de \(v_{0x}\) sur les équations du temps de vol et de la portée.

Justification qualitative :
  • Temps de vol (\(t_{\text{sol}}\)) : L'équation pour le temps de vol est \(t_{\text{sol}} = \sqrt{2h_0/g}\). Cette équation ne dépend que de la hauteur initiale \(h_0\) et de l'accélération gravitationnelle \(g\). Elle est indépendante de la vitesse initiale horizontale \(v_{0x}\). Par conséquent, si \(v_{0x}\) est doublée, le temps de vol restera le même.
  • Portée (\(x_{\text{sol}}\)) : L'équation pour la portée est \(x_{\text{sol}} = v_{0x} \cdot t_{\text{sol}}\). Puisque \(t_{\text{sol}}\) reste inchangé et que \(v_{0x}\) est doublée, la portée horizontale sera doublée.
Résultat Question 6 : Si la vitesse initiale horizontale est doublée, le temps de vol restera inchangé, mais la portée horizontale sera doublée.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Lors d'un lancement horizontal, la composante verticale initiale de la vitesse est :

2. Le temps de vol d'un projectile lancé horizontalement d'une hauteur \(h_0\) dépend de :

3. Si la hauteur de lancement d'un projectile lancé horizontalement est quadruplée, son temps de vol est :

4. La trajectoire d'un projectile lancé horizontalement (en négligeant la résistance de l'air) est une :

Glossaire

Projectile
Objet lancé dans l'espace et soumis principalement à l'action de la gravité.
Trajectoire Parabolique
Courbe décrite par un projectile dans un champ gravitationnel uniforme, en l'absence de résistance de l'air.
Vitesse Initiale Horizontale (\(v_{0x}\))
Composante de la vitesse initiale du projectile parallèle à l'axe horizontal.
Vitesse Initiale Verticale (\(v_{0y}\))
Composante de la vitesse initiale du projectile parallèle à l'axe vertical.
Équations Horaires
Équations décrivant la position (\(x(t), y(t)\)) et la vitesse (\(v_x(t), v_y(t)\)) d'un objet en fonction du temps.
Accélération Gravitationnelle (\(g\))
Accélération subie par un objet en chute libre près de la surface de la Terre, dirigée vers le bas (valeur approximative \(9.81 \, \text{m/s}^2\)).
Temps de Vol (\(t_{\text{sol}}\))
Durée pendant laquelle le projectile est en l'air avant de toucher le sol.
Portée (\(x_{\text{sol}}\))
Distance horizontale maximale parcourue par le projectile.
Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)
Mouvement d'un objet se déplaçant en ligne droite à vitesse constante.
Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV)
Mouvement d'un objet se déplaçant en ligne droite avec une accélération constante.
Temps et Trajectoire sous l’Effet de la Gravité - Exercice d'Application

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