Temps et Trajectoire sous l’Effet de la Gravité
Contexte : Le mouvement d'un projectileLe mouvement d'un objet lancé dans l'air, soumis uniquement à l'accélération de la pesanteur..
Cet exercice explore l'un des problèmes les plus fondamentaux de la mécanique classique : la trajectoire d'un objet lancé dans un champ de gravité uniforme. Nous allons analyser le cas d'un projectile tiré depuis le sommet d'une falaise avec une vitesse initiale et un angle donnés. L'objectif est de décomposer le mouvement, d'établir ses équations et de calculer des grandeurs clés comme la hauteur maximale atteinte, le temps de vol et la distance horizontale parcourue avant de toucher le sol.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour maîtriser l'application des principes de la cinématique en deux dimensions. Il vous apprendra à traiter les mouvements horizontal et vertical de manière indépendante (principe de superposition) pour résoudre un problème complexe.
Objectifs Pédagogiques
- Décomposer un vecteur vitesse initial en ses composantes horizontales et verticales.
- Établir les équations horaires de la vitesse et de la position pour chaque axe.
- Déterminer l'équation de la trajectoire du projectile.
- Calculer la hauteur maximale (la flèche), le temps de vol et la portée du lancer.
Données de l'étude
Fiche Technique du Lancement
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Hauteur de la falaise | 50 mètres |
| Vitesse initiale de lancement | 25 m/s |
| Angle de tir (par rapport à l'horizontale) | 30 degrés |
| Accélération de la pesanteur (g) | 9.81 m/s² |
Schéma du Problème
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \( v_0 \) | 25 | m/s |
| Angle de lancement | \( \alpha \) | 30 | degrés |
| Hauteur initiale | \( h \) | 50 | m |
| Accélération gravitationnelle | \( g \) | 9.81 | m/s² |
Questions à traiter
- Déterminer les composantes \( v_{0x} \) et \( v_{0z} \) du vecteur vitesse initiale \( \vec{v_0} \).
- Établir les équations horaires de la vitesse \( v_x(t) \), \( v_z(t) \) et de la position \( x(t) \), \( z(t) \).
- À partir des équations horaires, déduire l'équation de la trajectoire \( z(x) \).
- Calculer la hauteur maximale \( z_{\text{max}} \) atteinte par le projectile par rapport au point de lancement.
- Calculer la durée totale du vol \( t_{\text{vol}} \) jusqu'à ce que le projectile touche le sol en bas de la falaise.
Les bases de la cinématique du projectile
Le mouvement d'un projectile (en négligeant la résistance de l'air) est la superposition de deux mouvements indépendants : un mouvement rectiligne uniforme sur l'axe horizontal et un mouvement rectiligne uniformément accéléré sur l'axe vertical.
1. Mouvement horizontal (selon l'axe x)
Aucune force n'agit horizontalement. L'accélération est donc nulle. La vitesse \( v_x \) est constante et égale à sa valeur initiale \( v_{0x} \). L'équation de la position est :
\[ x(t) = v_{0x} \cdot t + x_0 \]
2. Mouvement vertical (selon l'axe z)
Le projectile est soumis à son poids, ce qui engendre une accélération constante \( \vec{a} = -\vec{g} \). Les équations de la vitesse et de la position sont :
\[ v_z(t) = -g \cdot t + v_{0z} \]
\[ z(t) = -\frac{1}{2} g \cdot t^2 + v_{0z} \cdot t + z_0 \]
Correction : Temps et Trajectoire sous l’Effet de la Gravité
Question 1 : Composantes de la vitesse initiale
Principe
Pour étudier un mouvement dans un plan (2D), la stratégie la plus efficace est de le décomposer en deux mouvements rectilignes (1D) plus simples, selon deux axes perpendiculaires. La première étape cruciale est donc de projeter le vecteur vitesse initiale sur les axes du repère choisi.
Mini-Cours
En physique, un vecteur est un objet mathématique qui possède une magnitude (une "longueur" ou intensité) et une direction. Pour travailler avec des vecteurs dans un repère, on les décompose en "composantes". Chaque composante représente l'effet du vecteur le long d'un axe. La trigonométrie (sinus, cosinus) est l'outil fondamental pour calculer ces projections dans un repère cartésien.
Remarque Pédagogique
Prenez toujours le temps de dessiner un schéma clair du vecteur initial et du repère. Visualiser le triangle rectangle formé par le vecteur et ses composantes vous aidera à choisir correctement entre le sinus et le cosinus et à éviter les erreurs d'inattention.
Normes
Ce calcul ne fait pas appel à une norme d'ingénierie (comme l'Eurocode), mais repose sur les principes fondamentaux de la mécanique classique (ou newtonienne), qui constituent le socle de la physique de l'ingénieur.
Formule(s)
Composante horizontale de la vitesse initiale
Composante verticale de la vitesse initiale
Hypothèses
Le calcul est effectué dans un repère cartésien (O, x, z) où l'axe x est horizontal et l'axe z est vertical. L'angle α est mesuré par rapport à l'horizontale (l'axe x).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \( v_0 \) | 25 | m/s |
| Angle de lancement | \( \alpha \) | 30 | degrés |
Astuces
Pour les angles courants comme 30°, 45° et 60°, mémoriser les valeurs de leurs sinus et cosinus (\(\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2\), \(\sin(30^\circ)=1/2\), etc.) peut vous faire gagner du temps et vous permettre de faire des calculs de tête rapides pour vérifier les ordres de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Projection du vecteur vitesse initiale
Calcul(s)
Calcul de la composante horizontale
Calcul de la composante verticale
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des composantes de la vitesse
Réflexions
Le projectile commence avec une vitesse horizontale de 21.65 m/s (qui restera constante) et une vitesse verticale ascendante de 12.5 m/s (qui va diminuer à cause de la gravité, s'annuler au sommet, puis devenir négative).
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser sinus et cosinus. Une autre est d'oublier de vérifier le mode de sa calculatrice (degrés ou radians), ce qui conduit à des résultats complètement faux.
Points à retenir
Pour un angle \(\alpha\) avec l'horizontale : la composante horizontale (\(v_{0x}\)) utilise le cosinus, et la composante verticale (\(v_{0z}\)) utilise le sinus. C'est la base de toute analyse de projectile.
Le saviez-vous ?
Le concept de décomposition de vecteurs a été développé indépendamment par plusieurs mathématiciens, mais c'est l'Irlandais William Rowan Hamilton qui a formalisé la théorie des vecteurs au milieu du 19ème siècle, la rendant l'outil puissant que nous utilisons aujourd'hui.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelles seraient les composantes de la vitesse si l'angle de tir était de 60° ?
Question 2 : Équations horaires du mouvement
Principe
Les équations horaires décrivent l'évolution de la vitesse et de la position en fonction du temps. Elles sont obtenues en appliquant la deuxième loi de Newton (\(\Sigma \vec{F} = m\vec{a}\)) pour trouver l'accélération, puis en intégrant deux fois par rapport au temps.
Mini-Cours
En cinématique, le passage de l'accélération à la vitesse, puis de la vitesse à la position, se fait par intégration. Pour un mouvement uniformément accéléré (accélération constante \(a\)), les équations générales sont :
\(v(t) = a \cdot t + v_0\)
\(p(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + p_0\)
Où \(v_0\) et \(p_0\) sont la vitesse et la position initiales.
Remarque Pédagogique
La clé est de traiter chaque axe de manière totalement indépendante. Appliquez les principes de la cinématique à l'axe x, puis oubliez tout et appliquez-les à l'axe z. C'est le principe de superposition qui rend le problème gérable.
Normes
Comme pour la question 1, nous nous basons sur les lois de la mécanique newtonienne.
Formule(s)
Les formules générales de la cinématique sont appliquées à chaque axe, en tenant compte des accélérations spécifiques : \(a_x = 0\) et \(a_z = -g\).
Hypothèses
On se place dans un référentiel galiléen. L'origine du repère (O) est au point de lancement, au sommet de la falaise. L'axe x est horizontal et l'axe z est vertical, orienté vers le haut. Ainsi, les conditions initiales à \(t=0\) sont : \( x_0 = 0 \) et \( z_0 = 0 \).
Donnée(s)
On utilise les composantes de la vitesse initiale calculées à la question 1 et la valeur de g.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Composante horizontale vitesse | \(v_{0x}\) | 21.65 | m/s |
| Composante verticale vitesse | \(v_{0z}\) | 12.5 | m/s |
| Accélération gravitationnelle | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Écrivez toujours les 4 équations (deux pour la vitesse, deux pour la position) de manière claire et organisée avant de continuer. Ce sont les fondations pour toutes les questions suivantes.
Schéma (Avant les calculs)
Forces agissant sur le projectile
Calcul(s)
Équation de la vitesse horizontale
Équation de la vitesse verticale
Équation de la position horizontale
Équation de la position verticale
Schéma (Après les calculs)
Vecteurs Vitesse et Position à un instant t
Réflexions
Ces quatre équations décrivent entièrement le mouvement du projectile à n'importe quel instant \(t\). On remarque que le mouvement horizontal est simple (proportionnel à \(t\)) tandis que le mouvement vertical est plus complexe (quadratique en \(t\)), ce qui est la signature du mouvement sous gravité.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est le signe de l'accélération \(g\). Comme notre axe \(z\) est orienté vers le haut, l'accélération de la pesanteur, qui est dirigée vers le bas, doit être négative : \(a_z = -g\).
Points à retenir
Le mouvement d'un projectile se résume à ces quatre équations. Maîtrisez leur dérivation à partir de \(a_x=0\) et \(a_z=-g\), car elles sont le point de départ de toute la balistique.
Le saviez-vous ?
Isaac Newton a développé les bases du calcul infinitésimal (intégration et dérivation) en partie pour pouvoir résoudre des problèmes de mécanique comme celui-ci, liant ainsi les forces, les accélérations et les trajectoires.
FAQ
Résultat Final
\( v_x(t) = 21.65 \text{ m/s} \)
\( v_z(t) = -9.81t + 12.5 \text{ m/s} \)
\( x(t) = 21.65t \text{ m} \)
\( z(t) = -4.905t^2 + 12.5t \text{ m} \)
A vous de jouer
Écrivez les 4 équations horaires si le projectile était simplement lâché de la falaise, sans vitesse initiale (\(v_0 = 0\)).
Question 3 : Équation de la trajectoire
Principe
L'équation de la trajectoire décrit la forme géométrique du chemin suivi par le projectile. Elle relie directement les coordonnées spatiales \(z\) et \(x\) en éliminant le paramètre commun, le temps \(t\).
Mini-Cours
Un mouvement décrit par des équations horaires \(x(t)\) et \(z(t)\) est dit "paramétré" par le temps \(t\). Pour trouver la relation cartésienne \(z(x)\), la méthode consiste à exprimer \(t\) en fonction de \(x\) à partir de la première équation, puis à substituer cette expression de \(t\) dans la seconde équation.
Remarque Pédagogique
Cette équation est particulièrement utile pour savoir si le projectile va passer au-dessus ou en dessous d'un obstacle situé à une certaine distance \(x\), sans avoir besoin de calculer à quel moment il y arrive.
Normes
N/A. Il s'agit d'une manipulation mathématique des équations de la mécanique classique.
Formule(s)
Étape 1 : Isoler le temps
Étape 2 : Substituer le temps dans l'équation de z
Hypothèses
Les équations horaires établies à la question 2 sont supposées correctes et valides.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Équation de position en x | \(x(t)\) | \(21.65t\) |
| Équation de position en z | \(z(t)\) | \(-4.905t^2 + 12.5t\) |
Astuces
Faites l'algèbre littéralement (avec les symboles \(v_{0x}\), \(v_{0z}\), \(g\)) jusqu'à la fin. Cela permet d'obtenir une formule générale et de ne remplacer les valeurs numériques qu'à la toute dernière étape, ce qui réduit les risques d'erreurs de calcul intermédiaires.
Schéma (Avant les calculs)
Forme de la Trajectoire
Calcul(s)
Expression du temps en fonction de x
Substitution de t dans z(t)
Schéma (Après les calculs)
Équation de la Trajectoire Parabolique
Réflexions
L'équation est de la forme \( z(x) = Ax^2 + Bx \), ce qui est l'équation d'une parabole. Le coefficient A est négatif (\(-0.0105\)), confirmant que la parabole est "triste" (ouverte vers le bas), ce qui correspond bien à une trajectoire sous l'effet de la gravité.
Points de vigilance
Attention aux erreurs d'algèbre lors de la substitution, notamment à bien mettre au carré le dénominateur \(v_{0x}\) dans le premier terme.
Points à retenir
La trajectoire d'un projectile dans un champ de gravité uniforme est toujours une parabole. Son équation générale est \( z(x) = -\frac{g}{2v_{0x}^2}x^2 + \frac{v_{0z}}{v_{0x}}x \).
Le saviez-vous ?
Les artilleurs utilisaient de complexes tables de tir (appelées tables balistiques) bien avant l'invention des ordinateurs pour calculer la portée de leurs canons en fonction de l'angle de tir. Ces tables étaient essentiellement des solutions pré-calculées de l'équation de la trajectoire.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
À quelle hauteur \(z\) se trouvera le projectile lorsqu'il aura parcouru une distance horizontale de 50 mètres ?
Question 4 : Hauteur maximale (flèche)
Principe
Le point le plus haut de la trajectoire (la flèche) est atteint lorsque le projectile cesse de monter et commence à descendre. À cet instant précis, sa composante de vitesse verticale est nulle (\(v_z = 0\)).
Mini-Cours
En analyse mathématique, pour trouver l'extremum (maximum ou minimum) d'une fonction, on cherche le point où sa dérivée s'annule. Ici, la hauteur est \(z(t)\) et sa dérivée par rapport au temps est la vitesse verticale \(v_z(t)\). Chercher le maximum de \(z(t)\) revient donc à trouver \(t\) tel que \(v_z(t) = 0\).
Remarque Pédagogique
C'est une étape clé qui divise le mouvement en deux phases symétriques (en l'absence de falaise) : la phase ascendante et la phase descendante. Comprendre ce point de bascule est fondamental.
Normes
N/A. Application des principes de la cinématique.
Formule(s)
Étape 1 : Condition au sommet
Étape 2 : Calcul de la hauteur maximale
Hypothèses
Le champ de gravité est uniforme sur toute la trajectoire.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Équation de vitesse en z | \(v_z(t)\) | \(-9.81t + 12.5\) |
| Équation de position en z | \(z(t)\) | \(-4.905t^2 + 12.5t\) |
Astuces
Une fois que vous avez le temps pour atteindre le sommet, ne vous trompez pas d'équation ! Il faut bien le réinjecter dans l'équation de la position \(z(t)\), et non dans celle de la vitesse.
Schéma (Avant les calculs)
Le sommet de la trajectoire
Calcul(s)
Calcul du temps pour atteindre le sommet
Calcul de la hauteur maximale
Schéma (Après les calculs)
Hauteur Maximale Atteinte
Réflexions
Le projectile monte de près de 8 mètres au-dessus de la falaise avant de commencer sa longue chute vers le sol. Cela montre que même avec un angle de 30°, l'impulsion verticale initiale est significative.
Points de vigilance
Attention, \(z_{\text{max}}\) est la hauteur maximale atteinte par rapport au point de lancement (z=0), et non par rapport au sol en bas de la falaise. La hauteur totale par rapport au sol serait \(h + z_{\text{max}}\).
Points à retenir
La condition physique qui définit le sommet de la trajectoire est l'annulation de la vitesse verticale : \(v_z = 0\). C'est un réflexe à avoir pour tous les problèmes de balistique.
Le saviez-vous ?
Pour un tir sur terrain plat, la hauteur maximale est atteinte à la moitié du temps de vol total. Ce n'est pas le cas ici à cause de la falaise, le projectile passe plus de temps à descendre qu'à monter.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle de tir était de 45°, quelle serait la nouvelle hauteur maximale ? (Conservez v₀ = 25 m/s)
Question 5 : Temps de vol total
Principe
Le vol se termine lorsque le projectile atteint le sol. Dans notre repère, le point de lancement est à l'altitude \(z=0\) et la falaise a une hauteur \(h\). Le sol est donc à l'altitude \(z = -h\). Il faut trouver l'instant \(t_{\text{vol}}\) qui satisfait cette condition.
Mini-Cours
La résolution de cette question mène à une équation du second degré de la forme \(at^2 + bt + c = 0\). La solution générale est donnée par la formule quadratique : \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). Le terme \(\Delta = b^2-4ac\) est le discriminant. Si \(\Delta > 0\), il y a deux solutions réelles.
Remarque Pédagogique
Lorsque vous résolvez une équation du second degré en physique, vous obtiendrez souvent deux solutions mathématiques. Il est crucial d'analyser physiquement ces solutions pour ne garder que celle qui a un sens dans le contexte du problème (ici, un temps positif).
Normes
N/A. Résolution mathématique.
Formule(s)
On doit résoudre l'équation du second degré en \(t\) obtenue en posant \(z(t_{\text{vol}}) = -h\):
Hypothèses
Le sol est une surface plane et horizontale située à 50 mètres en dessous du point de lancement.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Équation de position en z | \(z(t)\) | \(-4.905t^2 + 12.5t\) |
| Altitude finale | \(z_f\) | \(-50 \text{ m}\) |
Astuces
Avant de vous lancer dans le calcul du discriminant, vérifiez bien les signes de vos coefficients a, b, et c. Une erreur de signe ici est fatale. Dans notre cas : \(a=4.905\), \(b=-12.5\), \(c=-50\).
Schéma (Avant les calculs)
Condition d'impact au sol
Calcul(s)
Équation à résoudre
Calcul du discriminant
Calcul du temps de vol
Schéma (Après les calculs)
Trajectoire complète avec temps de vol
Réflexions
Le projectile met 1.27s pour atteindre son sommet, puis 3.44s pour descendre du sommet jusqu'au sol. La phase de descente est beaucoup plus longue que la phase de montée à cause de la hauteur additionnelle de la falaise.
Points de vigilance
L'erreur classique est de résoudre \(z(t)=0\). Cela donnerait le temps pour que le projectile retombe à son altitude de départ, mais pas pour qu'il atteigne le sol en bas de la falaise. Il faut bien utiliser \(z(t)=-h\).
Points à retenir
La fin du vol est définie par une condition de position (\(z=-h\)), ce qui mène à une équation du second degré en \(t\). La solution physiquement acceptable est toujours la racine positive.
Le saviez-vous ?
Galilée fut l'un des premiers à démontrer que la trajectoire d'un projectile était une parabole. Il utilisa des plans inclinés pour ralentir la chute des objets et mesurer le temps avec précision, une prouesse remarquable pour son époque où les chronomètres n'existaient pas.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la portée du tir, c'est-à-dire la distance horizontale \(x\) parcourue pendant le temps de vol total.
Outil Interactif : Simulateur de Trajectoire
Utilisez les curseurs pour modifier la vitesse initiale et l'angle de tir. Observez en temps réel comment ces paramètres influencent la trajectoire du projectile, sa portée et sa hauteur maximale.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on néglige la résistance de l'air, quelle est la forme de la trajectoire d'un projectile ?
2. Au point le plus haut de la trajectoire, quelle affirmation est correcte ?
3. La composante horizontale de la vitesse d'un projectile (sans frottement) :
4. Pour une vitesse initiale donnée, quel angle de tir donne la plus grande portée (sur terrain plat) ?
5. Si on double la vitesse initiale de lancement, la portée (sur terrain plat) est :
- Trajectoire
- L'ensemble des positions successives occupées par un point matériel au cours du temps. Pour un projectile, c'est une parabole.
- Portée
- La distance horizontale maximale parcourue par le projectile entre son point de lancement et son point d'impact.
- Flèche
- La hauteur maximale atteinte par le projectile au-dessus de son point de lancement.
- Accélération gravitationnelle (g)
- L'accélération subie par un corps en chute libre due à l'attraction terrestre. Sa valeur moyenne à la surface de la Terre est d'environ 9.81 m/s².
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