ÉTUDE DE PHYSIQUE

Analyse du Coup Franc en Mécanique

Analyse du Coup Franc en Mécanique Classique

Analyse du Coup Franc en Mécanique Classique

Comprendre le Mouvement d'un Projectile : Le Coup Franc

En mécanique classique, le mouvement d'un projectile, tel qu'un ballon de football lors d'un coup franc, est un exemple d'application des lois de Newton. En négligeant la résistance de l'air et les effets de rotation du ballon (effet Magnus), la trajectoire du ballon est parabolique. Elle est déterminée par sa vitesse initiale, l'angle de lancement et l'accélération due à la pesanteur. L'analyse de cette trajectoire permet de prédire la portée du tir, la hauteur maximale atteinte, et si le ballon atteindra sa cible (par exemple, le but).

Données de l'étude

Un joueur de football tire un coup franc.

Caractéristiques du tir :

  • Vitesse initiale du ballon (\(v_0\)) : \(25.0 \, \text{m/s}\)
  • Angle de lancement par rapport à l'horizontale (\(\alpha\)) : \(30.0^\circ\)
  • Distance horizontale entre le point de tir et la ligne de but (\(D\)) : \(20.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la barre transversale du but (\(H_{\text{but}}\)) : \(2.44 \, \text{m}\)
  • Accélération due à la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Hypothèses : On néglige la résistance de l'air et la rotation du ballon. Le terrain est horizontal.

Schéma de la Trajectoire d'un Coup Franc
v₀ α But D = 20 m

Trajectoire d'un ballon de football lors d'un coup franc.

Questions à traiter

  1. Calculer les composantes horizontale (\(v_{0x}\)) et verticale (\(v_{0y}\)) de la vitesse initiale du ballon.
  2. Calculer le temps (\(t_{\text{max_h}}\)) mis par le ballon pour atteindre sa hauteur maximale.
  3. Calculer la hauteur maximale (\(h_{\text{max}}\)) atteinte par le ballon par rapport au sol.
  4. Calculer le temps (\(t_D\)) mis par le ballon pour parcourir la distance horizontale \(D\) jusqu'à la ligne de but.
  5. Calculer la hauteur (\(y_D\)) du ballon lorsqu'il atteint la distance horizontale \(D\) de la ligne de but.
  6. Le ballon entre-t-il dans le but (c'est-à-dire, est-ce que \(0 < y_D < H_{\text{but}}\) lorsque \(x = D\)) ? Justifier.

Correction : Analyse du Coup Franc

Question 1 : Composantes de la Vitesse Initiale

Principe :

La vitesse initiale \(v_0\) peut être décomposée en une composante horizontale \(v_{0x}\) et une composante verticale \(v_{0y}\) en utilisant la trigonométrie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)\] \[v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)\]
Données spécifiques :
  • \(v_0 = 25.0 \, \text{m/s}\)
  • \(\alpha = 30.0^\circ\)
  • \(\cos(30.0^\circ) \approx 0.8660\)
  • \(\sin(30.0^\circ) = 0.5000\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{0x} &= 25.0 \, \text{m/s} \times \cos(30.0^\circ) \\ &\approx 25.0 \, \text{m/s} \times 0.8660 \\ &\approx 21.65 \, \text{m/s} \\ v_{0y} &= 25.0 \, \text{m/s} \times \sin(30.0^\circ) \\ &= 25.0 \, \text{m/s} \times 0.5000 \\ &= 12.5 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(v_{0x} \approx 21.65 \, \text{m/s}\) et \(v_{0y} = 12.5 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Temps pour Atteindre la Hauteur Maximale (\(t_{\text{max_h}}\))

Principe :

À la hauteur maximale, la composante verticale de la vitesse (\(v_y\)) est nulle. On utilise l'équation \(v_y(t) = v_{0y} - gt\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[0 = v_{0y} - g t_{\text{max_h}} \quad \Rightarrow \quad t_{\text{max_h}} = \frac{v_{0y}}{g}\]
Données spécifiques et calculées :
  • \(v_{0y} = 12.5 \, \text{m/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_{\text{max_h}} &= \frac{12.5 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 1.2742... \, \text{s} \\ &\approx 1.27 \, \text{s} \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le temps pour atteindre la hauteur maximale est \(t_{\text{max_h}} \approx 1.27 \, \text{s}\).

Question 3 : Hauteur Maximale Atteinte (\(h_{\text{max}}\))

Principe :

La hauteur maximale est atteinte au temps \(t_{\text{max_h}}\). On utilise l'équation du mouvement vertical : \(y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2\). Alternativement, \(h_{\text{max}} = \frac{v_{0y}^2}{2g}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[h_{\text{max}} = v_{0y} t_{\text{max_h}} - \frac{1}{2} g (t_{\text{max_h}})^2 \quad \text{ou} \quad h_{\text{max}} = \frac{v_{0y}^2}{2g}\]
Données spécifiques et calculées :
  • \(v_{0y} = 12.5 \, \text{m/s}\)
  • \(t_{\text{max_h}} \approx 1.2742 \, \text{s}\) (utilisation de la valeur non arrondie pour précision)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul (avec la première formule) :
\[ \begin{aligned} h_{\text{max}} &\approx (12.5 \, \text{m/s} \times 1.2742 \, \text{s}) - \frac{1}{2} \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times (1.2742 \, \text{s})^2 \\ &\approx 15.9275 \, \text{m} - \frac{1}{2} \times 9.81 \times 1.62359... \, \text{m} \\ &\approx 15.9275 \, \text{m} - 7.9638... \, \text{m} \\ &\approx 7.9637... \, \text{m} \\ &\approx 7.96 \, \text{m} \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]

Calcul avec la seconde formule : \(h_{\text{max}} = \frac{(12.5 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} = \frac{156.25}{19.62} \approx 7.9638... \, \text{m}\)

Résultat Question 3 : La hauteur maximale atteinte par le ballon est \(h_{\text{max}} \approx 7.96 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la composante verticale initiale de la vitesse est plus grande, la hauteur maximale atteinte sera :

Question 4 : Temps pour Atteindre la Distance du But (\(t_D\))

Principe :

Le mouvement horizontal se fait à vitesse constante \(v_{0x}\) (en négligeant la résistance de l'air). Le temps pour parcourir une distance horizontale \(D\) est \(t_D = D / v_{0x}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[t_D = \frac{D}{v_{0x}}\]
Données spécifiques et calculées :
  • Distance au but (\(D\)) : \(20.0 \, \text{m}\)
  • \(v_{0x} \approx 21.6506... \, \text{m/s}\) (utilisation de la valeur non arrondie pour précision)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_D &= \frac{20.0 \, \text{m}}{21.6506 \, \text{m/s}} \\ &\approx 0.92376... \, \text{s} \\ &\approx 0.924 \, \text{s} \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le temps mis par le ballon pour atteindre la distance du but est \(t_D \approx 0.924 \, \text{s}\).

Question 5 : Hauteur du Ballon à la Distance du But (\(y_D\))

Principe :

Utiliser l'équation du mouvement vertical \(y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2\) avec \(t = t_D\).

Données spécifiques et calculées :
  • \(v_{0y} = 12.5 \, \text{m/s}\)
  • \(t_D \approx 0.92376 \, \text{s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_D &= (12.5 \, \text{m/s} \times 0.92376 \, \text{s}) - \frac{1}{2} \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times (0.92376 \, \text{s})^2 \\ &\approx 11.547 \, \text{m} - \frac{1}{2} \times 9.81 \times 0.85333... \, \text{m} \\ &\approx 11.547 \, \text{m} - 4.1858... \, \text{m} \\ &\approx 7.3612... \, \text{m} \\ &\approx 7.36 \, \text{m} \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La hauteur du ballon lorsqu'il atteint la distance du but est \(y_D \approx 7.36 \, \text{m}\).

Question 6 : Le Ballon Entre-t-il dans le But ?

Principe :

Pour que le ballon entre dans le but, sa hauteur \(y_D\) à la distance \(D\) doit être supérieure à 0 (pas au sol) et inférieure à la hauteur de la barre transversale \(H_{\text{but}}\).

Données :
  • Hauteur calculée du ballon (\(y_D\)) : \(\approx 7.36 \, \text{m}\)
  • Hauteur du but (\(H_{\text{but}}\)) : \(2.44 \, \text{m}\)
Comparaison et Conclusion :

On compare \(y_D\) à \(H_{\text{but}}\) :
\(y_D \approx 7.36 \, \text{m}\)
\(H_{\text{but}} = 2.44 \, \text{m}\)

Puisque \(y_D (7.36 \, \text{m}) > H_{\text{but}} (2.44 \, \text{m})\), le ballon passe au-dessus de la barre transversale.

Résultat Question 6 : Non, le ballon n'entre pas dans le but. Il passe au-dessus de la barre transversale car sa hauteur à la distance du but (\(\approx 7.36 \, \text{m}\)) est supérieure à la hauteur du but (\(2.44 \, \text{m}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Pour marquer un but, si le ballon atteint la ligne de but, sa hauteur doit être :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. En l'absence de résistance de l'air, la composante horizontale de la vitesse d'un projectile :

2. À la hauteur maximale de sa trajectoire, la composante verticale de la vitesse d'un projectile est :

3. Pour une vitesse initiale donnée, l'angle de lancement qui donne la portée horizontale maximale (sur terrain plat) est :

Glossaire

Projectile
Objet lancé dans l'air ou l'espace, soumis principalement à la force de gravité (et éventuellement à la résistance de l'air).
Trajectoire
Chemin suivi par un projectile. En l'absence de résistance de l'air, elle est parabolique.
Vitesse Initiale (\(v_0\))
Vitesse du projectile au moment de son lancement.
Angle de Lancement (\(\alpha\))
Angle entre le vecteur vitesse initiale et l'horizontale.
Portée
Distance horizontale maximale parcourue par un projectile avant de retomber à sa hauteur de lancement (ou d'atteindre une cible).
Hauteur Maximale (\(h_{\text{max}}\))
Altitude la plus élevée atteinte par un projectile au cours de sa trajectoire.
Accélération due à la Pesanteur (\(g\))
Accélération subie par tous les objets massifs à proximité de la surface de la Terre (ou d'un autre corps céleste), dirigée vers le bas. Sur Terre, \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\).
Analyse du Coup Franc - Exercice d'Application en Mécanique Classique

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