Analyse du Coup Franc en Mécanique
Contexte : La balistiqueLa science qui étudie le mouvement des projectiles..
Cet exercice explore les principes de la mécanique classique appliqués au football. Nous analyserons la trajectoire d'un ballon lors d'un coup franc pour déterminer si le joueur peut marquer un but en passant par-dessus le mur défensif. Nous utiliserons les équations du mouvement d'un projectile sous l'effet de la gravité.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un problème du monde réel avec des outils mathématiques, à décomposer le mouvement en ses composantes horizontales et verticales, et à utiliser les équations horaires pour prédire la trajectoire d'un objet.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique.
- Établir les équations horaires du mouvement d'un projectile.
- Calculer la flèche (hauteur maximale) et la portée d'un tir.
- Vérifier si une trajectoire passe au-dessus d'un obstacle.
Données de l'étude
Conditions Initiales du Tir
Schéma de la Situation
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale du ballon | \(v_0\) | 25 | m/s |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 20 | degrés |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Questions à traiter
- Déterminer les composantes initiale du vecteur vitesse \( \vec{v_0} \).
- Établir les équations horaires du mouvement du ballon, \(x(t)\) et \(y(t)\).
- Le ballon passe-t-il au-dessus du mur ?
- Quelle est la hauteur maximale (flèche) atteinte par le ballon ?
- Le joueur marque-t-il le but ? (On suppose que le tir est cadré en largeur).
Les bases de la cinématique du point
Pour résoudre cet exercice, nous modéliserons le ballon comme un point matériel en mouvement dans un champ de pesanteur uniforme. Nous négligerons les frottements de l'air.
1. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de sa masse par son accélération : \( \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \vec{a} \). Ici, la seule force est le poids \( \vec{P} = m \vec{g} \). On a donc \( m \vec{a} = m \vec{g} \), ce qui simplifie en \( \vec{a} = \vec{g} \).
2. Intégrations successives
L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps (\( \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \)), et la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps (\( \vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt} \)). En intégrant successivement le vecteur accélération, on obtient le vecteur vitesse puis le vecteur position.
Correction : Analyse du Coup Franc en Mécanique
Question 1 : Déterminer les composantes initiales du vecteur vitesse \( \vec{v_0} \).
Principe
Le vecteur vitesse initiale \( \vec{v_0} \) forme un angle \( \alpha \) avec l'horizontale. On peut le décomposer en une composante horizontale \( v_{0x} \) et une composante verticale \( v_{0y} \) en utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle formé par ces vecteurs.
Mini-Cours
La projection d'un vecteur sur des axes orthogonaux (perpendiculaires) est une opération fondamentale. Si un vecteur \(\vec{V}\) de norme \(V\) fait un angle \(\alpha\) avec l'axe des abscisses (x), ses composantes sont \(V_x = V \cos(\alpha)\) (côté adjacent) et \(V_y = V \sin(\alpha)\) (côté opposé). C'est l'application directe des définitions du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle (SOHCAHTOA).
Remarque Pédagogique
Prenez toujours l'habitude de dessiner un schéma, même simple. Visualiser le vecteur vitesse et l'angle vous aidera à identifier sans erreur quelle composante est associée au cosinus (celle adjacente à l'angle) et laquelle est associée au sinus (celle opposée à l'angle).
Normes
Il n'y a pas de "norme" au sens réglementaire ici. Les calculs sont basés sur les principes universels de la géométrie euclidienne et de la trigonométrie, qui sont le fondement des mathématiques appliquées à la physique.
Formule(s)
Composante horizontale
Composante verticale
Hypothèses
On suppose que le mouvement a lieu entièrement dans le plan vertical (x,y). Il n'y a pas de composante de vitesse latérale (selon un axe z), ce qui signifie que le tir est parfaitement "droit" vers le but.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 25 | m/s |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 20 | degrés |
Astuces
Pour un tir "à ras de terre", l'angle \(\alpha\) est très faible. Le cosinus est alors proche de 1 et le sinus est proche de 0, ce qui signifie que presque toute la vitesse est horizontale. Pour un tir "en cloche", c'est l'inverse.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du vecteur vitesse initiale
Calcul(s)
Conversion de l'angle en radians
Calcul de la composante horizontale \(v_{0x}\)
Calcul de la composante verticale \(v_{0y}\)
Schéma (Après les calculs)
Composantes calculées
Réflexions
On constate que la composante horizontale de la vitesse est beaucoup plus grande que la composante verticale (\(23.49 \gg 8.55\)). Cela signifie que le tir est tendu et rapide, plutôt qu'un tir en cloche. C'est typique d'un coup franc où l'on cherche la puissance.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les degrés en radians avant d'utiliser les fonctions cosinus et sinus sur une calculatrice ou un ordinateur. Vérifiez toujours le mode de votre outil (DEG ou RAD).
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez ces trois points : 1. Un vecteur dans un plan a deux composantes. 2. La projection sur l'axe adjacent à l'angle utilise le cosinus. 3. La projection sur l'axe opposé à l'angle utilise le sinus.
Le saviez-vous ?
Les footballeurs professionnels ne frappent pas le ballon en son centre. En le frappant sur le côté, ils lui impriment une rotation (l'effet Magnus) qui courbe la trajectoire. C'est ce qui permet de contourner un mur, un effet que notre modèle simple ne prend pas en compte !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le joueur avait choisi un angle de 30°, quelles auraient été les nouvelles composantes \(v_{0x}\) et \(v_{0y}\) ?
Question 2 : Établir les équations horaires du mouvement.
Principe
On part du vecteur accélération \( \vec{a} = \vec{g} \), dont les composantes sont \(a_x = 0\) et \(a_y = -g\). On intègre une première fois pour trouver les composantes de la vitesse \(v_x(t)\) et \(v_y(t)\), en utilisant les conditions initiales \(v_{0x}\) et \(v_{0y}\). On intègre une seconde fois pour trouver les équations de la position \(x(t)\) et \(y(t)\), en utilisant les conditions initiales de position (ici, \(x(0)=0\) et \(y(0)=0\)).
Mini-Cours
L'intégration est l'opération inverse de la dérivation. En physique, elle permet de "remonter" de l'accélération à la vitesse, puis de la vitesse à la position. Chaque intégration fait apparaître une "constante d'intégration". La valeur de cette constante est déterminée par les conditions du système à un instant donné, généralement à \(t=0\) (les "conditions initiales").
Remarque Pédagogique
La clé ici est de traiter les mouvements horizontal (selon x) et vertical (selon y) de manière totalement indépendante. La gravité n'affecte que le mouvement vertical. Le mouvement horizontal, en l'absence de frottements, se poursuit à vitesse constante. C'est la grande découverte de Galilée.
Normes
Ce raisonnement est une application directe des Lois du Mouvement de Newton, qui sont les piliers de la mécanique classique.
Formule(s)
Équation horaire horizontale
Équation horaire verticale
Hypothèses
On se place dans un référentiel terrestre supposé galiléen. On suppose que le champ de pesanteur \(\vec{g}\) est constant en norme et en direction. On néglige toutes les forces de frottement, notamment la résistance de l'air.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Composante vitesse horizontale | \(v_{0x}\) | 23.49 | m/s |
| Composante vitesse verticale | \(v_{0y}\) | 8.55 | m/s |
| Position initiale horizontale | \(x_0\) | 0 | m |
| Position initiale verticale | \(y_0\) | 0 | m |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Retenez le modèle : pour un projectile sans frottement, le mouvement horizontal est rectiligne uniforme (\(x(t) = v_{0x}t\)) et le mouvement vertical est rectiligne uniformément accéléré (\(y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t\)).
Schéma (Avant les calculs)
Système de Coordonnées et Forces
Calcul(s)
Intégration de l'accélération horizontale
Intégration de l'accélération verticale
Intégration de la vitesse horizontale
Intégration de la vitesse verticale
Schéma (Après les calculs)
Les équations décrivent une parabole. Le mouvement est la composition d'une avancée horizontale à vitesse constante et d'un mouvement vertical de montée puis de descente.
Allure de la Trajectoire
Réflexions
Ces deux équations simples permettent de connaître la position exacte du ballon à n'importe quel instant \(t\) après le tir. Elles sont l'outil fondamental pour répondre à toutes les autres questions de l'exercice.
Points de vigilance
N'oubliez jamais les constantes d'intégration ! Omettre une constante est une erreur très fréquente. Pensez toujours à utiliser les conditions initiales (position et vitesse à t=0) pour les déterminer.
Points à retenir
Le processus est toujours le même : 1. Partir de l'accélération (\(\vec{a}\)). 2. Intégrer pour obtenir la vitesse (\(\vec{v}(t)\)). 3. Intégrer à nouveau pour obtenir la position (\(\vec{OM}(t)\)). 4. Utiliser les conditions initiales à chaque étape.
Le saviez-vous ?
Galilée fut le premier à établir que la trajectoire d'un projectile est une parabole, en combinant un mouvement horizontal uniforme et un mouvement vertical uniformément accéléré. Cette découverte a invalidé la théorie d'Aristote, qui prévalait depuis près de 2000 ans !
FAQ
Résultat Final
\(x(t) = 23.49 t\)
\(y(t) = -4.905 t^2 + 8.55 t\)
A vous de jouer
Si le ballon était tiré d'une falaise de 10m de haut, quelle serait l'équation pour \(y(t)\) ?
Question 3 : Le ballon passe-t-il au-dessus du mur ?
Principe
Il faut calculer la hauteur du ballon (\(y\)) lorsqu'il se trouve à la distance horizontale (\(x\)) du mur. Pour cela, on calcule d'abord le temps \(t_{\text{mur}}\) mis par le ballon pour atteindre la distance \(x_{\text{mur}} = 9.15 \text{ m}\). Ensuite, on injecte ce temps dans l'équation \(y(t)\) pour trouver la hauteur \(y_{\text{mur}}\). On compare enfin cette hauteur à celle du mur (1.80 m).
Mini-Cours
Ce type de problème est un problème de "franchissement d'obstacle". La méthode consiste toujours à utiliser le mouvement le plus simple (ici, le mouvement horizontal uniforme) pour trouver le temps, puis à utiliser ce temps dans l'équation du mouvement plus complexe (ici, le mouvement vertical) pour trouver la coordonnée critique (ici, la hauteur).
Remarque Pédagogique
Ne vous précipitez pas. Décomposez le problème en deux sous-questions claires : 1. "Quand le ballon arrive-t-il au-dessus du mur ?" (trouver \(t_{\text{mur}}\)) et 2. "À quelle hauteur est-il à cet instant ?" (trouver \(y(t_{\text{mur}})\)). Cette décomposition rend la résolution évidente.
Normes
Pas de norme applicable. La hauteur du mur (1.80m) est une estimation réaliste, et sa distance (9.15m) est fixée par les lois du jeu de la FIFA (10 yards).
Formule(s)
Temps de vol jusqu'à une abscisse x
Hauteur à un instant t
Hypothèses
On suppose que le mur est une ligne verticale parfaite à la distance \(x=9.15\) m. On ne tient pas compte de l'épaisseur du mur ou des joueurs.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance horizontale du mur | \(x_{\text{mur}}\) | 9.15 | m |
| Hauteur du mur | \(y_{\text{hauteur\_mur}}\) | 1.80 | m |
| Composante vitesse horizontale | \(v_{0x}\) | 23.49 | m/s |
Astuces
Avant de calculer, vous pouvez estimer. Le temps de vol sera court (moins d'une seconde). La vitesse verticale initiale est de 8.55 m/s. En 0.4s, le ballon sera monté d'environ \(8.55 \times 0.4 \approx 3.4\) m et aura chuté d'environ \(0.5 \times 9.81 \times 0.4^2 \approx 0.8\) m. La hauteur sera donc autour de \(3.4 - 0.8 = 2.6\) m. Ça passera !
Schéma (Avant les calculs)
Le Défi du Mur
Calcul(s)
Calcul du temps pour atteindre le mur
Calcul de la hauteur du ballon au niveau du mur
Schéma (Après les calculs)
Franchissement Réussi
Réflexions
La hauteur calculée du ballon (\(y_{\text{mur}} \approx 2.59\) m) est supérieure à la hauteur du mur (1.80 m). Le ballon passe donc confortablement au-dessus. La marge de près de 80 cm montre que le tir est bien ajusté pour cet obstacle.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser la distance horizontale au mur (\(x_{\text{mur}}\)) et non une autre distance. Une erreur courante est d'utiliser la distance au but ou la portée totale du tir.
Points à retenir
La méthode pour vérifier le franchissement d'un obstacle est une compétence clé : 1. Calculer le temps pour atteindre l'abscisse de l'obstacle. 2. Calculer l'ordonnée à cet instant. 3. Comparer cette ordonnée à la hauteur de l'obstacle.
Le saviez-vous ?
Pour contrer les tirs passant au-dessus du mur, certaines équipes placent un joueur allongé au sol derrière le mur. Cette tactique, surnommée "le crocodile", vise à bloquer les tirs à ras de terre qui pourraient surprendre un mur qui saute.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le mur mesurait 2.20 m, quelle serait la marge (en m) avec laquelle le ballon passerait au-dessus ?
Question 4 : Quelle est la hauteur maximale (flèche) atteinte par le ballon ?
Principe
La hauteur maximale est atteinte lorsque la composante verticale de la vitesse, \(v_y(t)\), s'annule. C'est l'instant précis où le ballon arrête de monter et commence à descendre. On calcule donc le temps \(t_{\text{flèche}}\) pour lequel \(v_y(t) = 0\). Ensuite, on injecte ce temps dans l'équation de la hauteur \(y(t)\) pour trouver la hauteur maximale \(y_{\text{max}}\).
Mini-Cours
Le sommet d'une parabole \(f(x)=ax^2+bx+c\) est atteint lorsque sa dérivée s'annule. En cinématique, la hauteur \(y(t)\) est une fonction du second degré en \(t\), et sa dérivée est la vitesse verticale \(v_y(t)\). La condition "atteindre le sommet" se traduit donc mathématiquement par "la dérivée (la vitesse) est nulle".
Remarque Pédagogique
La condition \(v_y = 0\) est un réflexe à acquérir pour tous les problèmes de recherche de hauteur maximale en balistique. C'est le point de départ le plus direct pour trouver le temps, puis la hauteur elle-même.
Normes
Pas de norme applicable.
Formule(s)
Condition pour la flèche et temps d'atteinte
Calcul de la hauteur maximale
Hypothèses
Les hypothèses du modèle (gravité constante, pas de frottements) restent inchangées.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Composante vitesse verticale | \(v_{0y}\) | 8.55 | m/s |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
On peut combiner les deux formules pour obtenir directement la hauteur maximale sans calculer le temps : \(y_{\text{max}} = \frac{v_{0y}^2}{2g}\). C'est une formule très utile à retenir pour aller plus vite.
Schéma (Avant les calculs)
Recherche du Sommet de la Trajectoire
Calcul(s)
Calcul du temps pour atteindre la flèche
Calcul de la hauteur maximale
Schéma (Après les calculs)
Flèche Atteinte
Réflexions
La hauteur maximale de 3.73 m est bien supérieure à la hauteur du but (2.44 m). Cela nous indique déjà que si le ballon atteint le but, il sera dans sa phase descendante. La question est de savoir s'il sera redescendu suffisamment bas.
Points de vigilance
Ne confondez pas le temps pour atteindre la flèche (\(t_{\text{flèche}}\)) avec le temps total de vol. Si le point d'arrivée est à la même hauteur que le point de départ, le temps de vol total est exactement \(2 \times t_{\text{flèche}}\).
Points à retenir
La condition physique pour une hauteur maximale est \(v_y=0\). La formule directe \(y_{\text{max}} = v_{0y}^2 / (2g)\) est un raccourci puissant qu'il est bon de connaître par cœur.
Le saviez-vous ?
Sur la Lune, où l'accélération de la pesanteur \(g\) est environ 6 fois plus faible que sur Terre, un même coup franc atteindrait une hauteur maximale 6 fois plus élevée et aurait une portée 6 fois plus grande !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le tir était parfaitement vertical (\(\alpha=90^\circ\)), quelle serait la hauteur maximale atteinte ?
Question 5 : Le joueur marque-t-il le but ?
Principe
La méthode est identique à celle utilisée pour le mur. On doit calculer la hauteur du ballon (\(y_{\text{but}}\)) lorsqu'il atteint la distance horizontale du but (\(x_{\text{but}} = 20 \text{ m}\)). Pour marquer, cette hauteur doit être comprise entre 0 (le sol) et 2.44 m (la barre transversale).
Mini-Cours
Ce problème définit une "fenêtre de succès". Le projectile doit arriver à une abscisse précise (\(x_{\text{but}}\)) avec une ordonnée comprise dans un intervalle cible (\([0, y_{\text{hauteur\_but}}]\)). C'est un cas d'application très courant en balistique, que ce soit pour le sport, l'artillerie ou l'envoi de sondes spatiales.
Remarque Pédagogique
La répétition de la méthode (calculer le temps puis la hauteur) renforce votre maîtrise de la procédure. Appliquez-la une dernière fois, en étant simplement attentif à utiliser les bonnes valeurs (la distance du but, et non plus celle du mur).
Normes
La hauteur du but (2.44 m, soit 8 pieds) et sa distance au point de penalty (proche de notre coup franc) sont des dimensions standardisées par la FIFA.
Formule(s)
Temps de vol jusqu'au but
Hauteur au niveau du but
Hypothèses
On suppose que la ligne de but est une ligne verticale à \(x=20\) m et que le tir est bien cadré en termes de direction latérale.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance horizontale du but | \(x_{\text{but}}\) | 20 | m |
| Hauteur du but | \(y_{\text{hauteur\_but}}\) | 2.44 | m |
| Composante vitesse horizontale | \(v_{0x}\) | 23.49 | m/s |
Astuces
On a vu à la question 4 que le temps pour atteindre la flèche est \(t_{\text{flèche}} \approx 0.87\) s. Le temps pour atteindre le but sera-t-il plus grand ou plus petit ? Cela nous dira si le ballon est en phase montante ou descendante, ce qui est une bonne vérification de la cohérence du résultat.
Schéma (Avant les calculs)
La Fenêtre de Tir
Calcul(s)
Calcul du temps pour atteindre le but
Calcul de la hauteur du ballon au niveau du but
Schéma (Après les calculs)
Tir au-dessus
Réflexions
La hauteur calculée du ballon (3.73 m) est bien supérieure à la hauteur du but (2.44 m). Le tir passe donc largement au-dessus de la barre transversale. Pour marquer, le joueur aurait dû choisir un angle plus faible ou une vitesse initiale moins élevée.
Points de vigilance
La condition pour marquer est double : \(y_{\text{but}} > 0\) ET \(y_{\text{but}} < y_{\text{hauteur\_but}}\). N'oubliez pas de vérifier les deux conditions. Un résultat négatif signifierait que le ballon a touché le sol avant d'atteindre la ligne de but.
Points à retenir
Cet exercice complet montre comment la décomposition d'un problème complexe (marquer un but) en étapes simples basées sur les principes de la physique (équations horaires, conditions aux limites) permet d'arriver à une conclusion chiffrée et argumentée.
Le saviez-vous ?
Le record du coup franc le plus rapide jamais enregistré est attribué au joueur brésilien Ronny Heberson, avec un tir mesuré à 210.9 km/h (soit 58.6 m/s) ! À cette vitesse, les effets de la résistance de l'air, que nous avons négligés, deviennent prépondérants.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec la même vitesse de 25 m/s, quel est l'angle (en degrés, à l'entier le plus proche) qui permettrait au ballon de passer juste sous la barre transversale (hauteur de 2.44m) ?
Outil Interactif : Simulateur de Trajectoire
Utilisez les curseurs pour modifier la vitesse initiale et l'angle de tir, et observez en temps réel comment la trajectoire du ballon est affectée. Le graphique montre la trajectoire, la position du mur et celle du but.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle composante de l'accélération est non-nulle dans ce modèle ?
2. Si on augmente l'angle de tir (en gardant v₀ constante), la hauteur maximale (flèche)...
3. La portée maximale est atteinte pour un angle de...
4. Dans cet exercice, nous avons négligé...
5. La trajectoire du projectile est une...
- Vecteur Vitesse
- Grandeur physique qui décrit à la fois la rapidité et la direction du mouvement d'un point.
- Équations Horaires
- Relations mathématiques qui décrivent la position (\(x(t), y(t)\)) d'un objet en fonction du temps.
- Flèche
- Altitude maximale atteinte par un projectile au cours de sa trajectoire.
- Portée
- Distance horizontale maximale parcourue par un projectile avant de retomber à sa hauteur initiale.
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