Application des Principes de Newton : Mouvement sur un Plan Incliné
Comprendre les Principes de Newton
Les lois du mouvement de Newton sont fondamentales en mécanique classique pour décrire la relation entre les forces agissant sur un objet et le mouvement de cet objet. La première loi (principe d'inertie) stipule qu'un objet reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme si aucune force nette n'agit sur lui. La deuxième loi (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)) relie la somme vectorielle des forces (\(\sum \vec{F}\)) agissant sur un objet à sa masse (\(m\)) et à son accélération (\(\vec{a}\)). La troisième loi (principe d'action-réaction) énonce que pour toute action, il existe une réaction égale et opposée. L'application de ces lois, souvent à l'aide de diagrammes de forces (ou diagrammes du corps libre), permet d'analyser et de prédire le mouvement des objets dans diverses situations.
Données de l'étude : Bloc sur un Plan Incliné avec Frottement
- Coefficient de frottement statique entre le bloc et le plan (\(\mu_s\)) : \(0.40\)
- Coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan (\(\mu_k\)) : \(0.30\)
- Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Bloc sur un Plan Incliné avec Forces
Bloc sur un plan incliné soumis à son poids, la force normale, une force appliquée et une force de frottement.
Questions à traiter
- Dessiner le diagramme des forces (diagramme du corps libre) pour le bloc, en indiquant toutes les forces agissant sur lui. Choisir un système d'axes approprié (par exemple, un axe x parallèle au plan incliné et un axe y perpendiculaire).
- Calculer les composantes du poids du bloc parallèles (\(P_x\)) et perpendiculaires (\(P_y\)) au plan incliné.
- Calculer l'intensité de la force normale (\(N\)) exercée par le plan sur le bloc.
- Calculer l'intensité maximale de la force de frottement statique (\(f_{s,max}\)).
- Déterminer si le bloc se met en mouvement. Si oui, dans quelle direction ?
- Si le bloc se met en mouvement, calculer l'intensité de la force de frottement cinétique (\(f_k\)).
- Calculer l'accélération (\(a\)) du bloc le long du plan incliné.
- Si le bloc part du repos, quelle sera sa vitesse après avoir parcouru une distance \(d = 2.0 \, \text{m}\) le long du plan ?
Correction : Application des Principes de Newton
Question 1 : Diagramme des forces et choix des axes
Principe :
Un diagramme des forces (ou diagramme du corps libre, DCL) représente l'objet isolé et toutes les forces extérieures qui agissent sur lui. Le choix d'un système d'axes judicieux simplifie la décomposition des forces et l'application de la deuxième loi de Newton. Pour un plan incliné, il est courant de choisir l'axe x parallèle à la pente (positif vers le haut ou vers le bas du mouvement potentiel) et l'axe y perpendiculaire à la pente (positif vers le haut, sortant du plan).
Diagramme des Forces :
Diagramme des forces (DCL) pour le bloc sur le plan incliné.
Description des forces et Choix des axes :
- Poids (\(\vec{P}\)) : Force gravitationnelle, dirigée verticalement vers le bas. Son intensité est \(P = mg\).
- Force Normale (\(\vec{N}\)) : Force de contact exercée par le plan sur le bloc, perpendiculaire à la surface du plan et dirigée vers l'extérieur du plan.
- Force Appliquée (\(\vec{F}\)) : Force extérieure tirant le bloc vers le haut de la pente, d'intensité \(40 \, \text{N}\).
- Force de Frottement (\(\vec{f}\)) : Force de contact qui s'oppose au mouvement (ou à la tendance au mouvement) du bloc par rapport au plan. Elle est parallèle au plan. Sa direction dépendra de la tendance au mouvement.
Choix des axes : Axe x parallèle au plan incliné, orienté positivement vers le haut de la pente. Axe y perpendiculaire au plan incliné, orienté positivement vers le haut (sortant du plan).
Question 2 : Composantes du poids (\(P_x\) et \(P_y\))
Principe :
Le poids \(\vec{P}\) doit être décomposé selon les axes x et y choisis. L'angle \(\theta\) du plan incliné se retrouve entre le vecteur poids (vertical) et l'axe y (perpendiculaire au plan).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(m = 5.0 \, \text{kg}\)
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
- \(\theta = 30^{\circ}\)
- \(\sin(30^{\circ}) = 0.5\)
- \(\cos(30^{\circ}) \approx 0.866\)
Calcul :
Intensité du poids :
Composante \(P_x\) (opposée à l'axe x positif) :
Composante \(P_y\) (opposée à l'axe y positif) :
- Composante du poids parallèle au plan : \(P_x \approx -24.53 \, \text{N}\)
- Composante du poids perpendiculaire au plan : \(P_y \approx -42.48 \, \text{N}\)
Question 3 : Intensité de la force normale (\(N\))
Principe :
Le bloc n'a pas de mouvement perpendiculaire au plan incliné (pas d'accélération selon l'axe y). Donc, la somme des forces selon l'axe y est nulle (première loi de Newton ou deuxième loi avec \(a_y=0\)).
Formule(s) utilisée(s) (application de la 2ème loi de Newton selon y) :
Données spécifiques :
- \(P_y \approx -42.477 \, \text{N}\)
Calcul :
Question 4 : Intensité maximale de la force de frottement statique (\(f_{s,max}\))
Principe :
La force de frottement statique maximale est proportionnelle à la force normale et dépend du coefficient de frottement statique \(\mu_s\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(\mu_s = 0.40\)
- \(N \approx 42.477 \, \text{N}\)
Calcul :
Question 5 : Détermination du mouvement
Principe :
Pour que le bloc se mette en mouvement vers le haut, la composante de la force appliquée parallèle au plan (\(F\)) doit être supérieure à la somme de la composante du poids parallèle au plan dirigée vers le bas (\(|P_x|\)) ET de la force de frottement statique maximale (\(f_{s,max}\)) qui s'opposerait à ce mouvement vers le haut.
Force motrice nette (tendance à monter) = \(F - |P_x|\). Si \(F - |P_x| > f_{s,max}\), le bloc monte. Si \(|P_x| - F > f_{s,max}\), le bloc descendrait (si F était plus petite ou nulle). Si \(|F - |P_x|| \leq f_{s,max}\), le bloc reste immobile.
Données spécifiques :
- \(F = 40 \, \text{N}\)
- \(|P_x| = |-24.525 \, \text{N}| = 24.525 \, \text{N}\)
- \(f_{s,max} \approx 16.9908 \, \text{N}\)
Analyse :
Force résultante tendant à faire monter le bloc (avant de considérer le frottement statique) :
Comparons cette force à \(f_{s,max}\) :
\(15.475 \, \text{N}\) (force tendant à faire monter) vs \(16.9908 \, \text{N}\) (frottement statique max opposé).
Puisque \(F_{\text{motrice nette}} < f_{s,max}\) (\(15.475 \, \text{N} < 16.99 \, \text{N}\)), la force appliquée n'est pas suffisante pour surmonter la composante du poids ET le frottement statique maximal pour initier un mouvement vers le haut.
Vérifions si le bloc pourrait glisser vers le bas. La force tendant à faire descendre le bloc est \(|P_x| = 24.525 \, \text{N}\). La force \(F = 40 \, \text{N}\) s'oppose à cette descente. La force nette tendant à faire descendre est \(|P_x| - F = 24.525 - 40 = -15.475 \, \text{N}\). Le signe négatif indique que la force nette est en fait vers le haut. La force de frottement statique s'ajustera pour s'opposer à la tendance au mouvement. La tendance au mouvement est vers le haut due à \(F\). La force de frottement statique réelle, \(f_s\), s'opposera à \(F - |P_x|\) et sera égale à \(15.475 \, \text{N}\), dirigée vers le bas de la pente. Comme \(f_s < f_{s,max}\), le bloc reste immobile.
Quiz Intermédiaire 1 : La force de frottement statique :
Question 6, 7 et 8 : Frottement cinétique, Accélération et Vitesse
Principe :
Puisque le bloc ne se met pas en mouvement (Question 5), la force de frottement agissant est la force de frottement statique, \(f_s = 15.475 \, \text{N}\) (dirigée vers le bas de la pente, s'opposant à la tendance au mouvement vers le haut induite par \(F - |P_x|\)). Il n'y a pas de frottement cinétique, l'accélération est nulle, et la vitesse reste nulle.
- Question 6 : La force de frottement cinétique n'intervient pas car le bloc ne bouge pas. La force de frottement statique réelle est \(f_s \approx 15.48 \, \text{N}\) (dirigée vers le bas de la pente).
- Question 7 : L'accélération du bloc est \(a = 0 \, \text{m/s}^2\).
- Question 8 : La vitesse du bloc reste \(0 \, \text{m/s}\) car il ne se déplace pas.
Quiz Intermédiaire 2 : Si la force appliquée \(F\) était de \(60 \, \text{N}\) (au lieu de \(40 \, \text{N}\)), le bloc se mettrait-il en mouvement vers le haut ? ( \(|P_x| \approx 24.53 \, \text{N}\), \(f_{s,max} \approx 16.99 \, \text{N}\) )
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. La deuxième loi de Newton stipule que :
2. La force normale est toujours :
3. La force de frottement cinétique :
Glossaire
- Force (\(\vec{F}\))
- Interaction qui, lorsqu'elle n'est pas équilibrée, modifie le mouvement d'un objet. C'est une grandeur vectorielle, mesurée en Newtons (N).
- Masse (\(m\))
- Mesure de l'inertie d'un objet, c'est-à-dire sa résistance au changement de mouvement. Unité SI : kilogramme (kg).
- Accélération (\(\vec{a}\))
- Taux de variation de la vitesse d'un objet par rapport au temps. C'est une grandeur vectorielle, mesurée en \(\text{m/s}^2\).
- Lois de Newton
- Ensemble de trois lois fondamentales de la mécanique classique qui décrivent la relation entre les forces et le mouvement.
- Diagramme des Forces (ou Diagramme du Corps Libre - DCL)
- Représentation schématique d'un objet isolé avec toutes les forces extérieures qui agissent sur lui.
- Force Normale (\(\vec{N}\))
- Force de contact exercée par une surface sur un objet, agissant perpendiculairement à la surface.
- Force de Frottement (\(\vec{f}\))
- Force qui s'oppose au mouvement relatif (ou à la tendance au mouvement) entre deux surfaces en contact. Elle est parallèle aux surfaces.
- Frottement Statique (\(f_s\))
- Force de frottement qui empêche un objet de commencer à bouger. Sa valeur s'ajuste jusqu'à un maximum (\(f_{s,max} = \mu_s N\)).
- Frottement Cinétique (ou Dynamique) (\(f_k\))
- Force de frottement qui agit sur un objet lorsqu'il est en mouvement. Son intensité est généralement constante (\(f_k = \mu_k N\)).
- Coefficient de Frottement (\(\mu_s, \mu_k\))
- Nombre sans dimension qui caractérise la nature des surfaces en contact. \(\mu_s\) est le coefficient de frottement statique et \(\mu_k\) est le coefficient de frottement cinétique (\(\mu_k \le \mu_s\)).
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