Calcul du Travail Effectué par un Ouvrier

Exercice : Calcul du Travail d'une Force

Calcul du Travail Effectué par un Ouvrier

Contexte : Le Travail en physiqueEn physique, le travail est l'énergie fournie par une force lorsque son point d'application se déplace. Il est souvent noté W et son unité est le Joule (J)..

Cet exercice porte sur un concept fondamental de la mécanique classique : le travail d'une force. Nous analyserons une situation concrète : un ouvrier tirant une caisse sur une rampe inclinée. Comprendre comment calculer le travail est essentiel pour aborder des notions plus complexes comme l'énergie cinétique, l'énergie potentielle et la puissance.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer la définition mathématique du travail mécanique dans un scénario réaliste, en portant une attention particulière à l'influence de l'angle entre la force et le déplacement.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et définir la notion de travail mécanique.
Appliquer correctement la formule du travail : \( W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos(\theta) \).
Maîtriser les unités du Système International (Joule, Newton, mètre).
Analyser l'influence de l'angle sur la valeur du travail (travail moteur, résistant ou nul).

Données de l'étude

Un ouvrier tire une caisse de 50 kg sur une distance de 10 mètres le long d'une rampe inclinée à 20° par rapport à l'horizontale. L'ouvrier exerce une force de traction constante de 300 N via une corde parallèle à la rampe.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Masse de la caisse (m)	50 kg
Distance de déplacement (d)	10 m
Angle de la rampe (α)	20°
Force de traction (F)	300 N
Intensité de la pesanteur (g)	9.81 m/s²

Schéma de la situation

Questions à traiter

Calculer le travail \( W_F \) effectué par la force de traction de l'ouvrier.
Calculer le travail \( W_P \) effectué par le poids de la caisse.
Le travail effectué par le poids est-il moteur ou résistant ? Justifiez.
Si l'ouvrier met 15 secondes pour monter la caisse, quelle est la puissance moyenne \( P_F \) qu'il a développée ?

Les bases sur le Travail Mécanique

Avant de résoudre l'exercice, il est important de se rappeler les définitions et formules clés relatives au travail et à la puissance en mécanique.

1. Le Travail d'une Force Constante
Le travail d'une force constante \( \vec{F} \) dont le point d'application se déplace en ligne droite de A à B (vecteur déplacement \( \vec{d} = \vec{AB} \)) est le produit scalaire de ces deux vecteurs. \[ W_{\text{AB}}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{d} \] Sa valeur est donnée par la formule : \[ W = F \cdot d \cdot \cos(\theta) \] Où \( F \) est la norme de la force (en Newtons), \( d \) est la distance parcourue (en mètres), et \( \theta \) est l'angle entre le vecteur force et le vecteur déplacement. Le travail s'exprime en Joules (J).

2. La Puissance Moyenne
La puissance moyenne \( P \) est le travail \( W \) effectué par unité de temps \( \Delta t \). Elle mesure la rapidité avec laquelle un travail est fourni. \[ P_{\text{moy}} = \frac{W}{\Delta t} \] Où \( W \) est le travail (en Joules) et \( \Delta t \) est la durée (en secondes). La puissance s'exprime en Watts (W).

Correction : Calcul du Travail Effectué par un Ouvrier

Question 1 : Calculer le travail \( W_F \) effectué par la force de traction de l'ouvrier.

Principe

Pour calculer le travail de la force de traction, nous devons utiliser la définition du travail d'une force. Il faut identifier la norme de la force, la distance du déplacement et l'angle entre la direction de la force et celle du déplacement.

Mini-Cours

Le travail est une mesure du transfert d'énergie par une force. Si une force \( \vec{F} \) est appliquée sur un objet qui subit un déplacement \( \vec{d} \), seule la composante de la force parallèle au déplacement contribue au travail. C'est pourquoi le cosinus de l'angle \( \theta \) entre les deux vecteurs apparaît dans la formule.

Remarque Pédagogique

La première étape est toujours de bien identifier toutes les grandeurs en jeu : qui exerce la force, sur quelle distance, et quel est l'angle. Un schéma est souvent la meilleure façon de visualiser la situation et d'éviter les erreurs d'angle.

Normes

Ce calcul se base sur les principes fondamentaux de la mécanique newtonienne. Il n'y a pas de norme d'ingénierie spécifique (comme un Eurocode) à appliquer ici, mais il est crucial d'utiliser les unités du Système International (SI) : Newtons (N) pour la force, mètres (m) pour la distance, et Joules (J) pour le travail.

Formule(s)

Formule du travail d'une force

W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)

Hypothèses

Nous supposons que la force de traction exercée par l'ouvrier est constante en direction et en intensité tout au long du déplacement.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Force de traction	F	300	N
Distance	d	10	m

Astuces

La corde est parallèle à la rampe, qui est aussi la direction du déplacement. L'angle \( \theta \) entre la force de traction \( \vec{F} \) et le déplacement \( \vec{d} \) est donc de 0°. Le cosinus de 0° est égal à 1, ce qui simplifie le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Application de la formule du travail

\begin{aligned} W_F &= F \cdot d \cdot \cos(\theta) \\ &= 300 \, \text{N} \cdot 10 \, \text{m} \cdot \cos(0^\circ) \\ &= 300 \cdot 10 \cdot 1 \\ &= 3000 \, \text{J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le travail est positif (3000 J), ce qui est cohérent car la force exercée par l'ouvrier est dans le même sens que le déplacement. On dit que c'est un travail moteur : la force aide au mouvement, elle apporte de l'énergie au système.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de se tromper dans l'angle \( \theta \). Il s'agit bien de l'angle entre la force et le déplacement, et non l'angle de la rampe. Ici, ils sont confondus car la traction est parallèle à la pente.

Points à retenir

Pour le travail d'une force de traction dans l'axe du mouvement :

Concept Clé : Le travail est le transfert d'énergie.
Formule Essentielle : \( W = F \cdot d \).
Point de Vigilance Majeur : L'angle est 0°, donc cos(0°) = 1.

Le saviez-vous ?

Le concept de travail a été introduit par le mathématicien et ingénieur français Gaspard-Gustave Coriolis au début du 19ème siècle. Le Joule, l'unité de l'énergie, doit son nom au physicien anglais James Prescott Joule pour ses travaux sur la chaleur et l'énergie.

FAQ

Résultat Final

Le travail effectué par la force de traction de l'ouvrier est de 3000 Joules.

A vous de jouer

Si l'ouvrier tirait avec une force de 400 N sur la même distance, quel serait le travail effectué ?

Question 2 : Calculer le travail \( W_P \) effectué par le poids de la caisse.

Principe

Nous calculons le travail du poids, une force constante dirigée verticalement vers le bas. La méthode est la même : identifier la norme de la force (le poids), la distance, et surtout l'angle entre le vecteur poids et le vecteur déplacement.

Mini-Cours

Le poids \( \vec{P} \) est la force de gravité exercée par la Terre sur un objet. Sa norme est \( P = m \cdot g \), où \( m \) est la masse et \( g \) l'accélération de la pesanteur. Sa direction est toujours verticale. Le travail du poids ne dépend que de la variation d'altitude, mais le calcul via le produit scalaire est toujours applicable.

Remarque Pédagogique

L'étape la plus délicate ici est de déterminer correctement l'angle. Ne confondez pas l'angle de la rampe avec l'angle entre les vecteurs. Un schéma clair est votre meilleur allié pour visualiser la géométrie du problème.

Normes

Comme pour la question 1, nous utilisons les principes de la mécanique classique et les unités du Système International. La valeur de \( g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \) est une constante standard à la surface de la Terre.

Formule(s)

Formule de la norme du poids

P = m \cdot g

Formule du travail du poids

W_P = P \cdot d \cdot \cos(\theta_P)

Hypothèses

Nous considérons que l'accélération de la pesanteur \( g \) est constante sur toute la hauteur de la rampe.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse	m	50	kg
Pesanteur	g	9.81	m/s²
Distance	d	10	m
Angle de la rampe	α	20	°

Astuces

L'angle \( \theta_P \) entre le poids (vertical) et le déplacement (incliné de \( \alpha \)) est de \( 90^\circ + \alpha \). C'est une relation géométrique utile à retenir pour les plans inclinés.

Schéma (Avant les calculs)

Angle entre le Poids et le Déplacement

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la norme du poids

\begin{aligned} P &= m \cdot g \\ &= 50 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 490.5 \, \text{N} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du travail du poids avec \( \theta_P = 110^\circ \)

\begin{aligned} W_P &= P \cdot d \cdot \cos(110^\circ) \\ &= 490.5 \, \text{N} \cdot 10 \, \text{m} \cdot (-0.342) \\ &\approx -1677.5 \, \text{J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le travail est négatif. Cela signifie que le poids s'oppose au mouvement de montée. Il retire de l'énergie au système, énergie qui doit être compensée par la force de traction de l'ouvrier.

Points de vigilance

Ne pas oublier que le cosinus d'un angle obtus (entre 90° et 180°) est négatif. C'est mathématiquement ce qui traduit le caractère "résistant" du travail.

Points à retenir

Pour le travail du poids lors d'une montée :

Concept Clé : Le poids s'oppose à la montée.
Formule Essentielle : \( W_P = m \cdot g \cdot d \cdot \cos(\theta_P) \).
Point de Vigilance Majeur : L'angle \( \theta_P \) est supérieur à 90°, donc le travail est négatif.

Le saviez-vous ?

Le travail du poids entre deux points ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement de la différence d'altitude entre le départ et l'arrivée. C'est ce qu'on appelle une "force conservative".

FAQ

Résultat Final

Le travail effectué par le poids de la caisse est d'environ -1678 Joules.

A vous de jouer

Quel serait le travail du poids si la rampe était inclinée à 30° ?

Question 3 : Le travail effectué par le poids est-il moteur ou résistant ? Justifiez.

Principe

Le signe du travail nous indique sa nature. Un travail positif est dit "moteur" car la force contribue au mouvement. Un travail négatif est dit "résistant" car la force s'oppose au mouvement.

Mini-Cours

Si \( 0^\circ \le \theta < 90^\circ \), alors \( \cos(\theta) > 0 \Rightarrow W > 0 \). Le travail est moteur.
Si \( \theta = 90^\circ \), alors \( \cos(\theta) = 0 \Rightarrow W = 0 \). Le travail est nul.
Si \( 90^\circ < \theta \le 180^\circ \), alors \( \cos(\theta) < 0 \Rightarrow W < 0 \). Le travail est résistant.

Remarque Pédagogique

Il y a deux façons de justifier : par le calcul (le signe du résultat) ou par la physique (l'analyse des directions des vecteurs). Les deux doivent mener à la même conclusion.

Normes

Cette classification (moteur, résistant, nul) est une convention standard en physique mécanique.

Formule(s)

Il s'agit d'interpréter le signe de \( W = F \cdot d \cdot \cos(\theta) \).

Hypothèses

Pas d'hypothèse supplémentaire.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Travail du Poids	\( W_P \)	-1678	J

Astuces

Pensez simplement : "Est-ce que la force aide ou freine le mouvement ?". Si elle aide, le travail est moteur. Si elle freine, il est résistant.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Aucun calcul n'est nécessaire, il s'agit d'une analyse qualitative.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Nous avons calculé \( W_P \approx -1678 \, \text{J} \). Comme le résultat est négatif, le travail du poids est résistant. Cela est logique : lorsque l'on monte un objet, son poids "tire" vers le bas et s'oppose à la montée. Il faut donc fournir un effort pour vaincre cette force. L'angle entre le poids et le déplacement (110°) est obtus (supérieur à 90°), ce qui conduit toujours à un travail négatif.

Points de vigilance

Attention à bien justifier. Ne dites pas seulement "c'est résistant", mais expliquez pourquoi : soit parce que le signe est négatif, soit parce que la force s'oppose au déplacement.

Points à retenir

La nature du travail dépend du signe : Positif \(\Rightarrow\) Moteur, Négatif \(\Rightarrow\) Résistant, Zéro \(\Rightarrow\) Nul.

Le saviez-vous ?

Dans une descente, le poids devient une force motrice (son travail est positif), c'est lui qui "entraîne" l'objet vers le bas.

FAQ

Résultat Final

Le travail du poids est résistant car sa valeur est négative.

A vous de jouer

Si la caisse glissait vers le bas de la rampe, le travail de son poids serait-il moteur ou résistant ?

Question 4 : Si l'ouvrier met 15 secondes pour monter la caisse, quelle est la puissance moyenne \( P_F \) qu'il a développée ?

Principe

La puissance est le débit de l'énergie, c'est-à-dire le travail fourni par unité de temps. Nous allons utiliser le travail de la force de traction calculé à la question 1 et le diviser par la durée du déplacement.

Mini-Cours

La puissance, en Watts (W), est une notion très importante en ingénierie. Elle caractérise la performance d'un moteur, d'une machine, ou d'une personne. Un Watt correspond à un Joule par seconde (\(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\)). Plus la puissance est élevée, plus le travail peut être effectué rapidement.

Remarque Pédagogique

Assurez-vous d'utiliser le bon travail (celui de la force de l'ouvrier, \(W_F\)) et de bien utiliser les unités du SI (Joules, secondes) pour obtenir une puissance en Watts.

Normes

Le Watt (W) est l'unité de puissance du Système International, nommée en l'honneur de l'ingénieur écossais James Watt.

Formule(s)

Formule de la puissance moyenne

P_{\text{moy}} = \frac{W}{\Delta t}

Hypothèses

Nous calculons une puissance moyenne, en supposant que l'effort et la vitesse sont plus ou moins constants sur la durée du déplacement.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Travail de la force de traction	\( W_F \)	3000	J
Durée	\( \Delta t \)	15	s

Astuces

C'est une application directe de la définition.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Application de la formule de la puissance

\begin{aligned} P_F &= \frac{W_F}{\Delta t} \\ &= \frac{3000 \, \text{J}}{15 \, \text{s}} \\ &= 200 \, \text{W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Une puissance de 200 W est un effort significatif et soutenu pour un être humain, comparable à monter des escaliers à un bon rythme. Cela donne un ordre de grandeur réaliste à notre exercice.

Points de vigilance

Ne pas diviser la force par le temps ! La puissance est bien le travail (une énergie) divisé par le temps.

Points à retenir

Pour la puissance moyenne :

Concept Clé : La puissance est le rythme auquel l'énergie est transférée.
Formule Essentielle : \( P = W / \Delta t \).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser les bonnes unités (Joules, secondes, Watts).

Le saviez-vous ?

Une puissance de 735.5 Watts correspond à un cheval-vapeur (ch), une ancienne unité encore parfois utilisée dans le domaine automobile. La puissance développée par l'ouvrier (200 W) est donc d'environ 0,27 cheval-vapeur.

FAQ

Résultat Final

La puissance moyenne développée par l'ouvrier est de 200 Watts.

A vous de jouer

Si l'ouvrier effectuait le même travail de 3000 J en seulement 10 secondes, quelle serait sa puissance ?

Outil Interactif : Simulateur de Travail

Utilisez ce simulateur pour voir comment le travail effectué change en fonction de la force appliquée et de l'angle entre la force et le déplacement, pour une distance fixe de 10 mètres.

Paramètres d'Entrée

Force Appliquée (F) 300 N

Angle (θ) 0 °

Résultats Clés

Travail (W) -

Nature du travail -

Travail (W): Énergie transférée par une force à un objet en mouvement. Unité : Joule (J).
Force (F): Action mécanique capable de déformer un corps ou de modifier son état de mouvement. Unité : Newton (N).
Puissance (P): Quantité de travail effectuée par unité de temps. Unité : Watt (W).
Travail Moteur: Travail positif (W > 0), qui se produit lorsque la force favorise le déplacement (angle \( \theta < 90^\circ \)).
Travail Résistant: Travail négatif (W < 0), qui se produit lorsque la force s'oppose au déplacement (angle \( \theta > 90^\circ \)).

D’autres exercices de mécanique classique: