ÉTUDE DE PHYSIQUE

Mouvement d’une caisse sur un plan incliné

Mouvement d’une Caisse sur un Plan Incliné en Mécanique Classique

Mouvement d’une Caisse sur un Plan Incliné

Comprendre le Mouvement sur un Plan Incliné

Le mouvement d'un objet sur un plan incliné est un problème classique en mécanique qui permet d'illustrer l'application des lois de Newton et l'analyse des forces. Lorsqu'un objet est placé sur un plan incliné, son poids se décompose en une composante parallèle au plan, tendant à le faire glisser, et une composante perpendiculaire au plan, qui contribue à la force normale. La force de frottement, si présente, s'oppose au mouvement ou à la tendance au mouvement. L'étude de ces forces permet de déterminer l'accélération de l'objet et, par conséquent, sa vitesse et sa position en fonction du temps.

Données du Problème

Une caisse glisse le long d'un plan incliné à partir du repos.

  • Masse de la caisse (\(m\)) : \(50.0 \, \text{kg}\)
  • Angle d'inclinaison du plan par rapport à l'horizontale (\(\alpha\)) : \(30^\circ\)
  • Coefficient de frottement cinétique entre la caisse et le plan (\(\mu_k\)) : \(0.20\)
  • Vitesse initiale de la caisse (\(v_0\)) : \(0 \, \text{m/s}\) (part du repos)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Hypothèses : On considère la caisse comme une masse ponctuelle. Le plan incliné est suffisamment long pour les mouvements considérés.

Schéma : Caisse sur un Plan Incliné
α P Px Py N fk Caisse (m)

Diagramme des forces agissant sur une caisse glissant sur un plan incliné.

Questions à traiter

  1. Dessiner le diagramme de corps libre de la caisse, en indiquant toutes les forces agissant sur elle. (Le schéma ci-dessus peut servir de base).
  2. Calculer la valeur du poids (\(P\)) de la caisse.
  3. Calculer les composantes du poids de la caisse, parallèle (\(P_x\)) et perpendiculaire (\(P_y\)) au plan incliné.
  4. Calculer la force normale (\(N\)) exercée par le plan sur la caisse.
  5. Calculer la force de frottement cinétique (\(f_k\)) agissant sur la caisse pendant qu'elle glisse.
  6. Calculer la force résultante (\(F_{\text{nette}}\)) agissant sur la caisse le long du plan incliné.
  7. Calculer l'accélération (\(a\)) de la caisse le long du plan incliné.
  8. Si la caisse part du repos, calculer sa vitesse (\(v_f\)) après avoir glissé sur une distance de \(5.0 \, \text{m}\) le long du plan.

Correction : Mouvement d’une Caisse sur un Plan Incliné

Question 1 : Diagramme de corps libre

Principe :

Un diagramme de corps libre représente l'objet isolé et toutes les forces externes qui agissent sur lui. Pour la caisse sur un plan incliné, les forces sont : le poids (\(\vec{P}\)) dirigé verticalement vers le bas, la force normale (\(\vec{N}\)) exercée par le plan perpendiculairement à sa surface et vers le haut, et la force de frottement cinétique (\(\vec{f}_k\)) parallèle au plan et opposée au mouvement (vers le haut du plan si la caisse glisse vers le bas).

Description du Diagramme :

Le schéma ci-dessous illustre ces forces. Il est identique à celui de l'énoncé, fourni ici pour référence directe.

Diagramme de Corps Libre de la Caisse
α P Px Py N fk Caisse (m)
Résultat Question 1 : Le diagramme des forces est illustré ci-dessus (et dans l'énoncé). Les forces principales sont le poids (\(P\)), la force normale (\(N\)), et la force de frottement cinétique (\(f_k\)).

Question 2 : Valeur du poids (\(P\))

Principe :

Le poids d'un objet est le produit de sa masse (\(m\)) par l'accélération due à la gravité (\(g\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P = m \cdot g \]
Données spécifiques :
  • \(m = 50.0 \, \text{kg}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= (50.0 \, \text{kg}) \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \\ &= 490.5 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le poids de la caisse est \(P = 490.5 \, \text{N}\).

Question 3 : Composantes du poids (\(P_x\) et \(P_y\))

Principe :

Le poids \(\vec{P}\) est décomposé en une composante parallèle au plan incliné (\(P_x\)) et une composante perpendiculaire au plan incliné (\(P_y\)). Si \(\alpha\) est l'angle d'inclinaison du plan :

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_x = P \sin(\alpha) \] \[ P_y = P \cos(\alpha) \]
Données spécifiques :
  • \(P = 490.5 \, \text{N}\)
  • \(\alpha = 30^\circ\)
  • \(\sin(30^\circ) = 0.5\)
  • \(\cos(30^\circ) \approx 0.866\)
Calcul :

Composante parallèle :

\[ \begin{aligned} P_x &= 490.5 \, \text{N} \times \sin(30^\circ) \\ &= 490.5 \, \text{N} \times 0.5 \\ &= 245.25 \, \text{N} \end{aligned} \]

Composante perpendiculaire :

\[ \begin{aligned} P_y &= 490.5 \, \text{N} \times \cos(30^\circ) \\ &\approx 490.5 \, \text{N} \times 0.866025 \\ &\approx 424.776 \, \text{N} \end{aligned} \]

On arrondit à \(P_x = 245.3 \, \text{N}\) et \(P_y \approx 424.8 \, \text{N}\).

Résultat Question 3 : \(P_x \approx 245.3 \, \text{N}\) (dirigée vers le bas du plan) et \(P_y \approx 424.8 \, \text{N}\) (dirigée perpendiculairement au plan, vers le bas).

Question 4 : Force normale (\(N\))

Principe :

Puisqu'il n'y a pas de mouvement perpendiculaire au plan incliné (la caisse ne s'enfonce pas dans le plan ni ne décolle), la somme des forces perpendiculaires au plan est nulle. La force normale \(\vec{N}\) équilibre la composante perpendiculaire du poids \(\vec{P}_y\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ N = P_y = P \cos(\alpha) \]
Données spécifiques :
  • \(P_y \approx 424.776 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ N \approx 424.776 \, \text{N} \]

On arrondit à \(N \approx 424.8 \, \text{N}\).

Résultat Question 4 : La force normale est \(N \approx 424.8 \, \text{N}\).

Question 5 : Force de frottement cinétique (\(f_k\))

Principe :

La force de frottement cinétique est proportionnelle à la force normale et dépend du coefficient de frottement cinétique \(\mu_k\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_k = \mu_k \cdot N \]
Données spécifiques :
  • \(\mu_k = 0.20\)
  • \(N \approx 424.776 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_k &\approx 0.20 \times 424.776 \, \text{N} \\ &\approx 84.9552 \, \text{N} \end{aligned} \]

On arrondit à \(f_k \approx 85.0 \, \text{N}\).

Résultat Question 5 : La force de frottement cinétique est \(f_k \approx 85.0 \, \text{N}\) (dirigée vers le haut du plan, opposée au mouvement).

Question 6 : Force résultante (\(F_{\text{nette}}\)) le long du plan

Principe :

La force résultante le long du plan est la somme vectorielle des forces agissant dans cette direction. Ici, la composante du poids parallèle au plan (\(P_x\)) tire la caisse vers le bas, et la force de frottement (\(f_k\)) s'y oppose.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{nette}} = P_x - f_k \]

(En prenant la direction vers le bas du plan comme positive)

Données spécifiques :
  • \(P_x \approx 245.25 \, \text{N}\)
  • \(f_k \approx 84.9552 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{\text{nette}} &\approx 245.25 \, \text{N} - 84.9552 \, \text{N} \\ &\approx 160.2948 \, \text{N} \end{aligned} \]

On arrondit à \(F_{\text{nette}} \approx 160.3 \, \text{N}\) (dirigée vers le bas du plan).

Résultat Question 6 : La force résultante le long du plan est \(F_{\text{nette}} \approx 160.3 \, \text{N}\).

Question 7 : Accélération (\(a\)) de la caisse

Principe :

Selon la deuxième loi de Newton, la force résultante est égale au produit de la masse et de l'accélération (\(F_{\text{nette}} = m \cdot a\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ a = \frac{F_{\text{nette}}}{m} \]
Données spécifiques :
  • \(F_{\text{nette}} \approx 160.2948 \, \text{N}\)
  • \(m = 50.0 \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a &\approx \frac{160.2948 \, \text{N}}{50.0 \, \text{kg}} \\ &\approx 3.205896 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

On arrondit à \(a \approx 3.21 \, \text{m/s}^2\) (dirigée vers le bas du plan).

Résultat Question 7 : L'accélération de la caisse est \(a \approx 3.21 \, \text{m/s}^2\).

Question 8 : Vitesse finale (\(v_f\)) après \(5.0 \, \text{m}\)

Principe :

Pour un mouvement rectiligne uniformément varié, si l'on connaît l'accélération, la vitesse initiale et la distance parcourue, on peut utiliser l'équation : \(v_f^2 = v_0^2 + 2 a d\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_f^2 = v_0^2 + 2 a d \Rightarrow v_f = \sqrt{v_0^2 + 2 a d} \]
Données spécifiques :
  • \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\) (part du repos)
  • \(a \approx 3.205896 \, \text{m/s}^2\) (valeur non arrondie)
  • \(d = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_f^2 &\approx (0)^2 + 2 \times (3.205896 \, \text{m/s}^2) \times (5.0 \, \text{m}) \\ &= 2 \times 16.02948 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \\ &= 32.05896 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \\ v_f &\approx \sqrt{32.05896} \, \text{m/s} \\ &\approx 5.66206 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

On arrondit à \(v_f \approx 5.66 \, \text{m/s}\).

Résultat Question 8 : La vitesse de la caisse après avoir glissé de \(5.0 \, \text{m}\) est d'environ \(5.66 \, \text{m/s}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Sur un plan incliné, la composante du poids parallèle au plan est donnée par :

2. La force normale exercée par un plan incliné sur un objet est :

3. La force de frottement cinétique s'oppose toujours :

4. Si une caisse glisse sans frottement sur un plan incliné, son accélération est :

Glossaire

Plan Incliné
Surface plane formant un angle avec l'horizontale.
Poids (\(P\))
Force gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet, dirigée verticalement vers le bas. \(P = mg\).
Force Normale (\(N\))
Force de contact exercée par une surface sur un objet, perpendiculaire à la surface.
Force de Frottement (\(f\))
Force qui s'oppose au mouvement relatif (frottement cinétique) ou à la tendance au mouvement (frottement statique) entre deux surfaces en contact.
Coefficient de Frottement Cinétique (\(\mu_k\))
Constante sans dimension qui caractérise le frottement entre deux surfaces en mouvement relatif. \(f_k = \mu_k N\).
Deuxième Loi de Newton
L'accélération d'un objet est directement proportionnelle à la force nette agissant sur lui et inversement proportionnelle à sa masse (\(\Sigma \vec{F} = m\vec{a}\)).
Diagramme de Corps Libre
Schéma représentant un objet isolé et toutes les forces externes qui s'exercent sur lui.
Accélération (\(a\))
Taux de variation de la vitesse d'un objet par unité de temps.
Mouvement d’une Caisse sur un Plan Incliné - Exercice d'Application

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