Oscillations Harmoniques Simples

Principe :

On applique la deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) au bloc. La seule force horizontale agissant sur le bloc est la force de rappel du ressort, donnée par la loi de Hooke : \(F_x = -kx\).

Dérivation :

Selon la deuxième loi de Newton : \(\sum F_x = ma_x\). L'accélération est la dérivée seconde de la position par rapport au temps : \(a_x = \frac{d^2x}{dt^2} = \ddot{x}\).

En réarrangeant, on obtient l'équation différentielle du mouvement :

Définitions :

L'équation différentielle \(\ddot{x} + \omega^2 x = 0\) décrit un oscillateur harmonique simple de pulsation \(\omega\).

Calculs :

En comparant \(\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0\) avec \(\ddot{x} + \omega^2 x = 0\), on identifie :

La fréquence \(f\) est liée à la pulsation par \(f = \frac{\omega}{2\pi}\) :

La période \(T\) est l'inverse de la fréquence \(T = \frac{1}{f}\) :

Solution de l'équation différentielle :

L'équation différentielle \(\ddot{x} + \omega^2 x = 0\) est une équation linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. Sa solution générale peut s'écrire sous plusieurs formes équivalentes. Une forme courante est :

où \(A\) est l'amplitude du mouvement (déplacement maximal par rapport à la position d'équilibre) et \(\varphi\) est la phase à l'origine (ou constante de phase), qui dépend des conditions initiales.

Une autre forme équivalente est \(x(t) = C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)\).

Conditions initiales :

À \(t=0\), on a \(x(0) = x_0\) et \(v(0) = v_0 = 0\).

La vitesse est la dérivée de la position : \(v(t) = \dot{x}(t) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)\).

Application des conditions initiales :

1. Position à \(t=0\):

2. Vitesse à \(t=0\):

De l'équation (2), puisque \(A \neq 0\) (sinon il n'y a pas d'oscillation) et \(\omega \neq 0\), on doit avoir \(\sin(\varphi) = 0\). Cela implique que \(\varphi = n\pi\), où \(n\) est un entier. Les solutions courantes sont \(\varphi = 0\) ou \(\varphi = \pi\).

Si \(\varphi = 0\), alors \(\cos(\varphi) = \cos(0) = 1\). En substituant dans l'équation (1) :

Si \(\varphi = \pi\), alors \(\cos(\varphi) = \cos(\pi) = -1\). En substituant dans l'équation (1) :

Puisque l'amplitude \(A\) est par définition une quantité positive (elle représente un déplacement maximal), et si \(x_0\) est positif (déplacement initial vers la droite), nous choisissons la solution qui donne \(A > 0\). Donc, si \(x_0 > 0\), on prend \(\varphi = 0\) et \(A = x_0\). Si \(x_0 < 0\), on pourrait prendre \(\varphi = \pi\) et \(A = |x_0|\), ou ajuster le signe dans le cosinus.

Pour \(x_0 > 0\) et \(v_0 = 0\), la solution la plus simple est \(A = x_0\) et \(\varphi = 0\).

L'expression complète de \(x(t)\) est donc :

Calculs :

En partant de \(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\) :

Vitesse \(v(t) = \dot{x}(t)\) :

Accélération \(a(t) = \ddot{x}(t) = \dot{v}(t)\) :

On note que \(a(t) = -\omega^2 x(t)\), ce qui est cohérent avec l'équation différentielle initiale.

Si \(x(t) = x_0 \cos(\omega t)\) (cas \(A=x_0, \varphi=0\)) :

Expressions des énergies :

1. Énergie cinétique \(E_c(t)\) :

Puisque \(\omega^2 = k/m\), on a \(m\omega^2 = k\). Donc :

2. Énergie potentielle élastique \(E_p(t)\) :

3. Énergie mécanique totale \(E_m\) :

En utilisant l'identité trigonométrique \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) :

L'énergie mécanique totale \(E_m\) est constante dans le temps (elle ne dépend pas de \(t\)), ce qui montre qu'elle est conservée pour un oscillateur harmonique simple non amorti.

Données :

• \(m = 0.5 \text{ kg}\)
• \(k = 50 \text{ N/m}\)
• \(x_0 = 0.1 \text{ m}\)
• \(v_0 = 0 \text{ m/s}\)

Calculs :

Pulsation \(\omega\):

Fréquence \(f\):

Période \(T\):

Amplitude \(A\) et phase \(\varphi\):

Comme \(v_0 = 0\) et \(x_0 = 0.1 \text{ m} > 0\), on a \(A = x_0 = 0.1 \text{ m}\) et \(\varphi = 0 \text{ rad}\).

Expressions numériques :

Énergie mécanique totale \(E_m\):