Roulement Sans Glissement d’une Sphère
Contexte : La dynamique des corps rigides.
Cet exercice explore un cas fondamental en mécanique classique : une sphère homogène qui descend un plan incliné en roulant sans glisser. Ce problème combine les principes de la translation du centre de masseLe point unique où toute la masse d'un objet peut être considérée comme concentrée pour analyser son mouvement de translation. et de la rotation autour de celui-ci. Comprendre cette situation est essentiel pour analyser des systèmes mécaniques plus complexes, allant des roues de véhicules aux engrenages planétaires.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer simultanément la deuxième loi de Newton pour la translation et la rotation, et à utiliser la condition de roulement sans glissement qui lie ces deux mouvements.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer les lois de Newton à un corps rigide en translation et en rotation.
- Comprendre et utiliser la condition de roulement sans glissement.
- Déterminer l'accélération d'un objet roulant et le rôle du frottement statique.
- Calculer les conditions nécessaires pour maintenir un roulement sans glissement.
Données de l'étude
Schéma de la situation
Fiche Technique de la Sphère
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Masse de la sphère (\(m\)) | \(2.0 \; \text{kg}\) |
| Rayon de la sphère (\(R\)) | \(0.1 \; \text{m}\) |
| Angle du plan incliné (\(\theta\)) | \(30^\circ\) |
| Accélération de la pesanteur (\(g\)) | \(9.81 \; \text{m/s}^2\) |
| Moment d'inertieLa résistance d'un objet à l'accélération angulaire. Pour une sphère pleine, I = (2/5)mR². (\(I_{\text{cm}}\)) | \(\frac{2}{5}mR^2\) |
Questions à traiter
- Établir le bilan des forces s'exerçant sur la sphère et appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique en translation et en rotation.
- En utilisant la condition de roulement sans glissement, dériver l'expression littérale de l'accélération (\(a_{\text{cm}}\)) du centre de masse de la sphère.
- Calculer la valeur numérique de cette accélération.
- Déterminer l'expression du coefficient de frottement statique minimal (\(\mu_{s, \text{min}}\)) nécessaire pour assurer le roulement sans glissement, puis calculer sa valeur.
- Si la sphère part du repos et parcourt 2 mètres le long du plan, quelle est sa vitesse finale ?
Les bases sur le Roulement Sans Glissement
Pour résoudre cet exercice, il faut maîtriser deux domaines de la mécanique du solide : le mouvement de translation du centre de masse et le mouvement de rotation autour de ce centre.
1. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
Pour la translation, la somme vectorielle des forces extérieures est égale au produit de la masse par l'accélération du centre de masse.
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \vec{a}_{\text{cm}} \]
Pour la rotation autour d'un axe fixe passant par le centre de masse, la somme des moments des forces extérieures est égale au produit du moment d'inertie par l'accélération angulaire.
\[ \sum \vec{\tau}_{\text{cm}} = I_{\text{cm}} \vec{\alpha} \]
2. Condition de Roulement Sans Glissement
Cette condition cruciale signifie que le point de contact de la sphère avec le plan est instantanément au repos. Elle relie le mouvement de translation et de rotation par les relations scalaires suivantes :
\[ v_{\text{cm}} = \omega R \quad \text{et} \quad a_{\text{cm}} = \alpha R \]
où \(v_{\text{cm}}\) et \(a_{\text{cm}}\) sont la vitesse et l'accélération du centre de masse, \(\omega\) et \(\alpha\) la vitesse et l'accélération angulaires, et \(R\) le rayon de l'objet.
Correction : Roulement Sans Glissement d’une Sphère
Question 1 : Bilan des forces et application du PFD
Principe
La première étape de tout problème de dynamique est d'identifier toutes les forces agissant sur le système et de poser les équations fondamentales qui décrivent son mouvement. Nous allons séparer le mouvement en une translation rectiligne du centre de masse et une rotation autour de ce même point.
Mini-Cours
Le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), ou deuxième loi de Newton, est la pierre angulaire de la mécanique classique. Il stipule que l'accélération d'un corps est directement proportionnelle à la force nette qui lui est appliquée et inversement proportionnelle à sa masse. Pour un corps rigide, on doit appliquer ce principe deux fois : une fois pour la translation de son centre de masse, et une fois pour la rotation autour de celui-ci.
Remarque Pédagogique
Une méthode infaillible pour ne rien oublier est de toujours procéder dans le même ordre : 1. Isoler le système (ici, la sphère). 2. Dessiner le système et un repère. 3. Lister et dessiner toutes les forces extérieures (forces de contact et à distance). 4. Appliquer le PFD en translation et en rotation.
Normes
Ce problème relève des principes fondamentaux de la mécanique du solide rigide, tels qu'établis par les lois de Newton. Aucune norme d'ingénierie spécifique (comme les Eurocodes) n'est requise ici, car nous sommes dans un cadre purement théorique.
Formule(s)
PFD en translation
PFD en rotation
Hypothèses
Pour que nos équations soient valides, nous posons les hypothèses suivantes :
- La sphère est un corps rigide indéformable.
- La sphère est homogène, son centre de masse coïncide avec son centre géométrique.
- Le plan incliné est parfaitement rigide.
- L'accélération de la pesanteur \(g\) est constante.
- Les frottements de l'air sont négligés.
Donnée(s)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| Système | Sphère pleine homogène |
| Mouvement | Roulement sans glissement sur un plan incliné |
Astuces
Le choix du système d'axes est crucial. En l'alignant avec le plan incliné, on simplifie grandement la projection des vecteurs. Le poids est la seule force qui n'est pas alignée avec les axes, ce qui minimise le nombre de décompositions trigonométriques à effectuer.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur la sphère
Calcul(s)
On projette le PFD sur le système d'axes. Le poids \(\vec{P}\) se décompose en \(P\sin\theta\) (selon x) et \(P\cos\theta\) (opposé à y).
Équations de la translation
On projette les forces sur les axes x (parallèle à la pente) et y (perpendiculaire à la pente). Sur l'axe y, le mouvement est nul, donc la somme des forces est nulle. Sur l'axe x, la somme des forces est égale au produit de la masse par l'accélération.
Équation de la rotation
On calcule la somme des moments des forces par rapport au centre de masse C. Seule la force de frottement \(f_s\) a un bras de levier non nul (égal au rayon R), créant ainsi un couple qui met la sphère en rotation.
Schéma (Après les calculs)
Décomposition du Poids
Réflexions
Nous avons maintenant un système de 3 équations pour 4 inconnues (\(a_{\text{cm}}, \alpha, N, f_s\)). Cela confirme que le problème ne peut pas être résolu sans une information supplémentaire, qui sera la condition de roulement sans glissement de la question suivante.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier la force de frottement. Sans elle, aucun couple ne serait appliqué à la sphère, et elle glisserait simplement sans jamais rouler. Le frottement est ici le "moteur" de la rotation.
Points à retenir
Pour tout corps rigide en mouvement plan, il faut systématiquement :
- Appliquer le PFD en translation au centre de masse.
- Appliquer le PFD en rotation par rapport à un axe passant par le centre de masse.
Le saviez-vous ?
Le concept de "moment d'inertie" a été introduit par Leonhard Euler au 18ème siècle. Il a généralisé les lois de Newton, initialement formulées pour des points matériels, afin de décrire le mouvement complexe des corps rigides comme les planètes.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Comment l'équation de rotation (3) changerait-elle si la force de frottement était appliquée au sommet de la sphère au lieu du point de contact ?
Question 2 : Dérivation de l'accélération \(a_{\text{cm}}\)
Principe
Nous avons un système de trois équations avec trois inconnues (\(a_{\text{cm}}\), \(\alpha\), \(f_s\) après avoir utilisé l'éq. 2 pour \(N\)). Pour le résoudre, nous devons introduire une relation supplémentaire qui lie le mouvement de translation et de rotation : la condition de roulement sans glissement.
Mini-Cours
La condition \(a_{\text{cm}} = \alpha R\) vient du fait que la vitesse du point de contact P est nulle. La vitesse de P est la somme de la vitesse du centre de masse (\(v_{\text{cm}}\)) et de la vitesse de rotation autour du centre de masse (\(-\omega R\)). Donc \(v_P = v_{\text{cm}} - \omega R = 0\). En dérivant cette relation par rapport au temps, on obtient \(a_{\text{cm}} - \alpha R = 0\), soit \(a_{\text{cm}} = \alpha R\).
Remarque Pédagogique
La stratégie est de combiner les équations pour éliminer les inconnues que l'on ne cherche pas. Ici, on ne s'intéresse pas à \(f_s\) et \(\alpha\). On va donc utiliser les équations (3) et (4) pour exprimer \(f_s\) en fonction de \(a_{\text{cm}}\), puis injecter ce résultat dans l'équation (1) pour ne garder que \(a_{\text{cm}}\) comme inconnue.
Normes
Comme pour la question 1, nous restons dans le cadre des principes fondamentaux de la mécanique classique.
Formule(s)
Condition de roulement sans glissement
Hypothèses
Nous ajoutons à nos hypothèses précédentes que le contact se fait sans glissement, ce qui valide l'utilisation de la formule (4).
Donnée(s)
| Paramètre | Expression |
|---|---|
| Moment d'inertie de la sphère (\(I_{\text{cm}}\)) | \(\frac{2}{5}mR^2\) |
Astuces
Avant de remplacer par la valeur de \(I_{\text{cm}}\), gardez l'expression littérale aussi longtemps que possible. Cela permet de voir comment la solution dépend de la forme de l'objet (via \(I_{\text{cm}}\)) et de vérifier l'homogénéité des équations.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur la sphère
Calcul(s)
Expression de l'accélération angulaire
On utilise la condition de roulement sans glissement (4) pour exprimer l'accélération angulaire \(\alpha\) en fonction de l'accélération linéaire \(a_{\text{cm}}\).
Expression de la force de frottement
On substitue l'expression de \(\alpha\) dans l'équation de la rotation (3) pour trouver une expression de la force de frottement \(f_s\) qui ne dépend que de \(a_{\text{cm}}\) et des propriétés de la sphère.
Substitution dans l'équation de translation
Maintenant que nous avons \(f_s\) en fonction de \(a_{\text{cm}}\), on injecte cette expression dans la première équation du mouvement de translation (1).
Isolation de l'accélération \(a_{\text{cm}}\)
On regroupe tous les termes contenant \(a_{\text{cm}}\) du même côté de l'équation pour pouvoir l'isoler.
Expression littérale finale de \(a_{\text{cm}}\)
Finalement, on résout pour \(a_{\text{cm}}\) et on substitue la formule du moment d'inertie de la sphère (\(I_{\text{cm}} = \frac{2}{5}mR^2\)) pour simplifier l'expression. On remarque que la masse \(m\) et le rayon \(R\) s'annulent, menant au résultat final.
Schéma (Après les calculs)
Relation Accélération Linéaire et Angulaire
Réflexions
On remarque que l'accélération est indépendante de la masse \(m\) et du rayon \(R\) de la sphère ! Elle ne dépend que de l'angle d'inclinaison \(\theta\) et de la répartition de la masse (via le facteur 2/5 dans le moment d'inertie). Un cylindre, ayant un moment d'inertie différent, aurait une accélération différente.
Points de vigilance
Attention à ne pas se tromper dans les manipulations algébriques. Chaque étape de la substitution doit être faite soigneusement pour éviter les erreurs de signe ou de dénominateur.
Points à retenir
La méthode clé ici est la substitution. On utilise un ensemble d'équations pour éliminer progressivement les inconnues jusqu'à isoler celle que l'on souhaite calculer. C'est une technique universelle en physique.
Le saviez-vous ?
Si un objet glisse sans rouler (par exemple sur une surface sans friction), sa force de frottement est nulle (\(f_s=0\)). Son accélération serait alors \(a_{\text{cm}} = g \sin\theta\), ce qui est supérieur à \(\frac{5}{7}g \sin\theta\). Le roulement "freine" donc la descente, car une partie de l'énergie potentielle est convertie en énergie de rotation plutôt qu'uniquement en énergie de translation.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait l'accélération d'un anneau fin, pour lequel \(I_{\text{cm}} = mR^2\) ?
Question 3 : Calcul numérique de l'accélération
Principe
Maintenant que nous avons l'expression littérale, il s'agit d'une simple application numérique avec les valeurs fournies dans l'énoncé pour quantifier le mouvement.
Mini-Cours
L'application numérique est l'étape où la physique théorique rencontre le monde réel. Elle permet de donner un sens concret aux équations en fournissant une valeur chiffrée avec une unité. Il est essentiel d'utiliser un système d'unités cohérent, généralement le Système International (mètres, kilogrammes, secondes).
Remarque Pédagogique
Avant de calculer, vérifiez que toutes vos données sont dans les bonnes unités (ici, c'est le cas). Ensuite, effectuez le calcul en une seule fois sur votre calculatrice pour minimiser les erreurs d'arrondi intermédiaires.
Normes
Aucune norme spécifique n'est applicable ici.
Formule(s)
Formule de l'accélération
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que celles utilisées pour dériver la formule.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | \(9.81\) | \(\text{m/s}^2\) |
| Angle du plan | \(\theta\) | \(30\) | \(\text{degrés}\) |
Astuces
Pour une vérification rapide, rappelez-vous que \(\sin(30^\circ) = 0.5\). Le calcul devient alors plus simple à estimer mentalement : \(a_{\text{cm}} \approx \frac{5}{7} \times 9.81 \times 0.5 \approx \frac{5}{14} \times 9.81 \approx \frac{1}{3} \times 9.81 \approx 3.3\) m/s². Cela donne un bon ordre de grandeur pour valider le résultat de la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres du calcul
Calcul(s)
Application numérique de la formule
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Résultat
Réflexions
Une accélération de 3.50 m/s² signifie que chaque seconde, la vitesse de la sphère augmente de 3.50 m/s. C'est une accélération significative, mais inférieure aux 4.905 m/s² (\(g\sin(30^\circ)\)) qu'elle aurait en glissant, ce qui confirme que la rotation "consomme" une partie de l'énergie disponible.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" pour le calcul du sinus, et non en "radians" ou "grades". C'est une source d'erreur très fréquente. De plus, respectez un nombre raisonnable de chiffres significatifs dans le résultat final (ici, trois chiffres semblent appropriés).
Points à retenir
La conversion d'une formule littérale en un résultat numérique est une compétence clé. Elle demande de la rigueur dans l'utilisation des unités et dans la manipulation de la calculatrice.
Le saviez-vous ?
Galilée fut l'un des premiers scientifiques à étudier le mouvement des objets sur des plans inclinés vers 1604. Il utilisait des plans inclinés pour "diluer" la gravité, ce qui ralentissait la chute des objets et lui permettait de mesurer le temps avec les instruments rudimentaires de l'époque, comme des horloges à eau ou son propre pouls.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'accélération si l'angle était de 45°.
Question 4 : Coefficient de frottement minimal
Principe
Le roulement sans glissement n'est possible que si la force de frottement statique requise pour provoquer la rotation n'excède pas sa valeur maximale possible. Cette valeur maximale est proportionnelle à la réaction normale \(N\) via le coefficient de frottement statique \(\mu_s\). Nous cherchons la limite où le glissement est sur le point de se produire.
Mini-Cours
Le frottement statique est une force "intelligente" : sa valeur s'ajuste pour empêcher le glissement, mais seulement jusqu'à une certaine limite. Cette limite est donnée par \(f_{s, \text{max}} = \mu_s N\). Tant que la force de frottement nécessaire pour le roulement pur est inférieure ou égale à cette limite, l'objet roule sans glisser. Si elle la dépasse, le glissement commence.
Remarque Pédagogique
La démarche est la suivante : 1. Calculer la force de frottement \(f_s\) qui est effectivement nécessaire pour obtenir l'accélération de roulement pur (calculée précédemment). 2. Calculer la force normale \(N\). 3. Appliquer la condition limite \(f_s \le \mu_s N\) et en déduire la valeur minimale de \(\mu_s\).
Formule(s)
Condition de non-glissement
Hypothèses
Nous nous plaçons dans le cas limite où le glissement est imminent, c'est-à-dire \(f_s = f_{s,\text{max}} = \mu_{s, \text{min}} N\).
Donnée(s)
| Paramètre | Expression |
|---|---|
| Force Normale (\(N\)) | \(mg \cos\theta\) |
| Force de frottement (\(f_s\)) | \(\frac{2}{7} mg \sin\theta\) |
Astuces
Remarquez que \(f_s\) et \(N\) sont tous deux proportionnels à \(mg\). Cela signifie que \(mg\) se simplifiera lors du calcul du ratio, ce qui prouve que le coefficient de frottement requis ne dépend pas de la masse de l'objet.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur la sphère
Calcul(s)
Résolution de l'inégalité de frottement
Calcul de la valeur numérique
Schéma (Après les calculs)
Condition sur la force de frottement
Réflexions
Le coefficient de frottement minimal ne dépend, encore une fois, ni de la masse ni du rayon. Il ne dépend que de l'angle et de la forme de l'objet (le facteur 2/7). Si le coefficient de frottement réel entre la sphère et le plan est inférieur à cette valeur, la sphère commencera à glisser en même temps qu'elle roule.
Points de vigilance
Ne pas confondre le coefficient de frottement statique (\(\mu_s\)) et cinétique (\(\mu_c\)). C'est bien le frottement statique qui intervient ici, car par définition, il n'y a pas de glissement au point de contact.
Points à retenir
Le roulement sans glissement est conditionné par un frottement statique suffisant. La condition \(\mu_s \ge k \tan\theta\) (où \(k\) est un facteur lié à la forme de l'objet) est une relation générale pour les objets roulant sur un plan incliné.
Le saviez-vous ?
Le coefficient de frottement statique est généralement plus élevé que le coefficient de frottement cinétique. C'est pourquoi il est plus difficile de mettre un objet lourd en mouvement que de le maintenir en mouvement. C'est aussi la raison pour laquelle les systèmes de freinage ABS sur les voitures essaient de maintenir les roues à la limite du blocage (roulement avec un peu de glissement) pour bénéficier du frottement statique maximal.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le coefficient de frottement minimal requis pour un cylindre plein (\(I_{\text{cm}} = \frac{1}{2}mR^2\))?
Question 5 : Vitesse finale après 2 mètres
Principe
Le mouvement de la sphère est un mouvement rectiligne uniformément accéléré, puisque nous avons calculé une accélération constante. On peut donc utiliser les équations de la cinématique pour trouver la vitesse finale sans avoir à se soucier des forces ou des énergies.
Mini-Cours
La cinématique est la branche de la mécanique qui décrit le mouvement sans se préoccuper de ses causes (les forces). Pour un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA), on dispose de trois équations de base :
- \(x(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0\)
- \(v(t) = at + v_0\)
- \(v_f^2 - v_i^2 = 2 a d\)
Remarque Pédagogique
Identifiez bien les données connues : vitesse initiale (\(v_i=0\) car "part du repos"), distance (\(d=2\) m), accélération (\(a=3.50\) m/s²). L'inconnue est la vitesse finale (\(v_f\)). La formule \(v_f^2 = v_i^2 + 2ad\) est donc parfaitement adaptée.
Normes
Aucune norme spécifique n'est applicable.
Formule(s)
Formule de cinématique
Hypothèses
Nous supposons que l'accélération reste constante sur toute la distance parcourue, ce qui est vrai tant que l'angle du plan ne change pas.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Accélération | \(a_{\text{cm}}\) | \(3.5035\) | \(\text{m/s}^2\) |
| Distance parcourue | \(d\) | \(2.0\) | \(\text{m}\) |
Astuces
Une autre méthode, souvent plus puissante, est d'utiliser la conservation de l'énergie mécanique. L'énergie potentielle initiale (\(mgh = mgd\sin\theta\)) se transforme en énergie cinétique de translation (\(\frac{1}{2}mv_{\text{cm}}^2\)) ET en énergie cinétique de rotation (\(\frac{1}{2}I_{\text{cm}}\omega^2\)). En résolvant l'équation, vous devriez trouver exactement le même résultat pour la vitesse ! C'est un excellent moyen de vérifier votre calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Trajectoire de la sphère
Calcul(s)
Application de la formule de cinématique
Schéma (Après les calculs)
Graphique Vitesse vs Position
Réflexions
Une vitesse de 3.74 m/s correspond à environ 13.5 km/h. C'est une vitesse tout à fait plausible pour une bille dévalant un plan de 2 mètres incliné à 30°.
Points de vigilance
N'oubliez pas de prendre la racine carrée à la fin du calcul. Une erreur commune est de s'arrêter à \(v_f^2\). Vérifiez aussi que vous utilisez bien la valeur non arrondie de l'accélération pour plus de précision.
Points à retenir
Les équations de la cinématique sont des outils très efficaces pour résoudre des problèmes de dynamique une fois que l'accélération est connue et constante.
Le saviez-vous ?
Le travail de la force de frottement statique dans un roulement sans glissement est nul ! Bien que la force elle-même ne soit pas nulle, son point d'application sur la sphère a une vitesse instantanée nulle. Par conséquent, la puissance de cette force (\(P = \vec{f_s} \cdot \vec{v}_{\text{contact}}\)) est nulle, et son travail aussi. C'est pour cela que l'énergie mécanique totale (potentielle + cinétiques) est conservée.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle distance faudrait-il à la sphère pour atteindre une vitesse de 10 m/s ?
Outil Interactif : Simulateur de Roulement
Utilisez les curseurs pour faire varier l'angle du plan et la masse de la sphère, et observez l'impact sur l'accélération et le frottement requis.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la masse de la sphère, comment son accélération change-t-elle ?
2. Quelle force est responsable du couple qui fait tourner la sphère ?
3. Si la sphère glissait sans rouler, son accélération serait :
4. Que signifie la condition \(a_{\text{cm}} = \alpha R\) ?
5. Si on remplace la sphère par un cylindre plein de même masse et même rayon, son accélération sera :
Glossaire
- Centre de masse
- Le point géométrique d'un corps où l'on peut considérer que toute sa masse est concentrée pour l'étude de son mouvement de translation. Son accélération est directement liée à la somme des forces extérieures.
- Moment d'inertie (\(I\))
- L'équivalent de la masse pour la rotation. Il mesure la résistance d'un corps à un changement de son état de rotation (accélération angulaire). Il dépend de la masse et de la répartition de cette masse autour de l'axe de rotation.
- Roulement sans glissement
- Un type de mouvement où un objet roule sur une surface sans qu'il y ait de glissade au point de contact. Cela impose une relation stricte entre la vitesse de translation du centre de l'objet et sa vitesse de rotation (\(v_{\text{cm}} = \omega R\)).
- Frottement statique (\(f_s\))
- Force qui s'oppose au début du mouvement de glissement entre deux surfaces. Dans ce problème, c'est cette force qui crée le couple nécessaire à la mise en rotation de la sphère.
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