La Flottabilité d'un Cylindre
Contexte : Le principe d'ArchimèdeUn principe physique qui stipule que tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé..
Cet exercice explore l'un des principes les plus fondamentaux de la mécanique des fluides : la flottabilité. Nous allons déterminer si un cylindre solide en aluminium, lorsqu'il est complètement immergé dans l'eau, flotte, coule ou reste en équilibre. Pour ce faire, nous comparerons deux forces clés : le poidsLa force de gravité exercée sur un objet, dirigée vers le bas. de l'objet, qui le tire vers le bas, et la poussée d'ArchimèdeLa force ascendante exercée par un fluide sur un objet immergé., la force que l'eau exerce vers le haut.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le principe d'Archimède dans un cas pratique, à manipuler les formules de volume et de masse volumique, et à comprendre l'équilibre des forces qui régit la flottabilité.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le volume d'un objet cylindrique.
- Déterminer le poids d'un objet à partir de sa masse volumique et de son volume.
- Calculer la poussée d'Archimède exercée par un fluide.
- Comparer le poids et la poussée d'Archimède pour prédire la flottabilité.
Données de l'étude
Schéma du problème
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon du cylindre | \(r\) | 5 | cm |
| Hauteur du cylindre | \(h\) | 20 | cm |
| Masse volumique de l'aluminium | \(\rho_{\text{alu}}\) | 2700 | kg/m³ |
| Masse volumique de l'eau | \(\rho_{\text{eau}}\) | 1000 | kg/m³ |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | N/kg |
Questions à traiter
- Calculer le volume \(V\) du cylindre en m³.
- Calculer la masse \(m\) du cylindre en kg.
- Calculer le poids \(P\) du cylindre en N.
- Calculer la poussée d'Archimède \(F_A\) que subirait le cylindre s'il était totalement immergé.
- Le cylindre flotte-t-il ou coule-t-il ? Justifiez votre réponse.
Les bases sur la Flottabilité
La flottabilité d'un objet dépend de l'équilibre entre son poids et la force que le fluide exerce sur lui. Ce phénomène est décrit par le célèbre principe d'Archimède.
1. Le Principe d'Archimède
Tout corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz) subit une force verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du volume de fluide déplacé. Cette force est appelée la poussée d'Archimède.
\[ F_A = \rho_{\text{fluide}} \cdot V_{\text{immergé}} \cdot g \]
2. Condition de Flottabilité
La flottabilité d'un objet est déterminée en comparant son poids \(P\) à la poussée d'Archimède \(F_A\) :
- Si \(P > F_A\) : L'objet coule.
- Si \(P < F_A\) : L'objet flotte et remonte à la surface.
- Si \(P = F_A\) : L'objet reste en équilibre dans le fluide.
Correction : La Flottabilité d'un Cylindre
Question 1 : Calculer le volume \(V\) du cylindre en m³.
Principe
Le volume représente l'espace occupé par un objet. Pour une forme géométrique simple comme un cylindre, il se calcule en multipliant la surface de sa base par sa hauteur.
Mini-Cours
En géométrie euclidienne, un cylindre droit est un solide généré par la révolution d'un rectangle autour de l'un de ses côtés. Sa base est un disque d'aire \(A = \pi \cdot r^2\). Le volume est l'extrusion de cette surface sur une hauteur \(h\).
Remarque Pédagogique
La première étape de tout calcul en physique est de s'assurer que toutes les unités sont cohérentes. Le Système International (SI) utilise le mètre (m) pour les longueurs, donc le volume sera en mètres cubes (m³). Convertissez toujours vos unités avant de commencer les calculs.
Normes
Le calcul du volume d'un cylindre est une formule mathématique fondamentale et ne dépend pas d'une norme d'ingénierie spécifique. Les unités (mètre, kilogramme, seconde) sont définies par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) dans le cadre du SI.
Formule(s)
Hypothèses
- Le cylindre est un cylindre droit parfait (ses génératrices sont perpendiculaires aux bases).
- Les dimensions fournies (rayon et hauteur) sont exactes.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon | \(r\) | 5 | cm |
| Hauteur | \(h\) | 20 | cm |
Astuces
Pour convertir des cm³ en m³, souvenez-vous que \(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\). Donc, \(1 \text{ m}^3 = (100 \text{ cm})^3 = 1,000,000 \text{ cm}^3 = 10^6 \text{ cm}^3\). C'est une erreur fréquente d'oublier l'exposant 3 !
Schéma (Avant les calculs)
Dimensions du cylindre
Calcul(s)
Conversion du rayon en mètres
Conversion de la hauteur en mètres
Application de la formule du volume
Schéma (Après les calculs)
Volume du cylindre
Réflexions
Le volume calculé, environ 1.57 litres (1 m³ = 1000 L), est une valeur clé. C'est cet espace que le cylindre occupera dans l'eau, et c'est donc ce volume d'eau qui sera "poussé" pour lui faire de la place.
Points de vigilance
L'erreur la plus courante ici est d'oublier de mettre le rayon au carré (\(r^2\)) ou de mal convertir les unités. Vérifiez toujours que vos dimensions sont en mètres avant d'appliquer la formule.
Points à retenir
- La formule du volume d'un cylindre est \(V = \pi r^2 h\).
- La cohérence des unités (utiliser le SI) est primordiale pour la validité du résultat.
Le saviez-vous ?
Le nombre \(\pi\) est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'il ne peut pas être écrit comme une fraction simple et que ses décimales ne se répètent jamais. Pour la plupart des calculs d'ingénierie, l'approximation 3.14159 est largement suffisante.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le volume si le rayon était de 10 cm et la hauteur de 30 cm ? (Réponse en m³)
Question 2 : Calculer la masse \(m\) du cylindre en kg.
Principe
La masse est la quantité de matière dans un objet. Pour un objet homogène, on la trouve en multipliant sa masse volumique (la "densité" de sa matière) par son volume.
Mini-Cours
La masse volumique (\(\rho\)) est une propriété intrinsèque d'un matériau. Elle indique la masse contenue dans une unité de volume (ex: kg/m³). L'aluminium est un métal relativement léger, avec \(\rho_{\text{alu}} = 2700 \text{ kg/m³}\), tandis que le plomb est beaucoup plus dense (\(\rho_{\text{plomb}} \approx 11340 \text{ kg/m³}\)).
Remarque Pédagogique
Ne confondez jamais la masse (en kg) et le poids (en N). La masse est la même partout dans l'univers, tandis que le poids dépend du champ gravitationnel local. Cette question porte uniquement sur la quantité de matière.
Normes
Les valeurs de masse volumique des matériaux comme l'aluminium sont standardisées et peuvent être trouvées dans des manuels d'ingénierie ou des normes (par exemple, les normes ASTM ou ISO).
Formule(s)
Hypothèses
- Le cylindre est fait d'aluminium pur et homogène, sa masse volumique est donc constante en tout point.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique de l'aluminium | \(\rho_{\text{alu}}\) | 2700 | kg/m³ |
| Volume du cylindre | \(V\) | 0.0015708 | m³ |
Astuces
Avant de calculer, vérifiez les unités. Ici, nous avons des kg/m³ et des m³. Le produit donnera bien des kg, ce qui est cohérent. Cette analyse dimensionnelle rapide permet de détecter de nombreuses erreurs.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Masse
Calcul(s)
Calcul de la masse
Schéma (Après les calculs)
Masse du cylindre
Réflexions
Une masse de 4.24 kg pour un objet de cette taille semble raisonnable. Cela correspond au poids de deux grandes bouteilles d'eau. C'est cette masse qui sera attirée par la gravité terrestre.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser la masse volumique de l'objet (\(\rho_{\text{alu}}\)) et non celle du fluide (\(\rho_{\text{eau}}\)) pour ce calcul.
Points à retenir
La masse est le lien entre la géométrie d'un objet (son volume) et la nature de sa matière (sa masse volumique).
Le saviez-vous ?
L'aluminium est le métal le plus abondant dans la croûte terrestre, mais il est rarement trouvé à l'état pur. Il a été isolé pour la première fois en 1825 et était, à l'époque, plus précieux que l'or en raison de la difficulté de son extraction.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le cylindre était en chêne (\(\rho \approx 700\) kg/m³), quelle serait sa masse ?
Question 3 : Calculer le poids \(P\) du cylindre en N.
Principe
Le poids est la force exercée par la gravité sur la masse d'un objet. C'est la force qui tire le cylindre vers le bas.
Mini-Cours
La deuxième loi de Newton (\(F=ma\)) nous dit qu'une force est égale à une masse multipliée par une accélération. Dans le cas du poids, la force est \(P\) et l'accélération est celle de la pesanteur, notée \(g\). La valeur de \(g\) est d'environ 9.81 m/s² (ou N/kg) à la surface de la Terre.
Remarque Pédagogique
Le Newton (N) est l'unité de force du SI. Un Newton est la force nécessaire pour donner à une masse de 1 kg une accélération de 1 m/s². Visualisez le poids comme la "sensation" de lourdeur de l'objet.
Normes
La valeur de \(g=9.81\) N/kg est une valeur standardisée pour les calculs d'ingénierie à la surface de la Terre. La valeur réelle varie légèrement avec l'altitude et la latitude.
Formule(s)
Hypothèses
- L'expérience se déroule à la surface de la Terre où l'accélération de la pesanteur \(g\) est considérée constante et égale à 9.81 N/kg.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du cylindre | \(m\) | 4.241 | kg |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | N/kg |
Astuces
Pour une estimation rapide, on peut souvent approximer \(g \approx 10\) N/kg. Le poids serait alors d'environ \(4.241 \times 10 = 42.41\) N, ce qui est très proche du résultat exact et permet de vérifier l'ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Force du Poids
Calcul(s)
Calcul du poids
Schéma (Après les calculs)
Force du Poids (calculée)
Réflexions
Nous avons quantifié la force qui va tenter de faire couler le cylindre. La prochaine étape est de calculer la force qui va s'opposer à celle-ci : la poussée d'Archimède.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier l'accélération de la pesanteur \(g\). Une erreur fréquente est de confondre la masse en kg avec le poids en N.
Points à retenir
Le poids est une force, mesurée en Newtons (N). Il est toujours dirigé verticalement vers le bas.
Le saviez-vous ?
Sur la Lune, où l'accélération de la pesanteur est environ 6 fois plus faible (\(g_{\text{Lune}} \approx 1.62\) N/kg), le même cylindre aurait toujours une masse de 4.24 kg, mais son poids ne serait que de 6.9 N !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le poids du cylindre en chêne de la question précédente (masse = 1.1 kg) ?
Question 4 : Calculer la poussée d'Archimède \(F_A\).
Principe
La poussée d'Archimède est la force ascendante que le fluide exerce sur l'objet. Elle est égale au poids du fluide qui occuperait le même volume que la partie immergée de l'objet.
Mini-Cours
Cette force résulte de la différence de pression dans le fluide entre le bas et le haut de l'objet. La pression étant plus forte en profondeur, la force exercée sur la face inférieure de l'objet est plus grande que celle sur la face supérieure, créant une poussée nette vers le haut.
Remarque Pédagogique
C'est le point crucial : la poussée d'Archimède ne dépend pas du matériau de l'objet, mais uniquement du volume immergé et de la masse volumique du fluide. Un cylindre d'aluminium et un cylindre de bois de même taille, tous deux totalement immergés, subissent exactement la même poussée d'Archimède.
Normes
La masse volumique de l'eau douce à 4°C est standardisée à 1000 kg/m³. Cette valeur est une référence en physique et en ingénierie.
Formule(s)
Hypothèses
- Le cylindre est totalement immergé, donc \(V_{\text{immergé}} = V_{\text{total}}\).
- Le fluide est de l'eau douce, considérée comme incompressible avec une masse volumique constante.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique de l'eau | \(\rho_{\text{eau}}\) | 1000 | kg/m³ |
| Volume immergé | \(V\) | 0.0015708 | m³ |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | N/kg |
Astuces
Le calcul \(\rho_{\text{fluide}} \cdot V_{\text{immergé}}\) donne la masse du fluide déplacé. La poussée d'Archimède est simplement le poids de cette masse de fluide.
Schéma (Avant les calculs)
Poussée d'Archimède
Calcul(s)
Calcul de la poussée d'Archimède
Schéma (Après les calculs)
Poussée d'Archimède (calculée)
Réflexions
La force qui pousse le cylindre vers le haut est de 15.4 N. Nous avons maintenant les deux forces antagonistes et pouvons les comparer pour conclure.
Points de vigilance
L'erreur la plus critique est d'utiliser la masse volumique de l'objet (\(\rho_{\text{alu}}\)) au lieu de celle du fluide (\(\rho_{\text{eau}}\)). Souvenez-vous : la poussée vient du fluide !
Points à retenir
La poussée d'Archimède est le poids du fluide déplacé. Elle s'oppose toujours au poids de l'objet.
Le saviez-vous ?
La légende raconte qu'Archimède aurait découvert ce principe en prenant son bain et en observant le niveau de l'eau monter. Il se serait alors écrié "Eurêka !" ("J'ai trouvé !"). Cette histoire illustre parfaitement comment une observation simple peut mener à une loi physique fondamentale.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la poussée d'Archimède si le cylindre était plongé dans du mercure (\(\rho \approx 13600\) kg/m³) ?
Question 5 : Le cylindre flotte-t-il ou coule-t-il ?
Principe
La conclusion découle de la comparaison directe des deux forces verticales : le poids (\(P\), vers le bas) et la poussée d'Archimède (\(F_A\), vers le haut). La force la plus grande l'emporte.
Mini-Cours
La force résultante verticale sur l'objet est \(F_{\text{res}} = F_A - P\).
- Si \(F_{\text{res}} < 0\) (c'est-à-dire \(P > F_A\)), la force nette est vers le bas : l'objet coule.
- Si \(F_{\text{res}} > 0\) (c'est-à-dire \(P < F_A\)), la force nette est vers le haut : l'objet flotte.
Remarque Pédagogique
Le raisonnement est simple : si l'objet est "plus lourd" que l'eau qu'il déplace, il coule. S'il est "plus léger", il flotte. C'est le cœur de la flottabilité.
Normes
Il n'y a pas de norme spécifique, il s'agit de l'application directe d'un principe fondamental de la physique.
Formule(s)
Il ne s'agit pas d'une nouvelle formule, mais d'une comparaison :
Hypothèses
- Les seules forces verticales significatives sont le poids et la poussée d'Archimède. On néglige d'autres effets comme la tension de surface ou la viscosité du fluide.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids du cylindre | \(P\) | 41.6 | N |
| Poussée d'Archimède | \(F_A\) | 15.4 | N |
Astuces
Le moyen le plus rapide de répondre à la question sans calculs de force est de comparer directement les masses volumiques : \(\rho_{\text{alu}} (2700 \text{ kg/m³}) > \rho_{\text{eau}} (1000 \text{ kg/m³})\). Puisque l'aluminium est plus dense que l'eau, il doit couler.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des Forces
Calcul(s)
Comparaison des forces
Schéma (Après les calculs)
Conclusion : Le cylindre coule
Réflexions
La force qui tire le cylindre vers le bas (son poids) est presque trois fois plus grande que la force qui le pousse vers le haut (poussée d'Archimède). La force résultante est donc dirigée vers le bas, et le cylindre va accélérer dans cette direction jusqu'à atteindre le fond de la cuve.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien comparer les deux forces. Une simple erreur de calcul sur l'une ou l'autre peut mener à une conclusion erronée.
Points à retenir
Un objet coule si son poids est supérieur à la poussée d'Archimède, ce qui est équivalent à dire que sa masse volumique est supérieure à celle du fluide.
Le saviez-vous ?
Les icebergs flottent car la glace (\(\rho \approx 917\) kg/m³) est moins dense que l'eau de mer (\(\rho \approx 1025\) kg/m³). Le rapport des densités (\(\frac{917}{1025} \approx 0.89\)) indique que près de 90% du volume de l'iceberg est en fait caché sous la surface de l'eau !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Le cylindre en chêne des questions précédentes (\(\rho \approx 700\) kg/m³) flotterait-il ou coulerait-il dans l'eau ?
Outil Interactif : Simulateur de Flottabilité
Utilisez les curseurs pour modifier la masse volumique de l'objet et du fluide, et observez si l'objet flotte ou coule. Le graphique montre la relation entre la poussée d'Archimède et le poids de l'objet.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Selon le principe d'Archimède, la poussée est égale au...
2. Un bateau en acier flotte alors que l'acier est plus dense que l'eau. Pourquoi ?
3. Si un objet est en équilibre entre deux eaux, cela signifie que :
4. La poussée d'Archimède dépend de :
5. Un glaçon flotte sur l'eau. Qu'est-ce que cela nous indique sur la glace ?
- Poussée d'Archimède (\(F_A\))
- Force verticale, dirigée vers le haut, qu'un fluide exerce sur un objet immergé. Elle est égale au poids du volume de fluide que l'objet déplace.
- Masse Volumique (\(\rho\))
- Rapport de la masse d'un objet par son volume (\(\rho = m/V\)). Elle caractérise la "compacité" d'un matériau et est généralement exprimée en kg/m³.
- Poids (\(P\))
- Force de l'attraction gravitationnelle sur un objet (\(P = m \cdot g\)), toujours dirigée verticalement vers le bas. Son unité est le Newton (N).
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