Mouvement d’un projectile avec résistance de l’air

Principe :

Le bilan des forces consiste à identifier toutes les forces extérieures agissant sur le système (le projectile). Un schéma clair aide à visualiser ces forces.

Réponse :

Le projectile de masse \(m\) est soumis à deux forces :

• Son poids \(\vec{P}\), vertical, dirigé vers le bas, d'intensité \(P = mg\). En termes de vecteurs unitaires : \(\vec{P} = -mg\vec{j}\)
• La force de résistance de l'air \(\vec{f}\), opposée au vecteur vitesse \(\vec{v}\), d'expression \(\vec{f} = -b\vec{v}\). Si \(\vec{v} = v_x\vec{i} + v_y\vec{j}\), alors \(\vec{f} = -b v_x\vec{i} -b v_y\vec{j}\).

Principe :

Le Principe Fondamental de la Dynamique (deuxième loi de Newton) stipule que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par son vecteur accélération : \(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}\).

Calcul :

D'après le PFD : \(\vec{P} + \vec{f} = m\vec{a}\)

En projetant sur les axes \(Ox\) et \(Oy\), avec \(\vec{v} = v_x\vec{i} + v_y\vec{j}\) et \(\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} = \frac{dv_x}{dt}\vec{i} + \frac{dv_y}{dt}\vec{j}\) :

Sur l'axe \(Ox\) :

Sur l'axe \(Oy\) :

Les équations différentielles du mouvement sont donc :

Principe :

L'accélération initiale est obtenue en évaluant les expressions de \(a_x = dv_x/dt\) et \(a_y = dv_y/dt\) à l'instant \(t=0\), en utilisant les composantes de la vitesse initiale \(\vec{v}_0\).

Données spécifiques pour \(t=0\) :

• \(v_x(0) = v_0 \cos(\alpha_0)\)
• \(v_y(0) = v_0 \sin(\alpha_0)\)
• \(m = 0.20 \, \text{kg}\)
• \(v_0 = 50 \, \text{m/s}\)
• \(\alpha_0 = 30^\circ\) (\(\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2 \approx 0.866\), \(\sin(30^\circ) = 1/2 = 0.5\))
• \(b = 0.04 \, \text{kg/s}\)
• \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul littéral :

Calcul numérique :

\(v_x(0) = 50 \, \text{m/s} \times \cos(30^\circ) \approx 50 \, \text{m/s} \times 0.866025 = 43.30125 \, \text{m/s}\)

\(v_y(0) = 50 \, \text{m/s} \times \sin(30^\circ) = 50 \, \text{m/s} \times 0.5 = 25.0 \, \text{m/s}\)

Principe :

La force de résistance de l'air s'oppose toujours au mouvement. Elle effectue un travail résistant, ce qui dissipe l'énergie mécanique du projectile. Cela a des conséquences directes sur les caractéristiques de la trajectoire.

Analyse qualitative :

• Hauteur maximale : La résistance de l'air s'oppose à la composante verticale de la vitesse lors de la montée. Le projectile perd donc de l'énergie plus rapidement. Par conséquent, la hauteur maximale atteinte sera inférieure à celle atteinte en l'absence de résistance de l'air.
• Portée : La résistance de l'air s'oppose à la composante horizontale de la vitesse tout au long du mouvement. De plus, la réduction de la hauteur maximale et la décélération horizontale continue réduisent le temps de vol global et la distance horizontale parcourue. La portée sera donc inférieure à celle obtenue dans le vide pour le même angle et la même vitesse de lancement.
• Forme de la trajectoire : La trajectoire n'est plus une parabole symétrique. La phase descendante est généralement plus abrupte que la phase montante, et le sommet de la trajectoire est décalé vers le point de lancement.

Principe :

Lors d'une chute verticale avec une force de résistance de l'air proportionnelle à la vitesse (\(f = bv\)), la vitesse du projectile augmente initialement sous l'effet du poids. Simultanément, la force de résistance augmente avec la vitesse. Lorsque la force de résistance devient égale en intensité au poids, l'accélération devient nulle, et le projectile atteint une vitesse constante appelée vitesse limite (\(v_{\text{lim}}\)).

Calcul :

En chute verticale, le PFD s'écrit (en orientant un axe vertical vers le bas) : \(mg - bv = ma\).
Lorsque la vitesse limite est atteinte, l'accélération \(a\) est nulle. Donc :

Application numérique :

Note : \( \text{N/(kg/s)} = (\text{kg} \cdot \text{m/s}^2) / (\text{kg/s}) = \text{m/s} \).

Principe :

L'énergie mécanique d'un système se conserve uniquement si le travail de toutes les forces non conservatives est nul. La force de résistance de l'air \(\vec{f}\) est une force non conservative (dissipative). Elle effectue un travail résistant (négatif) car elle s'oppose toujours au déplacement.

Le théorème de l'énergie mécanique stipule que la variation de l'énergie mécanique d'un système entre deux points est égale au travail des forces non conservatives s'exerçant sur le système entre ces deux points.

Analyse et Théorème :

La force de résistance de l'air \(\vec{f} = -b\vec{v}\) est une force non conservative. Son travail \(W_O^M(\vec{f})\) n'est généralement pas nul. Par conséquent, l'énergie mécanique \(E_m = E_c + E_{pp}\) du projectile n'est pas conservée.

Le théorème de l'énergie mécanique s'écrit :

Où :

• \(E_{m}(M) = \frac{1}{2}mv_M^2 + mgy_M\) est l'énergie mécanique au point M.
• \(E_{m}(O) = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgy_O\) est l'énergie mécanique initiale au point O (avec \(y_O=0\)).
• \(W_O^M(\vec{f}) = \int_O^M \vec{f} \cdot d\vec{r}\) est le travail de la force de résistance de l'air entre O et M. Ce travail est négatif car \(\vec{f}\) et \(d\vec{r}\) (élément de déplacement tangent à la trajectoire, donc colinéaire à \(\vec{v}\)) sont de sens opposés.