Système de Poulies Multiples et Tensions des Cordes
Contexte : Les Systèmes de PouliesDispositifs mécaniques utilisant une ou plusieurs poulies pour transmettre une force ou soulever des charges, souvent en offrant un avantage mécanique..
En mécanique classique, les systèmes de poulies, aussi appelés palans, sont des outils fondamentaux pour démultiplier une force. Ils permettent de soulever des charges lourdes en appliquant un effort bien moindre. Cet exercice se concentre sur l'analyse d'un système de poulies idéal (sans frottement et avec des cordes de masse négligeable) afin de comprendre la distribution des forces et de quantifier l'avantage mécanique obtenu. Nous appliquerons le Principe Fondamental de la Statique pour déterminer les tensions dans les cordes et la force nécessaire pour maintenir une charge en équilibre.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un problème de statique, à isoler des sous-systèmes, et à appliquer les lois de Newton pour trouver des forces inconnues. C'est une compétence essentielle en ingénierie et en physique.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le Principe Fondamental de la Statique à un système de poulies.
- Calculer la tension dans les brins d'une corde enroulée sur plusieurs poulies.
- Déterminer l'avantage mécanique d'un palan et interpréter sa signification.
Données de l'étude
Schéma du Palan à Quatre Poulies
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(M\) | Masse du bloc à soulever | 100 | \(\text{kg}\) |
| \(g\) | Accélération de la pesanteur | 9.81 | \(\text{m/s}^2\) |
Questions à traiter
- Isoler le système {bloc + 2 poulies mobiles + support mobile} et réaliser le bilan des forces qui s'exercent sur lui.
- En appliquant le principe fondamental de la statique, déterminer l'expression littérale de la tension \(T\) de la corde en fonction de \(M\) et \(g\).
- Quelle est la relation entre la force de traction \(F\) et la tension \(T\) ? En déduire l'expression de \(F\).
- Calculer les valeurs numériques de la tension \(T\) et de la force \(F\) nécessaires pour maintenir le système à l'équilibre.
- Définir et calculer l'avantage mécaniqueRapport de la force produite par une machine (la charge) à la force appliquée à celle-ci. Il quantifie la démultiplication de l'effort. de ce palan.
Les bases sur la Statique et les Poulies
Pour résoudre cet exercice, nous devons nous appuyer sur les principes de base de la statique du point matériel et comprendre le fonctionnement des systèmes de poulies idéaux.
1. Principe Fondamental de la Statique (PFS)
Ce principe, qui est un cas particulier de la première loi de Newton, stipule qu'un objet reste immobile (ou en mouvement rectiligne uniforme) si la somme vectorielle des forces extérieures qui s'exercent sur lui est nulle. Pour un système à l'équilibre, on écrit :
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \]
Cela implique que la somme des composantes des forces selon chaque axe est nulle.
2. Poulies et Cordes Idéales
Dans le cadre de cet exercice, nous faisons des hypothèses simplificatrices :
- Une corde idéale est inextensible et sa masse est négligeable. Par conséquent, la tension est la même en tout point de la corde.
- Une poulie idéale a une masse nulle et tourne sans aucun frottement. Son seul rôle est de changer la direction de la force exercée par la corde, sans en modifier la magnitude (la valeur de la tension).
Correction : Système de Poulies Multiples et Tensions des Cordes
Question 1 : Bilan des forces sur le système mobile
Principe
La première étape de tout problème de mécanique est d'identifier clairement le système que l'on étudie et de lister toutes les forces extérieures qui agissent sur lui. C'est ce qu'on appelle le "bilan des forces" ou "diagramme de corps libre".
Mini-Cours
Pour réaliser un bilan des forces, il faut "isoler" mentalement le système du reste de l'univers et se demander : "Qu'est-ce qui agit sur ce système ?". On distingue les forces de contact (comme la tension d'une corde) et les forces à distance (comme le poids).
Remarque Pédagogique
Prenez toujours le temps de dessiner le système isolé et les flèches représentant les forces. Cette étape visuelle est cruciale pour ne rien oublier et pour bien orienter les forces avant d'appliquer les équations.
Normes
La méthodologie d'isolation des systèmes et d'application des lois de Newton est la base de la mécanique enseignée dans le monde entier, formalisée dans tous les manuels de physique et d'ingénierie.
Hypothèses
Nous considérons que le système est à l'équilibre statique (immobile).
Astuces
Pour identifier les forces de contact, parcourez la "frontière" de votre système isolé et notez chaque point où quelque chose de l'extérieur le touche (ici, les quatre brins de corde).
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre du système mobile
Raisonnement
Le système est considéré à l'équilibre. Selon le Principe Fondamental de la Statique, la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées doit être nulle. Pour maintenir le système immobile, les forces qui tirent vers le haut (les quatre brins de la corde) doivent parfaitement compenser la force qui tire vers le bas (le poids). C'est cette opposition qui est analysée pour établir les équations.
Schéma (Après les calculs)
Bilan des forces sur le système mobile
Réflexions
Le système {bloc + poulies mobiles} est soumis à deux types de forces :
- Une force qui tire vers le bas : son propre poids, noté \(\vec{P}\).
- Des forces qui tirent vers le haut : les tensions exercées par les quatre brins de la corde, notées \(\vec{T}\).
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier d'isoler le système et de mélanger les forces internes et externes. Ici, les tensions entre le bloc et le support mobile sont des forces internes et n'apparaissent pas dans le bilan.
Points à retenir
La méthode clé à retenir est : 1. Choisir le système. 2. Isoler le système. 3. Lister toutes les forces *extérieures* qui s'y appliquent.
Le saviez-vous ?
Le concept de "diagramme de corps libre" a été popularisé par des ingénieurs et physiciens comme Irving Shames au milieu du 20e siècle pour standardiser la résolution de problèmes en mécanique.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si on accrochait une deuxième masse M sous la première, combien de forces de tension \(\vec{T}\) y aurait-il ?
Question 2 : Expression littérale de la tension T
Principe
Puisque le système est à l'équilibre, on applique le Principe Fondamental de la Statique (PFS), qui stipule que la somme vectorielle des forces extérieures est nulle. On projette ensuite cette relation sur un axe pour obtenir une équation scalaire.
Mini-Cours
Le passage d'une équation vectorielle (\(\sum \vec{F} = \vec{0}\)) à une équation scalaire (\(\sum F_z = 0\)) se fait par projection. On choisit un axe (ici, vertical, noté \(z\)), et pour chaque force, on ne conserve que sa composante le long de cet axe, en lui affectant un signe positif si elle va dans le sens de l'axe, et négatif sinon.
Remarque Pédagogique
Il est toujours judicieux de choisir un axe de projection qui coïncide avec la direction de la plupart des forces. Ici, toutes les forces sont verticales, le choix de l'axe vertical simplifie donc grandement le problème.
Normes
L'application du PFS est une démarche universelle en mécanique statique pour les structures et les mécanismes.
Formule(s)
Principe Fondamental de la Statique
Définition du poids
Hypothèses
On se place dans le cadre d'un système idéal : corde inextensible et de masse nulle, poulies sans masse ni frottement. Cela garantit que la tension \(T\) est la même dans chaque brin de la corde.
Donnée(s)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(M\) | Masse du bloc (symbole) |
| \(g\) | Accélération de la pesanteur (symbole) |
Astuces
Comptez simplement le nombre de brins qui "supportent" la charge. Ce nombre sera le coefficient devant T dans votre équation d'équilibre.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre du système mobile
Calcul(s)
Le processus de calcul se déroule en plusieurs étapes claires : D'abord, nous traduisons le bilan des forces en une équation mathématique en projetant les forces sur l'axe vertical. Ensuite, nous regroupons les termes similaires pour simplifier l'équation. Enfin, nous substituons l'expression du poids \(P\) et nous isolons la tension \(T\) pour obtenir sa formule littérale.
Application du PFS sur l'axe vertical \(z\)
Simplification de l'équation
Substitution du poids \(P\)
Expression finale de la tension \(T\)
Schéma (Après les calculs)
Équilibre des forces sur le système mobile
Réflexions
Cette expression montre que la tension dans la corde est quatre fois plus faible que le poids de l'objet. C'est l'essence même de la démultiplication des forces par ce palan.
Points de vigilance
Ne pas oublier de compter tous les brins qui soutiennent la charge. Une erreur de comptage est une erreur fréquente. Ici, il y a bien 4 brins qui relient l'ensemble mobile au reste du système.
Points à retenir
À l'équilibre, la somme des forces ascendantes est égale à la somme des forces descendantes. Ici : \(4T = P\).
Le saviez-vous ?
Archimède aurait démontré la puissance des palans en déplaçant seul un navire de guerre entièrement chargé, simplement en tirant sur une corde, affirmant : "Donnez-moi un point d'appui, et je soulèverai le monde."
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait l'expression de T si le palan n'avait que 2 brins porteurs ? (Ex: \(M \cdot g/2\))
Question 3 : Expression de la force de traction F
Principe
La force de traction \(\vec{F}\) est la force appliquée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la corde. Dans un système idéal, cette force a la même magnitude que la tension \(\vec{T}\) qui règne dans toute la corde.
Mini-Cours
Le troisième principe de Newton (principe des actions réciproques) nous dit que la force exercée par l'opérateur sur la corde est égale et opposée à la force exercée par la corde sur l'opérateur. La magnitude de ces deux forces correspond à la tension de la corde à cet endroit.
Remarque Pédagogique
Il est important de ne pas confondre la force \(\vec{F}\) (une action extérieure au système de corde) et la tension \(\vec{T}\) (une force interne à la corde). Cependant, à l'équilibre et dans un cas idéal, leurs magnitudes sont égales : \(F = T\).
Normes
Ce concept est une application directe des principes fondamentaux de Newton.
Formule(s)
Relation Force-Tension
Hypothèses
Les hypothèses de corde et poulies idéales sont cruciales ici pour affirmer que \(F = T\). S'il y avait des frottements, \(F\) devrait être légèrement supérieure à \(T\).
Donnée(s)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(T = \frac{M \cdot g}{4}\) | Expression de la tension (résultat précédent) |
Astuces
Dans 99% des exercices de mécanique de base, la force pour tirer une corde est simplement égale à sa tension.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Palan à Quatre Poulies
Calcul(s)
Le calcul est direct. En partant de l'égalité des magnitudes \(F = T\) (valable pour un système idéal), nous substituons simplement l'expression de la tension \(T\) que nous avons déterminée à la question précédente. Cela nous donne directement l'expression de la force de traction \(F\) en fonction des paramètres du problème, \(M\) et \(g\).
Substitution de T
Schéma (Après les calculs)
Égalité de la Force et de la Tension
Réflexions
Cette relation confirme que la force que l'opérateur doit fournir est bien quatre fois inférieure au poids de la charge. Le résultat est cohérent avec le but du dispositif.
Points de vigilance
Attention, cette égalité n'est vraie que pour des systèmes idéaux. Dans la réalité, il faudrait ajouter les forces de frottement, et \(F\) serait plus grande que \(T\).
Points à retenir
Pour une corde idéale passant par des poulies idéales, la force à appliquer à une extrémité est égale à la tension qui règne dans toute la corde.
Le saviez-vous ?
Les palans sont utilisés depuis l'Antiquité, non seulement sur les chantiers de construction comme les pyramides, mais aussi et surtout dans la marine à voile pour hisser les lourdes voiles et manipuler le gréement.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(T=150\) N, que vaut \(F\) dans un système idéal ?
Question 4 : Calcul numérique de T et F
Principe
Cette étape consiste simplement à remplacer les variables littérales (\(M\) et \(g\)) par leurs valeurs numériques dans les expressions trouvées précédemment pour calculer les résultats finaux.
Mini-Cours
L'application numérique est la dernière étape de la résolution d'un problème de physique. Elle permet de quantifier les résultats et de vérifier leur ordre de grandeur. Il est crucial de s'assurer que toutes les unités sont cohérentes (dans le Système International) avant de commencer le calcul.
Remarque Pédagogique
Séparez toujours la résolution littérale (avec les lettres) de l'application numérique. Cela permet de vérifier la cohérence de la formule avant de faire les calculs et de réutiliser facilement la formule pour d'autres valeurs.
Normes
L'utilisation du Système International d'unités (mètre, kilogramme, seconde, Newton) est la norme dans les sciences et l'ingénierie pour garantir l'uniformité des calculs.
Formule(s)
Formules à utiliser
Hypothèses
Les hypothèses du système idéal (sans masse ni frottement) sont toujours en vigueur.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(M\) | 100 | \(\text{kg}\) |
| Gravité | \(g\) | 9.81 | \(\text{m/s}^2\) |
Astuces
Calculez d'abord le poids total \(P = M \cdot g\), car c'est la charge de base. Ensuite, divisez simplement par le nombre de brins. Cela simplifie le calcul mental et la vérification.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre du système mobile
Calcul(s)
Calcul du poids \(P\) de la charge
Calcul de la tension \(T\)
Déduction de la force \(F\)
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Corps Libre avec valeurs numériques
Réflexions
Le résultat est concret : pour soulever une masse de 100 kg (équivalente au poids d'une personne), une force d'environ 245 N est nécessaire. Cela correspond au poids d'une masse de seulement 25 kg (\(245.25 / 9.81 \approx 25\)). La force a bien été divisée par quatre.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente ici est l'oubli de la conversion de la masse (en kg) en poids (en N) en multipliant par \(g\). Une force se mesure en Newtons, pas en kilogrammes !
Points à retenir
La résolution d'un problème de physique suit la séquence : analyse physique -> équations littérales -> application numérique. Ne sautez jamais d'étapes.
Le saviez-vous ?
L'unité de force, le Newton (N), est définie comme la force nécessaire pour donner à une masse de 1 kg une accélération de 1 m/s². Sur Terre, 1 kg pèse environ 9.81 N.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la force F si la masse M était de 200 kg.
Question 5 : Avantage mécanique
Principe
L'avantage mécanique (AM) quantifie le gain de force apporté par un système. C'est le rapport entre la force que l'on "sort" du système (la charge soulevée) et la force que l'on "entre" dans le système (l'effort appliqué).
Mini-Cours
Un avantage mécanique supérieur à 1 indique que le système démultiplie la force (on applique moins de force qu'on en sort). Un AM de 1 signifie que le système ne fait que transmettre la force (comme une poulie fixe unique). Un AM inférieur à 1 signifierait que le système divise la force, ce qui est utile pour amplifier un déplacement plutôt qu'un effort.
Remarque Pédagogique
L'avantage mécanique est un concept clé pour comparer l'efficacité de différents systèmes mécaniques (leviers, engrenages, palans...). C'est un chiffre simple qui résume la performance du dispositif en termes de force.
Normes
La définition de l'avantage mécanique est standard en physique et en sciences de l'ingénieur.
Formule(s)
Définition de l'Avantage Mécanique
Hypothèses
Le calcul de l'AM idéal suppose un système sans frottement. Dans un système réel, l'AM réel est toujours inférieur à l'AM idéal à cause des pertes.
Donnée(s)
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids | \(P\) | 981 | N |
| Force de traction | \(F\) | 245.25 | N |
Astuces
Pour un palan idéal, l'avantage mécanique est simplement égal au nombre de brins de corde qui supportent la charge mobile. Vous pouvez le vérifier directement sur le schéma sans aucun calcul !
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Palan pour comptage des brins
Calcul(s)
Calcul numérique de l'Avantage Mécanique
Vérification par le calcul littéral
Schéma (Après les calculs)
Représentation de l'Avantage Mécanique
Réflexions
Un avantage mécanique de 4 signifie que pour chaque Newton de force que nous appliquons, le système en délivre quatre pour soulever la charge. L'effort est divisé par 4. En contrepartie, il faudra tirer quatre fois plus de longueur de corde pour soulever la charge d'une certaine hauteur (rien n'est gratuit en physique !).
Points de vigilance
Ne pas confondre l'avantage mécanique (rapport de forces) avec le rendement (rapport de puissances ou de travaux). L'avantage mécanique ne tient pas compte des pertes par frottement, alors que le rendement si.
Points à retenir
- \(AM = \text{Charge} / \text{Effort}\).
- Pour un palan idéal, \(AM\) = nombre de brins porteurs.
- L'avantage mécanique est un nombre sans unité.
Le saviez-vous ?
Les grues de chantier modernes utilisent des systèmes de palans complexes (appelés mouflage) avec un très grand nombre de brins, leur permettant d'atteindre des avantages mécaniques de plusieurs dizaines, voire centaines, pour soulever des charges de plusieurs tonnes.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait l'avantage mécanique si on utilisait un système avec 6 brins porteurs ?
Outil Interactif : Simulateur de Palan
Utilisez ce simulateur pour voir comment la force de traction et l'avantage mécanique changent en fonction de la masse à soulever et du nombre de brins de corde qui soutiennent la charge.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est l'objectif principal d'un système de poulies (palan) en mécanique ?
2. Dans un système idéal, l'avantage mécanique d'un palan est égal au...
3. Selon le Principe Fondamental de la Statique, si un objet est en équilibre, la somme des forces qui s'exercent sur lui est...
4. Si une charge de 500 N est soulevée par un palan ayant un avantage mécanique de 5, quelle est la force de traction idéale requise ?
5. Dans un système réel, comment les frottements au niveau des axes des poulies affectent-ils la force de traction \(F\) nécessaire par rapport au cas idéal ?
- Avantage Mécanique (AM)
- Rapport sans dimension de la force de sortie (charge) sur la force d'entrée (effort). Il mesure l'efficacité d'un système à multiplier la force.
- Palan
- Système de levage composé de plusieurs poulies (fixes et mobiles) et d'une corde, conçu pour réduire l'effort nécessaire au déplacement d'une charge.
- Principe Fondamental de la Statique (PFS)
- Loi de la mécanique qui énonce que pour qu'un corps soit à l'équilibre (immobile), la somme vectorielle des forces extérieures agissant sur lui doit être nulle.
- Tension (Mécanique)
- Force de traction exercée par une corde, un câble ou une chaîne. Dans une corde idéale, sa valeur est uniforme sur toute la longueur.
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