ÉTUDE DE PHYSIQUE

Étude du Mouvement Circulaire d’un Satellite

Étude du Mouvement Circulaire d’un Satellite en Mécanique Classique

Étude du Mouvement Circulaire d’un Satellite

Comprendre le Mouvement Circulaire des Satellites

Le mouvement d'un satellite en orbite circulaire autour d'un corps céleste (comme la Terre) est un exemple fondamental d'application des lois de la gravitation universelle de Newton et des principes du mouvement circulaire uniforme. Pour qu'un satellite maintienne une orbite circulaire stable, la force gravitationnelle exercée par le corps central doit fournir exactement la force centripète nécessaire. L'analyse de ce mouvement permet de déterminer des caractéristiques clés telles que la vitesse orbitale, la période de révolution, et l'accélération centripète, en fonction de la masse du corps central et du rayon de l'orbite.

Données de l'étude

Un satellite de communication est en orbite circulaire autour de la Terre.

Caractéristiques et constantes :

  • Masse de la Terre (\(M_T\)) : \(5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • Masse du satellite (\(m_s\)) : \(1500 \, \text{kg}\)
  • Altitude du satellite au-dessus de la surface de la Terre (\(h\)) : \(700 \, \text{km}\)
  • Rayon équatorial moyen de la Terre (\(R_T\)) : \(6371 \, \text{km}\)
  • Constante gravitationnelle universelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
Schéma d'un Satellite en Orbite Circulaire Autour de la Terre
Terre Satellite Fg v r

Satellite en orbite circulaire, soumis à la force gravitationnelle de la Terre qui agit comme force centripète.

Questions à traiter

  1. Convertir l'altitude du satellite et le rayon de la Terre en mètres (m).
  2. Calculer le rayon de l'orbite circulaire du satellite (\(r\)) par rapport au centre de la Terre.
  3. Calculer la force d'attraction gravitationnelle (\(F_g\)) exercée par la Terre sur le satellite. Cette force est la force centripète.
  4. Calculer la vitesse orbitale (\(v\)) du satellite.
  5. Calculer la période de révolution (\(T\)) du satellite en secondes, puis la convertir en heures et minutes.
  6. Calculer la magnitude de l'accélération centripète (\(a_c\)) du satellite.

Correction : Mouvement Circulaire d'un Satellite

Question 1 : Conversion des Distances en Mètres

Principe :

Les distances sont données en kilomètres (km) et doivent être converties en mètres (m), l'unité SI de longueur.

Relation :
\[1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\]
Données spécifiques :
  • Altitude (\(h\)) : \(700 \, \text{km}\)
  • Rayon de la Terre (\(R_T\)) : \(6371 \, \text{km}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h &= 700 \, \text{km} \times 1000 \, \text{m/km} = 700000 \, \text{m} = 7.00 \times 10^5 \, \text{m} \\ R_T &= 6371 \, \text{km} \times 1000 \, \text{m/km} = 6371000 \, \text{m} = 6.371 \times 10^6 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
Altitude \(h = 7.00 \times 10^5 \, \text{m}\)
Rayon de la Terre \(R_T = 6.371 \times 10^6 \, \text{m}\)

Question 2 : Calcul du Rayon de l'Orbite (\(r\))

Principe :

Le rayon de l'orbite (\(r\)) est la somme du rayon de la Terre (\(R_T\)) et de l'altitude (\(h\)) du satellite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[r = R_T + h\]
Données converties :
  • \(R_T = 6.371 \times 10^6 \, \text{m}\)
  • \(h = 0.700 \times 10^6 \, \text{m}\) (pour aligner les exposants)
Calcul :
\[ \begin{aligned} r &= (6.371 \times 10^6 \, \text{m}) + (0.700 \times 10^6 \, \text{m}) \\ &= (6.371 + 0.700) \times 10^6 \, \text{m} \\ &= 7.071 \times 10^6 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le rayon de l'orbite du satellite est \(r = 7.071 \times 10^6 \, \text{m}\).

Question 3 : Force d'Attraction Gravitationnelle (\(F_g\))

Principe :

La force d'attraction gravitationnelle entre deux corps est donnée par la loi de la gravitation universelle de Newton. Cette force agit comme la force centripète maintenant le satellite en orbite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_g = G \frac{M_T m_s}{r^2}\]
Données spécifiques et calculées :
  • \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(M_T = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • \(m_s = 1500 \, \text{kg}\)
  • \(r = 7.071 \times 10^6 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_g &= (6.674 \times 10^{-11}) \frac{(5.972 \times 10^{24}) \times 1500}{(7.071 \times 10^6)^2} \, \text{N} \\ &= (6.674 \times 10^{-11}) \frac{8.958 \times 10^{27}}{50.00 \times 10^{12}} \, \text{N} \\ &= (6.674 \times 10^{-11}) \times (0.17916 \times 10^{15}) \, \text{N} \\ &\approx 1.1956 \times 10^4 \, \text{N} \\ &\approx 11960 \, \text{N} \quad (\text{arrondi à 4 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La force d'attraction gravitationnelle est \(F_g \approx 11960 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la distance entre deux masses double, la force gravitationnelle entre elles :

Question 4 : Vitesse Orbitale (\(v\)) du Satellite

Principe :

Pour une orbite circulaire, la force gravitationnelle est la force centripète : \(F_g = F_c = \frac{m_s v^2}{r}\). On peut donc isoler \(v\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G \frac{M_T m_s}{r^2} = \frac{m_s v^2}{r} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}\]
Données spécifiques et calculées :
  • \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(M_T = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • \(r = 7.071 \times 10^6 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24})}{7.071 \times 10^6}} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{\frac{39.856 \times 10^{13}}{7.071 \times 10^6}} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{5.6365 \times 10^7} \, \text{m/s} \\ &\approx 7507.6... \, \text{m/s} \\ &\approx 7508 \, \text{m/s} \quad (\text{arrondi à 4 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La vitesse orbitale du satellite est \(v \approx 7508 \, \text{m/s}\).

Question 5 : Période de Révolution (\(T\))

Principe :

La période de révolution est le temps mis par le satellite pour effectuer une orbite complète. Pour un mouvement circulaire uniforme, \(T = \frac{2\pi r}{v}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T = \frac{2\pi r}{v}\]
Données calculées :
  • \(r = 7.071 \times 10^6 \, \text{m}\)
  • \(v \approx 7507.6 \, \text{m/s}\) (utilisation de la valeur non arrondie pour précision)
Calcul en secondes :
\[ \begin{aligned} T &= \frac{2\pi \times (7.071 \times 10^6 \, \text{m})}{7507.6 \, \text{m/s}} \\ &\approx \frac{44.428 \times 10^6}{7507.6} \, \text{s} \\ &\approx 5917.7... \, \text{s} \\ &\approx 5918 \, \text{s} \quad (\text{arrondi à 4 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Conversion en heures et minutes :

\(5918 \, \text{s} / 60 \, \text{s/min} \approx 98.633 \, \text{min}\)

\(98.633 \, \text{min} = 1 \, \text{heure} + 38.633 \, \text{min}\)

\(0.633 \, \text{min} \times 60 \, \text{s/min} \approx 38 \, \text{s}\)

Donc, \(T \approx 1 \, \text{heure}, 38 \, \text{minutes et } 38 \, \text{secondes}\).

Résultat Question 5 : La période de révolution du satellite est \(T \approx 5918 \, \text{s}\), soit environ 1 heure, 38 minutes et 38 secondes.

Question 6 : Magnitude de l'Accélération Centripète (\(a_c\))

Principe :

L'accélération centripète est l'accélération dirigée vers le centre de l'orbite, nécessaire pour maintenir le mouvement circulaire. Elle peut être calculée par \(a_c = \frac{v^2}{r}\) ou, puisque \(F_g = m_s a_c\), alors \(a_c = \frac{F_g}{m_s}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[a_c = \frac{v^2}{r}\]
Données calculées :
  • \(v \approx 7507.6 \, \text{m/s}\)
  • \(r = 7.071 \times 10^6 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a_c &= \frac{(7507.6 \, \text{m/s})^2}{7.071 \times 10^6 \, \text{m}} \\ &\approx \frac{5.6364 \times 10^7 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{7.071 \times 10^6 \, \text{m}} \\ &\approx 7.971... \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 7.97 \, \text{m/s}^2 \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]

Alternativement, en utilisant \(F_g \approx 11956 \, \text{N}\) et \(m_s = 1500 \, \text{kg}\) :
\(a_c = \frac{11956 \, \text{N}}{1500 \, \text{kg}} \approx 7.9706... \, \text{m/s}^2\)

Résultat Question 6 : La magnitude de l'accélération centripète du satellite est \(a_c \approx 7.97 \, \text{m/s}^2\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si un satellite orbite plus près de la Terre (rayon orbital plus petit), sa vitesse orbitale pour une orbite circulaire stable sera :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La force qui maintient un satellite en orbite circulaire autour de la Terre est :

2. La période d'un satellite en orbite circulaire dépend de :

3. L'accélération centripète d'un satellite en orbite circulaire est toujours dirigée :

Glossaire

Mouvement Circulaire Uniforme
Mouvement d'un objet décrivant une trajectoire circulaire à une vitesse scalaire constante.
Force Centripète
Force nette dirigée vers le centre d'une trajectoire circulaire, nécessaire pour maintenir un objet en mouvement circulaire.
Loi de la Gravitation Universelle
Loi formulée par Isaac Newton qui décrit l'attraction gravitationnelle entre deux objets massifs. \(F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\).
Vitesse Orbitale
Vitesse à laquelle un objet orbite autour d'un autre corps. Pour une orbite circulaire, elle est constante en magnitude.
Période de Révolution (\(T\))
Temps nécessaire à un objet pour effectuer une orbite complète autour d'un autre corps.
Altitude (\(h\))
Hauteur d'un objet (comme un satellite) au-dessus de la surface d'un corps céleste (comme la Terre).
Rayon Orbital (\(r\))
Distance entre le centre de l'objet en orbite et le centre du corps autour duquel il orbite. \(r = R_{\text{corps central}} + h\).
Mouvement Circulaire d'un Satellite - Exercice d'Application en Mécanique Classique

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