ÉTUDE DE PHYSIQUE

Moment d’Inertie d’un Cylindre Composite

Moment d'Inertie d'un Cylindre Composite

Calcul du Moment d'Inertie d'un Cylindre Composite ⚙️

Introduction à la Dynamique de Rotation

Le moment d'inertie est une grandeur physique qui caractérise la résistance d'un corps à la mise en rotation autour d'un axe. Il dépend de la masse du corps et de la manière dont cette masse est répartie par rapport à l'axe de rotation. Dans cet exercice, nous allons calculer le moment d'inertie d'un cylindre composite, c'est-à-dire un cylindre constitué de plusieurs parties coaxiales de matériaux (et donc de masses ou de densités) potentiellement différents.

Énoncé du Problème

On considère un cylindre composite de hauteur \(H\) constitué de :

  • Un cylindre plein intérieur de rayon R₁ et de masse M₁.
  • Un tube cylindrique extérieur (cylindre creux) de rayon intérieur R₁, de rayon extérieur R₂, et de masse M₂.

Les deux cylindres sont coaxiaux, c'est-à-dire qu'ils partagent le même axe de révolution Δ. On souhaite calculer le moment d'inertie total Itotal de ce cylindre composite par rapport à l'axe Δ.

Schéma du Cylindre Composite (Vue de dessus)
Δ R₁ R₂

Vue de dessus du cylindre composite montrant les rayons R₁ et R₂ et l'axe de révolution Δ.

Questions à traiter

  1. Rappeler la formule du moment d'inertie d'un cylindre plein de masse \(M\) et de rayon \(R\) par rapport à son axe de révolution. Calculer le moment d'inertie \(I_1\) du cylindre intérieur en fonction de \(M_1\) et \(R_1\).
  2. Rappeler la formule du moment d'inertie d'un cylindre creux de masse \(M\), de rayon intérieur \(R_{\text{int}}\) et de rayon extérieur \(R_{\text{ext}}\) par rapport à son axe de révolution. Calculer le moment d'inertie \(I_2\) du tube cylindrique extérieur en fonction de \(M_2\), \(R_1\) et \(R_2\).
  3. En utilisant le principe de superposition, exprimer le moment d'inertie total \(I_{\text{total}}\) du cylindre composite par rapport à l'axe \(\Delta\).
  4. Application numérique : On donne \(R_1 = 0.05 \text{ m}\) (5 cm), \(R_2 = 0.10 \text{ m}\) (10 cm), \(M_1 = 2 \text{ kg}\), et \(M_2 = 3 \text{ kg}\). Calculer les valeurs numériques de \(I_1\), \(I_2\), et \(I_{\text{total}}\). Attention aux unités ! Le moment d'inertie s'exprime en \(\text{kg} \cdot \text{m}^2\).

Simulation : Moment d'Inertie et Rotation

Visualisation de l'effet du moment d'inertie sur la rotation.

Observez deux cylindres composites (A et B) de même masse totale mais avec des répartitions de masse différentes. Un couple moteur identique est appliqué brièvement aux deux. Celui avec le moment d'inertie le plus faible tournera plus facilement (accélérera plus vite et atteindra une vitesse de rotation plus élevée).

Cylindre A (Masse plus au centre)

IA = ?

Cylindre B (Masse plus en périphérie)

IB = ?

Correction : Calcul du Moment d'Inertie d'un Cylindre Composite ⚙️

Question 1 : Moment d'inertie du cylindre plein intérieur \(I_1\)

Formule du moment d'inertie d'un cylindre plein :

Le moment d'inertie d'un cylindre plein homogène de masse \(M\) et de rayon \(R\), par rapport à son axe de révolution, est donné par :

\[ I = \frac{1}{2} M R^2 \]
Calcul de \(I_1\) :

Pour le cylindre intérieur, nous avons une masse \(M_1\) et un rayon \(R_1\). En appliquant la formule ci-dessus :

\[ I_1 = \frac{1}{2} M_1 R_1^2 \]
Résultat Question 1 : Le moment d'inertie du cylindre plein intérieur est \(I_1 = \frac{1}{2} M_1 R_1^2\).

Question 2 : Moment d'inertie du tube cylindrique extérieur \(I_2\)

Formule du moment d'inertie d'un cylindre creux :

Le moment d'inertie d'un cylindre creux (ou tube) homogène de masse \(M\), de rayon intérieur \(R_{\text{int}}\) et de rayon extérieur \(R_{\text{ext}}\), par rapport à son axe de révolution, est donné par :

\[ I = \frac{1}{2} M (R_{\text{ext}}^2 + R_{\text{int}}^2) \]
Calcul de \(I_2\) :

Pour le tube cylindrique extérieur, nous avons une masse \(M_2\), un rayon intérieur \(R_1\) et un rayon extérieur \(R_2\). En appliquant la formule :

\[ I_2 = \frac{1}{2} M_2 (R_2^2 + R_1^2) \]
Résultat Question 2 : Le moment d'inertie du tube cylindrique extérieur est \(I_2 = \frac{1}{2} M_2 (R_2^2 + R_1^2)\).

Quiz Intermédiaire : Si la masse d'un objet est davantage concentrée loin de l'axe de rotation, son moment d'inertie :

Question 3 : Moment d'inertie total \(I_{\text{total}}\)

Principe de Superposition :

Pour un corps composite, le moment d'inertie total par rapport à un axe donné est la somme des moments d'inertie de ses différentes parties par rapport à ce même axe.

Calcul de \(I_{\text{total}}\) :

Le cylindre composite est formé du cylindre intérieur (moment d'inertie \(I_1\)) et du tube extérieur (moment d'inertie \(I_2\)). Donc :

\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= I_1 + I_2 \\ &= \frac{1}{2} M_1 R_1^2 + \frac{1}{2} M_2 (R_2^2 + R_1^2) \end{aligned} \]

On peut factoriser pour simplifier l'expression :

\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{1}{2} [M_1 R_1^2 + M_2 R_2^2 + M_2 R_1^2] \\ &= \frac{1}{2} [(M_1 + M_2)R_1^2 + M_2 R_2^2] \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le moment d'inertie total du cylindre composite est \(I_{\text{total}} = \frac{1}{2} M_1 R_1^2 + \frac{1}{2} M_2 (R_2^2 + R_1^2)\).

Question 4 : Application Numérique

Données :
  • R₁ = 0.05 m
  • R₂ = 0.10 m
  • M₁ = 2 kg
  • M₂ = 3 kg
Calcul de \(I_1\) :
\[ \begin{aligned} I_1 &= \frac{1}{2} M_1 R_1^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 2 \text{ kg} \times (0.05 \text{ m})^2 \\ &= 1 \text{ kg} \times 0.0025 \text{ m}^2 \\ &= 0.0025 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]
Calcul de \(I_2\) :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{1}{2} M_2 (R_2^2 + R_1^2) \\ &= \frac{1}{2} \times 3 \text{ kg} \times ((0.10 \text{ m})^2 + (0.05 \text{ m})^2) \\ &= 1.5 \text{ kg} \times (0.01 \text{ m}^2 + 0.0025 \text{ m}^2) \\ &= 1.5 \text{ kg} \times (0.0125 \text{ m}^2) \\ &= 0.01875 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]
Calcul de \(I_{\text{total}}\) :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= I_1 + I_2 \\ &= 0.0025 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 + 0.01875 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \\ &= 0.02125 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultats de l'Application Numérique :
  • I₁ = 0.0025 kg·m²
  • I₂ = 0.01875 kg·m²
  • Itotal = 0.02125 kg·m²

Quiz Récapitulatif : Testez vos connaissances

1. L'unité du moment d'inertie dans le Système International (SI) est :

2. Si un objet est composé de deux parties A et B, son moment d'inertie total \(I_{\text{total}}\) par rapport à un axe est :

3. Le moment d'inertie d'un cylindre plein par rapport à son axe de révolution dépend de :

Glossaire

Moment d'Inertie (\(I\))
Grandeur qui mesure la résistance d'un corps à un changement de son état de rotation autour d'un axe. Plus le moment d'inertie est élevé, plus il est difficile de modifier la vitesse angulaire du corps. Unité SI : \(\text{kg} \cdot \text{m}^2\).
Cylindre Plein
Un solide de forme cylindrique rempli de matière de façon homogène.
Cylindre Creux (ou Tube Cylindrique)
Un solide de forme cylindrique avec un vide central, également cylindrique et coaxial. La matière se trouve entre un rayon intérieur et un rayon extérieur.
Axe de Révolution (ou Axe de Symétrie)
L'axe autour duquel un corps peut tourner et qui coïncide souvent avec un axe de symétrie du corps.
Principe de Superposition (pour les moments d'inertie)
Le moment d'inertie d'un système composite par rapport à un axe donné est la somme algébrique des moments d'inertie de ses composantes individuelles par rapport à ce même axe.
Masse (\(M\))
Quantité de matière contenue dans un corps. Unité SI : kilogramme (kg).
Rayon (\(R\))
Distance du centre d'un cercle ou d'une sphère à sa périphérie, ou de l'axe d'un cylindre à sa surface latérale. Unité SI : mètre (m).
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