Mouvement d'un Projectile avec Résistance de l'Air
Contexte : L'étude de la balistiqueScience qui étudie le mouvement des projectiles..
Dans un monde idéal, la trajectoire d'un projectile, comme une balle de golf, est une parabole parfaite dictée uniquement par la gravité. Cependant, dans le monde réel, l'air s'oppose à ce mouvement. Cette opposition, appelée force de traînéeForce qui s'oppose au mouvement d'un objet à travers un fluide (comme l'air). Elle dépend de la vitesse de l'objet, de sa forme et des propriétés du fluide., complique considérablement le problème et transforme notre parabole élégante en une courbe plus complexe et moins étendue. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse de ce phénomène réaliste.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment les modèles physiques sont affinés pour mieux correspondre à la réalité. En passant du cas simple (sans air) au cas complexe (avec air), vous apprendrez à mettre en place des équations différentielles et à comprendre l'impact fondamental des forces de frottement.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique dans un cas avec forces de frottement.
- Mettre en place les équations différentielles du mouvement d'un projectile avec une résistance de l'air quadratique.
- Analyser qualitativement et quantitativement l'effet de la traînée sur la trajectoire.
- Utiliser un simulateur pour visualiser l'impact de différents paramètres sur le vol du projectile.
Données de l'étude
Fiche Technique de la Balle et de l'Environnement
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Masse de la balle (m) | 45.93 g |
| Diamètre de la balle (d) | 42.67 mm |
| Coefficient de traînée (C)Nombre sans dimension qui quantifie la résistance d'un objet dans un fluide. Il dépend de la forme de l'objet. | 0.42 |
| Masse volumique de l'air (ρ) | 1.225 kg/m³ |
Conditions de Lancement
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 70 m/s |
| Angle de tir | \(\theta\) | 35° |
Schéma du Lancer Initial
Questions à traiter
- Déterminer les conditions initiales du mouvement : le vecteur position \(\vec{r}(0)\) et le vecteur vitesse \(\vec{v}(0)\) à l'instant \(t=0\), pour une vitesse initiale de \(v_0 = 70 \text{ m/s}\) et un angle de tir \(\theta = 35^\circ\).
- Calculer la constante de traînée \(k\) de la formule de la force de frottement \(F_D = k \cdot v^2\).
- En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique, établir les deux équations différentielles couplées qui régissent le mouvement selon les axes \(x\) et \(y\).
- Calculer le vecteur accélération initial \(\vec{a}(0)\) et le comparer (en norme et en direction) à l'accélération dans le vide (\( \vec{g} \)).
- Sans faire de calculs complexes, expliquer qualitativement comment la résistance de l'air affecte la forme de la trajectoire, la portée maximale et l'altitude maximale par rapport à une trajectoire parabolique idéale.
Les bases de la Mécanique du Point
Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux outils principaux : le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) et l'expression de la force de traînée aérodynamique.
1. Principe Fondamental de la Dynamique (2ème loi de Newton)
Ce principe stipule que la somme vectorielle des forces extérieures (\(\sum \vec{F}_{\text{ext}}\)) appliquées à un corps est égale au produit de la masse (\(m\)) du corps par son vecteur accélération (\(\vec{a}\)).
\[ \begin{aligned} \sum \vec{F}_{\text{ext}} &= m \cdot \vec{a} \\ &= m \frac{d\vec{v}}{dt} \\ &= m \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \end{aligned} \]
2. Force de Traînée Quadratique
Pour des objets se déplaçant à des vitesses élevées dans l'air (comme une balle de golf), la force de résistance de l'air est principalement quadratique. Elle s'oppose toujours au vecteur vitesse \(\vec{v}\) et sa norme \(F_D\) est proportionnelle au carré de la norme de la vitesse \(v\).
\[ \vec{F}_D = - k \cdot v \cdot \vec{v} \quad \text{avec} \quad F_D = \|\vec{F}_D\| = k \cdot v^2 \]
La constante \(k\) dépend du fluide et de l'objet : \(k = \frac{1}{2} \rho C A\), où \(\rho\) est la masse volumique de l'air, \(C\) le coefficient de traînée et \(A\) l'aire de la section transversale de l'objet.
Correction : Mouvement d'un Projectile avec Résistance de l'Air
Question 1 : Déterminer les conditions initiales du mouvement.
Principe
Les conditions initiales décrivent l'état du système (sa position et sa vitesse) à l'instant de départ, \(t=0\). Elles sont cruciales pour résoudre les équations différentielles du mouvement, car elles fournissent les constantes d'intégration.
Mini-Cours
En cinématique, un mouvement est entièrement déterminé si l'on connaît ses équations (issues des lois de la physique) et ses conditions initiales. Pour un point matériel dans l'espace, il faut 6 conditions : 3 pour la position (\(x_0, y_0, z_0\)) et 3 pour la vitesse (\(v_{x0}, v_{y0}, v_{z0}\)). Dans notre cas 2D, nous n'en avons besoin que de 4.
Remarque Pédagogique
Pensez toujours à définir clairement votre repère (origine, orientation des axes) avant de projeter les vecteurs. Un bon choix de repère simplifie énormément les calculs. Ici, placer l'origine au point de lancement est le choix le plus naturel.
Normes
Ce problème relève de la mécanique classique et n'est pas directement régi par une norme de construction. Cependant, les principes utilisés sont la base de normes plus complexes en aérodynamique ou en balistique militaire.
Formule(s)
Projection d'un vecteur
Hypothèses
Le cadre du calcul est défini par les hypothèses suivantes :
- Le mouvement a lieu dans un plan vertical (x,y).
- Le projectile est un point matériel.
- L'accélération de la pesanteur \(g\) est constante.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 70 | m/s |
| Angle de tir | \(\theta\) | 35 | ° |
Astuces
Vérifiez que votre calculatrice est bien en mode "degrés" pour les calculs d'angles, et non en "radians" ou "grades". C'est une source d'erreur très fréquente.
Schéma (Avant les calculs)
Projection du vecteur vitesse initial
Calcul(s)
Vecteur position initiale
Composante horizontale de la vitesse initiale
Composante verticale de la vitesse initiale
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Vitesse Initial avec ses Composantes Calculées
Réflexions
La composante horizontale de la vitesse est plus grande que la verticale car l'angle de 35° est inférieur à 45°. Cela indique que le projectile est lancé "plus loin que haut" initialement.
Points de vigilance
Ne pas confondre le vecteur vitesse \(\vec{v}(0)\) et sa norme \(v_0\). Le premier est un vecteur à deux composantes, la seconde est un scalaire positif.
Points à retenir
La décomposition d'un vecteur initial en ses composantes cartésiennes est l'étape de départ de la quasi-totalité des problèmes de mécanique en 2D.
Le saviez-vous ?
L'angle de 45° qui donne la portée maximale pour un projectile dans le vide n'est plus optimal en présence de résistance de l'air. L'angle optimal devient plus faible, typiquement entre 30° et 40°, pour minimiser le temps passé en l'air où les frottements agissent.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la vitesse initiale était de \(50 \text{ m/s}\) avec un angle de \(60^\circ\), quelle serait la composante verticale \(v_y(0)\) ?
Question 2 : Calculer la constante de traînée \(k\).
Principe
La constante \(k\) regroupe toutes les propriétés fixes qui déterminent l'intensité de la force de traînée pour un objet donné dans un fluide donné : la forme et la taille de l'objet (\(C\) et \(A\)) et la nature du fluide (\(\rho\)).
Mini-Cours
L'aire \(A\) dans la formule de la traînée est l'aire de référence, ou "maître-couple". C'est la surface de la projection de l'objet sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement. Pour une sphère, c'est simplement l'aire d'un disque de même rayon.
Remarque Pédagogique
Cette étape montre comment la physique relie des concepts macroscopiques (la force de frottement) à des propriétés géométriques (taille, forme) et matérielles (densité du fluide). C'est un bel exemple de modélisation.
Normes
Les valeurs de coefficients de traînée \(C\) sont déterminées expérimentalement en soufflerie et sont répertoriées dans des manuels de mécanique des fluides et d'aérodynamique. Il n'y a pas une "norme" unique mais des bases de données de référence.
Formule(s)
Formule de la constante de traînée
Aire d'un disque
Hypothèses
On suppose que le coefficient de traînée \(C\) est constant pendant tout le vol, ce qui est une approximation raisonnable pour une balle de golf dans une plage de vitesse typique.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique de l'air | \(\rho\) | 1.225 | kg/m³ |
| Coefficient de traînée | \(C\) | 0.42 | - |
| Diamètre de la balle | \(d\) | 0.04267 | m |
Astuces
Pour éviter les erreurs de calcul avec les puissances de 10, utilisez la notation scientifique sur votre calculatrice (touche EXP ou EE). Rentrer `1.225` `EE` `0` est plus sûr que de taper `1.225 * 10^0`.
Schéma (Avant les calculs)
Aire Frontale (Maître-Couple)
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion du diamètre en mètres
Étape 2 : Calcul de l'aire frontale A
Étape 3 : Calcul de la constante k
Schéma (Après les calculs)
Composition de la Constante de Traînée k
Réflexions
La valeur de \(k\) est très petite (\(3.68 \times 10^{-4}\)). Cela signifie que pour des vitesses faibles, la force de traînée sera négligeable. Cependant, comme elle dépend du carré de la vitesse, pour \(v=70 \text{ m/s}\), la force initiale (\(k \cdot v^2\)) sera de l'ordre de 1.8 N, ce qui n'est pas du tout négligeable par rapport au poids de la balle (environ 0.45 N).
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est une erreur d'unités. Le diamètre est en millimètres. Il est impératif de tout convertir en unités du Système International (mètres) avant le calcul.
Points à retenir
La constante de traînée \(k\) encapsule les propriétés de l'objet et du fluide. Sa formule \(k = \frac{1}{2} \rho C A\) est fondamentale en mécanique des fluides.
Le saviez-vous ?
Les alvéoles sur une balle de golf ne sont pas là pour l'esthétique ! Elles créent une fine couche d'air turbulent autour de la balle, ce qui réduit paradoxalement le sillage derrière elle et diminue le coefficient de traînée \(C\) d'environ 50% par rapport à une sphère lisse, lui permettant de voler beaucoup plus loin.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la valeur de \(k\) pour un ballon de football (\(d=22 \text{ cm}\), \(C=0.2\))?
Question 3 : Établir les équations différentielles du mouvement.
Principe
On applique le PFD en faisant le bilan des deux forces agissant sur la balle : son poids (vertical, vers le bas) et la force de traînée (opposée à la vitesse). On projette ensuite cette relation vectorielle sur les axes \(x\) et \(y\) pour obtenir deux équations scalaires.
Mini-Cours
Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction à ses dérivées. Ici, nous lions l'accélération (dérivée de la vitesse) à la vitesse elle-même. La résolution de ces équations donne la fonction vitesse au cours du temps, \(v(t)\), puis par intégration, la position \(r(t)\).
Remarque Pédagogique
C'est l'étape la plus conceptuelle. Le passage du monde physique (les forces) au monde mathématique (les équations) est le cœur du métier de l'ingénieur et du physicien. Assurez-vous de bien comprendre d'où vient chaque terme.
Normes
Pas de norme applicable ici. Il s'agit d'une application directe des lois de la mécanique newtonienne.
Formule(s)
Principe Fondamental de la Dynamique
Expression des forces
Hypothèses
On néglige d'autres forces potentiellement présentes comme la poussée d'Archimède (très faible dans l'air) ou les forces de portance (effet Magnus dû à la rotation de la balle).
Donnée(s)
Cette question est purement littérale, elle n'utilise pas de valeurs numériques, seulement les symboles \(m, g, k, v_x, v_y\).
Astuces
Le vecteur \(\vec{v}\) peut s'écrire comme le produit de sa norme \(v\) et d'un vecteur unitaire \(\hat{v}\) qui indique sa direction : \(\vec{v} = v \cdot \hat{v}\). La force de traînée peut donc s'écrire \(\vec{F}_D = - (k v^2) \hat{v}\), ce qui montre bien qu'elle a une norme de \(kv^2\) et une direction opposée à la vitesse.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur le projectile
Calcul(s)
Équation vectorielle du mouvement
En séparant les deux lignes (les composantes en \(x\) et en \(y\)), et en remplaçant \(a_x\) par \(\frac{dv_x}{dt}\) et \(a_y\) par \(\frac{dv_y}{dt}\), on obtient le système d'équations différentielles.
Équation différentielle selon l'axe x
Équation différentielle selon l'axe y
Schéma (Après les calculs)
Décomposition du PFD par axe
Réflexions
Notez que si \(k=0\) (pas de frottement), on retrouve les équations bien connues : \(\frac{dv_x}{dt}=0\) (vitesse horizontale constante) et \(\frac{dv_y}{dt}=-g\) (mouvement uniformément accéléré verticalement). Notre modèle plus complexe inclut donc bien le cas simple comme cas limite.
Points de vigilance
Attention aux signes. Le poids est dirigé selon les \(y\) négatifs. La force de traînée a deux signes moins : un parce qu'elle s'oppose à la vitesse, et un autre qui peut apparaître si la composante de la vitesse est elle-même négative. La formulation vectorielle \(-k v \vec{v}\) gère cela automatiquement.
Points à retenir
Ceci est un système d'équations différentielles couplées. Cela signifie que l'équation pour \(v_x\) dépend de \(v_y\) (via le terme \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\)), et vice-versa. C'est la raison pour laquelle il n'existe pas de solution analytique simple et qu'on doit utiliser des méthodes numériques pour le résoudre.
Le saviez-vous ?
Le problème de la balistique avec résistance de l'air est un problème historiquement très important, notamment pour l'artillerie. Avant l'arrivée des ordinateurs, des légions de calculateurs humains passaient des journées à résoudre numériquement ces équations à la main pour produire des tables de tir.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Comment s'écrirait le côté droit de l'équation \(m \frac{dv_x}{dt}\) si on avait une force de traînée linéaire de type \(\vec{F}_D = - \gamma \vec{v}\) ?
Question 4 : Calculer l'accélération initiale \(\vec{a}(0)\).
Principe
L'accélération initiale est l'accélération de l'objet à l'instant exact où il est lancé (\(t=0\)). On peut la calculer directement à partir du PFD en utilisant les valeurs de vitesse et de force à cet instant précis.
Mini-Cours
L'accélération n'est pas toujours constante. Dans ce problème, la force de traînée dépend de la vitesse, qui change constamment. Par conséquent, l'accélération change aussi à chaque instant. \(\vec{a}(0)\) n'est que la valeur à l'instant initial ; un instant plus tard, elle sera différente.
Remarque Pédagogique
Ce calcul montre de manière frappante l'impact de la résistance de l'air. Dans le vide, l'accélération est toujours \(\vec{g}\). Ici, on voit que dès le premier instant, la trajectoire dévie de la parabole idéale car l'accélération n'est déjà plus purement verticale.
Normes
Pas de norme applicable.
Formule(s)
Composante x de l'accélération
Composante y de l'accélération
Hypothèses
Les mêmes hypothèses que pour la question 3 s'appliquent.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de la balle | \(m\) | 0.04593 | kg |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| Constante de traînée | \(k\) | 3.68 x 10⁻⁴ | kg/m |
| Composante v_x(0) | \(v_x(0)\) | 57.34 | m/s |
| Composante v_y(0) | \(v_y(0)\) | 40.15 | m/s |
| Norme de la vitesse initiale | \(v(0)\) | 70 | m/s |
Astuces
Puisque \(\sqrt{v_x(0)^2+v_y(0)^2}\) est simplement la norme de la vitesse initiale \(v_0\), on peut utiliser directement \(v_0=70\) m/s pour simplifier le calcul et éviter d'arrondir les valeurs des composantes.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des vecteurs accélération à t=0
Calcul(s)
Calcul de la composante \(a_x(0)\)
Calcul de la composante \(a_y(0)\)
Vecteur accélération initial
Norme de l'accélération initiale
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Accélération Initial avec Composantes Calculées
Réflexions
L'accélération initiale est bien plus grande en norme que \(g\) (\(45.54\) vs \(9.81 \text{ m/s}^2\)). De plus, elle n'est pas purement verticale. Elle a une composante horizontale négative et une composante verticale plus négative que \(g\), ce qui signifie qu'elle est dirigée vers l'arrière et vers le bas, s'opposant au mouvement initial.
Points de vigilance
Ne pas oublier le poids ! Une erreur fréquente est de ne calculer que la partie de l'accélération due à la traînée et d'oublier d'y ajouter (vectoriellement) l'accélération de la pesanteur \(g\).
Points à retenir
L'accélération d'un projectile dans l'air n'est ni constante, ni verticale. Elle dépend à chaque instant de la vitesse du projectile.
Le saviez-vous ?
Lors de la rentrée atmosphérique, la force de traînée sur une capsule spatiale est si intense qu'elle peut provoquer des décélérations de plus de 10 g (10 fois l'accélération de la pesanteur). Les astronautes subissent alors une force équivalente à 10 fois leur propre poids.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la balle était lancée verticalement vers le haut à 70 m/s, quelle serait son accélération initiale \(a_y(0)\) ? (Note : \(v_x(0)=0\))
Question 5 : Analyser qualitativement les effets de la résistance de l'air.
Principe
La résistance de l'air est une force non-conservative qui dissipe l'énergie mécanique du projectile. Cette perte d'énergie continue modifie profondément la trajectoire par rapport au cas idéal sans frottement.
Mini-Cours
Dans le vide, l'énergie mécanique (\(E_m = E_c + E_p\)) est conservée. Avec la traînée, une partie de cette énergie est convertie en chaleur, donc \(E_m\) diminue constamment. C'est pourquoi le projectile ne peut atteindre ni la même hauteur, ni la même portée.
Remarque Pédagogique
La physique, ce n'est pas que des calculs. Développer une intuition sur le comportement des systèmes est une compétence essentielle. Cette question vous entraîne à raisonner avec les concepts plutôt qu'avec les chiffres.
Normes
Pas de norme applicable.
Hypothèses
On suppose que la force de traînée est la seule différence entre le cas réel et le cas idéal.
Astuces
Imaginez lancer une balle en mousse puis une boule de pétanque avec la même vitesse initiale. La différence drastique de leur trajectoire est due quasi-exclusivement à la différence d'effet de la résistance de l'air par rapport à leur poids.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Trajectoires
Réflexions
L'analyse qualitative mène aux conclusions suivantes :
- Forme de la trajectoire : La trajectoire n'est plus une parabole symétrique. La phase descendante est plus abrupte (plus verticale) que la phase montante. L'altitude maximale est atteinte avant d'avoir parcouru la moitié de la distance horizontale totale.
- Portée maximale : La résistance de l'air s'oppose constamment à la composante horizontale de la vitesse, la ralentissant. Par conséquent, la distance horizontale totale parcourue (la portée) est significativement réduite.
- Altitude maximale : La traînée agit aussi sur la composante verticale de la vitesse, et dissipe de l'énergie. La balle ne peut donc pas atteindre une altitude aussi élevée que dans le vide.
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Trajectoires
Points de vigilance
Ne pas penser que la traînée "s'arrête" au sommet de la trajectoire. Elle est minimale (mais non nulle) car la vitesse y est minimale, mais elle est toujours présente et continue de dissiper de l'énergie.
Points à retenir
- La résistance de l'air réduit la portée et l'altitude maximale.
- Elle rend la trajectoire asymétrique.
- La phase de descente est plus "raide" que la phase de montée.
Le saviez-vous ?
La forme des gouttes de pluie n'est pas celle d'une larme comme on le dessine souvent. Les petites gouttes sont sphériques (tension de surface), tandis que les plus grosses, en tombant, sont aplaties sur le dessous par la résistance de l'air, leur donnant une forme de petit pain à hamburger.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si on lançait le projectile sur la Lune (pas d'air), à quelle trajectoire du simulateur cela correspondrait-il ?
Outil Interactif : Simulateur de Trajectoire
Utilisez cet outil pour voir comment la vitesse initiale, l'angle de tir et le coefficient de traînée influencent la trajectoire d'un projectile. Observez la différence entre la trajectoire idéale (en pointillé) et la trajectoire réelle avec résistance de l'air (en rouge).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (Trajectoire Réelle)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Comment la résistance de l'air affecte-t-elle la portée maximale d'un projectile ?
2. Pour une traînée quadratique (\(F_D \propto v^2\)), si la vitesse de l'objet double, par quel facteur la force de traînée est-elle multipliée ?
3. Quelle est la forme de la trajectoire d'un projectile avec résistance de l'air ?
4. À quel moment de la trajectoire la force de traînée est-elle généralement la plus forte ?
- Force de Traînée
- Force qui s'oppose au mouvement d'un objet à travers un fluide (comme l'air). Elle dépend de la vitesse de l'objet, de sa forme et des propriétés du fluide.
- Coefficient de Traînée (C)
- Nombre sans dimension qui quantifie la "résistance de forme" d'un objet dans un fluide. Une sphère lisse a un C d'environ 0.4-0.5 à haute vitesse.
- Vitesse Terminale
- Vitesse maximale qu'un objet en chute libre peut atteindre. C'est la vitesse à laquelle la force de traînée équilibre exactement la force de gravité, rendant l'accélération nette nulle.
- Méthode d'Euler
- Une technique d'intégration numérique de base pour résoudre des équations différentielles. Elle consiste à approximer la solution en avançant par petits pas de temps, en supposant que la vitesse est constante pendant chaque petit intervalle.
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