ÉTUDE DE PHYSIQUE

Stabilité d’un Corps Flottant

Stabilité d'un Corps Flottant : Poussée et Métacentre

Stabilité d'un Corps Flottant : Poussée et Métacentre

La stabilité d'un corps flottant est une question centrale en mécanique des fluides et en ingénierie. Elle détermine la capacité d'un objet (comme un navire ou une bouée) à revenir à sa position d'équilibre après avoir été incliné par une force extérieure (comme le vent ou les vagues). Cette stabilité dépend de la relation entre le poids de l'objet, qui s'applique à son centre de gravité (G), et la poussée d'Archimède, qui s'applique au centre de carène (C), le centre de gravité du volume de fluide déplacé. Pour de petites inclinaisons, l'analyse de la stabilité repose sur la position du métacentre (M) par rapport au centre de gravité (G).

Données de l'étude : Ponton Rectangulaire

On étudie la stabilité transversale d'un ponton de forme parallélépipédique rectangle homogène, flottant en eau douce.

Caractéristiques du ponton et du fluide :

  • Longueur du ponton : \(L = 10.0 \text{ m}\)
  • Largeur du ponton (bau) : \(l = 4.0 \text{ m}\)
  • Hauteur du ponton : \(h = 2.0 \text{ m}\)
  • Masse du ponton : \(m = 40,000 \text{ kg}\)
  • Masse volumique de l'eau douce : \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \text{ kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
Schéma : Ponton en équilibre (vue transversale)
Ligne de flottaison G C P Fₐ h = 2.0 m l = 4.0 m T

Vue en coupe du ponton à l'équilibre. G est le centre de gravité, C est le centre de carène (ou de poussée), P est le poids et Fₐ est la poussée d'Archimède. T est le tirant d'eau.

Questions à traiter

  1. Calculer le tirant d'eau (\(T\)) du ponton à l'équilibre.
  2. Déterminer la position verticale du centre de gravité (\(KG\)) et du centre de carène (\(KB\)) par rapport à la base du ponton (la quille, K).
  3. Calculer le moment d'inertie de la surface de flottaison par rapport à l'axe longitudinal (\(I_T\)) et en déduire le rayon métacentrique transversal (\(BM_T\)).
  4. Déterminer la position verticale du métacentre transversal (\(KM_T\)) par rapport à la quille.
  5. Calculer la hauteur métacentrique transversale (\(GM_T\)).
  6. Conclure sur la stabilité transversale initiale du ponton.

Correction : Stabilité du Ponton

Question 1 : Calcul du tirant d'eau (\(T\))

Principe :

À l'équilibre, selon le principe d'Archimède, le poids du corps flottant (\(P\)) est égal à la poussée d'Archimède (\(F_A\)), qui correspond au poids du volume de fluide déplacé.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P = F_A \Rightarrow mg = \rho_{\text{eau}} g V_{\text{immergé}} \]

Pour un ponton rectangulaire, le volume immergé est \(V_{\text{immergé}} = L \times l \times T\). L'équation se simplifie en :

\[ m = \rho_{\text{eau}} L l T \Rightarrow T = \frac{m}{\rho_{\text{eau}} L l} \]
Données spécifiques :
  • \(m = 40000 \text{ kg}\)
  • \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \text{ kg/m}^3\)
  • \(L = 10.0 \text{ m}\)
  • \(l = 4.0 \text{ m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T &= \frac{40000 \text{ kg}}{1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 10.0 \text{ m} \times 4.0 \text{ m}} \\ &= \frac{40000}{40000} \text{ m} \\ &= 1.0 \text{ m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le tirant d'eau du ponton à l'équilibre est \(T = 1.0 \text{ m}\).

Question 2 : Positions de G (\(KG\)) et C (\(KB\))

Principe :

Pour un corps homogène, le centre de gravité (G) se situe au centre géométrique du corps. Le centre de carène (C) se situe au centre géométrique du volume immergé.

Calcul :

Position du centre de gravité (G) : Le ponton est un parallélépipède homogène de hauteur \(h = 2.0 \text{ m}\). Son centre de gravité est à mi-hauteur par rapport à sa base (la quille K).

\[ KG = \frac{h}{2} = \frac{2.0 \text{ m}}{2} = 1.0 \text{ m} \]

Position du centre de carène (C) : Le volume immergé est un parallélépipède de hauteur \(T = 1.0 \text{ m}\). Son centre de gravité (le centre de carène) est à mi-hauteur de ce volume immergé, par rapport à la quille K.

\[ KB = \frac{T}{2} = \frac{1.0 \text{ m}}{2} = 0.5 \text{ m} \]
Résultat Question 2 : Les positions verticales par rapport à la quille sont \(KG = 1.0 \text{ m}\) et \(KB = 0.5 \text{ m}\).

Question 3 : Moment d'inertie (\(I_T\)) et Rayon métacentrique (\(BM_T\))

Principe :

La stabilité de forme dépend du rayon métacentrique (\(BM_T\)), qui est le rapport du moment d'inertie de la surface de flottaison (\(I_T\)) sur le volume immergé (\(V_{\text{immergé}}\)). Pour une inclinaison transversale (autour de l'axe longitudinal), on utilise le moment d'inertie de la surface de flottaison par rapport à cet axe.

Formule(s) utilisée(s) :

Surface de flottaison rectangulaire de longueur L et largeur l :

\[I_T = \frac{L l^3}{12}\]

Rayon métacentrique :

\[BM_T = \frac{I_T}{V_{\text{immergé}}}\]
Calcul :

Le volume immergé est \(V_{\text{immergé}} = L \times l \times T = 10 \times 4 \times 1 = 40 \text{ m}^3\).

\[ \begin{aligned} I_T &= \frac{10.0 \text{ m} \times (4.0 \text{ m})^3}{12} \\ &= \frac{10 \times 64}{12} \text{ m}^4 \\ &\approx 53.33 \text{ m}^4 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} BM_T &= \frac{53.33 \text{ m}^4}{40 \text{ m}^3} \\ &\approx 1.33 \text{ m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le rayon métacentrique transversal est \(BM_T \approx 1.33 \text{ m}\).

Question 4 : Position du métacentre transversal (\(KM_T\))

Principe :

Le métacentre (M) est le point d'intersection de la verticale passant par le nouveau centre de carène (C') après une petite inclinaison, avec l'axe de symétrie initial. Sa position par rapport à la quille (\(KM_T\)) est la somme de la position du centre de carène (\(KB\)) et du rayon métacentrique (\(BM_T\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[KM_T = KB + BM_T\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} KM_T &= 0.5 \text{ m} + 1.33 \text{ m} \\ &= 1.83 \text{ m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La position verticale du métacentre transversal par rapport à la quille est \(KM_T \approx 1.83 \text{ m}\).

Question 5 : Hauteur métacentrique transversale (\(GM_T\))

Principe :

La hauteur métacentrique (\(GM_T\)) est la distance verticale entre le centre de gravité (G) et le métacentre (M). C'est le critère clé de la stabilité initiale : si M est au-dessus de G (\(GM_T > 0\)), le corps est stable.

Formule(s) utilisée(s) :
\[GM_T = KM_T - KG\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} GM_T &= 1.83 \text{ m} - 1.0 \text{ m} \\ &= 0.83 \text{ m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La hauteur métacentrique transversale est \(GM_T \approx 0.83 \text{ m}\).

Question 6 : Conclusion sur la stabilité

Principe :

La stabilité initiale d'un corps flottant est assurée si sa hauteur métacentrique \(GM_T\) est positive. Une valeur positive signifie que pour une petite inclinaison, le couple de redressement créé par le poids et la poussée d'Archimède tend à ramener le corps à sa position verticale.

Analyse :

Nous avons calculé une hauteur métacentrique \(GM_T \approx 0.83 \text{ m}\).

  • Puisque \(GM_T > 0\), le métacentre M est situé au-dessus du centre de gravité G.
  • Le ponton est donc initialement stable pour les inclinaisons transversales.
Résultat Question 6 : Le ponton est stable car sa hauteur métacentrique \(GM_T\) est positive.

Quiz Intermédiaire 1 : Si on ajoutait une lourde charge sur le pont supérieur du ponton, comment cela affecterait-il la stabilité ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. La poussée d'Archimède est une force qui est égale :

8. Un corps flottant est stable si :

9. Le "centre de carène" est :

Glossaire

Poussée d'Archimède (\(F_A\))
Force verticale, dirigée vers le haut, que subit un corps plongé dans un fluide. Sa magnitude est égale au poids du volume de fluide déplacé.
Centre de Gravité (G)
Point d'application du poids d'un objet. Pour un corps homogène, il coïncide avec son centre géométrique.
Centre de Carène (C ou B)
Point d'application de la poussée d'Archimède. Il correspond au centre de gravité du volume de fluide déplacé (la partie immergée du corps).
Métacentre (M)
Point d'intersection de l'axe vertical du corps (lorsqu'il est droit) et de la droite d'action de la poussée d'Archimède lorsque le corps est légèrement incliné. Sa position est cruciale pour la stabilité.
Hauteur Métacentrique (\(GM\))
Distance entre le centre de gravité (G) et le métacentre (M). C'est le principal indicateur de la stabilité initiale. Si \(GM > 0\), le corps est stable.
Tirant d'eau (\(T\))
Hauteur de la partie immergée d'un corps flottant.
Surface de Flottaison
Surface de l'objet qui se trouve exactement au niveau de la surface libre du fluide.
Moment de Redressement
Couple qui tend à ramener un corps flottant incliné à sa position d'équilibre. Il est proportionnel à la hauteur métacentrique pour de faibles angles.
Stabilité d'un Corps Flottant - Exercice d'Application

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