ÉTUDE DE PHYSIQUE

Le Pendule de Foucault : Calcul de la Déviation

Le Pendule de Foucault : Calcul de la Déviation

Le Pendule de Foucault : Calcul de la Déviation

Comprendre le Pendule de Foucault

Le pendule de Foucault, du nom du physicien français Léon Foucault, est une expérience célèbre qui démontre de manière visible la rotation de la Terre. Un pendule simple, très long et lourd, est lancé en oscillation. Pour un observateur dans un référentiel inertiel (qui ne tourne pas), le plan d'oscillation du pendule resterait fixe. Cependant, comme la Terre tourne sous le pendule, un observateur terrestre voit le plan d'oscillation tourner lentement au cours de la journée.

Cette rotation apparente est un effet de la force de Coriolis, une force d'inertie qui agit sur les corps en mouvement dans un référentiel en rotation. La vitesse de rotation du plan du pendule dépend de la latitude du lieu de l'expérience : elle est maximale aux pôles et nulle à l'équateur.

Données de l'étude

On installe un pendule de Foucault à Loos, près de Lille, en France. On souhaite calculer la vitesse de rotation de son plan d'oscillation et la déviation observée après une heure.

Données :

  • Latitude de Loos (\(\lambda\)) : \(50.6^\circ\) Nord
  • Période de rotation sidérale de la Terre (\(T\)) : 23 h 56 min 4 s
Schéma : Précession du Pendule de Foucault
{/* Terre et axes */} Axe de rotation wT {/* Latitude */} Lieu (lambda) lambda {/* Pendule et plan d'oscillation */} Pendule

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse angulaire de rotation de la Terre, \(\omega_T\), en radians par seconde.
  2. Donner la formule qui exprime la vitesse angulaire de précession du plan du pendule, \(\Omega\), en fonction de \(\omega_T\) et de la latitude \(\lambda\).
  3. Calculer la valeur numérique de la vitesse de précession \(\Omega\) à Loos.
  4. En déduire la période de précession du pendule, c'est-à-dire le temps \(T_{\text{préc}}\) nécessaire pour que son plan d'oscillation effectue un tour complet de 360°.
  5. Calculer l'angle de déviation \(\Delta\alpha\) du plan d'oscillation après une durée \(\Delta t = 1\) heure.

Correction : Calcul de la Déviation du Pendule de Foucault

Question 1 : Vitesse Angulaire de la Terre (\(\omega_T\))

Principe :

La vitesse angulaire \(\omega_T\) est le rapport de l'angle d'un tour complet (2\(\pi\) radians) sur la période de rotation sidérale \(T\). Il est essentiel d'utiliser la période sidérale et de la convertir en secondes.

Formule et Calcul :

Période en secondes : \(T = 23 \times 3600 + 56 \times 60 + 4 = 86164 \, \text{s}\).

\[ \begin{aligned} \omega_T &= \frac{2\pi}{T} \\ &= \frac{2\pi}{86164 \, \text{s}} \\ &\approx 7.292 \times 10^{-5} \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La vitesse angulaire de la Terre est \(\omega_T \approx 7.29 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Formule de la Vitesse de Précession (\(\Omega\))

Principe :

L'effet de la force de Coriolis sur le pendule provoque une rotation lente de son plan d'oscillation. La vitesse angulaire de cette rotation, appelée vitesse de précession \(\Omega\), est proportionnelle à la composante verticale du vecteur de rotation de la Terre au lieu considéré.

Formule :
\[\Omega = \omega_T \sin(\lambda)\]

où \(\lambda\) est la latitude du lieu.

Question 3 : Calcul de la Vitesse de Précession à Loos

Principe :

On applique la formule précédente avec les valeurs de \(\omega_T\) et la latitude de Loos (\(\lambda = 50.6^\circ\)).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \Omega &= (7.292 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}) \cdot \sin(50.6^\circ) \\ &= (7.292 \times 10^{-5}) \cdot (0.7727) \, \text{rad/s} \\ &\approx 5.635 \times 10^{-5} \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse de précession à Loos est \(\Omega \approx 5.64 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}\).

Question 4 : Calcul de la Période de Précession (\(T_{\text{préc}}\))

Principe :

La période de précession est le temps nécessaire pour que le plan du pendule effectue un tour complet (\(2\pi\) radians) à la vitesse de précession \(\Omega\).

Formule et Calcul :
\[ \begin{aligned} T_{\text{préc}} &= \frac{2\pi}{\Omega} \\ &= \frac{2\pi}{5.635 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}} \\ &\approx 111494 \, \text{s} \\ \\ \text{Conversion en heures :} \\ T_{\text{préc}} &\approx \frac{111494}{3600} \, \text{h} \\ &\approx 30.97 \, \text{heures} \end{aligned} \]

Il faudrait donc environ 31 heures pour que le plan du pendule fasse un tour complet à Loos.

Résultat Question 4 : La période de précession du pendule est d'environ \(31.0\) heures.

Question 5 : Angle de Déviation en Une Heure

Principe :

L'angle de déviation \(\Delta\alpha\) après un temps \(\Delta t\) est simplement le produit de la vitesse de précession \(\Omega\) et de ce temps \(\Delta t\). Il faut veiller à la cohérence des unités.

Calcul :

Conversion du temps : \(\Delta t = 1 \, \text{heure} = 3600 \, \text{s}\).

\[ \begin{aligned} \Delta\alpha &= \Omega \cdot \Delta t \\ &= (5.635 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}) \cdot (3600 \, \text{s}) \\ &\approx 0.20286 \, \text{rad} \\ \\ \text{Conversion en degrés :} \\ \Delta\alpha &\approx 0.20286 \, \text{rad} \times \frac{180^\circ}{\pi \, \text{rad}} \\ &\approx 11.62^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Après une heure, le plan d'oscillation du pendule aura tourné d'environ \(11.6^\circ\) dans le sens des aiguilles d'une montre (dans l'hémisphère Nord).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Où la précession du pendule de Foucault est-elle la plus rapide ?

2. Si un pendule de Foucault est installé à l'équateur, son plan d'oscillation :

3. L'effet observé avec le pendule de Foucault est une manifestation directe de :

Glossaire

Pendule de Foucault
Pendule simple, généralement long et lourd, conçu pour osciller pendant une longue période et dont le plan d'oscillation tourne lentement, démontrant ainsi la rotation de la Terre.
Force de Coriolis
Force d'inertie (ou fictive) qui agit sur les corps en mouvement dans un référentiel en rotation. Elle est responsable de la déviation des trajectoires, comme la rotation du plan du pendule de Foucault.
Précession
Dans le contexte du pendule de Foucault, ce terme désigne la rotation lente du plan d'oscillation du pendule autour de la verticale locale.
Latitude (\(\lambda\))
Coordonnée géographique qui représente la position d'un point sur Terre par rapport à l'équateur. Elle varie de 0° à l'équateur à 90° aux pôles.
Jour Sidéral
Temps nécessaire à la Terre pour effectuer une rotation complète de 360° sur son axe par rapport aux étoiles fixes. Il est d'environ 23 heures, 56 minutes et 4 secondes, soit un peu plus court que le jour solaire de 24 heures.
Le Pendule de Foucault - Exercice d'Application

D’autres exercices de Mécanique Classique:

Problème des Deux Corps
Problème des Deux Corps

Problème des Deux Corps et Réduction à un Corps Fictif Problème des Deux Corps et Réduction à un Corps Fictif Comprendre le Problème des Deux Corps En mécanique classique, le problème des deux corps consiste à déterminer le mouvement de deux corps ponctuels qui...

Application du Principe de Moindre Action
Application du Principe de Moindre Action

Application du Principe de Moindre Action Application du Principe de Moindre Action Le principe de moindre action est un principe variationnel fondamental en mécanique et en physique théorique. Il stipule que la trajectoire réellement suivie par un système physique...

Roulement Sans Glissement d’une Sphère
Roulement Sans Glissement d’une Sphère

Roulement Sans Glissement d'une Sphère sur un Plan Incliné Roulement sans Glissement d'une Sphère sur un Plan Incliné Comprendre le Roulement Sans Glissement Le roulement sans glissement est un type de mouvement où un objet (comme une roue, un cylindre ou une sphère)...

Stabilité d’un Corps Flottant
Stabilité d’un Corps Flottant

Stabilité d'un Corps Flottant : Poussée et Métacentre Stabilité d'un Corps Flottant : Poussée et Métacentre La stabilité d'un corps flottant est une question centrale en mécanique des fluides et en ingénierie. Elle détermine la capacité d'un objet (comme un navire ou...

Calcul de l’Effet Coriolis
Calcul de l’Effet Coriolis

Effet Coriolis sur la Trajectoire d'un Objet Calcul de l'Effet Coriolis sur la Trajectoire d'un Objet Comprendre l'Effet Coriolis L'effet Coriolis est une manifestation de l'inertie dans un référentiel en rotation, comme la Terre. Il se traduit par une force fictive,...

Oscillations Couplées de Deux Pendules Identiques
Oscillations Couplées de Deux Pendules Identiques

Oscillations Couplées de Deux Pendules Identiques Oscillations Couplées de Deux Pendules Identiques Comprendre les Oscillations Couplées et les Modes Normaux Lorsque deux oscillateurs ou plus sont connectés d'une manière qui leur permet d'échanger de l'énergie, on dit...

Trajectoire dans un Champ de Force Central
Trajectoire dans un Champ de Force Central

Trajectoire dans un Champ de Force Central Trajectoire dans un Champ de Force Central En mécanique classique, le mouvement d'une particule soumise à une force centrale (une force qui est toujours dirigée vers un point fixe, le centre de force) possède des propriétés...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *