Le Pendule de Foucault : Calcul de la Déviation

Contexte : Le Pendule de FoucaultDispositif expérimental conçu par Léon Foucault en 1851 pour démontrer la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen..

Cet exercice vous guidera à travers le calcul de la déviation angulaire du plan d'oscillation d'un pendule de Foucault. En utilisant les principes de la mécanique en référentiel non inertiel, nous déterminerons comment la latitudeCoordonnée géographique représentant la position d'un point sur Terre, au nord ou au sud de l'équateur. d'un lieu et le temps écoulé influencent cette rotation apparente, une manifestation directe de la force de CoriolisForce inertielle agissant sur un corps en mouvement dans un référentiel en rotation. Elle est responsable de la déviation du pendule..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour appliquer des concepts théoriques comme la composition des vitesses angulaires et l'effet de Coriolis à un phénomène physique observable et historiquement significatif.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe de la précession du pendule de Foucault.
Appliquer la formule liant la vitesse de rotation de la Terre, la latitude et la vitesse de précession.
Calculer une déviation angulaire en fonction du temps et la convertir en différentes unités.

Données de l'étude

Nous étudions un pendule de Foucault installé au Panthéon à Paris. Notre objectif est de calculer la déviation de son plan d'oscillation après une certaine durée.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Lieu d'observation	Panthéon, Paris
Latitude (\(\lambda\))	48.846° Nord
Durée d'observation (\(t\))	6 heures

Schéma de principe du Pendule de Foucault

Nom du Paramètre	Symbole et Description	Valeur	Unité
Vitesse angulaire de la Terre	\(\Omega_T\) : Vitesse de rotation de la Terre.	\(7.292 \times 10^{-5}\)	rad/s
Latitude	\(\lambda\) : Position angulaire du lieu.	48.846	degrés (°)

Questions à traiter

Calculer la vitesse angulaire de précession (\(\omega_p\)) du plan d'oscillation du pendule en radians par seconde (rad/s).
Convertir la durée d'observation de 6 heures en secondes.
Calculer la déviation angulaire totale (\(\Delta \theta\)) en radians après 6 heures.
Convertir cette déviation angulaire en degrés.
Déterminer le temps nécessaire pour une rotation complète (360°) du plan du pendule à cette latitude (cette durée est appelée période de Foucault).

Les bases sur l'Effet de Coriolis et le Pendule de Foucault

La rotation apparente du plan d'oscillation du pendule n'est pas due à une force agissant sur le pendule lui-même, mais à la rotation du sol (la Terre) sous lui. Ce phénomène est une conséquence directe de l'observation depuis un référentiel en rotation, et il est mathématiquement décrit par la force de Coriolis.

1. La Force de Coriolis
C'est une force inertielle (ou pseudo-force) qui agit sur les corps en mouvement dans un référentiel en rotation. Pour un observateur terrestre, tout objet en mouvement est dévié de sa trajectoire rectiligne. C'est cette force qui "pousse" le plan d'oscillation du pendule et le fait tourner.

2. Vitesse Angulaire de Précession (\(\omega_p\))
La vitesse à laquelle le plan du pendule tourne dépend de la composante verticale de la vitesse de rotation de la Terre au lieu d'observation. Cette vitesse est maximale aux pôles et nulle à l'équateur. Elle est donnée par la formule : \[ \omega_p = \Omega_T \sin(\lambda) \]

Correction : Le Pendule de Foucault : Calcul de la Déviation

Question 1 : Calculer la vitesse angulaire de précession (\(\omega_p\))

Principe

Le concept physique clé est que seule la composante du vecteur de rotation de la Terre qui est perpendiculaire au sol (locale) contribue à la rotation du plan du pendule. Cette composante est obtenue en projetant le vecteur de rotation de la Terre sur la verticale locale, ce qui fait intervenir le sinus de la latitude.

Mini-Cours

Dans un référentiel en rotation comme la Terre, la composition des vitesses angulaires montre que la vitesse de rotation observée localement (\(\omega_p\)) est la projection de la vitesse de rotation globale (\(\Omega_T\)) sur l'axe local. C'est le fondement de l'effet de Coriolis pour ce problème.

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus courante est d'oublier que l'effet dépend de la latitude. Retenez que le pendule est un "détecteur" de la rotation locale du sol sous lui. Au pôle, le sol fait un tour complet en un jour. À l'équateur, il ne "tourne" pas par rapport à l'axe vertical, il se déplace juste.

Normes

Ce calcul ne dépend pas d'une norme d'ingénierie (comme les Eurocodes), mais des lois fondamentales de la mécanique classique, en particulier la cinématique du solide en rotation et la transformation des référentiels.

Formule(s)

Formule de la vitesse de précession

\omega_p = \Omega_T \sin(\lambda)

Hypothèses

La Terre est considérée comme une sphère parfaite.
La rotation de la Terre est uniforme.
Les frottements de l'air et au point de pivot du pendule sont négligés.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse angulaire de la Terre	\(\Omega_T\)	\(7.292 \times 10^{-5}\)	rad/s
Latitude	\(\lambda\)	48.846	°

Astuces

Pour vérifier rapidement un ordre de grandeur, souvenez-vous que \(\sin(30^\circ) = 0.5\) et \(\sin(60^\circ) \approx 0.866\). Si votre latitude est entre ces deux valeurs, votre sinus le sera aussi. Paris (48.8°) est proche de 45°, où \(\sin(45^\circ) \approx 0.707\). Notre valeur de 0.753 est donc cohérente.

Schéma (Avant les calculs)

Décomposition du vecteur rotation terrestre

Calcul(s)

Application Numérique

\begin{aligned} \omega_p &= (7.292 \times 10^{-5} \text{ rad/s}) \times \sin(48.846^\circ) \\ &= (7.292 \times 10^{-5} \text{ rad/s}) \times 0.7529 \\ &\approx 5.490 \times 10^{-5} \text{ rad/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat de la vitesse de précession

Réflexions

Le résultat est une vitesse angulaire très faible. Cela est logique : l'effet de la rotation de la Terre est subtil et n'est observable que sur de longues périodes, ce qui est précisément le but de l'expérience de Foucault.

Points de vigilance

La source d'erreur la plus fréquente est la gestion des angles. Assurez-vous que votre calculatrice ou votre programme est réglé en mode "degrés" pour calculer le sinus de la latitude, car celle-ci est presque toujours donnée en degrés.

Points à retenir

La rotation du plan d'un pendule de Foucault est proportionnelle au sinus de la latitude. C'est le message essentiel de cette première étape.

Le saviez-vous ?

Lors de la démonstration publique de 1851 au Panthéon, Foucault a utilisé un pendule de 67 mètres de long avec une masse de 28 kg. Pour matérialiser la déviation, une petite pointe sous la masse traçait des marques dans un cercle de sable au sol.

FAQ

Résultat Final

La vitesse angulaire de précession du pendule est \(\omega_p \approx 5.490 \times 10^{-5}\) rad/s.

A vous de jouer

Calculez la vitesse de précession \(\omega_p\) pour un pendule situé à Oslo (latitude \(\lambda \approx 60^\circ\) N). Réponse attendue en rad/s (notation scientifique, 4 chiffres sig.).

Question 2 : Convertir la durée d'observation de 6 heures en secondes

Principe

Le principe est d'utiliser les relations standards de conversion de temps pour passer des heures aux secondes, afin de maintenir la cohérence avec les unités du Système International (SI) utilisées pour les vitesses angulaires (rad/s).

Mini-Cours

En physique, la cohérence des unités est fondamentale. Le Système International (SI) définit la seconde (s) comme l'unité de base pour le temps. Tous les calculs impliquant des grandeurs temporelles (vitesse, accélération, etc.) doivent être effectués avec cette unité pour éviter les erreurs.

Remarque Pédagogique

Prenez toujours le réflexe de convertir toutes vos données d'entrée dans les unités SI (mètres, kilogrammes, secondes, radians) AVANT de commencer les calculs. Cela vous évitera 90% des erreurs d'unité.

Normes

La définition de la seconde et des heures est régie par des conventions internationales gérées par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM).

Formule(s)

Relation Heure-Minute

1 \text{ heure} = 60 \text{ minutes}

Relation Minute-Seconde

1 \text{ minute} = 60 \text{ secondes}

Relation Heure-Seconde

\Rightarrow 1 \text{ heure} = 3600 \text{ secondes}

Hypothèses

Ce calcul ne requiert aucune hypothèse physique, il s'agit d'une simple conversion mathématique.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Durée d'observation	\(t\)	6	heures

Astuces

Mémorisez la valeur "3600". C'est le facteur magique pour passer des heures aux secondes. Pour l'inverse, des secondes aux heures, il suffit de diviser par 3600.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la durée à convertir

Calcul(s)

Conversion Heures en Secondes

\begin{aligned} t_{\text{secondes}} &= 6 \text{ h} \times 3600 \frac{\text{s}}{\text{h}} \\ &= 21600 \text{ s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat de la conversion

Réflexions

Le résultat est un grand nombre, ce qui est attendu. Les secondes sont des unités beaucoup plus petites que les heures.

Points de vigilance

Attention à ne pas diviser au lieu de multiplier. Pour passer d'une grande unité (heure) à une petite (seconde), le nombre doit augmenter, donc on multiplie.

Points à retenir

La conversion d'unités est une étape préliminaire cruciale mais simple : \(t_{\text{(s)}} = t_{\text{(h)}} \times 3600\).

Le saviez-vous ?

La définition moderne de la seconde n'est plus basée sur la rotation de la Terre (qui varie légèrement), mais sur les transitions atomiques. Depuis 1967, une seconde est définie comme la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133.

FAQ

Résultat Final

Une durée de 6 heures correspond à 21600 secondes.

A vous de jouer

Un jour sidéral (la vraie période de rotation de la Terre) dure environ 23.93 heures. Combien cela fait-il de secondes ? (arrondi à l'entier le plus proche)

Question 3 : Calculer la déviation angulaire totale (\(\Delta \theta\)) en radians

Principe

Pour un mouvement de rotation à vitesse angulaire constante, l'angle total parcouru est simplement le produit de cette vitesse par le temps écoulé. C'est l'application directe de la définition de la vitesse angulaire.

Mini-Cours

La relation fondamentale de la cinématique de rotation est \(\Delta\theta = \int_{t_0}^{t_f} \omega(t) dt\). Lorsque la vitesse angulaire \(\omega\) est constante, comme c'est le cas pour la précession de Foucault (\(\omega_p\)), l'intégrale se simplifie en un produit : \(\Delta\theta = \omega_p \times (t_f - t_0)\).

Remarque Pédagogique

Voyez cette étape comme une simple application des résultats précédents. La physique a été faite à la question 1, la conversion d'unité à la question 2. Ici, il ne s'agit que de les assembler correctement. C'est un schéma de résolution très courant en physique : 1. Trouver la loi -> 2. Préparer les données -> 3. Appliquer la loi.

Normes

Les lois de la cinématique sont des principes de base de la mécanique Newtonienne, le fondement de la physique classique.

Formule(s)

Formule de l'angle de rotation

\Delta\theta = \omega_p \times t

Hypothèses

Nous nous appuyons sur l'hypothèse que \(\omega_p\) est constante tout au long des 6 heures, ce qui est valide car la latitude de Paris ne change pas et la rotation de la Terre est considérée comme uniforme.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de précession	\(\omega_p\)	\(5.490 \times 10^{-5}\)	rad/s
Temps	\(t\)	21600	s

Astuces

Pour une estimation rapide : \(5.5 \times 10^{-5} \times 2.16 \times 10^{4}\) est environ \(5.5 \times 2.16 \times 10^{-1}\). Sachant que \(5.5 \times 2 = 11\), le résultat devrait être légèrement supérieur à 1.1, ce qui correspond bien à 1.186.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul de l'angle à partir de la vitesse

Calcul(s)

Calcul de l'angle de déviation

\begin{aligned} \Delta \theta &= \omega_p \times t \\ &= (5.490 \times 10^{-5} \text{ rad/s}) \times 21600 \text{ s} \\ &\approx 1.18584 \text{ rad} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la déviation en radians

Réflexions

Un radian est un angle assez grand (environ 57.3°). Obtenir un résultat de 1.186 radians signifie que la déviation est non seulement mesurable, mais très significative après 6 heures, ce qui prouve la puissance de l'expérience de Foucault.

Points de vigilance

Assurez-vous que les unités sont cohérentes. Si \(\omega_p\) est en rad/s, alors \(t\) doit impérativement être en secondes. Utiliser le temps en heures ici est une erreur classique qui donnerait un résultat 3600 fois trop petit.

Points à retenir

La relation cinématique de base pour la rotation uniforme, \(\text{angle} = \text{vitesse angulaire} \times \text{temps}\), est la clé de cette question.

Le saviez-vous ?

Le radian est l'unité "naturelle" des angles en physique et en mathématiques car il simplifie de nombreuses formules de dérivation et d'intégration. Par exemple, la dérivée de \(\sin(x)\) est \(\cos(x)\) seulement si \(x\) est exprimé en radians.

FAQ

Résultat Final

Après 6 heures, la déviation angulaire est d'environ 1.186 radians.

A vous de jouer

En utilisant la vitesse de précession pour Oslo (\(\omega_p \approx 6.315 \times 10^{-5}\) rad/s), calculez la déviation en radians après seulement 2 heures (7200 s). (3 décimales)

Question 4 : Convertir cette déviation angulaire en degrés

Principe

Le principe est une simple conversion d'unité basée sur la relation de proportionnalité directe qui lie les radians et les degrés, définie par le fait qu'un tour complet correspond à \(2\pi\) radians ou 360 degrés.

Mini-Cours

La mesure des angles peut se faire dans différentes unités. Le degré, hérité des Babyloniens, divise le cercle en 360 parties. Le radian, défini en mathématiques, mesure l'angle par la longueur de l'arc intercepté sur un cercle de rayon 1. La relation fondamentale est donc \(2\pi \text{ rad} = 360^\circ\), ce qui donne le facteur de conversion \(\frac{180}{\pi}\).

Remarque Pédagogique

Les degrés sont souvent plus intuitifs pour se représenter un angle mentalement. C'est pourquoi cette conversion est utile. 1.186 rad ne vous parle peut-être pas, mais 68° est un angle que vous pouvez facilement visualiser, c'est un peu moins qu'un angle droit.

Normes

La définition du degré comme 1/360 d'un cercle est une convention (norme ISO 80000-3). Le radian est l'unité d'angle cohérente du Système International d'unités (SI).

Formule(s)

Formule de conversion Radian vers Degré

\theta_{\text{degrés}} = \theta_{\text{radians}} \times \frac{180}{\pi}

Hypothèses

Aucune hypothèse physique n'est nécessaire. C'est une opération purement mathématique.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Angle en radians	\(\Delta\theta\)	1.186	rad

Astuces

Mémorisez la conversion approchée : \(1 \text{ radian} \approx 57.3^\circ\). Pour notre calcul, \(1.186 \times 57.3\) donne environ 68. C'est un excellent moyen de vérifier rapidement la validité de votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Conversion d'unité d'angle

Calcul(s)

Conversion Radians en Degrés

\begin{aligned} \Delta \theta_{\text{degrés}} &= 1.186 \text{ rad} \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &\approx 67.97^\circ \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la déviation en degrés

Réflexions

Un angle de près de 68 degrés en seulement 6 heures est une déviation massive et facilement visible, ce qui explique pourquoi l'expérience du Panthéon a eu un tel impact : elle rendait la rotation de la Terre tangible et incontestable pour le grand public.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'inverser le facteur de conversion (multiplier par \(\pi/180\)). Rappelez-vous que pour passer des radians aux degrés, le nombre doit augmenter (car un degré est une unité "plus petite"). Vous devez donc multiplier par le nombre le plus grand (180).

Points à retenir

La conversion d'angle est fondamentale. Retenez : pour passer des radians aux degrés, on multiplie par \(180/\pi\).

Le saviez-vous ?

Le choix du nombre 360 pour les degrés d'un cercle remonte aux Babyloniens. Ce nombre était pratique car il est proche du nombre de jours dans une année et est divisible par de nombreux petits entiers (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, ...), ce qui facilitait les calculs de fractions en astronomie.

FAQ

Résultat Final

La déviation après 6 heures est d'environ 68 degrés.

A vous de jouer

Convertissez la déviation pour Oslo après 2 heures (0.455 rad) en degrés. (arrondi à une décimale)

Question 5 : Déterminer le temps pour une rotation complète (Période de Foucault)

Principe

La période d'un mouvement de rotation uniforme est le temps nécessaire pour effectuer un tour complet (soit un angle de \(2\pi\) radians). Elle s'obtient en divisant l'angle total à parcourir par la vitesse angulaire.

Mini-Cours

La relation \(\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}\) est centrale. En la réarrangeant pour trouver la durée \(\Delta t\), on obtient \(\Delta t = \frac{\Delta\theta}{\omega}\). Pour un tour complet, \(\Delta\theta = 2\pi\), ce qui donne la formule générale de la période \(T = \frac{2\pi}{\omega}\). Cette formule s'applique à tout phénomène de rotation uniforme.

Remarque Pédagogique

Cette question vous fait passer d'une observation sur une courte durée (6h) à une caractéristique globale du phénomène : son temps de cycle complet. C'est une démarche très fréquente en sciences : on mesure une vitesse sur un petit échantillon pour prédire un comportement à long terme.

Normes

Pas de normes applicables, il s'agit de l'application de définitions fondamentales de la physique.

Formule(s)

Période en fonction de la vitesse de précession

T_F = \frac{2\pi}{\omega_p}

Période en fonction de la vitesse terrestre

T_F = \frac{2\pi}{\Omega_T \sin(\lambda)}

Période en fonction de la période sidérale

T_F = \frac{T_{\text{sidéral}}}{\sin(\lambda)}

Hypothèses

Les mêmes hypothèses que pour la question 1 s'appliquent : rotation uniforme de la Terre, sphère parfaite, etc.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de précession	\(\omega_p\)	\(5.490 \times 10^{-5}\)	rad/s
Angle d'un tour complet	\(\Delta\theta\)	\(2\pi\)	rad

Astuces

Le résultat doit obligatoirement être supérieur à 23.93 heures (sauf au pôle où il est égal). Si vous trouvez une valeur inférieure, votre calcul est faux. La période est minimale aux pôles et tend vers l'infini à l'équateur.

Schéma (Avant les calculs)

Détermination de la Période

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la période en secondes

\begin{aligned} T_F &= \frac{2\pi \text{ rad}}{5.490 \times 10^{-5} \text{ rad/s}} \\ &\approx 114445 \text{ s} \end{aligned}

Étape 2 : Conversion de la période en heures

\begin{aligned} T_{F, \text{heures}} &= \frac{114445 \text{ s}}{3600 \text{ s/h}} \\ &\approx 31.79 \text{ heures} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat de la Période de Foucault

Réflexions

Le fait que la période de Foucault (31.8h) soit plus longue qu'un jour sidéral (23.93h) est la conclusion la plus importante. Cela montre bien que ce n'est pas le pendule qui tourne, mais que nous observons une projection de la rotation terrestre, une projection qui "ralentit" le phénomène apparent dès que l'on quitte les pôles.

Points de vigilance

Ne pas confondre la période d'oscillation du pendule (qui dépend de sa longueur et est de quelques secondes) et la période de Foucault (la précession, qui est de plusieurs heures). Ce sont deux phénomènes totalement différents.

Points à retenir

La période de Foucault dépend de l'inverse du sinus de la latitude : \(T_F = T_{\text{sidéral}} / \sin(\lambda)\). C'est la formule la plus synthétique et puissante à retenir.

Le saviez-vous ?

Dans l'hémisphère Sud, le sinus de la latitude est négatif. La vitesse de précession \(\omega_p\) est donc aussi négative, ce qui signifie que le plan du pendule tourne dans le sens inverse (anti-horaire) par rapport à l'hémisphère Nord (horaire).

FAQ

Résultat Final

Le pendule met environ 31.8 heures pour effectuer un tour complet.

A vous de jouer

Quelle est la période de Foucault au Pôle Nord (\(\lambda = 90^\circ\))? Donnez le résultat en heures, arrondi à une décimale.

Outil Interactif : Simulateur de Pendule de Foucault

Ce simulateur vous permet de visualiser comment la latitude et la durée d'observation influencent la déviation du pendule.

Paramètres d'Entrée

Latitude (\(\lambda\)) (degrés) 48.8 °

Temps (\(t\)) (heures) 6 h

Résultats Clés

Vitesse de précession (°/heure) -

Déviation totale (\(\Delta \theta\)) (degrés) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le pendule de Foucault démontre principalement ?

La courbure de l'espace-temps
La rotation de la Terre sur son axe
La variation de l'accélération gravitationnelle

2. À quelle latitude la déviation du pendule de Foucault est-elle la plus rapide (période la plus courte) ?

Aux pôles (90°)
À l'équateur (0°)
À une latitude de 45°

3. Un pendule de Foucault installé à l'équateur (latitude 0°) va...

Tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre
Tourner dans le sens des aiguilles d'une montre
Ne pas voir son plan d'oscillation dévier

Force de Coriolis: Force inertielle (ou fictive) qui agit sur un corps en mouvement dans un référentiel en rotation. Elle est perpendiculaire à l'axe de rotation et à la vitesse du corps.
Précession: Changement d'orientation de l'axe de rotation d'un objet. Dans le cas du pendule, il s'agit de la rotation du plan d'oscillation.
Latitude: Coordonnée géographique qui représente la position d'un point sur Terre au nord ou au sud de l'équateur. Elle est cruciale pour déterminer la vitesse de précession.
Vitesse Angulaire (\(\Omega\) ou \(\omega\)): Vitesse à laquelle un objet tourne ou pivote autour d'un axe, mesurée en radians par seconde (rad/s) ou en degrés par heure (°/h).