ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de l’Effet Coriolis

Effet Coriolis sur la Trajectoire d'un Objet

Calcul de l'Effet Coriolis sur la Trajectoire d'un Objet

Comprendre l'Effet Coriolis

L'effet Coriolis est une manifestation de l'inertie dans un référentiel en rotation, comme la Terre. Il se traduit par une force fictive, la force de Coriolis, qui agit perpendiculairement à l'axe de rotation du référentiel et au vecteur vitesse de l'objet. Cette force est responsable de la déviation des mouvements à grande échelle sur Terre, comme les courants océaniques, les vents, et la trajectoire des projectiles à longue portée. Cet exercice vise à calculer la déviation latérale d'un objet se déplaçant à la surface de la Terre.

Données de l'étude

Un obus de masse \(m = 10 \, \text{kg}\) est tiré vers le Nord depuis un point situé à une latitude \(\lambda = 45^\circ\) Nord. Sa vitesse initiale est horizontale et a une magnitude \(v = 500 \, \text{m/s}\).

Hypothèses et Valeurs :

  • On néglige les frottements de l'air et la variation de l'altitude du projectile.
  • La durée du trajet est de \(t = 60 \, \text{s}\).
  • La vitesse angulaire de la Terre est \(\omega\).

Formule de la force de Coriolis : \(\vec{F}_C = -2m (\vec{\omega} \times \vec{v})\)

Schéma : Déviation par l'Effet Coriolis (Hémisphère Nord)
Point de Tir Latitude λ Trajectoire Intentionnelle (Nord) Trajectoire Réelle v Déviation (y) Déviation vers la Droite (Est)

Déviation de la trajectoire d'un projectile vers la droite dans l'hémisphère Nord due à l'effet Coriolis.

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse angulaire de la Terre (\(\omega\)) en \(\text{rad/s}\).
  2. Dans un repère local (x: Est, y: Nord, z: Zénith), exprimer les vecteurs vitesse \(\vec{v}\) et vitesse angulaire \(\vec{\omega}\) en fonction de leurs composantes.
  3. Calculer la force de Coriolis \(\vec{F}_C\) qui s'exerce sur l'obus.
  4. En déduire l'accélération de Coriolis (\(a_C\)) subie par l'obus, et plus particulièrement sa composante latérale (selon l'axe Est-Ouest).
  5. Calculer la déviation latérale totale (\(y\)) de l'obus après un trajet de \(t = 60 \, \text{s}\).

Correction : Calcul de l'Effet Coriolis

Question 1 : Vitesse Angulaire de la Terre (\(\omega\))

Principe :

La Terre effectue un tour complet (\(2\pi\) radians) en une période de rotation \(T\) (un jour sidéral, environ 23h 56min 4s, mais on utilisera 24h pour simplifier).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]
Données :
  • \(T = 24 \, \text{h} = 24 \times 3600 \, \text{s} = 86400 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= \frac{2\pi}{86400 \, \text{s}} \\ &\approx 7.272 \times 10^{-5} \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La vitesse angulaire de la Terre est \(\omega \approx 7.27 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Expression des Vecteurs \(\vec{v}\) et \(\vec{\omega}\)

Principe :

On exprime les vecteurs dans le repère local (x: Est, y: Nord, z: Zénith). L'objet est tiré vers le Nord, donc sa vitesse est selon l'axe y. Le vecteur rotation de la Terre \(\vec{\omega}\) est dirigé le long de l'axe de rotation (du pôle Sud au pôle Nord). Il a une composante verticale (z) et une composante horizontale (y).

Calcul :

Vecteur vitesse (tir vers le Nord) :

\[\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ v \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 500 \\ 0 \end{pmatrix} \, \text{m/s}\]

Vecteur vitesse angulaire (à la latitude \(\lambda\)) :

\[\vec{\omega} = \begin{pmatrix} 0 \\ \omega \cos(\lambda) \\ \omega \sin(\lambda) \end{pmatrix}\]

Avec \(\lambda = 45^\circ\), \(\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\)

\[\vec{\omega} \approx \begin{pmatrix} 0 \\ (7.27 \times 10^{-5}) \times 0.707 \\ (7.27 \times 10^{-5}) \times 0.707 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0 \\ 5.14 \times 10^{-5} \\ 5.14 \times 10^{-5} \end{pmatrix} \, \text{rad/s}\]
Résultat Question 2 : \(\vec{v} = (0, 500, 0) \, \text{m/s}\) et \(\vec{\omega} \approx (0, 5.14 \times 10^{-5}, 5.14 \times 10^{-5}) \, \text{rad/s}\).

Question 3 : Calcul de la Force de Coriolis (\(\vec{F}_C\))

Principe :

On calcule le produit vectoriel \(\vec{\omega} \times \vec{v}\), puis on applique la formule complète de la force de Coriolis.

Calcul du produit vectoriel :
\[ \begin{aligned} \vec{\omega} \times \vec{v} &= \begin{pmatrix} 0 \\ \omega \cos(\lambda) \\ \omega \sin(\lambda) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ v \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (\omega \cos(\lambda))(0) - (v)(\omega \sin(\lambda)) \\ (\omega \sin(\lambda))(0) - (0)(0) \\ (0)(v) - (\omega \cos(\lambda))(0) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -v \omega \sin(\lambda) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \]
Calcul de la force \(\vec{F}_C\) :
\[ \begin{aligned} \vec{F}_C &= -2m (\vec{\omega} \times \vec{v}) \\ &= -2m \begin{pmatrix} -v \omega \sin(\lambda) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2mv \omega \sin(\lambda) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

La force est dirigée selon l'axe x positif, c'est-à-dire vers l'Est.

\[ \begin{aligned} F_{C,x} &= 2 \times (10 \, \text{kg}) \times (500 \, \text{m/s}) \times (7.27 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}) \times \sin(45^\circ) \\ &= 20 \times 500 \times (7.27 \times 10^{-5}) \times 0.707 \\ &= 10000 \times 5.14 \times 10^{-5} \\ &\approx 0.514 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La force de Coriolis est \(\vec{F}_C \approx (0.514, 0, 0) \, \text{N}\), une force de 0.514 N dirigée vers l'Est.

Question 4 : Accélération de Coriolis (\(a_C\))

Principe :

D'après la deuxième loi de Newton, l'accélération est la force divisée par la masse (\(\vec{a} = \vec{F}/m\)).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{a}_C &= \frac{\vec{F}_C}{m} = \frac{1}{m} \begin{pmatrix} 2mv \omega \sin(\lambda) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2v \omega \sin(\lambda) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

La composante latérale (vers l'Est) de l'accélération est :

\[ \begin{aligned} a_{C,x} &= 2v \omega \sin(\lambda) \\ &= 2 \times (500 \, \text{m/s}) \times (7.27 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}) \times \sin(45^\circ) \\ &= 1000 \times 5.14 \times 10^{-5} \\ &= 0.0514 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'accélération latérale due à Coriolis est \(a_{C,x} \approx 0.0514 \, \text{m/s}^2\).

Question 5 : Déviation Latérale Totale (\(y\))

Principe :

En supposant l'accélération latérale constante pendant le court trajet (approximation), on peut utiliser la formule du mouvement uniformément accéléré pour calculer la déviation (\(y\) ici, bien que ce soit le long de l'axe x dans notre repère).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Déviation} \, y = \frac{1}{2} a t^2\]
Données :
  • \(a = a_{C,x} \approx 0.0514 \, \text{m/s}^2\)
  • \(t = 60 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y &= \frac{1}{2} \times (0.0514 \, \text{m/s}^2) \times (60 \, \text{s})^2 \\ &= 0.5 \times 0.0514 \times 3600 \, \text{m} \\ &= 92.52 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'obus est dévié d'environ \(92.5\) mètres vers l'Est (sa droite).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le même obus était tiré vers le Sud depuis le même point dans l'hémisphère Nord, la déviation se ferait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La force de Coriolis est maximale lorsque le mouvement se fait :

2. Dans l'hémisphère Sud, l'effet Coriolis dévie les objets en mouvement :

3. Un objet immobile par rapport à la surface de la Terre subit une force de Coriolis :

Glossaire

Force de Coriolis
Force d'inertie (ou fictive) qui agit sur un corps en mouvement dans un référentiel en rotation. Elle est perpendiculaire à l'axe de rotation et au vecteur vitesse du corps.
Référentiel Non Inerte (ou en Rotation)
Système de coordonnées qui est en accélération par rapport à un référentiel inertiel (galiléen). La Terre est un exemple de référentiel en rotation où des forces d'inertie comme Coriolis et la force centrifuge doivent être prises en compte pour appliquer les lois de Newton.
Vitesse Angulaire (\(\omega\))
Vitesse à laquelle un objet tourne autour d'un axe. Pour la Terre, elle est d'environ un tour (\(2\pi\) radians) par jour.
Latitude (\(\lambda\))
Angle qui mesure la position d'un point sur la surface de la Terre par rapport à l'équateur. Elle varie de 0° à l'équateur à 90° aux pôles.
Produit Vectoriel (\(\times\))
Opération sur deux vecteurs dans un espace tridimensionnel qui produit un troisième vecteur perpendiculaire aux deux premiers. Sa magnitude dépend du sinus de l'angle entre les deux vecteurs.
Effet Coriolis - Exercice d'Application

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