Percussion et Centre de Percussion d'un Solide
Comprendre la Percussion et le Centre de Percussion
En mécanique, une percussion (ou un choc) est l'application d'une force très intense pendant un temps très court. L'effet de cette force est caractérisé par son impulsion (ou percussion), notée \(\vec{J}\), qui est l'intégrale de la force sur la durée de l'impact. Lorsqu'un objet solide est libre de tourner autour d'un pivot, une percussion appliquée en un point quelconque induit à la fois une rotation et une translation du centre de masse, générant une impulsion de réaction \(\vec{J'}\) au niveau du pivot.
Il existe cependant un point unique sur l'objet, appelé le centre de percussion (CP), où une percussion ne génère aucune impulsion de réaction au pivot. Frapper l'objet à cet endroit précis met le corps en rotation "pure" autour du pivot sans que celui-ci ne soit "secoué". C'est pour cette raison que le centre de percussion est souvent appelé le "sweet spot" (point de frappe idéal) dans les sports comme le baseball ou le tennis, car il minimise les vibrations désagréables transmises à la main.
Données de l'étude
- Masse de la tige (\(M\)) : \(2.0 \, \text{kg}\)
- Longueur de la tige (\(L\)) : \(1.2 \, \text{m}\)
Schéma : Percussion sur une Tige Pivotante
Questions à traiter
- Calculer le moment d'inertie \(I_O\) de la tige par rapport à son extrémité O. (Rappel : le moment d'inertie d'une tige par rapport à son centre G est \(I_G = ML^2/12\), et on peut utiliser le théorème de Huygens).
- Appliquer le théorème de la résultante cinétique (version impulsionnelle) au système. Celui-ci relie la somme des impulsions externes à la variation de la quantité de mouvement du centre de masse.
- Appliquer le théorème du moment cinétique (version impulsionnelle) par rapport au pivot O. Celui-ci relie la somme des moments des impulsions externes à la variation du moment cinétique du système.
- En combinant les équations obtenues, trouver l'expression littérale de l'impulsion de réaction \(J'\) en fonction de \(J\), \(M\), \(L\) et \(b\).
- Déterminer la distance \(b\) pour laquelle cette impulsion de réaction \(J'\) est nulle. Cette distance est le centre de percussion.
- Calculer la valeur numérique de \(b\) pour la tige donnée.
Correction : Percussion et Centre de Percussion
Question 1 : Calcul du Moment d'Inertie (\(I_O\))
Principe :
On utilise le théorème de Huygens (ou théorème des axes parallèles) pour calculer le moment d'inertie \(I_O\) par rapport au pivot O, en connaissant le moment d'inertie \(I_G\) par rapport au centre de masse G. La distance entre O et G est \(d=L/2\).
Formule et Calcul :
Question 2 : Théorème de la Résultante Cinétique
Principe :
Ce théorème stipule que la somme des impulsions externes appliquées à un système est égale à la variation de sa quantité de mouvement totale. La quantité de mouvement est \(M \vec{v}_G\), où \(v_G\) est la vitesse du centre de masse. La tige étant initialement au repos, la variation est simplement la quantité de mouvement finale.
Équation :
En projection sur l'axe horizontal, et en notant \(v_G\) la vitesse du centre de masse juste après le choc : \(J + J' = M v_G\).
Question 3 : Théorème du Moment Cinétique
Principe :
Ce théorème stipule que le moment total des impulsions externes par rapport à un point (ici le pivot O) est égal à la variation du moment cinétique du système par rapport à ce même point. Le moment cinétique est \(L_O = I_O \omega\). L'impulsion de réaction \(J'\) au pivot n'a pas de moment par rapport à O.
Équation :
où \(\omega\) est la vitesse angulaire de la tige juste après le choc.
Question 4 : Expression de l'Impulsion de Réaction (\(J'\))
Principe :
Nous avons un système de deux équations avec des variables cinématiques (\(v_G, \omega\)). On relie ces variables (\(v_G = \omega \cdot L/2\)) puis on substitue pour isoler l'inconnue \(J'\).
Calcul :
De la question 3, on tire \(\omega = \frac{bJ}{I_O}\).
On sait que la vitesse du centre de masse est \(v_G = \omega \cdot (L/2)\). On substitue \(\omega\) :
On reporte cette expression de \(v_G\) dans l'équation de la question 2 :
Question 5 : Position du Centre de Percussion (\(b\))
Principe :
Le centre de percussion est le point \(b\) pour lequel l'impulsion de réaction \(J'\) est nulle.
Calcul :
On remplace \(I_O\) par l'expression de la question 1 :
Question 6 : Valeur Numérique de \(b\)
Données spécifiques :
- \(L = 1.2 \, \text{m}\)
Calcul :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Le centre de percussion d'une batte de baseball dépend de :
2. Si on frappe une balle de tennis exactement au centre de percussion de la raquette, la sensation dans la main (le pivot) sera :
3. Pour une tige uniforme pivotée à une extrémité, le centre de percussion à \(2L/3\) est :
Glossaire
- Percussion (ou Impulsion, \(\vec{J}\))
- Grandeur vectorielle qui caractérise l'effet d'une force agissant pendant un très court intervalle de temps. Elle est égale à l'intégrale de la force sur cet intervalle et provoque une variation de la quantité de mouvement du système.
- Centre de Percussion (CP)
- Point sur un corps rigide pivoté où une percussion appliquée ne produit aucune impulsion de réaction au niveau du pivot. C'est le point d'impact optimal pour éviter les chocs au support.
- Moment d'Inertie (I)
- Mesure de l'inertie d'un corps en rotation, c'est-à-dire sa résistance à un changement de son état de rotation. Il dépend de la masse du corps et de la répartition de cette masse par rapport à l'axe de rotation.
- Théorème de Huygens (des axes parallèles)
- Théorème qui permet de calculer le moment d'inertie d'un objet par rapport à un axe parallèle à un axe passant par son centre de masse : \(I = I_G + Md^2\).
- Moment Cinétique (Angulaire, \(\vec{L}\))
- Grandeur vectorielle qui représente la "quantité de rotation" d'un objet. Pour un corps rigide en rotation pure, \(L_O = I_O \omega\).
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