Étude du Mouvement Rectiligne Uniforme

Contexte : Le Mouvement Rectiligne UniformeLe mouvement d'un objet qui se déplace en ligne droite à une vitesse constante. Son accélération est nulle..

En mécanique classique, le Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) est l'un des mouvements les plus fondamentaux. Il décrit le déplacement d'un objet dont la trajectoire est une ligne droite et dont la vitesse est constante. Cet exercice vous propose d'étudier un cas pratique : le trajet d'un TGV, que nous supposerons être en MRU, pour appliquer les concepts de vitesse, de temps et de distance.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser l'application de l'équation horaire du mouvement, un outil essentiel pour résoudre de nombreux problèmes de cinématique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et définir les caractéristiques d'un Mouvement Rectiligne Uniforme.
Savoir appliquer l'équation horaire \( x(t) = v \cdot t + x_0 \).
Effectuer des conversions d'unités (vitesse, temps).
Calculer une distance, une vitesse ou une durée dans le cadre d'un MRU.

Données de l'étude

Un TGV effectue la liaison entre Paris et Lyon, deux villes distantes de 400 km. Pour simplifier notre étude, nous considérons que la voie est une ligne droite et que le train maintient une vitesse de croisière constante tout au long du trajet.

Fiche Technique

Caractéristique	Description
Objet d'étude	TGV (Train à Grande Vitesse)
Type de mouvement	Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)
Trajet	Paris (origine) vers Lyon

Schéma du trajet du TGV

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de croisière	\( v \)	300	km/h
Position initiale (Paris)	\( x_0 \)	0	km
Distance du trajet	\( d \)	400	km

Questions à traiter

Convertir la vitesse du TGV en mètres par seconde (m/s).
Donner l'équation horaire \( x(t) \) du mouvement du TGV, avec \( x \) en kilomètres et \( t \) en heures.
Calculer la durée totale du trajet en heures, puis la convertir en heures et minutes.
Déterminer la position du TGV par rapport à Paris après 54 minutes de trajet.
Sachant que le TGV part de Paris à 9h00, à quelle heure arrivera-t-il à Lyon ?

Les bases sur le Mouvement Rectiligne Uniforme

Le Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) est caractérisé par deux conditions principales : sa trajectoire est une ligne droite (rectiligne) et sa vitesse est constante (uniforme). Cela implique que son accélération est nulle.

1. Vitesse Constante
La vitesse est le rapport de la distance parcourue sur le temps écoulé. En MRU, ce rapport est constant. \[ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i} = \text{constante} \]

2. Équation Horaire
C'est la formule qui donne la position \( x \) de l'objet à n'importe quel instant \( t \). Elle découle de la définition de la vitesse. \[ x(t) = v \cdot t + x_0 \] Où \( v \) est la vitesse constante, \( t \) est le temps écoulé et \( x_0 \) est la position de l'objet à l'instant initial \( t=0 \).

Correction : Étude du Mouvement Rectiligne Uniforme

Question 1 : Convertir la vitesse du TGV en mètres par seconde (m/s).

Principe

Pour comparer des vitesses ou effectuer des calculs dans le Système International d'unités (SI), il est indispensable de savoir convertir les km/h en m/s. Cette étape est fondamentale en physique pour garantir la cohérence des calculs.

Mini-Cours

Les unités sont des standards de mesure. Le Système International (SI) est le système de référence mondial pour la science. Pour la vitesse, l'unité SI est le mètre par seconde (m/s), car elle est basée sur les unités SI de longueur (mètre) et de temps (seconde).

Remarque Pédagogique

Prenez toujours le réflexe de vérifier la cohérence des unités avant de commencer un calcul. C'est la source d'erreur la plus fréquente en physique. Une formule n'est correcte que si toutes les grandeurs sont exprimées dans un système d'unités cohérent.

Normes

La référence ici est le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), qui définit les unités du Système International (SI). L'utilisation du SI est une norme dans toutes les publications scientifiques et techniques.

Formule(s)

Règle de conversion

1 \text{ km/h} = \frac{1}{3.6} \text{ m/s}

Hypothèses

On suppose que le facteur de conversion 3.6 est une valeur exacte, découlant directement des définitions de l'heure et du kilomètre.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de croisière	\(v\)	300	km/h

Astuces

Pour ne pas vous tromper de sens : on passe d'une "grande" unité (km/h) à une "petite" (m/s), on parcourt donc moins de "mètres en une seconde" que de "kilomètres en une heure". Le nombre de m/s doit être plus petit que le nombre de km/h, il faut donc diviser.

Schéma (Avant les calculs)

Conversion d'unités : km/h vers m/s

Calcul(s)

Application de la formule

\begin{aligned} v_{\text{(m/s)}} &= \frac{v_{\text{(km/h)}}}{3.6} \end{aligned}

Calcul numérique

\begin{aligned} v_{\text{(m/s)}} &= \frac{300}{3.6} \\ &\approx 83.33 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Équivalence des vitesses

Réflexions

Un résultat de 83,33 m/s signifie que le TGV parcourt la longueur d'un terrain de football en un peu plus d'une seconde. Cela donne une meilleure perception de la vitesse que les 300 km/h.

Points de vigilance

L'erreur classique est de multiplier par 3.6 au lieu de diviser. Toujours utiliser le raisonnement de l'astuce ci-dessus pour vérifier le sens de l'opération.

Points à retenir

Pour convertir des km/h en m/s, on divise par 3.6. Pour convertir des m/s en km/h, on multiplie par 3.6.

Le saviez-vous ?

Le record mondial de vitesse sur rail pour un train conventionnel est détenu par le TGV français, qui a atteint 574,8 km/h en 2007, soit près de 160 m/s !

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La vitesse du TGV est d'environ 83.33 m/s.

A vous de jouer

Si un TGV concurrent roulait à 324 km/h, quelle serait sa vitesse en m/s ?

Question 2 : Donner l'équation horaire \( x(t) \) du mouvement.

Principe

L'équation horaire est une fonction mathématique qui modélise le mouvement. Elle permet de prédire la position de l'objet à n'importe quel moment, ce qui est l'objectif principal de la cinématique.

Mini-Cours

L'équation \( x(t) = v \cdot t + x_0 \) est une application directe des fonctions affines vues en mathématiques, de la forme \( y = ax + b \). Ici, la variable est le temps \(t\), la pente de la droite (\(a\)) est la vitesse \(v\), et l'ordonnée à l'origine (\(b\)) est la position initiale \(x_0\).

Remarque Pédagogique

Le choix du repère (origine et sens) est la première étape cruciale. En choisissant Paris comme origine (\(x_0 = 0\)), on simplifie grandement l'équation. Un bon choix de repère peut transformer un problème complexe en un calcul simple.

Normes

Cette équation est une des lois fondamentales de la cinématique Newtonienne, applicable à tout objet en mouvement rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen.

Formule(s)

Formule générale du MRU

x(t) = v \cdot t + x_0

Hypothèses

On pose les hypothèses suivantes : le mouvement est parfaitement rectiligne et uniforme, le référentiel est l'axe Paris-Lyon, l'origine \(x=0\) est à Paris, et le temps \(t=0\) correspond au départ du train.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de croisière	\(v\)	300	km/h
Position initiale	\(x_0\)	0	km

Schéma (Avant les calculs)

Représentation du Repère Spatio-Temporel

Calcul(s)

Substitution des données

\begin{aligned} x(t) &= 300 \cdot t + 0 \end{aligned}

Équation horaire finale

\[ x(t) = 300t \]

Schéma (Après les calculs)

Graphique de la fonction horaire \(x(t)\)

Réflexions

Cette simple équation contient toute l'information sur le mouvement. Elle montre que la distance parcourue est directement proportionnelle au temps de trajet, ce qui est la définition même d'une vitesse constante.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le terme \(x_0\) si le mouvement ne commence pas à l'origine du repère. Si on avait choisi Lyon comme origine, l'équation aurait été différente.

Points à retenir

L'équation horaire d'un MRU est \( x(t) = v \cdot t + x_0 \). La vitesse \(v\) est la pente du graphique position-temps, et \(x_0\) est la position à \(t=0\).

Le saviez-vous ?

Les premières lois formelles du mouvement, incluant l'idée d'inertie (un objet en mouvement rectiligne uniforme y reste sans force extérieure), ont été établies par Galilée et formalisées par Isaac Newton au XVIIe siècle.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

L'équation horaire du mouvement du TGV est \( x(t) = 300t \).

A vous de jouer

Quelle serait l'équation horaire si le TGV partait d'un point situé à 50 km de Paris sur la même ligne ?

Question 3 : Calculer la durée totale du trajet.

Principe

Connaissant la distance totale à parcourir et la vitesse constante, on peut déterminer le temps nécessaire pour effectuer le trajet en réarrangeant l'équation horaire.

Mini-Cours

Résoudre \(t = d/v\) est un exemple de résolution d'équation du premier degré. En physique, on ne manipule pas seulement des nombres, mais des grandeurs. Isoler une variable (ici, le temps) est une compétence mathématique fondamentale pour l'ingénieur.

Remarque Pédagogique

Pour mémoriser les relations entre distance (d), vitesse (v) et temps (t), vous pouvez utiliser le "triangle magique" : placez d en haut, v et t en bas. En cachant la grandeur que vous cherchez, les deux autres vous donnent la formule (d = v × t, v = d / t, t = d / v).

Formule(s)

Formule de la durée

d = v \cdot t \Rightarrow t = \frac{d}{v}

Hypothèses

On suppose que la vitesse reste constante sur l'intégralité des 400 km et que le train s'arrête précisément à la marque des 400 km.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance Paris-Lyon	\(d\)	400	km
Vitesse de croisière	\(v\)	300	km/h

Astuces

Faites une analyse dimensionnelle pour vérifier votre formule. Vous cherchez un temps (en heures). Votre calcul est \([\text{km}] / [\text{km/h}]\), ce qui donne bien des \([\text{h}]\). Votre formule a de grandes chances d'être correcte.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation de la distance à parcourir

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la durée en heures

\begin{aligned} t &= \frac{400 \text{ km}}{300 \text{ km/h}} \\ &= \frac{4}{3} \text{ h} \end{aligned}

t \approx 1.33 \text{ h}

Étape 2 : Conversion en heures et minutes

\frac{4}{3} \text{ h} = 1 \text{ h} + \frac{1}{3} \text{ h}

\begin{aligned} \frac{1}{3} \text{ h} &= \frac{1}{3} \times 60 \text{ min} \\ &= 20 \text{ min} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du résultat sur le graphique \(x(t)\)

Réflexions

Un temps de trajet de 1h20 pour 400 km est très rapide et met en évidence l'efficacité des trains à grande vitesse, bien que dans la réalité, les phases d'accélération et de décélération rallongent légèrement ce temps.

Points de vigilance

Ne confondez pas 1.33 heures avec 1 heure et 33 minutes. C'est une erreur très courante. 0.33 heures correspond à un tiers d'heure, soit 20 minutes.

Points à retenir

La relation \( t = d/v \) est fondamentale pour les MRU. Maîtrisez la conversion des heures décimales en format heures:minutes en multipliant la partie décimale par 60.

Le saviez-vous ?

La première ligne à grande vitesse au monde, le Shinkansen Tōkaidō, a été inaugurée au Japon en 1964. Elle a révolutionné le transport ferroviaire en prouvant la viabilité commerciale des trains à plus de 200 km/h.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La durée du trajet est de 1 heure et 20 minutes.

A vous de jouer

Combien de temps faudrait-il pour le même trajet si la vitesse était de 250 km/h ? (Réponse en heures)

Question 4 : Déterminer la position du TGV après 54 minutes.

Principe

Grâce à l'équation horaire établie précédemment, on peut calculer la position exacte du train à n'importe quel instant, à condition d'utiliser des unités cohérentes.

Mini-Cours

Cette question illustre la puissance prédictive d'un modèle mathématique. L'équation \( x(t) = 300t \) n'est pas juste une formule, c'est un modèle qui décrit le comportement du TGV dans le temps. En entrant une valeur de temps, le modèle nous retourne la position correspondante.

Remarque Pédagogique

La principale difficulté ici n'est pas le calcul lui-même, mais la préparation des données. La physique, c'est souvent 80% de préparation (choix du repère, conversion des unités, hypothèses) et 20% de calcul.

Formule(s)

Équation horaire du mouvement

\[ x(t) = 300t \]

Hypothèses

On suppose que le chronomètre a été lancé précisément au départ de Paris (\(t=0\)) et que la vitesse de 300 km/h est atteinte instantanément (ce qui est une simplification du modèle).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Temps écoulé	\(t_{\text{min}}\)	54	minutes

Astuces

Pour éviter les décimales, vous pouvez travailler avec des fractions. 54 minutes, c'est \(54/60 = 9/10\) d'heure. Le calcul devient \(x = 300 \times (9/10) = 30 \times 9 = 270\) km. C'est souvent plus rapide et plus précis.

Schéma (Avant les calculs)

Instant d'observation sur une ligne de temps

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion du temps en heures

\begin{aligned} t_{\text{(h)}} &= \frac{54 \text{ min}}{60 \text{ min/h}} \\ &= 0.9 \text{ h} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la position

\begin{aligned} x(0.9) &= 300 \times 0.9 \\ &= 270 \text{ km} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Position du TGV à t = 54 min

Réflexions

Le train a parcouru 270 km sur les 400 km totaux. Il a donc couvert 67.5% du trajet (\(270/400\)). Le temps écoulé (54 min) représente 67.5% de la durée totale du trajet (80 min), ce qui est cohérent pour un mouvement à vitesse uniforme.

Points de vigilance

L'erreur fatale serait d'injecter \(t=54\) dans la formule. On obtiendrait \(x = 300 \times 54 = 16200\) km, un résultat physiquement absurde qui doit immédiatement vous alerter sur une erreur d'unité.

Points à retenir

Avant d'appliquer une équation, vérifiez que chaque variable est exprimée dans l'unité requise par les constantes de la formule. Ici, \(v\) en km/h impose \(t\) en heures pour obtenir \(x\) en km.

Le saviez-vous ?

Les systèmes de signalisation ferroviaire modernes, comme l'ETCS (European Train Control System), permettent de connaître la position et la vitesse des trains en temps réel avec une très grande précision, garantissant la sécurité des lignes à grande vitesse.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Après 54 minutes, le TGV se trouvera à 270 km de Paris.

A vous de jouer

Où se trouve le train après 1 heure et 15 minutes de trajet ?

Question 5 : Calculer l'heure d'arrivée à Lyon.

Principe

C'est une application directe du calcul de durée. En ajoutant la durée du trajet à l'heure de départ, on obtient l'heure d'arrivée.

Mini-Cours

On distingue deux concepts de temps en physique : la durée (\(\Delta t\)), qui est un intervalle de temps scalaire (ex: 1h20), et l'instant ou la date, qui est un point précis sur l'axe du temps (ex: 9h00). Cette question consiste à additionner une durée à un instant initial pour trouver un instant final.

Remarque Pédagogique

Pour les additions de temps, il est souvent plus simple de traiter les heures et les minutes séparément pour éviter les erreurs de conversion avec les nombres décimaux.

Formule(s)

Relation horaire

\text{Heure d'arrivée} = \text{Heure de départ} + \text{Durée}

Hypothèses

On suppose qu'il n'y a aucun retard au départ et que la durée calculée est exacte, sans imprévus durant le trajet.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Heure de départ	9h00
Durée du trajet	1 heure et 20 minutes

Astuces

Posez le calcul comme une addition en colonne : alignez les heures et les minutes.
09 h 00 min
+ 01 h 20 min
-----------
= 10 h 20 min
Cela évite toute confusion.

Schéma (Avant les calculs)

Ligne de temps du trajet

Calcul(s)

Addition des temps

\begin{aligned} \text{Heure d'arrivée} &= 9\text{h}00 + 1\text{h}20 \\ &= 10\text{h}20 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ligne de temps du trajet complétée

Réflexions

L'arrivée est prévue en milieu de matinée, ce qui est un résultat tout à fait plausible et facile à vérifier. Ce type de calcul simple est utilisé quotidiennement dans la planification des transports.

Points de vigilance

N'ajoutez jamais une durée en heure décimale (1.33 h) à une heure au format hh:mm. 9h00 + 1.33 ne donne pas 10h33, mais bien 10h20. Séparez toujours les heures et les minutes pour l'addition.

Points à retenir

Pour trouver une heure d'arrivée, on ajoute la durée du parcours à l'heure de départ. Faites attention au système sexagésimal (base 60) des minutes et secondes.

Le saviez-vous ?

Avant l'avènement des chemins de fer au XIXe siècle, chaque ville avait sa propre heure locale basée sur le soleil. C'est pour synchroniser les horaires de train que les fuseaux horaires et une heure standardisée ont été créés.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le TGV arrivera à Lyon à 10h20.

A vous de jouer

Si le TGV partait à 14h30, à quelle heure arriverait-il ?

Outil Interactif : Simulateur de Trajet

Utilisez les curseurs pour faire varier la vitesse du TGV et la durée du trajet, et observez en temps réel la distance parcourue. Le graphique illustre la relation linéaire entre la distance et le temps pour une vitesse donnée.

Paramètres d'Entrée

Vitesse du TGV (km/h) 300 km/h

Durée du trajet (heures) 1.5 h

Résultats Clés

Distance parcourue (km) -

Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU): Mouvement d'un point matériel qui se déplace le long d'une trajectoire rectiligne à une vitesse constante. Son accélération est nulle.
Équation horaire: Relation mathématique qui décrit la position \(x\) d'un mobile en fonction du temps \(t\). Pour un MRU, elle est de la forme \( x(t) = v \cdot t + x_0 \).
Vitesse: Grandeur physique qui mesure le rapport d'une évolution au temps. En cinématique, elle représente la distance parcourue par unité de temps.
Système International d'unités (SI): Le système d'unités le plus largement employé au monde, utilisé en science pour garantir la cohérence des mesures. L'unité de longueur est le mètre (m), de temps la seconde (s), et de vitesse le mètre par seconde (m/s).