ÉTUDE DE PHYSIQUE

Bloc sur plan incliné avec frottements

Bloc sur Plan Incliné avec Frottements en Mécanique Classique

Bloc sur Plan Incliné avec Frottements en Mécanique Classique

Comprendre les Forces sur un Plan Incliné

L'étude du mouvement d'un objet sur un plan incliné est un problème fondamental en mécanique classique qui permet d'appliquer les lois de Newton. Plusieurs forces agissent sur l'objet : son poids (force gravitationnelle), la force normale exercée par le plan, et les forces de frottement (statique ou cinétique) si la surface n'est pas lisse. L'analyse de ces forces, décomposées selon des axes appropriés, permet de déterminer si l'objet reste au repos, se met en mouvement, et de calculer son accélération éventuelle.

Données de l'étude : Mouvement d'un Bloc

Un bloc de masse \(m = 10.0 \, \text{kg}\) est placé sur un plan incliné formant un angle \(\theta = 37.0^{\circ}\) avec l'horizontale. Il n'y a pas de force extérieure appliquée parallèlement au plan, autre que celles résultant du poids et du contact avec le plan.

Coefficients de frottement et autres constantes :

  • Coefficient de frottement statique entre le bloc et le plan (\(\mu_s\)) : \(0.50\)
  • Coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan (\(\mu_k\)) : \(0.30\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(\sin(37.0^{\circ}) \approx 0.6018\)
  • \(\cos(37.0^{\circ}) \approx 0.7986\)
Schéma : Bloc sur un Plan Incliné
θ = 37° m P N f Forces agissant sur le bloc (direction de f à confirmer).

Bloc sur un plan incliné soumis à son poids, la force normale et une force de frottement potentielle.

Questions à traiter

  1. Dessiner le diagramme des forces (diagramme du corps libre) pour le bloc. Choisir un système d'axes avec l'axe x parallèle au plan incliné (dirigé vers le bas de la pente) et l'axe y perpendiculaire au plan.
  2. Calculer les composantes du poids du bloc parallèles (\(P_x\)) et perpendiculaires (\(P_y\)) au plan incliné.
  3. Calculer l'intensité de la force normale (\(N\)) exercée par le plan sur le bloc.
  4. Calculer l'intensité maximale de la force de frottement statique (\(f_{s,max}\)).
  5. Le bloc se met-il en mouvement ? Justifier votre réponse.
  6. Si le bloc se met en mouvement, calculer l'intensité de la force de frottement cinétique (\(f_k\)).
  7. Si le bloc se met en mouvement, calculer son accélération (\(a\)) le long du plan incliné.
  8. Si le bloc part du repos et glisse sur une distance de \(d = 3.0 \, \text{m}\) le long du plan, quel sera son temps de parcours ?

Correction : Bloc sur Plan Incliné avec Frottements

Question 1 : Diagramme des forces et choix des axes

Principe :

Un diagramme des forces représente l'objet et toutes les forces extérieures agissant sur lui. Pour un plan incliné, on choisit généralement l'axe x parallèle à la pente et l'axe y perpendiculaire.

Diagramme des Forces :
θ = 37° m P N f x y

Diagramme des forces (DCL) avec les axes choisis (x vers le bas de la pente).

Description des forces et Choix des axes :
  • Poids (\(\vec{P}\)) : Dirigé verticalement vers le bas.
  • Force Normale (\(\vec{N}\)) : Perpendiculaire au plan, dirigée vers le haut.
  • Force de Frottement (\(\vec{f}\)) : Parallèle au plan, s'opposant à la tendance au mouvement (donc dirigée vers le haut de la pente si le bloc tend à glisser vers le bas).

Choix des axes : Axe x parallèle au plan incliné, orienté positivement vers le bas de la pente. Axe y perpendiculaire au plan incliné, orienté positivement vers le haut (sortant du plan).

Résultat Question 1 : Le diagramme des forces est présenté ci-dessus. L'axe x est parallèle à la pente (vers le bas), l'axe y est perpendiculaire.

Question 2 : Composantes du poids (\(P_x\) et \(P_y\))

Principe :

Le poids \(\vec{P}\) est décomposé. L'angle \(\theta\) du plan se retrouve entre le vecteur poids et la perpendiculaire au plan (direction de l'axe y, mais opposée à \(P_y\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P = mg \] \[ P_x = P \sin(\theta) \quad (\text{dirigé vers le bas de la pente, donc positif selon notre axe x}) \] \[ P_y = -P \cos(\theta) \quad (\text{dirigé vers l'intérieur du plan, donc négatif selon notre axe y}) \]
Données spécifiques :
  • \(m = 10.0 \, \text{kg}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(\theta = 37.0^{\circ}\)
  • \(\sin(37.0^{\circ}) \approx 0.6018\)
  • \(\cos(37.0^{\circ}) \approx 0.7986\)
Calcul :

Intensité du poids :

\[ \begin{aligned} P &= 10.0 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 98.1 \, \text{N} \end{aligned} \]

Composante \(P_x\) (selon l'axe x positif) :

\[ \begin{aligned} P_x &= 98.1 \, \text{N} \times \sin(37.0^{\circ}) \\ &\approx 98.1 \, \text{N} \times 0.6018 \\ &\approx 59.03658 \, \text{N} \end{aligned} \]

Composante \(P_y\) (opposée à l'axe y positif) :

\[ \begin{aligned} P_y &= -98.1 \, \text{N} \times \cos(37.0^{\circ}) \\ &\approx -98.1 \, \text{N} \times 0.7986 \\ &\approx -78.34266 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • Composante du poids parallèle au plan : \(P_x \approx 59.04 \, \text{N}\)
  • Composante du poids perpendiculaire au plan : \(P_y \approx -78.34 \, \text{N}\)

Question 3 : Intensité de la force normale (\(N\))

Principe :

Pas de mouvement perpendiculaire au plan (\(a_y = 0\)). La somme des forces selon y est nulle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_y = N + P_y = 0 \Rightarrow N = -P_y \]
Données spécifiques :
  • \(P_y \approx -78.34266 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N &= -(-78.34266 \, \text{N}) \\ &\approx 78.34 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'intensité de la force normale est \(N \approx 78.34 \, \text{N}\).

Question 4 : Intensité maximale de la force de frottement statique (\(f_{s,max}\))

Principe :

\(f_{s,max} = \mu_s N\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_{s,max} = \mu_s N \]
Données spécifiques :
  • \(\mu_s = 0.50\)
  • \(N \approx 78.34266 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{s,max} &= 0.50 \times 78.34266 \, \text{N} \\ &\approx 39.17133 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'intensité maximale de la force de frottement statique est \(f_{s,max} \approx 39.17 \, \text{N}\).

Question 5 : Le bloc se met-il en mouvement ?

Principe :

Le bloc se met en mouvement si la composante du poids parallèle au plan (\(P_x\)), qui tend à faire descendre le bloc, est supérieure à la force de frottement statique maximale (\(f_{s,max}\)) qui peut s'y opposer.

Données spécifiques :
  • \(P_x \approx 59.03658 \, \text{N}\)
  • \(f_{s,max} \approx 39.17133 \, \text{N}\)
Analyse :

Comparons \(P_x\) à \(f_{s,max}\) :

\(59.03658 \, \text{N}\) (force tendant à faire descendre) vs \(39.17133 \, \text{N}\) (frottement statique max opposé).

Puisque \(P_x > f_{s,max}\), la force motrice est suffisante pour vaincre le frottement statique maximal.

Résultat Question 5 : Oui, le bloc se met en mouvement vers le bas de la pente car \(P_x > f_{s,max}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(P_x\) était de \(30 \, \text{N}\) et \(f_{s,max}\) de \(35 \, \text{N}\), le bloc :

Question 6 : Intensité de la force de frottement cinétique (\(f_k\))

Principe :

Puisque le bloc est en mouvement, la force de frottement agissant est la force de frottement cinétique, \(f_k = \mu_k N\). Elle est dirigée vers le haut de la pente, s'opposant au mouvement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_k = \mu_k N \]
Données spécifiques :
  • \(\mu_k = 0.30\)
  • \(N \approx 78.34266 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_k &= 0.30 \times 78.34266 \, \text{N} \\ &\approx 23.5028 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'intensité de la force de frottement cinétique est \(f_k \approx 23.50 \, \text{N}\).

Question 7 : Accélération (\(a\)) du bloc

Principe :

On applique la deuxième loi de Newton (\(\sum F_x = ma_x\)) le long de l'axe x (parallèle au plan, positif vers le bas). Les forces agissant selon x sont \(P_x\) (positive) et \(f_k\) (négative, car elle s'oppose au mouvement vers le bas).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_x = P_x - f_k = ma \] \[ a = \frac{P_x - f_k}{m} \]
Données spécifiques :
  • \(P_x \approx 59.03658 \, \text{N}\)
  • \(f_k \approx 23.5028 \, \text{N}\)
  • \(m = 10.0 \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a &= \frac{59.03658 \, \text{N} - 23.5028 \, \text{N}}{10.0 \, \text{kg}} \\ &= \frac{35.53378 \, \text{N}}{10.0 \, \text{kg}} \\ &\approx 3.553378 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : L'accélération du bloc le long du plan incliné est \(a \approx 3.55 \, \text{m/s}^2\) (dirigée vers le bas de la pente).

Question 8 : Temps de parcours pour \(d = 3.0 \, \text{m}\)

Principe :

Le bloc part du repos (\(v_{0x, \text{plan}} = 0\)) et subit une accélération constante \(a\). On utilise l'équation du mouvement uniformément varié : \(d = v_{0x, \text{plan}} t + \frac{1}{2} a t^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ d = \frac{1}{2} a t^2 \quad (\text{car } v_{0x, \text{plan}} = 0) \] \[ t = \sqrt{\frac{2d}{a}} \]
Données spécifiques :
  • \(d = 3.0 \, \text{m}\)
  • \(a \approx 3.553378 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{2 \times 3.0 \, \text{m}}{3.553378 \, \text{m/s}^2}} \\ &= \sqrt{\frac{6.0}{3.553378}} \, \text{s} \\ &\approx \sqrt{1.6885} \, \text{s} \\ &\approx 1.299 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le temps de parcours pour \(3.0 \, \text{m}\) est \(t \approx 1.30 \, \text{s}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si l'angle du plan incliné était augmenté, la force de frottement cinétique (en supposant que le bloc glisse toujours) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La deuxième loi de Newton stipule que :

2. La force normale est toujours :

3. La force de frottement cinétique :

Glossaire

Force (\(\vec{F}\))
Interaction qui, lorsqu'elle n'est pas équilibrée, modifie le mouvement d'un objet. C'est une grandeur vectorielle, mesurée en Newtons (N).
Masse (\(m\))
Mesure de l'inertie d'un objet, c'est-à-dire sa résistance au changement de mouvement. Unité SI : kilogramme (kg).
Accélération (\(\vec{a}\))
Taux de variation de la vitesse d'un objet par rapport au temps. C'est une grandeur vectorielle, mesurée en \(\text{m/s}^2\).
Lois de Newton
Ensemble de trois lois fondamentales de la mécanique classique qui décrivent la relation entre les forces et le mouvement.
Diagramme des Forces (ou Diagramme du Corps Libre - DCL)
Représentation schématique d'un objet isolé avec toutes les forces extérieures qui agissent sur lui.
Force Normale (\(\vec{N}\))
Force de contact exercée par une surface sur un objet, agissant perpendiculairement à la surface.
Force de Frottement (\(\vec{f}\))
Force qui s'oppose au mouvement relatif (ou à la tendance au mouvement) entre deux surfaces en contact. Elle est parallèle aux surfaces.
Frottement Statique (\(f_s\))
Force de frottement qui empêche un objet de commencer à bouger. Sa valeur s'ajuste jusqu'à un maximum (\(f_{s,max} = \mu_s N\)).
Frottement Cinétique (ou Dynamique) (\(f_k\))
Force de frottement qui agit sur un objet lorsqu'il est en mouvement. Son intensité est généralement constante (\(f_k = \mu_k N\)).
Coefficient de Frottement (\(\mu_s, \mu_k\))
Nombre sans dimension qui caractérise la nature des surfaces en contact. \(\mu_s\) est le coefficient de frottement statique et \(\mu_k\) est le coefficient de frottement cinétique (\(\mu_k \le \mu_s\)).
Bloc sur Plan Incliné avec Frottements - Exercice d'Application

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