Calcul de la Distance Parcourue par un Coureur
Contexte : La cinématiqueBranche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans se préoccuper des causes (forces) qui le provoquent. du coureur.
Cet exercice analyse le mouvement d'un athlète sur une course. Pour modéliser sa performance, nous décomposons sa course en trois phases distinctes : une phase d'accélération au départ, une phase de course à vitesse constante, et enfin une phase de décélération après la ligne d'arrivée. Comprendre comment calculer la distance parcourue dans chaque phase est fondamental en mécanique classique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les équations fondamentales du mouvement pour analyser une situation réelle et à décomposer un problème complexe en plusieurs étapes simples et logiques.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)Mouvement d'un objet en ligne droite avec une accélération constante..
- Calculer la vitesse et la distance pour différentes phases d'un mouvement.
- Analyser un problème en le décomposant en étapes séquentielles.
- Interpréter un graphique vitesse-temps pour visualiser un mouvement.
Données de l'étude
Phases du Mouvement du Coureur
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Accélération (Phase 1) | \( a_{\text{1}} \) | 2.5 | \(\text{m/s}^2\) |
| Durée d'accélération (Phase 1) | \( t_{\text{1}} \) | 4 | \(\text{s}\) |
| Durée à vitesse constante (Phase 2) | \( t_{\text{2}} \) | 30 | \(\text{s}\) |
| Décélération (Phase 3) | \( a_{\text{3}} \) | -0.5 | \(\text{m/s}^2\) |
Questions à traiter
- Calculer la vitesse maximale (\(v_{\text{max}}\)) atteinte par le coureur à la fin de la phase d'accélération.
- Quelle distance (\(d_{\text{1}}\)) a-t-il parcourue pendant cette phase d'accélération ?
- Quelle distance (\(d_{\text{2}}\)) a-t-il parcourue en maintenant sa vitesse maximale ?
- Quelle distance (\(d_{\text{3}}\)) parcourt-il pendant sa décélération jusqu'à l'arrêt complet ?
- Calculer la distance totale (\(d_{\text{total}}\)) de la course.
Les bases de la Cinématique
La cinématique est l'étude du mouvement. Pour un mouvement en ligne droite (rectiligne) avec une accélération constante (MRUA), nous utilisons un ensemble d'équations clés pour décrire la relation entre la distance, la vitesse, l'accélération et le temps.
1. Vitesse finale en fonction du temps
La vitesse finale (\(v_{\text{f}}\)) est égale à la vitesse initiale (\(v_{\text{i}}\)) plus le produit de l'accélération (\(a\)) et du temps (\(t\)).
\[ v_{\text{f}} = v_{\text{i}} + a \cdot t \]
2. Distance parcourue en fonction du temps
La distance (\(d\)) est la somme de la distance parcourue à la vitesse initiale et de la distance due à l'accélération.
\[ d = v_{\text{i}} \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \]
3. Mouvement à vitesse constante
Lorsque l'accélération est nulle, la distance est simplement le produit de la vitesse constante (\(v\)) et du temps (\(t\)).
\[ d = v \cdot t \]
Correction : Calcul de la Distance Parcourue par un Coureur
Question 1 : Calculer la vitesse maximale (\(v_{\text{max}}\)).
Principe
Pour trouver la vitesse maximale, nous analysons la première phase du mouvement. Le coureur part du repos, sa vitesse initiale est donc nulle. Il subit une accélération constante pendant une durée donnée. Nous utilisons l'équation de la vitesse du MRUA, qui lie directement ces quatre variables.
Mini-Cours
En cinématique, l'accélération est définie comme le taux de changement de la vitesse. Pour une accélération constante \(a\), la vitesse augmente linéairement avec le temps. Si un objet part d'une vitesse \(v_{\text{i}}\), après un temps \(t\), sa nouvelle vitesse \(v_{\text{f}}\) sera la somme de sa vitesse de départ et de l'augmentation totale de vitesse (\(a \cdot t\)).
Remarque Pédagogique
Face à un problème de cinématique, la première étape est toujours d'identifier les informations connues (vitesse initiale, accélération, temps) et l'inconnue (vitesse finale). Ensuite, choisissez l'équation qui relie ces variables de la manière la plus directe pour éviter les calculs intermédiaires.
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour ce type de calcul fondamental. La référence est la physique elle-même, spécifiquement les lois du mouvement de Newton, qui sont le fondement de la mécanique classique et de la cinématique.
Formule(s)
Formule de la vitesse finale
Hypothèses
On pose les hypothèses de départ pour ce calcul.
- Le coureur part du repos, donc sa vitesse initiale \(v_{\text{i}}\) est 0 m/s.
- L'accélération \(a_{\text{1}}\) est considérée comme parfaitement constante pendant toute la phase 1.
Donnée(s)
Nous extrayons les données de l'énoncé nécessaires pour cette question.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_{\text{i}}\) | 0 | \(\text{m/s}\) |
| Accélération (Phase 1) | \(a_{\text{1}}\) | 2.5 | \(\text{m/s}^2\) |
| Durée (Phase 1) | \(t_{\text{1}}\) | 4 | \(\text{s}\) |
Astuces
Comme la vitesse initiale est nulle, le calcul se simplifie grandement. Vous pouvez mentalement faire le produit de l'accélération par le temps pour obtenir un ordre de grandeur rapide avant de poser le calcul formel.
Schéma (Avant les calculs)
État Initial (t=0)
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Fin de Phase 1 (t=4s)
Réflexions
Une vitesse de 10 m/s correspond à 36 km/h (\(10 \times 3.6\)). C'est une vitesse de pointe réaliste pour un sprinteur de haut niveau, ce qui confirme que notre résultat est cohérent avec la réalité.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes avant le calcul. Ici, nous avons des secondes et des \(\text{m/s}^2\), le résultat sera donc bien en \(\text{m/s}\). Une erreur commune est de mélanger des minutes ou des \(\text{km/h}\) sans conversion.
Points à retenir
Pour un départ arrêté en MRUA, la vitesse finale est simplement le produit de l'accélération et du temps : \(v_{\text{f}} = a \cdot t\). C'est la relation fondamentale de cette question.
Le saviez-vous ?
Le record du monde du 100m est détenu par Usain Bolt. Lors de sa course record, sa vitesse de pointe a été estimée à près de 12.3 m/s (environ 44 km/h) !
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'accélération était de 3 m/s² pendant les 4 mêmes secondes, quelle serait sa vitesse maximale ?
Question 2 : Quelle distance (\(d_{\text{1}}\)) a-t-il parcourue pendant l'accélération ?
Principe
Nous calculons la distance parcourue pendant la phase 1, qui est un MRUA. Puisque nous connaissons la vitesse initiale, le temps et l'accélération, nous pouvons utiliser l'équation de la distance qui relie directement ces variables.
Mini-Cours
La distance parcourue en MRUA est la somme de deux composantes : la distance qui aurait été parcourue si la vitesse était restée constante (\(v_{\text{i}} \cdot t\)) et la distance supplémentaire gagnée grâce à l'accélération (\(\frac{1}{2} a \cdot t^2\)). Ce second terme vient de l'intégration de la vitesse (qui augmente linéairement) par rapport au temps.
Remarque Pédagogique
Visualisez le graphique vitesse-temps de cette phase. C'est une ligne droite qui monte de 0 à 10 m/s en 4s. La distance parcourue est l'aire sous cette ligne, qui forme un triangle. Le calcul de l'aire (base × hauteur / 2) doit donner le même résultat que la formule.
Normes
Comme pour la question 1, la référence est la mécanique classique et ses équations fondamentales, dérivées des principes de Newton.
Formule(s)
Formule de la distance en MRUA
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question précédente.
- Vitesse initiale \(v_{\text{i}}\) = 0 m/s.
- Accélération \(a_{\text{1}}\) constante.
Donnée(s)
Nous utilisons les mêmes données que pour la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_{\text{i}}\) | 0 | \(\text{m/s}\) |
| Accélération (Phase 1) | \(a_{\text{1}}\) | 2.5 | \(\text{m/s}^2\) |
| Durée (Phase 1) | \(t_{\text{1}}\) | 4 | \(\text{s}\) |
Astuces
Une autre formule du MRUA est \(v_{\text{f}}^2 = v_{\text{i}}^2 + 2ad\). Comme nous avons calculé \(v_{\text{f}} = 10\) m/s à la question 1, nous pouvons l'utiliser pour vérifier : \(d = (v_{\text{f}}^2 - v_{\text{i}}^2) / (2a) = (10^2 - 0^2) / (2 \cdot 2.5) = 100 / 5 = 20\) m. Obtenir le même résultat confirme la cohérence de nos calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Déplacement en Phase 1
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Aire = Distance (Phase 1)
Réflexions
En 4 secondes, le coureur a déjà parcouru 20 mètres. Cela montre à quel point la phase de départ est cruciale dans une course de vitesse. Une bonne accélération permet de couvrir rapidement les premiers mètres.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente dans cette formule est d'oublier de mettre le temps au carré (\(t^2\)). Assurez-vous de bien élever le temps à la puissance 2 avant de le multiplier par les autres termes.
Points à retenir
La distance parcourue lors d'une accélération depuis l'arrêt est directement proportionnelle au carré du temps. Si vous doublez le temps d'accélération, vous multipliez la distance par quatre !
Le saviez-vous ?
Les sprinteurs professionnels s'entraînent intensivement pour optimiser leur temps de réaction et la puissance de leurs premiers pas. Un temps de réaction inférieur à 0.1 seconde est considéré comme un faux départ en compétition officielle.
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec une accélération de 2.5 m/s², si la phase d'accélération durait 5 secondes, quelle distance parcourrait-il ?
Question 3 : Quelle distance (\(d_{\text{2}}\)) a-t-il parcourue à vitesse maximale ?
Principe
La phase 2 est un mouvement rectiligne uniforme (MRU), car la vitesse est constante. L'accélération est nulle. Le calcul de la distance est donc un simple produit de la vitesse par le temps.
Mini-Cours
Le Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) est le cas le plus simple de mouvement. Puisque la vitesse ne change pas, la distance parcourue augmente de manière égale pour chaque intervalle de temps. La relation \(d = v \cdot t\) est la définition même de la vitesse moyenne lorsque celle-ci est constante.
Remarque Pédagogique
Cette phase est souvent la plus longue en termes de distance dans les courses d'endurance ou de demi-fond. Maîtriser ce calcul simple est essentiel, car il constitue la base de nombreux problèmes plus complexes.
Normes
Les principes de la mécanique classique s'appliquent.
Formule(s)
Formule de la distance en MRU
Hypothèses
L'hypothèse principale est que le coureur réussit à maintenir sa vitesse maximale de manière parfaitement constante, sans fatigue ni variation de rythme.
Donnée(s)
Nous avons besoin de la vitesse maximale (calculée en Q1) et de la durée de cette phase.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse maximale | \(v_{\text{max}}\) | 10 | \(\text{m/s}\) |
| Durée (Phase 2) | \(t_{\text{2}}\) | 30 | \(\text{s}\) |
Astuces
La multiplication par 10 est simple à faire mentalement. C'est une bonne occasion de vérifier rapidement la cohérence des ordres de grandeur avant de se lancer dans des calculs plus complexes.
Schéma (Avant les calculs)
Déplacement en Phase 2
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Aire = Distance (Phase 2)
Réflexions
Le coureur parcourt 300 mètres pendant cette phase. C'est la plus grande distance des trois phases, ce qui est logique car c'est la phase où il maintient sa plus grande vitesse pendant une durée significative.
Points de vigilance
Veillez à bien utiliser la durée de la phase 2 (\(t_{\text{2}}\)) et non le temps total écoulé depuis le début de la course. Chaque phase doit être analysée avec ses propres paramètres de durée.
Points à retenir
La formule \(d = v \cdot t\) est l'une des plus fondamentales en physique. Elle s'applique à tous les mouvements à vitesse constante, des personnes qui marchent aux planètes qui orbitent (en première approximation).
Le saviez-vous ?
En réalité, même les meilleurs sprinteurs ne peuvent maintenir leur vitesse de pointe que pendant quelques secondes. Sur un 400m, par exemple, la vitesse commence inévitablement à chuter dans la dernière ligne droite à cause de la fatigue musculaire.
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
S'il maintenait sa vitesse de 10 m/s pendant 35 secondes, quelle distance parcourrait-il ?
Question 4 : Quelle distance (\(d_{\text{3}}\)) parcourt-il en décélérant ?
Principe
La phase 3 est un MRUA avec une accélération négative (décélération). La vitesse initiale de cette phase est la vitesse maximale (\(v_{\text{max}}\)) et la vitesse finale est nulle. Comme nous ne connaissons pas la durée de cette phase, la formule la plus directe est celle qui relie les vitesses, l'accélération et la distance, sans faire intervenir le temps.
Mini-Cours
L'équation \(v_{\text{f}}^2 = v_{\text{i}}^2 + 2ad\) est particulièrement utile car elle permet de calculer une distance de freinage ou d'accélération sans avoir à calculer le temps au préalable. Elle découle de la combinaison des deux autres équations fondamentales du MRUA.
Remarque Pédagogique
Pensez à la sécurité routière : cette formule est utilisée pour calculer les distances de freinage d'un véhicule. Elle montre que la distance de freinage augmente avec le carré de la vitesse, ce qui souligne l'importance de respecter les limitations de vitesse.
Normes
Les principes de la mécanique classique s'appliquent.
Formule(s)
Formule de la vitesse au carré
Application à la question
Formule de la distance isolée
Hypothèses
On suppose que la décélération est constante tout au long de la phase 3, jusqu'à ce que le coureur s'arrête complètement (\(v_{\text{f}} = 0\)).
Donnée(s)
Les données nécessaires sont la vitesse de début de phase et la décélération.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale (Phase 3) | \(v_{\text{max}}\) | 10 | \(\text{m/s}\) |
| Vitesse finale | \(v_{\text{f}}\) | 0 | \(\text{m/s}\) |
| Décélération (Phase 3) | \(a_{\text{3}}\) | -0.5 | \(\text{m/s}^2\) |
Astuces
On pourrait d'abord calculer le temps de freinage \(t_{\text{3}}\) avec \(v_{\text{f}} = v_{\text{i}} + a_{\text{3}} t_{\text{3}}\), ce qui donne \(t_{\text{3}} = (0 - 10) / (-0.5) = 20\) s. Ensuite, on utilise \(d_{\text{3}} = v_{\text{i}} t_{\text{3}} + \frac{1}{2} a_{\text{3}} t_{\text{3}}^2 = (10 \cdot 20) + 0.5 \cdot (-0.5) \cdot 20^2 = 200 - 100 = 100\) m. C'est plus long, mais c'est une excellente façon de vérifier le résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Freinage en Phase 3
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Aire = Distance (Phase 3)
Réflexions
Le coureur a besoin de 100 mètres pour s'arrêter complètement. C'est une distance considérable, qui montre bien l'inertie du mouvement. Dans un sport, la capacité à décélérer et à changer de direction est tout aussi importante que la capacité à accélérer.
Points de vigilance
Attention aux signes ! La décélération est une accélération négative. Le signe négatif au numérateur (provenant de la formule) et au dénominateur (la valeur de \(a_3\)) s'annulent pour donner une distance positive, ce qui est physiquement correct. Une distance ne peut pas être négative.
Points à retenir
La formule \(v_{\text{f}}^2 = v_{\text{i}}^2 + 2ad\) est un outil puissant en cinématique, surtout lorsque le temps n'est ni connu, ni demandé. Mémorisez-la pour résoudre rapidement les problèmes de freinage ou d'accélération sur une distance donnée.
Le saviez-vous ?
La décélération de -0.5 m/s² est très faible et contrôlée. En cas d'arrêt d'urgence, un être humain pourrait décélérer beaucoup plus rapidement, mais au risque de perdre l'équilibre ou de se blesser.
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Si sa décélération était plus forte, par exemple -0.8 m/s², sur quelle distance s'arrêterait-il ?
Question 5 : Calculer la distance totale (\(d_{\text{total}}\)).
Principe
La distance totale est simplement la somme des distances parcourues durant chacune des trois phases. La distance étant une grandeur scalaire (elle n'a pas de direction, contrairement au vecteur déplacement), on peut additionner directement les valeurs.
Mini-Cours
Le principe de décomposition et de recomposition est une méthode fondamentale en physique. En divisant un problème complexe (la course entière) en parties plus simples (les trois phases), nous pouvons analyser chaque partie avec des outils adaptés, puis sommer les résultats pour obtenir la solution globale.
Remarque Pédagogique
Cette question finale est une synthèse. Elle vérifie que vous avez non seulement su calculer chaque partie, mais aussi que vous comprenez comment les assembler pour répondre à une question globale. C'est l'aboutissement logique de l'analyse par étapes.
Normes
Ce calcul relève de l'arithmétique de base et ne fait appel à aucune norme spécifique.
Formule(s)
Formule de la somme des distances
Hypothèses
On suppose que les trois phases sont parfaitement séquentielles et qu'il n'y a pas de temps de transition entre elles.
Donnée(s)
On utilise les résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance (Phase 1) | \(d_{\text{1}}\) | 20 | \(\text{m}\) |
| Distance (Phase 2) | \(d_{\text{2}}\) | 300 | \(\text{m}\) |
| Distance (Phase 3) | \(d_{\text{3}}\) | 100 | \(\text{m}\) |
Astuces
Pour vérifier le résultat, on peut calculer l'aire totale sous le graphique v-t. C'est un trapèze. L'aire est la somme des aires des trois formes géométriques (deux triangles et un rectangle) que nous avons calculées séparément.
Schéma (Avant les calculs)
Somme des Distances
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Graphique Vitesse-Temps Complet
Réflexions
La distance totale est de 420 mètres. Cela correspond à peu près à une course de 400 mètres plus la distance de décélération. Notre modèle physique, bien que simple, nous donne un aperçu complet et cohérent d'une performance sportive.
Points de vigilance
L'erreur la plus simple mais la plus frustrante serait une erreur d'addition. Prenez toujours un instant pour vérifier vos calculs finaux, surtout lorsqu'ils compilent plusieurs résultats précédents.
Points à retenir
La maîtrise de la cinématique réside dans la capacité à identifier les différentes phases d'un mouvement, à appliquer la bonne formule à chaque phase, et à combiner les résultats de manière logique pour obtenir une vue d'ensemble.
Le saviez-vous ?
Le record du monde du 400 mètres masculin est de 43.03 secondes. Cela représente une vitesse moyenne de 9.3 m/s sur toute la distance, y compris la phase de départ ! Maintenir une telle vitesse sur un tour de piste est une prouesse physiologique extraordinaire.
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la phase 2 durait seulement 25 secondes au lieu de 30, quelle serait la nouvelle distance totale ? (Rappel : \(d_{\text{1}}=20\,\text{m}\), \(d_{\text{3}}=100\,\text{m}\)).
Outil Interactif : Simulateur de Course
Utilisez les curseurs pour modifier les paramètres de la course et observez en temps réel comment cela affecte les distances et le graphique vitesse-temps.
Paramètres de la Course
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente l'aire sous la courbe d'un graphique vitesse-temps ?
2. Si un objet part du repos, sa vitesse initiale est :
3. Quelle est l'unité de l'accélération dans le Système International ?
4. Pendant la phase de vitesse constante, l'accélération du coureur est :
Glossaire
- Cinématique
- Branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans se préoccuper des causes (forces) qui le provoquent.
- Accélération
- Taux de variation de la vitesse par rapport au temps. Son unité est le mètre par seconde carrée (\(\text{m/s}^2\)). Une accélération négative est une décélération.
- Vitesse
- Taux de variation de la position d'un objet par rapport au temps. Son unité est le mètre par seconde (\(\text{m/s}\)).
- MRUA
- Acronyme pour Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré. C'est le mouvement d'un objet se déplaçant en ligne droite avec une accélération constante.
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