Oscillations d'un Pendule Double

Contexte : Le Pendule DoubleUn système mécanique composé d'un pendule attaché à l'extrémité d'un autre pendule. C'est un exemple classique de système chaotique..

Le pendule double est un système fascinant en mécanique classique. Bien qu'il semble simple, son mouvement peut devenir extrêmement complexe et imprévisible, illustrant le concept de chaos déterministe. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse de ce système en utilisant le formalisme Lagrangien, une approche puissante pour résoudre des problèmes de mécanique complexes sans faire directement appel aux forces de contrainte.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la mécanique Lagrangienne pour dériver les équations du mouvement d'un système à plusieurs degrés de liberté et à comprendre les bases du comportement chaotique.

Objectifs Pédagogiques

Définir les coordonnées généralisées pour un système mécanique.
Calculer les énergies cinétique et potentielle d'un système complexe.
Construire le Lagrangien et dériver les équations du mouvement via les équations d'Euler-Lagrange.
Comprendre la différence entre un mouvement régulier et un mouvement chaotique.

Données de l'étude

On considère un pendule double constitué de deux masses ponctuelles, \(m_1\) et \(m_2\), attachées par deux tiges rigides de longueurs \(L_1\) et \(L_2\) et de masses négligeables. Le point de pivot supérieur est fixe.

Schéma du Pendule Double

Paramètre	Description	Symbole
Masse 1	Masse du premier pendule	\(m_1\)
Masse 2	Masse du second pendule	\(m_2\)
Longueur 1	Longueur de la première tige	\(L_1\)
Longueur 2	Longueur de la seconde tige	\(L_2\)
Angle 1	Angle de la première tige avec la verticale	\(\theta_1\)
Angle 2	Angle de la seconde tige avec la verticale	\(\theta_2\)

Questions à traiter

Exprimer les coordonnées cartésiennes \((x_1, y_1)\) de \(m_1\) et \((x_2, y_2)\) de \(m_2\) en fonction des coordonnées généralisées \(\theta_1\) et \(\theta_2\).
Calculer l'énergie cinétique totale \(T = T_1 + T_2\) du système.
Calculer l'énergie potentielle totale \(U = U_1 + U_2\) du système (on prendra \(U=0\) au point de pivot).
Construire le Lagrangien \(\mathcal{L} = T - U\) du système.
Établir les deux équations d'Euler-Lagrange qui décrivent le mouvement du pendule double.

Les bases sur la Mécanique Lagrangienne

La mécanique lagrangienne est une reformulation de la mécanique classique qui utilise les concepts d'énergie plutôt que de forces. Elle est particulièrement efficace pour les systèmes avec des contraintes.

1. Le Lagrangien
Le Lagrangien d'un système, noté \(\mathcal{L}\), est défini comme la différence entre son énergie cinétique totale \(T\) et son énergie potentielle totale \(U\). \[ \mathcal{L}(q_i, \dot{q}_i, t) = T(q_i, \dot{q}_i, t) - U(q_i, t) \] où \(q_i\) sont les coordonnées généralisées et \(\dot{q}_i\) sont les vitesses généralisées.

2. Équations d'Euler-Lagrange
Les équations du mouvement sont obtenues à partir du Lagrangien grâce aux équations d'Euler-Lagrange. Pour chaque coordonnée généralisée \(q_i\), on a : \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0 \] Cette équation fournit une équation du mouvement pour chaque degré de liberté du système.

Correction : Oscillations d’un Pendule Double

Question 1 : Exprimer les coordonnées cartésiennes

Principe

Le concept physique est de traduire une description naturelle du système (avec des angles) en une description mathématique universelle (le système de coordonnées cartésien). Cela nous permettra ensuite de calculer facilement des quantités comme la vitesse et l'énergie.

Mini-Cours

En trigonométrie, un point situé à une distance \(r\) de l'origine et formant un angle \(\alpha\) avec l'axe vertical descendant a pour coordonnées \((x, y) = (r \sin\alpha, -r \cos\alpha)\). Pour la deuxième masse, on utilise le principe de la composition des vecteurs : le vecteur position de \(m_2\) est la somme du vecteur position de \(m_1\) et du vecteur reliant \(m_1\) à \(m_2\).

Remarque Pédagogique

La clé ici est de bien choisir l'origine de votre repère (le point de pivot est le plus logique) et l'orientation des axes. Un bon choix simplifie grandement les expressions. Soyez méthodique : traitez d'abord la première masse, puis utilisez ce résultat pour la seconde.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce type de calcul fondamental. Cependant, la convention d'utiliser un repère cartésien direct et de mesurer les angles par rapport à la verticale est un standard universel en physique.

Formule(s)

Formules de position

\text{Position de } m_1: \begin{cases} x_1 = L_1 \sin(\theta_1) \\ y_1 = -L_1 \cos(\theta_1) \end{cases}

\text{Position de } m_2: \begin{cases} x_2 = x_1 + L_2 \sin(\theta_2) \\ y_2 = y_1 - L_2 \cos(\theta_2) \end{cases}

Hypothèses

Le cadre de notre calcul repose sur des simplifications importantes de l'énoncé.

Les tiges sont rigides et de longueur constante.
Les masses sont ponctuelles (toute leur masse est concentrée en un seul point).
Le mouvement se fait dans un plan vertical (2D).

Donnée(s)

Paramètre	Description
\(L_1, L_2\)	Longueurs des tiges
\(\theta_1, \theta_2\)	Coordonnées angulaires généralisées

Astuces

Pour ne pas vous tromper dans les signes, dessinez toujours votre repère et le cercle trigonométrique à côté. Vérifiez que pour un petit angle positif, \(x\) est positif et \(y\) est négatif, ce qui correspond bien à nos formules.

Schéma (Avant les calculs)

Configuration du Système

Calcul(s)

L'application des formules est directe. Pour la masse \(m_2\), on substitue les expressions de \((x_1, y_1)\) dans les équations de \((x_2, y_2)\) pour obtenir les expressions finales uniquement en fonction des angles.

Schéma (Après les calculs)

Construction Vectorielle des Positions

Réflexions

Nous avons réussi à décrire la configuration complète du système avec seulement deux variables, \(\theta_1\) et \(\theta_2\). C'est la puissance des coordonnées généralisées. On remarque que la position de la deuxième masse dépend de manière non-linéaire (via les sinus et cosinus) des deux angles.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur de signe sur l'axe des \(y\). Comme on mesure l'angle par rapport à la verticale descendante, la coordonnée \(y\) est négative.

Points à retenir

Pour un système articulé, la position d'un point est la somme des positions des points précédents. C'est un principe de base en cinématique des robots par exemple.

Le saviez-vous ?

Cette méthode de décomposition de la position est la base de la cinématique des bras manipulateurs en robotique. Chaque segment du bras est traité comme une nouvelle tige de pendule, et sa position est calculée par rapport au segment précédent.

FAQ

Pourquoi l'axe des y est-il vers le bas ?

C'est une convention courante en mécanique pour les problèmes de pendule. Cela permet de définir l'énergie potentielle comme étant négative, avec une référence nulle au point le plus haut (le pivot), ce qui est souvent plus intuitif.

Résultat Final

Les coordonnées sont : \(x_1 = L_1 \sin\theta_1\), \(y_1 = -L_1 \cos\theta_1\), \(x_2 = L_1 \sin\theta_1 + L_2 \sin\theta_2\), et \(y_2 = -L_1 \cos\theta_1 - L_2 \cos\theta_2\).

A vous de jouer

Si le point de pivot n'était pas à \((0,0)\) mais à \((x_0, y_0)\), quelles seraient les nouvelles coordonnées de \(m_1\) ?

Question 2 : Calculer l'énergie cinétique totale

Principe

L'énergie cinétique représente l'énergie associée au mouvement. Pour l'obtenir, nous devons calculer la vitesse de chaque masse. La vitesse étant la dérivée temporelle de la position, nous allons dériver les coordonnées cartésiennes trouvées à la question précédente.

Mini-Cours

L'énergie cinétique d'un point matériel de masse \(m\) et de vitesse \(v\) est \(T = \frac{1}{2}mv^2\). Le carré de la norme de la vitesse est \(v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2\). Pour dériver une fonction de \(\theta(t)\) par rapport au temps, on utilise la règle de dérivation en chaîne : \(\frac{d}{dt}(f(\theta(t))) = \frac{df}{d\theta} \frac{d\theta}{dt} = f'(\theta) \dot{\theta}\). Par exemple, \(\frac{d}{dt}(\sin\theta) = \dot{\theta}\cos\theta\).

Remarque Pédagogique

Le calcul de la vitesse de \(m_2\) est la partie délicate. N'oubliez pas que \(\theta_1\) et \(\theta_2\) sont toutes deux des fonctions du temps ! Chaque terme doit être dérivé. Soyez très attentif lors du développement du carré \((\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2)\), c'est une source d'erreur fréquente.

Normes

N/A. Les définitions de l'énergie cinétique et les règles de dérivation sont des fondements de la physique et des mathématiques.

Formule(s)

Formule de l'énergie cinétique

T = T_1 + T_2 = \frac{1}{2} m_1 (\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2) + \frac{1}{2} m_2 (\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2)

Hypothèses

Nous travaillons dans le cadre de la mécanique classique non-relativiste, où les formules de l'énergie cinétique sont valides.

Donnée(s)

Paramètre	Description
\(x_1, y_1, x_2, y_2\)	Coordonnées cartésiennes (résultat de Q1)
\(m_1, m_2\)	Masses des pendules

Astuces

Lors du calcul de \(\dot{x}^2+\dot{y}^2\), regroupez les termes en \(\cos^2\) et \(\sin^2\) pour utiliser l'identité trigonométrique fondamentale \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\). Cela simplifiera énormément vos expressions.

Schéma (Avant les calculs)

Vecteurs Vitesse

Calcul(s)

Calcul de \(T_1\)

\begin{aligned} T_1 &= \frac{1}{2} m_1 (\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2) \\ &= \frac{1}{2} m_1 ((L_1 \dot{\theta}_1 \cos\theta_1)^2 + (L_1 \dot{\theta}_1 \sin\theta_1)^2) \\ &= \frac{1}{2} m_1 L_1^2 \dot{\theta}_1^2 (\cos^2\theta_1 + \sin^2\theta_1) \\ &= \frac{1}{2} m_1 L_1^2 \dot{\theta}_1^2 \end{aligned}

Calcul de \(v_2^2\)

\begin{aligned} v_2^2 &= (L_1 \dot{\theta}_1 \cos\theta_1 + L_2 \dot{\theta}_2 \cos\theta_2)^2 + (L_1 \dot{\theta}_1 \sin\theta_1 + L_2 \dot{\theta}_2 \sin\theta_2)^2 \\ &= L_1^2\dot{\theta}_1^2\cos^2\theta_1 + L_2^2\dot{\theta}_2^2\cos^2\theta_2 + 2L_1L_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos\theta_1\cos\theta_2 \\ & \quad + L_1^2\dot{\theta}_1^2\sin^2\theta_1 + L_2^2\dot{\theta}_2^2\sin^2\theta_2 + 2L_1L_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin\theta_1\sin\theta_2 \\ &= L_1^2\dot{\theta}_1^2(\cos^2\theta_1+\sin^2\theta_1) + L_2^2\dot{\theta}_2^2(\cos^2\theta_2+\sin^2\theta_2) \\ & \quad + 2L_1L_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2(\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2) \\ &= L_1^2\dot{\theta}_1^2 + L_2^2\dot{\theta}_2^2 + 2L_1L_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1 - \theta_2) \end{aligned}

Calcul de \(T_2\)

T_2 = \frac{1}{2} m_2 [L_1^2\dot{\theta}_1^2 + L_2^2\dot{\theta}_2^2 + 2L_1L_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1 - \theta_2)]

Schéma (Après les calculs)

Évolution Conceptuelle des Énergies

Réflexions

L'expression finale de \(T\) contient un terme en \(\dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)\). Ce "terme de couplage" est crucial : il montre que l'énergie cinétique du système ne se résume pas à la somme des énergies de deux pendules simples. Le mouvement de l'un influence directement l'énergie de l'autre.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier la règle de dérivation en chaîne. La dérivée de \(\cos(\theta_1)\) est \(-\dot{\theta}_1\sin(\theta_1)\), pas seulement \(-\sin(\theta_1)\). C'est l'erreur la plus commune.

Points à retenir

L'énergie cinétique d'un système de corps connectés n'est pas simplement la somme des énergies cinétiques individuelles qu'ils auraient s'ils étaient seuls. Les termes de couplage sont fondamentaux.

Le saviez-vous ?

Le terme d'énergie cinétique peut être vu comme une "métrique" dans l'espace de configuration du système. Pour le pendule double, cet espace est une surface appelée un tore, et la métrique n'est pas plate, ce qui explique la complexité du mouvement.

FAQ

D'où vient le terme \(\cos(\theta_1 - \theta_2)\) ?

Il provient du produit scalaire des vecteurs vitesse. En développant \((\vec{v}_1 + \vec{v}_{2/1})^2\), on obtient \(v_1^2 + v_{2/1}^2 + 2\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_{2/1}\). Le produit scalaire fait apparaître le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs vitesse, qui est \(\theta_1 - \theta_2\).

Résultat Final

\(T = \frac{1}{2} (m_1+m_2) L_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 L_2^2 \dot{\theta}_2^2 + m_2 L_1 L_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)\).

A vous de jouer

Que devient l'énergie cinétique si les deux tiges sont alignées et tournent à la même vitesse angulaire (\(\theta_1 = \theta_2\), \(\dot{\theta}_1 = \dot{\theta}_2 = \omega\)) ?

Question 3 : Calculer l'énergie potentielle totale

Principe

L'énergie potentielle de pesanteur dépend de l'altitude de chaque masse. Le concept physique est que le champ de gravité terrestre peut "stocker" de l'énergie dans le système, qui peut ensuite être convertie en énergie cinétique.

Mini-Cours

L'énergie potentielle de pesanteur d'une masse \(m\) à une altitude \(h\) par rapport à une référence est \(U = mgh\). Dans notre cas, nous avons choisi la référence au pivot, et l'axe \(y\) est orienté vers le bas. L'altitude est donc \(-y\). La formule devient \(U = mg(-y) = -mgy\). L'énergie potentielle totale est la somme des énergies de chaque masse : \(U = U_1 + U_2\).

Remarque Pédagogique

Le choix du niveau de référence pour l'énergie potentielle (où \(U=0\)) est arbitraire. Nous aurions pu le choisir au point le plus bas possible, par exemple. Cependant, choisir le pivot simplifie les expressions car la position \(y\) est directement liée à la longueur de la tige.

Normes

N/A. La formule de l'énergie potentielle de pesanteur est un résultat fondamental de la mécanique Newtonienne.

Formule(s)

Formule de l'énergie potentielle

\[ U = U_1 + U_2 = m_1 g y_1 + m_2 g y_2 \]

Hypothèses

Nous supposons que le champ de gravité \(g\) est uniforme et constant sur toute la hauteur du mouvement du pendule.

Donnée(s)

Paramètre	Description
\(y_1, y_2\)	Coordonnées verticales (résultat de Q1)
\(m_1, m_2, g\)	Masses et accélération de la pesanteur

Astuces

Factorisez les termes communs après avoir additionné \(U_1\) et \(U_2\). Vous verrez que le terme en \((m_1+m_2)\) apparaît naturellement, ce qui a un sens physique : la première tige supporte le poids des deux masses.

Schéma (Avant les calculs)

Coordonnées Verticales pour l'Énergie Potentielle

Calcul(s)

Calcul de \(U\)

\begin{aligned} U &= m_1 g y_1 + m_2 g y_2 \\ &= m_1 g (-L_1 \cos\theta_1) + m_2 g (-L_1 \cos\theta_1 - L_2 \cos\theta_2) \\ &= -m_1 g L_1 \cos\theta_1 - m_2 g L_1 \cos\theta_1 - m_2 g L_2 \cos\theta_2 \\ &= -(m_1+m_2) g L_1 \cos(\theta_1) - m_2 g L_2 \cos(\theta_2) \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Surface d'Énergie Potentielle (Concept)

Réflexions

L'énergie potentielle dépend uniquement de la configuration (les angles), pas des vitesses. Elle représente l'énergie "stockée". Le système cherchera naturellement à minimiser cette énergie, c'est-à-dire à atteindre la position \((\theta_1=0, \theta_2=0)\).

Points de vigilance

Le principal point de vigilance est de ne pas oublier le signe négatif de \(y_1\) et \(y_2\) qui provient de notre choix de repère. Une erreur ici changerait complètement la dynamique du système.

Points à retenir

L'énergie potentielle est additive. L'énergie totale est la somme des énergies de chaque composant du système.

Le saviez-vous ?

Le concept d'énergie potentielle a été introduit par le mathématicien et ingénieur écossais William Rankine au 19ème siècle. Il est au cœur de la thermodynamique et de la mécanique.

FAQ

Que se passerait-il si on choisissait \(U=0\) au point le plus bas ?

Les expressions de \(U_1\) et \(U_2\) seraient différentes (elles contiendraient une constante additive, ex: \(U_1=m_1g(L_1 - L_1\cos\theta_1)\)). Cependant, le Lagrangien ne changerait que par une constante, et comme les équations du mouvement ne dépendent que des dérivées du Lagrangien, les équations finales du mouvement seraient identiques. La physique est indépendante du choix de la référence.

Résultat Final

\(U = -(m_1+m_2) g L_1 \cos(\theta_1) - m_2 g L_2 \cos(\theta_2)\).

A vous de jouer

Quelle est la valeur maximale de l'énergie potentielle du système, et pour quels angles est-elle atteinte ?

Question 4 : Construire le Lagrangien

Principe

Le Lagrangien est une fonction centrale en mécanique analytique. Il encapsule toute la dynamique d'un système dans une seule et unique fonction scalaire. Le principe est de combiner les deux formes d'énergie, cinétique (mouvement) et potentielle (configuration), en une seule expression.

Mini-Cours

Le Lagrangien \(\mathcal{L}\) est défini par \(\mathcal{L} = T - U\). Ce n'est pas l'énergie totale (qui est \(H = T+U\)). La raison de cette soustraction est profonde et liée au "principe de moindre action", qui stipule qu'un système évolue d'une configuration à une autre en minimisant une quantité appelée "action", qui est l'intégrale du Lagrangien par rapport au temps.

Remarque Pédagogique

Cette étape est purement algébrique. Il s'agit de prendre les résultats des questions 2 et 3 et de les soustraire. L'unique difficulté est de ne pas faire d'erreur de signe. Rappelez-vous que vous calculez \(T - U\), et que \(U\) est déjà négatif.

Normes

N/A. La construction du Lagrangien est une procédure mathématique standard en physique théorique.

Formule(s)

Définition du Lagrangien

\mathcal{L} = T - U

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour les calculs de T et U : système conservatif (pas de frottement), masses ponctuelles, tiges rigides, etc.

Donnée(s)

Paramètre	Description
\(T\)	Énergie cinétique totale (résultat de Q2)
\(U\)	Énergie potentielle totale (résultat de Q3)

Astuces

Écrivez clairement \(T\) et \(U\) l'un en dessous de l'autre avant de faire la soustraction pour éviter les erreurs. Le signe "moins" devant \(U\) transformera les deux termes négatifs de l'énergie potentielle en termes positifs dans le Lagrangien.

Schéma (Avant les calculs)

Construction du Lagrangien

Calcul(s)

Calcul de \(\mathcal{L}\)

\mathcal{L} = \left( \frac{1}{2} (m_1+m_2) L_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 L_2^2 \dot{\theta}_2^2 + m_2 L_1 L_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) \right) - \left( -(m_1+m_2) g L_1 \cos(\theta_1) - m_2 g L_2 \cos(\theta_2) \right)

Schéma (Après les calculs)

Paysage Lagrangien et Trajectoire du Système

Réflexions

Nous avons maintenant une fonction unique, \(\mathcal{L}(\theta_1, \theta_2, \dot{\theta}_1, \dot{\theta}_2)\), qui contient toute l'information sur la dynamique du système. C'est un accomplissement majeur. À partir de cette seule fonction, nous allons pouvoir dériver toutes les équations du mouvement, sans jamais parler de forces, de tensions ou de réactions.

Points de vigilance

L'erreur classique est \(T+U\). Le Lagrangien est bien \(T-U\). Une autre erreur est d'oublier une parenthèse lors de la soustraction de \(U\), ce qui mène à une erreur de signe sur le deuxième terme.

Points à retenir

Le Lagrangien est la clé de la mécanique analytique. C'est une fonction des positions et des vitesses généralisées. Pour un système conservatif, c'est toujours \(\mathcal{L}=T-U\).

Le saviez-vous ?

Le formalisme Lagrangien, développé par Joseph-Louis Lagrange, a été fondamental dans le développement de la physique moderne. Il s'étend naturellement à la théorie de la relativité et à la théorie quantique des champs, où le "Lagrangien de champ" est l'objet de base.

FAQ

Pourquoi \(T-U\) et pas \(T+U\) ?

Cela vient du Principe de Hamilton (ou principe de moindre action). On peut montrer mathématiquement que la trajectoire réellement suivie par un système est celle qui extrémise l'intégrale de \(T-U\) au cours du temps. Utiliser \(T+U\) ne donnerait pas les bonnes équations du mouvement.

Résultat Final

\(\mathcal{L} = \frac{1}{2} (m_1+m_2) L_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 L_2^2 \dot{\theta}_2^2 + m_2 L_1 L_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) + (m_1+m_2) g L_1 \cos(\theta_1) + m_2 g L_2 \cos(\theta_2)\).

A vous de jouer

Quel serait le Lagrangien pour un seul pendule simple (i.e., \(m_2=0\)) ?

Question 5 : Établir les équations d'Euler-Lagrange

Principe

C'est l'aboutissement de notre démarche. Les équations d'Euler-Lagrange sont la "machine" qui prend le Lagrangien en entrée et qui fournit les équations différentielles du mouvement en sortie. Elles expriment le principe de moindre action sous une forme différentielle.

Mini-Cours

Pour chaque coordonnée généralisée \(q_i\), l'équation est \(\frac{d}{dt} ( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} ) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0\). Il faut donc : 1) Calculer la dérivée partielle de \(\mathcal{L}\) par rapport à la vitesse \(\dot{q}_i\). 2) Dériver le résultat par rapport au temps. 3) Calculer la dérivée partielle de \(\mathcal{L}\) par rapport à la position \(q_i\). 4) Soustraire le résultat de (3) à celui de (2) et égaler à zéro.

Remarque Pédagogique

Ce sont les calculs les plus longs et techniques de l'exercice. Procédez avec méthode et sans précipitation. Traitez d'abord entièrement la coordonnée \(\theta_1\), puis faites de même pour \(\theta_2\). La dérivée par rapport au temps à l'étape (2) est celle qui demande le plus d'attention car elle implique de dériver des produits et des fonctions composées.

Normes

N/A. C'est une procédure mathématique.

Formule(s)

Équation pour \(\theta_1\)

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}_1} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_1} = 0

Équation pour \(\theta_2\)

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}_2} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_2} = 0

Hypothèses

Les hypothèses sont celles du formalisme Lagrangien : les coordonnées généralisées sont de "bonnes" coordonnées qui décrivent entièrement le système.

Donnée(s)

Paramètre	Description
\(\mathcal{L}\)	Lagrangien du système (résultat de Q4)

Astuces

Lors du calcul de \(\frac{d}{dt} ( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} )\), utilisez la règle de dérivation du produit \((uv)' = u'v + uv'\) avec soin. Par exemple, pour dériver \(\dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)\), il faut dériver \(\dot{\theta}_2\) (ce qui donne \(\ddot{\theta}_2\)) et aussi le cosinus (ce qui donne \(-(\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2)\sin(\theta_1-\theta_2)\)).

Schéma (Avant les calculs)

Processus d'Euler-Lagrange

Calcul(s)

Calculs pour \(\theta_1\)

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}_1} = (m_1+m_2) L_1^2 \dot{\theta}_1 + m_2 L_1 L_2 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_1} = -m_2 L_1 L_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \sin(\theta_1 - \theta_2) - (m_1+m_2) g L_1 \sin(\theta_1)

Calculs pour \(\theta_2\)

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}_2} = m_2 L_2^2 \dot{\theta}_2 + m_2 L_1 L_2 \dot{\theta}_1 \cos(\theta_1 - \theta_2)

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_2} = m_2 L_1 L_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \sin(\theta_1 - \theta_2) - m_2 g L_2 \sin(\theta_2)

Schéma (Après les calculs)

Trajectoire Chaotique dans l'Espace des Phases

Réflexions

Nous avons obtenu deux équations différentielles du second ordre, non-linéaires et couplées. "Couplées" signifie que \(\ddot{\theta}_1\) apparaît dans l'équation de \(\theta_2\) et vice-versa. "Non-linéaires" à cause des termes en \(\sin\), \(\cos\), et des carrés des vitesses. C'est cette non-linéarité qui est la source du comportement chaotique.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur est la dérivée temporelle de \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\). Il faut bien appliquer la règle de dérivation en chaîne à tous les termes qui dépendent du temps (c'est-à-dire tous les \(\theta_i\) et \(\dot{\theta}_i\)).

Points à retenir

Le formalisme Lagrangien transforme un problème de forces (difficile à cause des tensions inconnues) en un problème de calcul de dérivées (systématique). Le résultat est un ensemble d'équations qui décrivent complètement la dynamique.

Le saviez-vous ?

Même si ces équations sont connues depuis plus de 150 ans, il a fallu attendre l'avènement des ordinateurs dans les années 1960 pour pouvoir les simuler numériquement et visualiser la richesse et la complexité de leur comportement chaotique.

FAQ

Peut-on résoudre ces équations à la main ?

Non, il n'existe pas de solution analytique générale (une formule pour \(\theta_1(t)\) et \(\theta_2(t)\)). On ne peut les résoudre que pour de très petites oscillations (où on peut approximer \(\sin\theta \approx \theta\)), ou alors numériquement avec un ordinateur.

Résultat Final

Les équations du mouvement sont :
\((m_1+m_2)L_1\ddot{\theta}_1 + m_2L_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) + m_2L_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2) + (m_1+m_2)g\sin(\theta_1) = 0\)
\(m_2L_2\ddot{\theta}_2 + m_2L_1\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2) - m_2L_1\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2) + m_2g\sin(\theta_2) = 0\)

A vous de jouer

Simplifiez la deuxième équation du mouvement dans le cas où la première masse est très lourde par rapport à la seconde (\(m_1 \gg m_2\)) et reste quasi-immobile (\(\theta_1 \approx 0, \dot{\theta}_1 \approx 0, \ddot{\theta}_1 \approx 0\)). À quelle équation connue cela ressemble-t-il ?

Outil Interactif : Simulateur (Concept)

Un vrai simulateur numérique du pendule double nécessite de résoudre numériquement les équations différentielles couplées (par ex. avec la méthode de Runge-Kutta), ce qui est complexe à implémenter ici. Ce qui suit est une illustration conceptuelle des paramètres que l'on pourrait faire varier.

Paramètres d'Entrée

Masse 1 (\(m_1\)) (kg) 5 kg

Masse 2 (\(m_2\)) (kg) 5 kg

Résultats Clés (Conceptuels)

Énergie Totale (J) -

Type de Mouvement -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le Lagrangien d'un système ?

L'énergie cinétique plus l'énergie potentielle (\(T+U\))
L'énergie cinétique moins l'énergie potentielle (\(T-U\))
L'énergie totale du système

2. Combien de degrés de liberté possède le pendule double plan ?

3. Le mouvement du pendule double est souvent...

Chaotique et sensible aux conditions initiales
Toujours simple et périodique
Linéaire et facilement prédictible

Coordonnées Généralisées: Un ensemble minimal de variables indépendantes qui décrivent complètement la configuration d'un système mécanique.
Chaos Déterministe: Un comportement qui, bien que régi par des équations déterministes, est extrêmement sensible aux conditions initiales, le rendant imprévisible à long terme.
Espace des Phases: Un espace abstrait où chaque point représente un état unique du système. Ses axes sont les coordonnées généralisées et leurs moments conjugués.