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Problème de Physique Avancé : Oscillations d'un Pendule Double
NIVEAU : Avancé DOMAINE : Mécanique Classique THÈME : Étude Vibratoire

Oscillations d’un Pendule Double

[Pendule Double / Système Couplé]
1. Présentation du Système PhysiqueÉNONCÉ DU PROBLÈME
📝 Contexte de l'Étude

Cahier des charges : Étude vibratoire d'un bras manipulateur articulé

Le département d'ingénierie mécanique évalue un nouveau prototype de bras robotique passif. Ce système complexe peut être fidèlement modélisé par un pendule double.

Ses caractéristiques principales sont les suivantes :

  • ⚙️ Structure : Deux tiges rigides de masses considérées comme négligeables.
  • 🔗 Articulations : Liaisons pivots parfaites (sans frottement) reliant deux masses ponctuelles.
  • 🌍 Environnement : Le système évolue sous la seule action du champ de pesanteur terrestre.

🛡️ Sécurité et Limites de l'Étude
Pour garantir l'intégrité de la structure porteuse, l'amplitude des mouvements doit impérativement rester confinée. Nous nous placerons donc exclusivement dans le cadre strict de l'approximation des petites oscillations.

⚠️ Contrainte Industrielle (Bureau d'Études "Structures")
Dans la réalité industrielle, une machine n'est jamais isolée. La note technique d'implantation stipule les points suivants :

  • Le portique métallique qui soutient ce bras possède une fréquence de résonance propre mesurée à \( f_{\text{portique}} = 1,15 \text{ Hz} \).
  • La norme de sécurité exige qu'aucune fréquence propre du bras ne s'approche de cette valeur (voir tableau normatif).
  • Risque : En cas de non-respect, un phénomène de couplage vibratoire destructif s'amorcera.
🎯
Objectif Analytique de la Mission :
  1. Établir le modèle dynamique complet du pendule double.
  2. Déterminer ses pulsations propres et ses fréquences de résonance.
  3. Auditer l'installation et formuler une conclusion d'ingénierie basée sur la norme de sécurité.
📐 SCHÉMA DU DISPOSITIF
PORTIQUE ACIER O x y θ1 θ2 L1 L2 m1 m2 g
📍 Légende 1 : Masse supérieure \( m_1 \) suspendue au point d'ancrage \( O \) par une tige de longueur \( L_1 \), repérée par l'angle \( \theta_1 \) par rapport à la verticale.
📍 Légende 2 : Masse inférieure \( m_2 \) suspendue à la première masse par une tige de longueur \( L_2 \), repérée par l'angle \( \theta_2 \).
📌
Hypothèse Simplificatrice :

Nous négligeons intégralement les frottements fluides (résistance de l'air) ainsi que les frottements solides au niveau des deux liaisons pivots. L'énergie mécanique totale du système est donc considérée comme conservative.

2. Données Physiques & Constantes Fondamentales

Pour modéliser la dynamique de ce bras articulé, nous regroupons ci-dessous les caractéristiques d'inertie, la géométrie et les normes de l'environnement d'implantation.

📚 Lois et Cadre Théorique de Référence
Mécanique analytique (Formalisme de Lagrange) Développement limité : \( \sin(\theta) \approx \theta \) et \( \cos(\theta) \approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \)
📋 Extrait de la Norme Industrielle (ISO-VIB-04) - Critères de Sécurité

La marge d'évitement de résonance se calcule selon le ratio d'écart relatif avec la fréquence propre du portique.

Catégorie de la Structure Porteuse Type de Sollicitation Marge d'Évitement Minimale
Dalle en béton armé (massive) Statique / Faible dynamique > 5 %
Portique métallique articulé Dynamique (bras manipulateur) > 10 %
Structure aérospatiale allégée Vibrations hautes fréquences > 15 %

Lecture de la norme : Si une fréquence propre du mécanisme s'approche à moins de la marge indiquée de la fréquence du support, l'installation est déclarée Non Conforme.

📐
Paramètres du Modèle
⚛️ CARACTÉRISTIQUES DU SYSTÈME
  • 📍
    Segment Supérieur
    • Masse : \( m_1 = \mathbf{2,0} \text{ kg} \)
    • Longueur : \( L_1 = \mathbf{0,50} \text{ m} \)
  • 📍
    Segment Inférieur
    • Masse : \( m_2 = \mathbf{1,0} \text{ kg} \)
    • Longueur : \( L_2 = \mathbf{0,50} \text{ m} \)
⏱️ CONDITIONS INITIALES & CONSTANTES
  • 🌍
    Environnement & Normes
    • Pesanteur : \( g = \mathbf{9,81} \text{ m.s}^{-2} \)
    • Support : \( f_{\text{portique}} = \mathbf{1,15} \text{ Hz} \)
  • 🚀
    Lancement (à t=0, sans vitesse)
    • Angle initial bras 1 : \( \theta_1(0) = \mathbf{0,10} \text{ rad} \)
    • Angle initial bras 2 : \( \theta_2(0) = \mathbf{-0,05} \text{ rad} \)

3. Stratégie de Résolution & Travail Demandé

Afin de déterminer les modes de résonance du bras, nous allons construire son modèle dynamique pas-à-pas, puis extraire ses fréquences naturelles de vibration.

1

Question 1 : Modélisation Énergétique

  • Déterminer l'expression de l'énergie cinétique totale \( T \) et de l'énergie potentielle \( V \) du système.
  • Indication : Exprimez-les en fonction des angles \( \theta_1, \theta_2 \) et de leurs dérivées temporelles \( \dot{\theta}_1, \dot{\theta}_2 \).
  • En déduire le lagrangien \( \mathcal{L} \) du pendule double.
2

Question 2 : Équations Différentielles du Mouvement

  • Appliquer les équations de Lagrange pour obtenir les équations couplées du mouvement.
  • Linéariser ensuite ces équations en appliquant l'approximation des petites oscillations.
  • Mettre le système sous la forme matricielle approchée : \( [M] \cdot \ddot{\Theta} + [K] \cdot \Theta = 0 \).
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Question 3 : Calcul des Pulsations Propres et Audit Normatif

  • Résoudre l'équation caractéristique \( \det([K] - \omega^2 [M]) = 0 \).
  • Calculer analytiquement puis numériquement les deux pulsations propres \( \omega_1 \) et \( \omega_2 \) du système.
  • 👉 Travail d'ingénierie : Déduisez-en les fréquences propres en Hertz. En vous appuyant sur l'extrait de la norme ISO-VIB-04, statuez sur la viabilité de l'installation de ce bras sur le portique.
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Question 4 : Limite du Modèle et Comportement Non-Linéaire

🚨 LIMITE DU MODÈLE : L'approche matricielle précédente repose sur une linéarisation stricte autour de la position d'équilibre.

👉 Travail demandé : Si l'amplitude initiale de \( \theta_1 \) atteignait \( \frac{\pi}{2} \text{ rad} \), expliquez qualitativement pourquoi notre modèle de superposition des modes propres s'effondrerait. Quel type de dynamique apparaîtrait alors ?

CORRECTION

Oscillations d’un Pendule Double

1
Modélisation Énergétique
🎯 Objectif Mathématique & Physique

Dans le cadre de l'audit de ce bras manipulateur, nous devons impérativement formuler le bilan énergétique complet du mécanisme. Le calcul de la fonction de Lagrange (le Lagrangien) est une étape incontournable. Il nous permettra ensuite d'automatiser l'extraction des équations du mouvement sans avoir à évaluer les forces de réaction internes au niveau des articulations.

🧠 Analyse Préliminaire (Note de l'Expert)

Le bras robotique évolue dans un plan vertical en 2D. Il possède deux degrés de liberté de rotation. La configuration spatiale du système est donc parfaitement décrite par le vecteur d'état des coordonnées généralisées : \( \Theta = [\theta_{1}, \theta_{2}]^{T} \). L'axe \( y \) du repère de référence cartésien est orienté vers le bas (dans le sens du vecteur gravité) pour faciliter l'expression du potentiel.

Loi Fondamentale / Postulat : Formalisme de Lagrange

Le lagrangien d'un système mécanique conservatif (sans frottement) se définit comme la différence exacte entre l'énergie cinétique totale du système et son énergie potentielle totale.

📐 Équations de Base

Pour définir le bilan énergétique global, nous sommons séparément les énergies des deux segments du bras robotique.

Énergie Cinétique Totale :
\[ \begin{aligned} T_{\text{totale}} &= T_{1} + T_{2} \end{aligned} \]
  • \( T_{\text{totale}} \) : Énergie cinétique totale du bras manipulateur (en Joules, \( \text{J} \)).
  • \( T_{1} \) : Énergie cinétique liée au mouvement exclusif du segment supérieur.
  • \( T_{2} \) : Énergie cinétique liée au mouvement du segment inférieur.
Énergie Potentielle Totale :
\[ \begin{aligned} V_{\text{totale}} &= V_{1} + V_{2} \end{aligned} \]
  • \( V_{\text{totale}} \) : Énergie potentielle de pesanteur globale du système (en Joules, \( \text{J} \)).
  • \( V_{1} \) : Énergie potentielle du segment supérieur.
  • \( V_{2} \) : Énergie potentielle du segment inférieur.
Lagrangien du Système :
\[ \begin{aligned} \mathcal{L} &= T_{\text{totale}} - V_{\text{totale}} \end{aligned} \]
  • \( \mathcal{L} \) : Fonction de Lagrange du système (en Joules, \( \text{J} \)).
Traçabilité des Données / Hypothèses

Afin de garantir la robustesse de notre modélisation, voici l'origine de l'ensemble des paramètres d'entrée :

  • ⚖️ Masses : \( m_{1} = 2,0 \text{ kg} \) et \( m_{2} = 1,0 \text{ kg} \). Source : Section 2 de l'énoncé.
  • 📏 Longueurs : \( L_{1} = 0,50 \text{ m} \) et \( L_{2} = 0,50 \text{ m} \). Source : Section 2 de l'énoncé.
  • 🌍 Gravité : \( g = 9,81 \text{ m.s}^{-2} \). Source : Section 2 de l'énoncé.
Astuce Mathématique / Méthodologique

Pour éviter les redoutables erreurs de projection liées aux repères mobiles tournants, la méthode la plus sûre en ingénierie consiste à toujours revenir au repère cartésien fixe \( (O, x, y) \). Nous allons exprimer la position de chaque masse en \( x \) et \( y \), puis dériver ces expressions par rapport au temps pour obtenir la vitesse.

Développement Analytique
Segment Supérieur Vecteur Position de la Masse Supérieure

Pour calculer l'énergie du premier segment, nous localisons son centre d'inertie \( m_{1} \) par rapport au point d'ancrage \( O \).

\[ \begin{aligned} x_{1} &= L_{1} \sin(\theta_{1}) \\ y_{1} &= L_{1} \cos(\theta_{1}) \end{aligned} \]
  • \( x_{1}, y_{1} \) : Coordonnées cartésiennes absolues de la masse 1 (en mètres, \( \text{m} \)).
  • \( L_{1} \) : Rayon de la trajectoire circulaire, correspondant à la longueur de la tige.
  • \( \theta_{1} \) : Angle d'écart par rapport à l'axe vertical de repos (en radians, \( \text{rad} \)).
Composantes de la Vitesse de la Masse Supérieure

Nous dérivons le vecteur position par rapport au temps pour obtenir la vitesse.

\[ \begin{aligned} \dot{x}_{1} &= L_{1} \dot{\theta}_{1} \cos(\theta_{1}) \\ \dot{y}_{1} &= - L_{1} \dot{\theta}_{1} \sin(\theta_{1}) \end{aligned} \]
  • \( \dot{x}_{1}, \dot{y}_{1} \) : Composantes du vecteur vitesse (en \( \text{m.s}^{-1} \)).
  • \( \dot{\theta}_{1} \) : Vitesse angulaire de rotation du segment (en \( \text{rad.s}^{-1} \)).
Énergie Cinétique du Segment Supérieur

Nous injectons nos composantes dans le théorème de l'énergie cinétique.

\[ \begin{aligned} T_{1} &= \frac{1}{2} m_{1} \left( \dot{x}_{1}^{2} + \dot{y}_{1}^{2} \right) \\ &= \frac{1}{2} m_{1} \left( L_{1}^{2} \dot{\theta}_{1}^{2} \cos^{2}(\theta_{1}) + L_{1}^{2} \dot{\theta}_{1}^{2} \sin^{2}(\theta_{1}) \right) \\ &= \frac{1}{2} m_{1} L_{1}^{2} \dot{\theta}_{1}^{2} \end{aligned} \]
Énergie Potentielle du Segment Supérieur

Nous multiplions la masse par l'accélération de la gravité et par la profondeur dans le repère.

\[ \begin{aligned} V_{1} &= - m_{1} g y_{1} \\ &= - m_{1} g L_{1} \cos(\theta_{1}) \end{aligned} \]
Segment Inférieur Vecteur Position de la Masse Inférieure

Le second bras est accroché à l'extrémité du premier bras. Ses coordonnées absolues sont la somme vectorielle des deux segments.

\[ \begin{aligned} x_{2} &= x_{1} + L_{2} \sin(\theta_{2}) = L_{1} \sin(\theta_{1}) + L_{2} \sin(\theta_{2}) \\ y_{2} &= y_{1} + L_{2} \cos(\theta_{2}) = L_{1} \cos(\theta_{1}) + L_{2} \cos(\theta_{2}) \end{aligned} \]
Composantes de la Vitesse de la Masse Inférieure

Nous dérivons minutieusement ces coordonnées par rapport au temps.

\[ \begin{aligned} \dot{x}_{2} &= L_{1} \dot{\theta}_{1} \cos(\theta_{1}) + L_{2} \dot{\theta}_{2} \cos(\theta_{2}) \\ \dot{y}_{2} &= - L_{1} \dot{\theta}_{1} \sin(\theta_{1}) - L_{2} \dot{\theta}_{2} \sin(\theta_{2}) \end{aligned} \]
Carré de la Vitesse Globale de la Masse Inférieure

Le développement de ces identités génère l'apparition d'un double produit croisé.

\[ \begin{aligned} v_{2}^{2} &= \dot{x}_{2}^{2} + \dot{y}_{2}^{2} \\ &= L_{1}^{2} \dot{\theta}_{1}^{2} + L_{2}^{2} \dot{\theta}_{2}^{2} + 2 L_{1} L_{2} \dot{\theta}_{1} \dot{\theta}_{2} \left( \cos(\theta_{1}) \cos(\theta_{2}) + \sin(\theta_{1}) \sin(\theta_{2}) \right) \\ &= L_{1}^{2} \dot{\theta}_{1}^{2} + L_{2}^{2} \dot{\theta}_{2}^{2} + 2 L_{1} L_{2} \dot{\theta}_{1} \dot{\theta}_{2} \cos(\theta_{1} - \theta_{2}) \end{aligned} \]
Énergie Cinétique du Segment Inférieur
\[ \begin{aligned} T_{2} &= \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} \\ &= \frac{1}{2} m_{2} \left( L_{1}^{2} \dot{\theta}_{1}^{2} + L_{2}^{2} \dot{\theta}_{2}^{2} + 2 L_{1} L_{2} \dot{\theta}_{1} \dot{\theta}_{2} \cos(\theta_{1} - \theta_{2}) \right) \end{aligned} \]
Énergie Potentielle du Segment Inférieur
\[ \begin{aligned} V_{2} &= - m_{2} g y_{2} \\ &= - m_{2} g \left( L_{1} \cos(\theta_{1}) + L_{2} \cos(\theta_{2}) \right) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \textbf{Bilan Étape 1 : } \mathcal{L} &= \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) L_{1}^{2} \dot{\theta}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} L_{2}^{2} \dot{\theta}_{2}^{2} + m_{2} L_{1} L_{2} \dot{\theta}_{1} \dot{\theta}_{2} \cos(\theta_{1} - \theta_{2}) \\ &\quad + (m_{1} + m_{2}) g L_{1} \cos(\theta_{1}) + m_{2} g L_{2} \cos(\theta_{2}) \end{aligned} \]
Analyse Dimensionnelle / Sens Physique

La présence du terme couplé \( \dot{\theta}_{1} \dot{\theta}_{2} \cos(\theta_{1} - \theta_{2}) \) dans l'énergie cinétique confirme que la matrice de masse du système ne sera pas diagonale. Ce couplage inertiel démontre qu'une accélération brutale du premier segment va générer une force d'inertie d'entraînement sur le second segment.

Piège Classique

Attention aux erreurs de signe ! La formule est \( \mathcal{L} = T - V \). Puisque nos potentiels \( V_{1} \) et \( V_{2} \) étaient déjà négatifs (axe vertical vers le bas), la soustraction \( - (- mgh) \) engendre l'apparition de termes strictement positifs \( + mgh \).

❓ Question Fréquente

Pourquoi utiliser Lagrange plutôt que le théorème du moment cinétique ?
Le formalisme de Newton-Euler nécessite le calcul des forces de liaison articulaires (réactions internes aux pivots). Or, ces forces ne produisent aucun travail. Le formalisme énergétique de Lagrange permet de contourner totalement le calcul des efforts internes.

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Équations Différentielles du Mouvement
🎯 Objectif Mathématique & Physique

L'objectif de cette note de calcul est d'extraire les équations différentielles du mouvement à partir du Lagrangien. Ces équations étant non-linéaires, nous les linéariserons autour de la position d'équilibre vertical pour les formater sous la forme matricielle modale \( [M]\ddot{\Theta} + [K]\Theta = 0 \).

🧠 Analyse Préliminaire (Note de l'Expert)

Le mécanisme possède deux degrés de liberté. Nous devons donc résoudre le système de Lagrange deux fois de manière séquentielle (une fois pour chaque articulation). La clé consiste à traiter séparément la force d'inertie (dérivées liées à la vitesse) et la force de rappel (dérivée liée à la position).

Loi Fondamentale : Les Équations de Lagrange

Les équations du mouvement sont obtenues en appliquant l'opérateur différentiel d'Euler-Lagrange à notre fonction scalaire \( \mathcal{L} \).

📐 Équations de Base

Voici l'opérateur que nous allons appliquer à chaque coordonnée généralisée \( \theta_{i} \) (où \( i \in \{1, 2\} \)).

Opérateur de Lagrange :
\[ \begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}_{i}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_{i}} &= 0 \end{aligned} \]
Traçabilité des Données d'Entrée

Afin de valider la linéarisation à venir, nous rappelons les données du cahier des charges :

  • Amplitude initiale \( \theta_{1}(0) \) : \( 0,10 \text{ rad} \). Transparence : Ce n'est pas \( 0,10^\circ \), mais bien \( 0,10 \text{ rad} \), soit environ \( 5,73^\circ \).
  • Amplitude initiale \( \theta_{2}(0) \) : \( -0,05 \text{ rad} \). Correspond à environ \( -2,86^\circ \).

Ces amplitudes sont suffisamment petites pour autoriser les approximations du premier ordre.

Astuce Mathématique / Linéarisation

Pour simplifier les équations, nous appliquons l'hypothèse des petites oscillations :

  • \( \sin(\theta) \approx \theta \)
  • \( \cos(\theta) \approx 1 \)
  • Les produits de termes dynamiques (\( \dot{\theta}^{2} \) ou \( \theta \cdot \dot{\theta} \)) deviennent de l'ordre 2 (\( \approx 0 \)) et s'annulent.
Développement Analytique : Articulation Supérieure
Étape 1 : Dérivation (Vitesse)
\[ \begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}_{1}} &= (m_{1} + m_{2}) L_{1}^{2} \dot{\theta}_{1} + m_{2} L_{1} L_{2} \dot{\theta}_{2} \cos(\theta_{1} - \theta_{2}) \end{aligned} \]
Étape 2 : Dérivation Temporelle
\[ \begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}_{1}} \right) &= (m_{1} + m_{2}) L_{1}^{2} \ddot{\theta}_{1} + m_{2} L_{1} L_{2} \ddot{\theta}_{2} \cos(\theta_{1} - \theta_{2}) \\ &\quad - m_{2} L_{1} L_{2} \dot{\theta}_{2} (\dot{\theta}_{1} - \dot{\theta}_{2}) \sin(\theta_{1} - \theta_{2}) \end{aligned} \]
Étape 3 : Dérivation (Position)
\[ \begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_{1}} &= - m_{2} L_{1} L_{2} \dot{\theta}_{1} \dot{\theta}_{2} \sin(\theta_{1} - \theta_{2}) - (m_{1} + m_{2}) g L_{1} \sin(\theta_{1}) \end{aligned} \]
Étape 4 : Assemblage et Linéarisation

En appliquant l'équation de Lagrange et nos astuces de linéarisation (\( \cos \approx 1 \), \( \sin \approx \theta \), annulation des vitesses au carré), le système s'épure drastiquement.

\[ \begin{aligned} \text{Eq}_{1} &: (m_{1} + m_{2}) L_{1}^{2} \ddot{\theta}_{1} + m_{2} L_{1} L_{2} \ddot{\theta}_{2} + (m_{1} + m_{2}) g L_{1} \theta_{1} = 0 \end{aligned} \]
Développement Analytique : Articulation Inférieure

En appliquant le même raisonnement pas-à-pas pour le second bras, nous obtenons :

\[ \begin{aligned} \text{Eq}_{2} &: m_{2} L_{1} L_{2} \ddot{\theta}_{1} + m_{2} L_{2}^{2} \ddot{\theta}_{2} + m_{2} g L_{2} \theta_{2} = 0 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \textbf{Bilan Étape 2 : } &\begin{bmatrix} (m_{1} + m_{2}) L_{1}^{2} & m_{2} L_{1} L_{2} \\ m_{2} L_{1} L_{2} & m_{2} L_{2}^{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{\theta}_{1} \\ \ddot{\theta}_{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} (m_{1} + m_{2}) g L_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} g L_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta_{1} \\ \theta_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \]
Analyse Dimensionnelle et Transparence des Unités

Une vérification rigoureuse des unités est indispensable :

  • Matrice de Masse \( [M] \) : Kilogrammes multipliés par des mètres au carré (\( \text{kg.m}^{2} \)). C'est bien une matrice d'inertie.
  • Matrice de Rigidité \( [K] \) : En multipliant \( [K] \) par l'angle \( \Theta \) (en radians, adimensionnel), nous obtenons bien un Moment de force en Newton-Mètres (\( \text{N.m} \)).
Piège Classique de Modélisation

Observez notre matrice \( [K] \) : les termes hors diagonale sont nuls. Le couplage du pendule double est un couplage purement inertiel (lié à \( [M] \)). Statiquement, le poids du bras 1 ne crée pas de couple sur le bras 2.

❓ Question Fréquente

Pourquoi s'acharne-t-on à utiliser la forme \( [M]\ddot{\Theta} + [K]\Theta = 0 \) ?
Parce que cette architecture mathématique universelle permet de transformer un problème physique complexe en un problème trivial d'algèbre linéaire (la recherche de valeurs propres par ordinateur).

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Calcul des Pulsations Propres et Audit Normatif
🎯 Objectif Mathématique & Physique

Notre feuille de route est la suivante :

  • 1️⃣ Extraction : Calculer les pulsations propres de résonance du modèle matriciel.
  • 2️⃣ Conversion : Transformer ces valeurs théoriques en fréquences réelles.
  • 3️⃣ Audit Normatif : Croiser ces résultats avec les exigences du bureau d'études pour valider (ou interdire) l'installation.
🧠 Analyse Préliminaire (Réflexion du Bureau d'Études)

Le système matriciel issu de la Question 2 décrit un mouvement libre. Pour trouver ses modes de résonance, nous supposons que les deux bras vibrent à la même pulsation \( \omega \). La résolution de ce système homogène exige de trouver les valeurs propres de la matrice dynamique.

Théorème : Problème aux Valeurs Propres

Un système non amorti n'admet de solution non nulle (il vibre) que si, et seulement si, le déterminant de sa matrice dynamique est strictement égal à zéro.

📐 Formules Cibles L'Équation Caractéristique :
\[ \begin{aligned} \det\left( [K] - \omega^{2} [M] \right) &= 0 \end{aligned} \]
Traçabilité des Données / Constantes

Nous identifions les liens de proportionnalité directs des données CAO :

  • ⚖️ Masses : \( m_{1} = 2,0 \text{ kg} \) et \( m_{2} = 1,0 \text{ kg} \). Proportion : \( m_{1} = 2 \cdot m_{2} \).
  • 📏 Longueurs : \( L_{1} = L_{2} = L = 0,50 \text{ m} \).
Astuce Mathématique / Méthodologique

Ne remplacez jamais les variables par des chiffres trop tôt ! Injecter les rapports de proportionnalité directement dans les matrices permet de factoriser les constantes physiques en dehors de la matrice et de sécuriser le calcul du déterminant.

Développement Analytique
Étape 1 : Simplification des matrices initiales
\[ \begin{aligned} [M] &= m_{2} L^{2} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\ [K] &= m_{2} g L \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \]
Étape 2 : Construction de la Matrice Dynamique
\[ \begin{aligned} [K] - \omega^{2} [M] &= m_{2} L \begin{bmatrix} 3g - 3\omega^{2}L & -\omega^{2}L \\ -\omega^{2}L & g - \omega^{2}L \end{bmatrix} \end{aligned} \]
Étape 3 : Calcul explicite du Déterminant

Nous appliquons \( \det = (a \cdot d) - (b \cdot c) = 0 \).

\[ \begin{aligned} \left( 3g - 3\omega^{2}L \right) \cdot \left( g - \omega^{2}L \right) - \left( -\omega^{2}L \right) \cdot \left( -\omega^{2}L \right) &= 0 \\ 3g^{2} - 6gL\omega^{2} + 2\omega^{4}L^{2} &= 0 \end{aligned} \]
Étape 4 : Injection de la longueur (\( L = 0,5 \text{ m} \))

Nous remplaçons \( L \) par sa fraction (\( 1/2 \)).

\[ \begin{aligned} 2 \omega^{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} - 6 g \left(\frac{1}{2}\right) \omega^{2} + 3g^{2} &= 0 \\ \frac{1}{2} \omega^{4} - 3g \omega^{2} + 3g^{2} &= 0 \end{aligned} \]

En multipliant par 2, nous obtenons l'équation bicarrée :

\[ \begin{aligned} \omega^{4} - 6g \omega^{2} + 6g^{2} &= 0 \end{aligned} \]
Étape 5 : Résolution de l'Équation Bicarrée

Nous posons le changement de variable \( X = \omega^{2} \) et calculons le discriminant \( \Delta = 12g^{2} \). Les solutions physiques sont :

\[ \begin{aligned} \omega^{2}_{1, 2} &= \left( 3 \pm \sqrt{3} \right) g \end{aligned} \]
Calcul et Application Numérique (A.N.)

Injectons la gravité \( g = 9,81 \text{ m.s}^{-2} \) pour obtenir les pulsations théoriques :

\[ \begin{aligned} \omega_{1}^{2} &\approx 12,439 \quad \Rightarrow \quad \omega_{1} \approx \mathbf{3,527} \text{ rad.s}^{-1} \\ \omega_{2}^{2} &\approx 46,421 \quad \Rightarrow \quad \omega_{2} \approx \mathbf{6,813} \text{ rad.s}^{-1} \end{aligned} \]
Conversion Systématique en Fréquences Industrielles (\( f \))

Pour passer des "radians par seconde" aux "cycles par seconde" (Hertz), la loi exige de diviser par \( 2\pi \).

\[ \begin{aligned} f_{1} &= \frac{3,527}{2\pi} \approx \mathbf{0,561} \text{ Hz} \\ f_{2} &= \frac{6,813}{2\pi} \approx \mathbf{1,084} \text{ Hz} \end{aligned} \]
Vérification de Conformité (Audit ISO-VIB-04)

Le portique vibre à \( 1,15 \text{ Hz} \). Évaluons l'écart avec notre mode \( f_{2} \) :

\[ \begin{aligned} \text{Écart absolu } \Delta f &= |1,15 - 1,084| = 0,066 \text{ Hz} \\ \text{Marge Relative } \% &= \left( \frac{0,066}{1,15} \right) \times 100 \approx \mathbf{5,74} \text{ %} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \textbf{Bilan Étape 3 : } f_{1} &= \mathbf{0,561} \text{ Hz} \\ f_{2} &= \mathbf{1,084} \text{ Hz} \quad \text{(DANGER : Installation refusée)} \end{aligned} \]
Analyse Dimensionnelle / Sens Physique

La détection de ces deux fréquences illustre les deux modes de "danse" du pendule double :

  • 🐢 Mode Lent (\( 0,56 \text{ Hz} \)) : Mouvement en phase. Les bras se balancent ensemble.
  • 🐇 Mode Rapide (\( 1,08 \text{ Hz} \)) : Mouvement en opposition de phase. L'articulation centrale se plie et se déplie agressivement, martelant le portique.
Piège Classique d'Application Numérique

Règle d'or : On ne compare jamais des radians/seconde avec des Hertz. Comparer \( \omega_2 = 6,81 \) avec \( 1,15 \text{ Hz} \) aurait conduit à valider à tort une machine dangereuse.

❓ Question Fréquente

Pourquoi utiliser le Hertz dans l'industrie ?
Les accéléromètres industriels mesurent des "cycles par seconde" (battements physiques). Le Hertz est le langage concret des machines, tandis que le radian/seconde est l'outil mathématique du physicien sur le papier.

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Limite du Modèle / Comportement Non-Linéaire
🎯 Objectif Mathématique & Physique

L'objectif de cette ultime section est de démontrer l'effondrement de notre modèle prédictif analytique si le cahier des charges opérationnel venait à être violé (par exemple, si le bras était lancé depuis la position horizontale, soit un angle de \( 90^\circ \)).

🧠 Analyse Préliminaire (Réflexion du Bureau d'Études)

Toute la fiabilité de l'audit précédent repose sur un socle mathématique très fragile : le développement limité de Taylor au premier ordre. Si l'amplitude du mouvement s'élargit, l'erreur d'approximation du sinus et du cosinus va exploser, contaminant la matrice de rigidité et réveillant les termes non-linéaires du Lagrangien.

Loi Fondamentale : Non-Linéarité et Chaos Déterministe

Aux grandes amplitudes, le pendule double n'est plus régi par un système linéaire superposable. Il entre dans le domaine du chaos déterministe. Ses équations différentielles couplées exactes ne possèdent aucune solution analytique fermée (il est impossible d'écrire une formule prédictive).

📐 Évaluation de la Perturbation L'Erreur de Linéarisation sur le Sinus :
\[ \begin{aligned} \text{Force Réelle} &\propto \sin(\theta_{1}) \\ \text{Force Modélisée} &\propto \theta_{1} \end{aligned} \]
Traçabilité des Données / Nouvelles Conditions
  • Nouvelle condition de lancement : \( \theta_{1}(0) = \frac{\pi}{2} \text{ rad} \) (soit \( 90^\circ \), position horizontale stricte). Source : Énoncé, Question 4.
Astuce Mathématique / Développement Limité

Pour évaluer qualitativement la perturbation sans refaire toute la matrice, il suffit de calculer l'écart relatif (l'erreur) entre la vraie valeur trigonométrique de l'angle imposé et sa valeur linéarisée.

Analyse de l'Effet (Comparaison et Erreur)
Calcul de l'écart à 90 degrés

Évaluation du terme de rappel à \( \theta_{1} = \pi/2 \)

\[ \begin{aligned} \text{Valeur Linéarisée (Modèle)} &= \frac{\pi}{2} \approx 1,5708 \\ \text{Valeur Réelle (Physique)} &= \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1,0000 \end{aligned} \]

Calcul de l'Erreur Relative Induite (\( \varepsilon \))

\[ \begin{aligned} \varepsilon &= \left| \frac{\text{Valeur Modélisée} - \text{Valeur Réelle}}{\text{Valeur Réelle}} \right| \times 100 \\ &= \left| \frac{1,5708 - 1,0000}{1,0000} \right| \times 100 \\ &\approx \mathbf{57,1} \text{ %} \end{aligned} \]

[CONCLUSION PHYSIQUE] : Notre matrice de raideur surestime instantanément la force de rappel de 57%. Le modèle matriciel s'effondre totalement. De plus, les vitesses générées ne seront plus négligeables, ce qui interdira d'annuler les termes d'inertie de Coriolis et centrifuge dans le Lagrangien.

\[ \begin{aligned} \textbf{Bilan Étape 4 : } \text{Régime vibratoire} &= \text{Chaotique et imprédictible} \\ \text{Erreur initiale du modèle} &= \mathbf{57,1} \text{ %} \end{aligned} \]
Sens Physique du Chaos

Dans le régime chaotique, l'énergie cinétique totale du système se transfère de manière apériodique et violente entre le segment 1 et le segment 2. Le bras inférieur peut soudainement accumuler toute l'énergie et effectuer des tours complets sur lui-même (phénomène de whirling). Le spectre des fréquences de résonance devient une "large bande" continue, saturant le portique de chocs destructeurs à de multiples fréquences imprévisibles.

Piège Classique

Ne confondez pas "comportement chaotique" et "comportement aléatoire". Le mouvement du pendule double aux grandes amplitudes est strictement déterministe (il obéit aux lois strictes de Newton et Lagrange). S'il apparaît aléatoire, c'est uniquement parce qu'il présente une sensibilité extrême aux conditions initiales (l'effet papillon).

❓ Question Fréquente

Si l'équation n'a pas de solution analytique aux grandes amplitudes, comment font les ingénieurs pour prédire le mouvement du robot ?
Ils abandonnent les formules analytiques et font appel à l'intégration numérique. À l'aide d'algorithmes (comme la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4), l'ordinateur calcule la position du bras milliseconde par milliseconde.

📈 Graphique de Synthèse des Solutions (Profil / Évolution)
ZONE CRITIQUE ISO-VIB-04 Fréquence f (Hz) Amplitude Vibratoire (U.A.) 0,56 Hz MODE 1 1,08 Hz MODE 2 1,15 Hz PORTIQUE
Oscillations d’un Pendule Double
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