ÉTUDE DE PHYSIQUE

Équilibre Statique d’une Échelle

Équilibre Statique d'une Échelle

Équilibre Statique d'une Échelle

En mécanique classique, un objet est en équilibre statique lorsque sa vitesse linéaire et sa vitesse angulaire sont nulles et le restent. Pour qu'un corps rigide soit en équilibre statique, deux conditions doivent être simultanément remplies : la somme vectorielle de toutes les forces externes qui s'exercent sur l'objet doit être nulle (équilibre de translation), et la somme vectorielle de tous les couples (ou moments de force) externes par rapport à n'importe quel point doit être nulle (équilibre de rotation). L'étude d'une échelle appuyée contre un mur est un exemple classique d'application de ces principes.

Données de l'étude : Échelle en Équilibre

Une échelle de longueur \(L = 5.0 \text{ m}\) et de masse \(m = 20 \text{ kg}\) est appuyée contre un mur vertical parfaitement lisse (sans frottement). La base de l'échelle repose sur un sol horizontal rugueux. L'échelle forme un angle \(\theta = 60^\circ\) avec le sol.

Hypothèses :

  • L'échelle est une tige homogène, son centre de gravité (CG) est donc en son milieu.
  • On prendra l'accélération de la pesanteur \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\).
Schéma : Diagramme des forces appliquées à l'échelle
{/* Mur et Sol */} {/* Échelle */} {/* Forces */} {/* Poids (mg) */} P = mg {/* Force normale du sol (N_sol) */} Nsol {/* Force normale du mur (N_mur) */} Nmur {/* Force de frottement (f_s) */} fs {/* Angle et labels */} θ L

Échelle en équilibre statique avec les forces appliquées : Poids (P), forces normales (N) et force de frottement statique (fₛ).

Questions à traiter

  1. Écrire les deux équations de l'équilibre de translation (somme des forces en \(x\) et en \(y\) égale à zéro).
  2. Écrire l'équation de l'équilibre de rotation (somme des couples égale à zéro) en choisissant le point de contact de l'échelle avec le sol comme pivot.
  3. Calculer la valeur de la force normale exercée par le sol sur l'échelle (\(N_{sol}\)).
  4. Calculer la valeur de la force normale exercée par le mur sur l'échelle (\(N_{mur}\)).
  5. Calculer la valeur de la force de frottement statique (\(f_s\)) exercée par le sol sur l'échelle.
  6. Déterminer la valeur minimale du coefficient de frottement statique (\(\mu_s\)) entre le sol et l'échelle pour que celle-ci reste en équilibre.

Correction : Équilibre de l'échelle

Question 1 : Équations de l'équilibre de translation

Principe :

Pour que l'échelle soit en équilibre de translation, la somme vectorielle de toutes les forces externes doit être nulle. On décompose cette condition sur les axes horizontaux (x) et verticaux (y).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sum \vec{F} = \vec{0} \Rightarrow \begin{cases} \sum F_x = 0 \\ \sum F_y = 0 \end{cases}\]
Équations :

En se basant sur le diagramme des forces :

  • Sur l'axe x (horizontal) : La force de frottement (\(f_s\)) s'oppose à la force normale du mur (\(N_{mur}\)).
    \(\sum F_x = f_s - N_{mur} = 0\)
  • Sur l'axe y (vertical) : La force normale du sol (\(N_{sol}\)) s'oppose au poids de l'échelle (\(P = mg\)).
    \(\sum F_y = N_{sol} - mg = 0\)
Résultat Question 1 : Les équations de l'équilibre de translation sont :
\(\sum F_x = f_s - N_{mur} = 0\)
\(\sum F_y = N_{sol} - mg = 0\)

Question 2 : Équation de l'équilibre de rotation

Principe :

Pour que l'échelle soit en équilibre de rotation, la somme des couples (moments de force) par rapport à n'importe quel point (pivot) doit être nulle. Choisir le pivot au point de contact avec le sol est judicieux car les couples des forces \(N_{sol}\) et \(f_s\) y sont nuls (leur bras de levier est nul), ce qui simplifie l'équation.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sum \tau_{\text{pivot}} = 0\]

Le couple d'une force \(\vec{F}\) est \(\tau = rF\sin\alpha\), où \(r\) est la distance du pivot au point d'application de la force et \(\alpha\) l'angle entre \(\vec{r}\) et \(\vec{F}\). On définit les couples qui tendent à faire tourner dans le sens anti-horaire comme positifs, et ceux dans le sens horaire comme négatifs.

Équation :

Par rapport au point de contact avec le sol :

  • Couple du poids (\(\tau_P\)) : Le poids \(mg\) s'applique à une distance \(L/2\) du pivot. Il tend à faire tourner l'échelle dans le sens horaire (négatif). Le bras de levier est \((L/2)\cos\theta\).
    \(\tau_P = -mg \left(\frac{L}{2}\right)\cos\theta\)
  • Couple de la force normale du mur (\(\tau_{N_{mur}}\)) : La force \(N_{mur}\) s'applique à une distance \(L\) du pivot. Elle tend à faire tourner l'échelle dans le sens anti-horaire (positif). Le bras de levier est \(L\sin\theta\).
    \(\tau_{N_{mur}} = +N_{mur} (L\sin\theta)\)

La somme des couples est nulle :

\[\sum \tau = N_{mur} L\sin\theta - mg \frac{L}{2}\cos\theta = 0\]
Résultat Question 2 : L'équation de l'équilibre de rotation par rapport à la base de l'échelle est :
\(N_{mur} L\sin\theta - mg \frac{L}{2}\cos\theta = 0\)

Question 3 : Calcul de la force normale du sol (\(N_{sol}\))

Principe :

On utilise l'équation de l'équilibre des forces sur l'axe vertical (\(y\)) trouvée à la question 1.

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{sol} - mg = 0 \Rightarrow N_{sol} = mg\]
Données spécifiques :
  • \(m = 20 \text{ kg}\)
  • \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_{sol} &= 20 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \\ &= 196 \text{ N} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La force normale exercée par le sol est \(N_{sol} = 196 \text{ N}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si un homme de 80 kg monte sur l'échelle, comment la force normale du sol \(N_{sol}\) va-t-elle changer ?

Question 4 : Calcul de la force normale du mur (\(N_{mur}\))

Principe :

On utilise l'équation de l'équilibre de rotation trouvée à la question 2 pour isoler et calculer \(N_{mur}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{mur} L\sin\theta - mg \frac{L}{2}\cos\theta = 0 \Rightarrow N_{mur} = \frac{mg \frac{L}{2}\cos\theta}{L\sin\theta} = \frac{mg}{2\tan\theta}\]
Données spécifiques :
  • \(mg = 196 \text{ N}\) (calculé précédemment)
  • \(\theta = 60^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_{mur} &= \frac{196 \text{ N}}{2 \tan(60^\circ)} \\ &\approx \frac{196 \text{ N}}{2 \times 1.732} \\ &\approx \frac{196 \text{ N}}{3.464} \\ &\approx 56.58 \text{ N} \end{aligned} \]

Arrondi à une décimale : \(N_{mur} \approx 56.6 \text{ N}\).

Résultat Question 4 : La force normale exercée par le mur est \(N_{mur} \approx 56.6 \text{ N}\).

Question 5 : Calcul de la force de frottement statique (\(f_s\))

Principe :

On utilise l'équation de l'équilibre des forces sur l'axe horizontal (\(x\)) trouvée à la question 1. Puisque l'échelle est en équilibre, la force de frottement doit exactement compenser la force normale du mur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_s - N_{mur} = 0 \Rightarrow f_s = N_{mur}\]
Données spécifiques :
  • \(N_{mur} \approx 56.6 \text{ N}\) (calculé précédemment)
Calcul :
\[ f_s = N_{mur} \approx 56.6 \text{ N} \]
Résultat Question 5 : La force de frottement statique exercée par le sol est \(f_s \approx 56.6 \text{ N}\).

Question 6 : Coefficient de frottement statique minimal (\(\mu_{s, \text{min}}\))

Principe :

Pour que l'échelle ne glisse pas, la force de frottement statique requise (\(f_s\)) doit être inférieure ou égale à la force de frottement statique maximale possible, qui est donnée par \(\mu_s N_{sol}\). La condition limite (juste avant de glisser) est \(f_s = \mu_{s, \text{min}} N_{sol}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_s \le \mu_s N_{sol} \Rightarrow \mu_s \ge \frac{f_s}{N_{sol}}\]

Donc, le coefficient minimal est :

\[\mu_{s, \text{min}} = \frac{f_s}{N_{sol}}\]
Données spécifiques :
  • \(f_s \approx 56.6 \text{ N}\)
  • \(N_{sol} = 196 \text{ N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \mu_{s, \text{min}} &= \frac{56.6 \text{ N}}{196 \text{ N}} \\ &\approx 0.2887 \end{aligned} \]

Arrondi à deux chiffres significatifs : \(\mu_{s, \text{min}} \approx 0.29\).

Résultat Question 6 : Le coefficient de frottement statique minimal entre le sol et l'échelle doit être d'environ 0.29 pour éviter que l'échelle ne glisse.

Quiz Intermédiaire 2 : Si l'angle \(\theta\) diminue (l'échelle est plus "couchée"), le coefficient de frottement statique minimal requis pour l'équilibre va :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. Quelles sont les deux conditions nécessaires pour l'équilibre statique d'un corps rigide ?

8. Si le mur était rugueux (avec frottement) au lieu d'être lisse, la force de frottement au sol \(f_s\) nécessaire pour l'équilibre serait :

9. Le choix du point de pivot pour le calcul des couples :

Glossaire

Équilibre Statique
État d'un système où toutes les forces et tous les couples qui s'exercent sur lui se compensent, résultant en une absence de mouvement de translation et de rotation.
Force Normale (\(N\))
Force de contact exercée par une surface sur un objet. Elle est toujours perpendiculaire à la surface.
Force de Frottement Statique (\(f_s\))
Force qui s'oppose au début du glissement d'un objet sur une surface. Sa valeur s'ajuste pour maintenir l'équilibre, jusqu'à une valeur maximale \(f_{s, \text{max}} = \mu_s N\).
Coefficient de Frottement Statique (\(\mu_s\))
Nombre sans dimension qui caractérise la "rugosité" entre deux surfaces. Il détermine la force de frottement statique maximale possible.
Couple (ou Moment de Force, \(\tau\))
Grandeur vectorielle qui mesure la capacité d'une force à faire tourner un objet autour d'un axe ou d'un pivot.
Diagramme de Corps Libre
Schéma qui représente un objet isolé et toutes les forces externes qui agissent sur lui.
Centre de Gravité (CG)
Point d'application de la force de pesanteur (le poids) d'un objet. Pour un objet homogène, il se situe à son centre géométrique.
Équilibre Statique d'une Échelle - Exercice d'Application

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