Calcul de la Distance Parcourue par un Coureur
Comprendre le Mouvement et la Distance Parcourue
En mécanique classique, la distance parcourue par un objet est une mesure de la longueur totale de son trajet. Si la vitesse de l'objet est constante, la distance est simplement le produit de la vitesse par le temps. Si la vitesse varie, par exemple lors d'une accélération, le calcul de la distance devient plus complexe et fait appel aux équations du mouvement uniformément varié. Comprendre comment calculer la distance parcourue dans différentes phases de mouvement est essentiel pour analyser la performance sportive, planifier des déplacements, ou concevoir des systèmes mécaniques.
Données du Problème
- Phase 1 : Le coureur maintient une vitesse constante (\(v_1\)) de \(4.0 \, \text{m/s}\) pendant une durée (\(t_1\)) de \(30.0 \, \text{minutes}\).
- Phase 2 : Le coureur accélère uniformément depuis sa vitesse \(v_1\) jusqu'à une vitesse (\(v_2\)) de \(6.0 \, \text{m/s}\) sur une durée (\(t_2\)) de \(2.0 \, \text{minutes}\).
- Phase 3 : Le coureur maintient ensuite cette vitesse \(v_2\) pendant une durée (\(t_3\)) de \(45.0 \, \text{minutes}\).
Schéma : Phases de Course d'un Entraînement
Illustration des différentes phases de l'entraînement du coureur.
Questions à traiter
- Convertir toutes les durées (\(t_1, t_2, t_3\)) en secondes.
- Calculer la distance (\(d_1\)) parcourue par le coureur pendant la Phase 1, en mètres.
- Calculer l'accélération (\(a\)) du coureur pendant la Phase 2, en \(\text{m/s}^2\).
- Calculer la distance (\(d_2\)) parcourue par le coureur pendant la Phase 2, en mètres.
- Calculer la distance (\(d_3\)) parcourue par le coureur pendant la Phase 3, en mètres.
- Calculer la distance totale (\(d_{\text{totale}}\)) parcourue par le coureur pendant son entraînement, en mètres puis en kilomètres.
- Calculer le temps total (\(t_{\text{total}}\)) de l'entraînement en secondes, puis en minutes.
- Calculer la vitesse moyenne (\(v_{\text{moyenne}}\)) du coureur sur l'ensemble de l'entraînement, en m/s.
Correction : Calcul de la Distance Parcourue par un Coureur
Question 1 : Conversion des durées en secondes
Principe :
Pour assurer la cohérence des unités dans les calculs, il est nécessaire de convertir les durées données en minutes en secondes, sachant que \(1 \, \text{minute} = 60 \, \text{secondes}\).
Calculs :
Durée de la Phase 1 (\(t_1\)) :
Durée de la Phase 2 (\(t_2\)) :
Durée de la Phase 3 (\(t_3\)) :
Question 2 : Distance (\(d_1\)) parcourue pendant la Phase 1
Principe :
Pendant la Phase 1, le mouvement est à vitesse constante (mouvement rectiligne uniforme). La distance parcourue est le produit de la vitesse et du temps.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(v_1 = 4.0 \, \text{m/s}\)
- \(t_1 = 1800 \, \text{s}\)
Calcul :
Question 3 : Accélération (\(a\)) pendant la Phase 2
Principe :
L'accélération est la variation de vitesse divisée par le temps mis pour cette variation, en supposant une accélération constante.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(v_1 = 4.0 \, \text{m/s}\) (vitesse initiale de la phase 2)
- \(v_2 = 6.0 \, \text{m/s}\) (vitesse finale de la phase 2)
- \(t_2 = 120 \, \text{s}\)
Calcul :
En arrondissant à trois chiffres significatifs : \(a \approx 0.0167 \, \text{m/s}^2\).
Question 4 : Distance (\(d_2\)) parcourue pendant la Phase 2
Principe :
Pour un mouvement rectiligne uniformément varié, la distance parcourue est donnée par \(d = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(v_1 = 4.0 \, \text{m/s}\) (vitesse initiale de cette phase)
- \(t_2 = 120 \, \text{s}\)
- \(a \approx 0.016667 \, \text{m/s}^2\) (valeur plus précise pour le calcul)
Calcul :
Alternativement, en utilisant \(d = \frac{v_1+v_2}{2}t\):
On arrondit à \(d_2 = 600 \, \text{m}\).
Question 5 : Distance (\(d_3\)) parcourue pendant la Phase 3
Principe :
Pendant la Phase 3, le mouvement est à vitesse constante \(v_2\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(v_2 = 6.0 \, \text{m/s}\)
- \(t_3 = 2700 \, \text{s}\)
Calcul :
Question 6 : Distance totale (\(d_{\text{totale}}\))
Principe :
La distance totale est la somme des distances parcourues pendant chaque phase.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(d_1 = 7200 \, \text{m}\)
- \(d_2 = 600 \, \text{m}\)
- \(d_3 = 16200 \, \text{m}\)
Calcul :
Conversion en kilomètres (\(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\)) :
Question 7 : Temps total (\(t_{\text{total}}\)) de l'entraînement
Principe :
Le temps total est la somme des durées de chaque phase.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(t_1 = 1800 \, \text{s}\)
- \(t_2 = 120 \, \text{s}\)
- \(t_3 = 2700 \, \text{s}\)
Calcul :
Conversion en minutes :
Question 8 : Vitesse moyenne (\(v_{\text{moyenne}}\)) sur l'ensemble de l'entraînement
Principe :
La vitesse moyenne est la distance totale divisée par le temps total.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(d_{\text{totale}} = 24000 \, \text{m}\)
- \(t_{\text{total}} = 4620 \, \text{s}\)
Calcul :
En arrondissant à trois chiffres significatifs : \(v_{\text{moyenne}} \approx 5.19 \, \text{m/s}\).
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Si un objet se déplace à une vitesse constante \(v\) pendant un temps \(t\), la distance parcourue \(d\) est :
2. L'accélération est définie comme :
3. Pour un objet partant du repos (\(v_0 = 0\)) avec une accélération constante \(a\), la distance \(d\) parcourue en un temps \(t\) est :
4. La vitesse moyenne sur un trajet complet est :
Glossaire
- Distance (\(d\))
- Mesure de la longueur totale du chemin parcouru par un objet.
- Vitesse (\(v\))
- Taux de changement de la position d'un objet ; grandeur vectorielle (ayant une direction) ou scalaire (intensité).
- Vitesse Moyenne (\(v_{\text{moyenne}}\))
- Rapport de la distance totale parcourue au temps total mis pour la parcourir.
- Accélération (\(a\))
- Taux de changement de la vitesse d'un objet par rapport au temps. Unité SI : \(\text{m/s}^2\).
- Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)
- Mouvement d'un objet se déplaçant en ligne droite à vitesse constante (accélération nulle).
- Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV)
- Mouvement d'un objet se déplaçant en ligne droite avec une accélération constante.
- Temps (\(t\))
- Mesure de la durée. Unité SI : seconde (s).
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