ÉTUDE DE PHYSIQUE

Collision Élastique de Deux Sphères

Collision Élastique de Deux Sphères en Mécanique Classique

Collision Élastique de Deux Sphères

Comprendre les Collisions Élastiques

En mécanique classique, une collision est dite parfaitement élastique si l'énergie cinétique totale du système des objets en collision est conservée, en plus de la quantité de mouvement totale. Cela signifie qu'il n'y a aucune perte d'énergie sous forme de chaleur, de son, ou de déformation permanente des objets. Les collisions entre des billes de billard ou des atomes à basse énergie sont de bonnes approximations de collisions élastiques. L'analyse de ces collisions repose sur l'application simultanée des principes de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique.

Données de l'étude

On considère une collision frontale (unidimensionnelle) entre deux sphères lisses, A et B, se déplaçant sur un axe horizontal sans frottement.

Caractéristiques des sphères :

  • Masse de la sphère A (\(m_{\text{A}}\)) : \(2.0 \, \text{kg}\)
  • Masse de la sphère B (\(m_{\text{B}}\)) : \(3.0 \, \text{kg}\)

Vitesses initiales (avant la collision) :

  • Vitesse initiale de la sphère A (\(v_{\text{A,i}}\)) : \(+4.0 \, \text{m/s}\) (vers la droite)
  • Vitesse initiale de la sphère B (\(v_{\text{B,i}}\)) : \(-2.0 \, \text{m/s}\) (vers la gauche)
Schéma : Collision Élastique Unidimensionnelle
Avant Collision A v_Ai B v_Bi Après Collision A v_Af B v_Bf

Schéma d'une collision élastique frontale entre deux sphères A et B.

Questions à traiter

  1. Énoncer le principe de conservation de la quantité de mouvement pour le système des deux sphères lors de la collision. Écrire l'équation correspondante.
  2. Énoncer le principe de conservation de l'énergie cinétique pour une collision parfaitement élastique. Écrire l'équation correspondante.
  3. À partir des deux équations de conservation, dériver les expressions générales des vitesses finales \(v_{\text{A,f}}\) et \(v_{\text{B,f}}\) des deux sphères après la collision, en fonction de leurs masses (\(m_{\text{A}}, m_{\text{B}}\)) et de leurs vitesses initiales (\(v_{\text{A,i}}, v_{\text{B,i}}\)).
  4. Calculer les valeurs numériques des vitesses finales \(v_{\text{A,f}}\) et \(v_{\text{B,f}}\) en utilisant les données de l'énoncé.
  5. Calculer l'énergie cinétique totale du système avant la collision (\(E_{\text{c,i}}\)).
  6. Calculer l'énergie cinétique totale du système après la collision (\(E_{\text{c,f}}\)) en utilisant les vitesses finales calculées. Vérifier si l'énergie cinétique est conservée.
  7. Considérer le cas particulier où \(m_{\text{A}} = m_{\text{B}}\) et la sphère B est initialement au repos (\(v_{\text{B,i}} = 0 \, \text{m/s}\)). Que deviennent les vitesses finales \(v_{\text{A,f}}\) et \(v_{\text{B,f}}\) ? Interpréter ce résultat.

Correction : Collision Élastique de Deux Sphères

Question 1 : Conservation de la quantité de mouvement

Principe :

Pour un système isolé (pas de forces extérieures nettes), la quantité de mouvement totale du système est conservée. Lors d'une collision entre deux sphères A et B, la quantité de mouvement totale du système {A+B} juste avant la collision est égale à la quantité de mouvement totale juste après la collision.

Équation :

La quantité de mouvement d'un objet de masse \(m\) et de vitesse \(v\) est \(p = mv\). Pour le système des deux sphères :

\[ m_{\text{A}} v_{\text{A,i}} + m_{\text{B}} v_{\text{B,i}} = m_{\text{A}} v_{\text{A,f}} + m_{\text{B}} v_{\text{B,f}} \]

Où les indices 'i' désignent les vitesses initiales (avant collision) et 'f' les vitesses finales (après collision).

Résultat Question 1 : La quantité de mouvement totale du système est conservée : \(m_{\text{A}} v_{\text{A,i}} + m_{\text{B}} v_{\text{B,i}} = m_{\text{A}} v_{\text{A,f}} + m_{\text{B}} v_{\text{B,f}}\).

Question 2 : Conservation de l'énergie cinétique

Principe :

Dans une collision parfaitement élastique, l'énergie cinétique totale du système est également conservée. Il n'y a pas de perte d'énergie mécanique sous forme de chaleur, de son ou de déformation permanente.

Équation :

L'énergie cinétique d'un objet de masse \(m\) et de vitesse \(v\) est \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\). Pour le système des deux sphères :

\[ \frac{1}{2}m_{\text{A}} v_{\text{A,i}}^2 + \frac{1}{2}m_{\text{B}} v_{\text{B,i}}^2 = \frac{1}{2}m_{\text{A}} v_{\text{A,f}}^2 + \frac{1}{2}m_{\text{B}} v_{\text{B,f}}^2 \]

On peut simplifier en multipliant par 2 :

\[ m_{\text{A}} v_{\text{A,i}}^2 + m_{\text{B}} v_{\text{B,i}}^2 = m_{\text{A}} v_{\text{A,f}}^2 + m_{\text{B}} v_{\text{B,f}}^2 \]
Résultat Question 2 : L'énergie cinétique totale du système est conservée : \(m_{\text{A}} v_{\text{A,i}}^2 + m_{\text{B}} v_{\text{B,i}}^2 = m_{\text{A}} v_{\text{A,f}}^2 + m_{\text{B}} v_{\text{B,f}}^2\).

Question 3 : Expressions des vitesses finales \(v_{\text{A,f}}\) et \(v_{\text{B,f}}\)

Principe :

On résout le système de deux équations (conservation de la quantité de mouvement et conservation de l'énergie cinétique) à deux inconnues (\(v_{\text{A,f}}\) et \(v_{\text{B,f}}\)).

Équation 1 (Quantité de mouvement) : \(m_{\text{A}} (v_{\text{A,i}} - v_{\text{A,f}}) = m_{\text{B}} (v_{\text{B,f}} - v_{\text{B,i}})\)

Équation 2 (Énergie cinétique) : \(m_{\text{A}} (v_{\text{A,i}}^2 - v_{\text{A,f}}^2) = m_{\text{B}} (v_{\text{B,f}}^2 - v_{\text{B,i}}^2)\)

En utilisant \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) pour l'équation 2 :

\(m_{\text{A}} (v_{\text{A,i}} - v_{\text{A,f}})(v_{\text{A,i}} + v_{\text{A,f}}) = m_{\text{B}} (v_{\text{B,f}} - v_{\text{B,i}})(v_{\text{B,f}} + v_{\text{B,i}})\)

En divisant cette nouvelle équation 2 par l'équation 1 (si \(v_{\text{A,i}} \neq v_{\text{A,f}}\) et \(v_{\text{B,f}} \neq v_{\text{B,i}}\), ce qui est le cas lors d'une collision non triviale), on obtient :

\(v_{\text{A,i}} + v_{\text{A,f}} = v_{\text{B,f}} + v_{\text{B,i}}\), ou \(v_{\text{A,i}} - v_{\text{B,i}} = -(v_{\text{A,f}} - v_{\text{B,f}})\). Cela signifie que la vitesse relative d'approche est égale à l'opposé de la vitesse relative d'éloignement.

À partir de \(v_{\text{B,f}} = v_{\text{A,i}} + v_{\text{A,f}} - v_{\text{B,i}}\), on substitue dans l'équation de conservation de la quantité de mouvement pour trouver \(v_{\text{A,f}}\), puis \(v_{\text{B,f}}\).

Formule(s) finales :
\[ v_{\text{A,f}} = \frac{(m_{\text{A}} - m_{\text{B}})v_{\text{A,i}} + 2m_{\text{B}} v_{\text{B,i}}}{m_{\text{A}} + m_{\text{B}}} \]
\[ v_{\text{B,f}} = \frac{(m_{\text{B}} - m_{\text{A}})v_{\text{B,i}} + 2m_{\text{A}} v_{\text{A,i}}}{m_{\text{A}} + m_{\text{B}}} \]
Résultat Question 3 : Les expressions des vitesses finales sont :
\(v_{\text{A,f}} = \frac{(m_{\text{A}} - m_{\text{B}})v_{\text{A,i}} + 2m_{\text{B}} v_{\text{B,i}}}{m_{\text{A}} + m_{\text{B}}}\)
\(v_{\text{B,f}} = \frac{(m_{\text{B}} - m_{\text{A}})v_{\text{B,i}} + 2m_{\text{A}} v_{\text{A,i}}}{m_{\text{A}} + m_{\text{B}}}\)

Question 4 : Calcul numérique des vitesses finales

Données spécifiques :
  • \(m_{\text{A}} = 2.0 \, \text{kg}\)
  • \(m_{\text{B}} = 3.0 \, \text{kg}\)
  • \(v_{\text{A,i}} = +4.0 \, \text{m/s}\)
  • \(v_{\text{B,i}} = -2.0 \, \text{m/s}\)
Calcul de \(v_{\text{A,f}}\) :
\[ \begin{aligned} v_{\text{A,f}} &= \frac{(2.0 - 3.0) \times 4.0 + 2 \times 3.0 \times (-2.0)}{2.0 + 3.0} \\ &= \frac{(-1.0) \times 4.0 + 6.0 \times (-2.0)}{5.0} \\ &= \frac{-4.0 - 12.0}{5.0} \\ &= \frac{-16.0}{5.0} \\ &= -3.2 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Calcul de \(v_{\text{B,f}}\) :
\[ \begin{aligned} v_{\text{B,f}} &= \frac{(3.0 - 2.0) \times (-2.0) + 2 \times 2.0 \times 4.0}{2.0 + 3.0} \\ &= \frac{(1.0) \times (-2.0) + 4.0 \times 4.0}{5.0} \\ &= \frac{-2.0 + 16.0}{5.0} \\ &= \frac{14.0}{5.0} \\ &= +2.8 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Les vitesses finales sont \(v_{\text{A,f}} = -3.2 \, \text{m/s}\) (la sphère A repart vers la gauche) et \(v_{\text{B,f}} = +2.8 \, \text{m/s}\) (la sphère B repart vers la droite).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la sphère B était beaucoup plus massive que la sphère A (\(m_B \gg m_A\)) et initialement au repos, que deviendrait approximativement la vitesse de A après la collision ?

Question 5 : Énergie cinétique totale avant collision (\(E_{\text{c,i}}\))

Principe :

On somme les énergies cinétiques initiales des deux sphères.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{\text{c,i}} = \frac{1}{2}m_{\text{A}} v_{\text{A,i}}^2 + \frac{1}{2}m_{\text{B}} v_{\text{B,i}}^2\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\text{c,i}} &= \frac{1}{2}(2.0)(4.0)^2 + \frac{1}{2}(3.0)(-2.0)^2 \\ &= \frac{1}{2}(2.0)(16.0) + \frac{1}{2}(3.0)(4.0) \\ &= 16.0 \, \text{J} + 6.0 \, \text{J} \\ &= 22.0 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'énergie cinétique totale avant la collision est \(E_{\text{c,i}} = 22.0 \, \text{Joules}\).

Question 6 : Énergie cinétique totale après collision (\(E_{\text{c,f}}\)) et vérification

Principe :

On somme les énergies cinétiques finales des deux sphères en utilisant les vitesses finales calculées.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{\text{c,f}} = \frac{1}{2}m_{\text{A}} v_{\text{A,f}}^2 + \frac{1}{2}m_{\text{B}} v_{\text{B,f}}^2\]
Données spécifiques :
  • \(v_{\text{A,f}} = -3.2 \, \text{m/s}\)
  • \(v_{\text{B,f}} = +2.8 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\text{c,f}} &= \frac{1}{2}(2.0)(-3.2)^2 + \frac{1}{2}(3.0)(2.8)^2 \\ &= \frac{1}{2}(2.0)(10.24) + \frac{1}{2}(3.0)(7.84) \\ &= 10.24 \, \text{J} + (1.5 \times 7.84) \, \text{J} \\ &= 10.24 \, \text{J} + 11.76 \, \text{J} \\ &= 22.0 \, \text{J} \end{aligned} \]
Vérification :

\(E_{\text{c,i}} = 22.0 \, \text{J}\) et \(E_{\text{c,f}} = 22.0 \, \text{J}\). L'énergie cinétique est bien conservée, ce qui est attendu pour une collision parfaitement élastique.

Résultat Question 6 : L'énergie cinétique totale après la collision est \(E_{\text{c,f}} = 22.0 \, \text{Joules}\). L'énergie cinétique est conservée (\(E_{\text{c,i}} = E_{\text{c,f}}\)).

Question 7 : Cas particulier \(m_{\text{A}} = m_{\text{B}} = m\) et \(v_{\text{B,i}} = 0\)

Principe :

On utilise les expressions générales de \(v_{\text{A,f}}\) et \(v_{\text{B,f}}\) en substituant \(m_{\text{A}} = m_{\text{B}} = m\) et \(v_{\text{B,i}} = 0\).

Calcul :

Pour \(v_{\text{A,f}}\):

\[ \begin{aligned} v_{\text{A,f}} &= \frac{(m - m)v_{\text{A,i}} + 2m (0)}{m + m} \\ &= \frac{0 \cdot v_{\text{A,i}} + 0}{2m} \\ &= 0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Pour \(v_{\text{B,f}}\):

\[ \begin{aligned} v_{\text{B,f}} &= \frac{(m - m)(0) + 2m v_{\text{A,i}}}{m + m} \\ &= \frac{0 + 2m v_{\text{A,i}}}{2m} \\ &= v_{\text{A,i}} \end{aligned} \]
Interprétation :

Si deux sphères de même masse entrent en collision élastique frontale et que l'une d'elles (B) est initialement au repos, la première sphère (A) s'arrête complètement après la collision (\(v_{\text{A,f}} = 0\)), et la seconde sphère (B) part avec la vitesse initiale de la première sphère (\(v_{\text{B,f}} = v_{\text{A,i}}\)). Il y a un échange complet de vitesses (et donc de quantité de mouvement et d'énergie cinétique) entre les deux sphères. C'est un phénomène souvent observé avec des billes de billard de même masse.

Résultat Question 7 : Dans le cas où \(m_{\text{A}} = m_{\text{B}}\) et \(v_{\text{B,i}} = 0\), on trouve \(v_{\text{A,f}} = 0 \, \text{m/s}\) et \(v_{\text{B,f}} = v_{\text{A,i}}\). Les sphères échangent leurs vitesses.

Quiz Intermédiaire 2 : Dans une collision parfaitement inélastique entre deux objets qui restent collés après le choc, quelle quantité est toujours conservée pour le système ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. Une collision est dite parfaitement élastique si :

9. Dans une collision unidimensionnelle élastique entre une petite masse et une grande masse initialement au repos, la petite masse :

10. La quantité de mouvement d'un objet dépend de :

Glossaire

Collision Élastique
Collision au cours de laquelle la quantité de mouvement totale et l'énergie cinétique totale du système sont conservées.
Quantité de Mouvement (\(\vec{p}\))
Produit de la masse d'un objet par sa vitesse (\(\vec{p} = m\vec{v}\)). C'est une grandeur vectorielle.
Conservation de la Quantité de Mouvement
Principe stipulant que, pour un système isolé, la quantité de mouvement totale reste constante au cours du temps.
Énergie Cinétique (\(E_c\))
Énergie que possède un objet en raison de son mouvement. \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\). C'est une grandeur scalaire.
Conservation de l'Énergie Cinétique
Principe stipulant que, dans une collision parfaitement élastique, l'énergie cinétique totale du système avant la collision est égale à l'énergie cinétique totale après la collision.
Collision Frontale (Unidimensionnelle)
Collision où le mouvement des objets avant et après le choc se produit le long d'une même ligne droite.
Système Isolé
Système sur lequel aucune force extérieure nette n'agit.
Collision Élastique de Deux Sphères - Exercice d'Application

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